备战中考数学备考之一元二次方程组压轴突破训练∶培优 易错 难题篇含答案(1)

备战中考数学备考之一元二次方程组压轴突破训练∶培优 易错 难题篇含答案(1)
一、一元二次方程
1．关于x 的方程x 2﹣2（k ﹣1）x +k 2＝0有两个实数根x 1、x 2． （1）求k 的取值范围；
（2）若x 1+x 2＝1﹣x 1x 2，求k 的值．
【答案】（1）1
2
k ≤；（2）3k = 【解析】
试题分析：（1）方程有两个实数根，可得240b ac ∆=-≥，代入可解出k 的取值范围； （2）由韦达定理可知，()2
121221,x x k x x k +=-=，列出等式，可得出k 的值．
试题解析：(1)∵Δ＝4(k －1)2－4k 2≥0，∴－8k ＋4≥0，∴k ≤12
； (2)∵x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2，∴2(k －1)＝1－k 2， ∴k 1＝1，k 2＝－3. ∵k ≤
1
2
，∴k ＝－3.
2．李明准备进行如下操作实验，把一根长40 cm 的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．
(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm 2，李明应该怎么剪这根铁丝？
(2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm 2，你认为他的说法正确吗？请说明理由．
【答案】 (1) 李明应该把铁丝剪成12 cm 和28 cm 的两段；(2) 李明的说法正确，理由见解析. 【解析】
试题分析：（1）设剪成的较短的这段为xcm ，较长的这段就为（40﹣x ）cm ．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于58cm 2建立方程求出其解即可； （2）设剪成的较短的这段为mcm ，较长的这段就为（40﹣m ）cm ．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于48cm 2建立方程，如果方程有解就说明李明的说法错误，否则正确．
试题解析：设其中一段的长度为cm ，两个正方形面积之和为cm 2，则
，
（其中
），当
时，
，解这个方程，得
，，∴应将之剪成12cm 和28cm
的两段；
（2）两正方形面积之和为48时，
，，
∵， ∴该方程无实数解，也就是不可能使得两正方形面积
之和为48cm 2，李明的说法正确．
考点：1．一元二次方程的应用；2．几何图形问题．
3．已知：关于x 的方程x 2－4mx ＋4m 2－1＝0. (1)不解方程，判断方程的根的情况；
(2)若△ABC 为等腰三角形，BC ＝5，另外两条边是方程的根，求此三角形的周长．2 【答案】(1) 有两个不相等的实数根（2）周长为13或17 【解析】
试题分析：（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=4＞0，由此可得出：无论m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）根据等腰三角形的性质及△＞0，可得出5是方程x 2﹣4mx +4m 2﹣1=0的根，将x =5代入原方程可求出m 值，通过解方程可得出方程的解，在利用三角形的周长公式即可求出结论．
试题解析：解：（1）∵△=（﹣4m ）2﹣4（4m 2﹣1）=4＞0，∴无论m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
（2）∵△＞0，△ABC 为等腰三角形，另外两条边是方程的根，∴5是方程x 2﹣4mx +4m 2﹣1=0的根．
将x =5代入原方程，得：25﹣20m +4m 2﹣1=0，解得：m 1=2，m 2=3．
当m =2时，原方程为x 2﹣8x +15=0，解得：x 1=3，x 2=5．∵3、5、5能够组成三角形，∴该三角形的周长为3+5+5=13；
当m =3时，原方程为x 2﹣12x +35=0，解得：x 1=5，x 2=7．∵5、5、7能够组成三角形，∴该三角形的周长为5+5+7=17． 综上所述：此三角形的周长为13或17．
点睛：本题考查了根的判别式、等腰三角形的性质、三角形的三边关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）代入x =5求出m 值．
4．已知关于x 的方程24832x nx n --=和()2
2
3220x n x n -+-+=，是否存在这样的
n 值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的n 值；若不存在，请说明理由？
【答案】存在，n=0. 【解析】 【分析】
在方程①中，由一元二次方程的根与系数的关系，用含n 的式子表示出两个实数根的差的平方，把方程②分解因式，建立方程求n ，要注意n 的值要使方程②的根是整数. 【详解】
若存在n满足题意.
设x1，x2是方程①的两个根，则x1+x2=2n，x1x2=
32
4
n+
-，所以(x1-x2)2=4n2+3n+2，
由方程②得，(x+n-1)[x-2(n+1)]=0，
①若4n2+3n+2=-n+1，解得n=-1
2
，但1-n=
3
2
不是整数，舍.
②若4n2+3n+2=2(n+2)，解得n=0或n=-1
4 (舍)，
综上所述，n=0.
