高考数学考前20天终极冲刺模拟卷(解析版)(6) 含解析

考前20天终极冲刺高考模拟考试卷（6）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{|21}A y y x ==-，{|(34)(1)0}B x x x =-+>，则()(R A B =⋂ ) A ．[0，4
]3
B ．1[2，4]3
C ．[0，4
)3
D ．1[2，4)3
2．设复数11i
z i
-=