5．已知：关于的方程有两个不相等实数根．
（1）用含的式子表示方程的两实数根；
（2）设方程的两实数根分别是，（其中），且，求的值．
【答案】（I）kx2+（2k－3)x+k－3 = 0是关于x的一元二次方程．
∴
由求根公式，得
．∴或
（II），∴．
而，∴，．
由题意，有
∴即（﹡）
解之，得
经检验是方程（﹡）的根，但，∴
【解析】
（1）计算△=（2k-3）2-4k（k-3）=9＞0，再利用求根公式即可求出方程的两根即可；（2）有（1）可知方程的两根，再有条件x1＞x2，可知道x1和x2的数值，代入计算即可．
一位数学老师参加本市自来水价格听证会后，编写了一道应用题，题目如下：节约用水、保护水资源，是科学发展观的重要体现.依据这种理念，本市制定了一套节约用水的管理措
施，其中规定每月用水量超过（吨）时，超过部分每吨加收环境保护费元.下图反映
了每月收取的水费（元）与每月用水量（吨）之间的函数关系. 请你解答下列问题：
6．将m 看作已知量，分别写出当0<x<m 和x>m 时，
与之间的函数关系式；
7．某社区决定把一块长50m ，宽30m 的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小形状都相同的矩形) ，空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，当绿化区较长边x 为何值时，活动区的面积达到21344m ?
【答案】当13x m =时，活动区的面积达到21344m 【解析】 【分析】
根据“活动区的面积＝矩形空地面积﹣阴影区域面积”列出方程，可解答. 【详解】
解:设绿化区宽为y ，则由题意得
502302x y -=-.
即10y x =-
列方程: 50304(10)1344x x ⨯--= 解得13x =- (舍)，213x =.
∴当13x m =时，活动区的面积达到21344m 【点睛】
本题是一元二次方程的应用题，确定等量关系是关键，本题计算量大，要细心．
8．解方程：(x ＋1)(x －1)＝2x. 【答案】x 123，x 223 【解析】
试题分析：根据方程的特点，根据平方差公式化为一般式，然后可根据公式法求解即可. 试题解析：(x ＋1)(x －1)＝2 x 2-22x-1=0 ∵a=1，b=-22c=-1 ∴△=b 2-4ac=8+4=12＞0
∴
∴x
1x 2.
9．已知关于x 的一元二次方程()2
2
11204
x m x m +++
-=． ()1若此方程有两个实数根，求m 的最小整数值；
()2若此方程的两个实数根为1x ，2x ，且满足22212121184
x x x x m ++=-，求m 的值．
【答案】（1）m 的最小整数值为4-；（2）3m = 【解析】 【分析】
（1）根据方程有两个实数根得0∆≥,列式即可求解,（2）利用韦达定理即可解题. 【详解】
（1）解：()2
2114124m m ⎛⎫∆=+-⨯⨯-
⎪⎝⎭
22218m m m =++-+
29m =+
Q 方程有两个实数根
0∴∆≥，即290m +≥
9
2
m ∴≥-
∴ m 的最小整数值为4-
（2）由根与系数的关系得：()121x x m +=-+，2
12124
x x m =- 由2
2
212121184x x x x m ++=-
得：()22211121844m m m ⎛⎫⎡⎤-+--=- ⎪⎣⎦⎝⎭
13m ∴=，25m =-
9
2
m Q ≥-
3m ∴=
【点睛】
本题考查了根的判别式和韦达定理,中等难度,熟悉韦达定理是解题关键.
10．设m 是不小于﹣1的实数，关于x 的方程x 2+2（m ﹣2）x+m 2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x 1、x 2，
（1）若x 12+x 22=6，求m 值；
（2）令T=12
12
11mx mx x x +--，求T 的取值范围． 【答案】（1）m=517
-；（2）0＜T≤4且T≠2． 【解析】 【分析】
由方程方程由两个不相等的实数根求得﹣1≤m ＜1，根据根与系数的关系可得x 1+x 2=4﹣2m ，x 1•x 2=m 2﹣3m+3；（1）把x 12+x 22=6化为（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=6，代入解方程求得m 的值，根据﹣1≤m ＜1对方程的解进行取舍；（2）把T 化简为2﹣2m ，结合﹣1≤m ＜1且m≠0即可求T 得取值范围. 【详解】
∵方程由两个不相等的实数根， 所以△=[2（m ﹣2）]2﹣4（m 2﹣3m+3） =﹣4m+4＞0，
所以m ＜1，又∵m 是不小于﹣1的实数， ∴﹣1≤m ＜1
∴x 1+x 2=﹣2（m ﹣2）=4﹣2m ，x 1•x 2=m 2﹣3m+3； （1）∵x 12+x 22=6， ∴（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=6，
即（4﹣2m ）2﹣2（m 2﹣3m+3）=6 整理，得m 2﹣5m+2=0 解得m=；
∵﹣1≤m ＜1 所以m=． （2）T=
+
=
=
=
=
=2﹣2m ．
∵﹣1≤m＜1且m≠0
所以0＜2﹣2m≤4且m≠0
即0＜T≤4且T≠2．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系、根的判别式，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
11．关于x的一元二次方程．
（1）.求证：方程总有两个实数根；
（2）.若方程的两个实数根都是正整数，求m的最小值．
【答案】（1）证明见解析；（2）-1.
【解析】
【分析】
（1）根据一元二次方程根的个数情况与根的判别式关系可以证出方程总有两个实数根. (2)根据题意利用十字相乘法解方程，求得，再根据题意两个根都是正整数，从而可以确定的取值范围，即求出吗的最小值.
【详解】
(1)证明：依题意，得
．
，
∴．
∴方程总有两个实数根．
由．
可化为：
得，
∵方程的两个实数根都是正整数，
∴．
∴．
∴的最小值为．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根的判别式与根的个数关系和利用十字相乘法解含参数的方程，熟知根的判别式大于零方程有两个不相等的实数根，判别式等于零有两个相等的实数根或只有一个实数根，判别式小于零无根和十字相乘法的法则是解题关键.
12．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0…①
（1）若x＝﹣1是方程①的一个根，求m的值和方程①的另一根；
（2）对于任意实数m，判断方程①的根的情况，并说明理由．
【答案】（1）方程的另一根为x=2；(2)方程总有两个不等的实数根，理由见解析.
【解析】
试题分析：（1）直接把x=-1代入方程即可求得m的值，然后解方程即可求得方程的另一个根；
（2）利用一元二次方程根的情况可以转化为判别式△与0的关系进行判断．
(1)把x=-1代入得1+m-2=0，解得m=1
∴2--2=0．
∴
∴另一根是2；
(2)∵，
∴方程①有两个不相等的实数根．
考点：本题考查的是根的判别式，一元二次方程的解的定义，解一元二次方程
点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根
13．阅读下面的材料，回答问题：
解方程x4﹣5x2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4＝0 ①，解得y1＝1，y2＝4．
当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；
当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2；
∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到的目的，体现了数学的转化思想．
（2）解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12＝0．
【答案】（1）换元，降次；（2）x1=﹣3，x2=2．
【解析】
【详解】
解：（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想;
（2）设x2+x=y，原方程可化为y2﹣4y﹣12=0，解得y1=6，y2=﹣2．
由x2+x=6，得x1=﹣3，x2=2．
由x2+x=﹣2，得方程x2+x+2=0，b2﹣4ac=1﹣4×2=﹣7＜0，此时方程无实根．所以原方程的解为x1=﹣3，x2=2．
14．如图，一艘轮船以30km/h的速度沿既定航线由南向北航行，途中接到台风警报，某台风中心正以10km/h的速度由东向西移动，距台风中心200km的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC=500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离AB=300km．
（1）如果这艘船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？
（2）如果你认为这艘轮船会进入台风影响区，那么从接到警报开始，经过多长时间它就会
进入台风影响区？
（3）假设轮船航向不变，轮船航行速度不变，求受到台风影响的时间为多少小时？
【答案】（1）如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区．（2）经过15﹣15h 就会进入台风影响区；（3）215小时．
【解析】
【分析】
（1）作出肯定回答：这艘轮船不改变航向，那么它能进入台风影响区．
（2）首先假设轮船能进入台风影响区，进而利用勾股定理得出等式求出即可．
（3）将轮船刚好进入台风影响区和刚好离开台风影响的两个时间节点相减，即能得出受影响的时间长.
【详解】
解：（1）如图易知AB′=300﹣10t，AC′=400﹣30t，
当B′C′=200时，将受到台风影响，
根据勾股定理可得：(300﹣10t)2+(400﹣30t)2=2002，
整理得到：t2﹣30t+210=0，
解得t15
由此可知，如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区．
（2）由（1）可知经过(1515h就会进入台风影响区；
（3）由（1）可知受到台风影响的时间为15151515h．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的应用以及勾股定理等知识，根据题意得出关于x的等式是解题关键．
15．将进货单价为40元的商品按50元售出，能售出500件，如果该商品涨价1元，其销
售量就要减少10件，为了赚取8000元的利润，售价应定为多少元？这时应进货多少件？ 【答案】要赚取8000元的利润，售价应定为60元或80元．售价定为60元时，应进货400件；售价定为80元时，应进货200件． 【解析】 【分析】
设每件商品涨价x 元，能赚得8000元的利润；销售单价为(50)x +元，销售量为
(50010)x -件；每件的利润为根据为（50+x-40）元，根据总利润=销售量×每个利润，可
列方程求解 【详解】
解：设每件商品涨价x 元，则销售单价为(50)x +元，销售量为(50010)x -件． 根据题意，得(50010)[(50)40]8000x x -+-=． 解得110x =，230x =．
经检验，110x =，230x =都符合题意． 当10x =时，5060x +=，50010400x -=； 当30x =时，5080x +=，50010200x -=．
所以，要赚取8000元的利润，售价应定为60元或80元．售价定为60元时，应进货400件；售价定为80元时，应进货200件． 【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，关键看到售价和销售量的关系，然后以利润做为等量关系列方程求解。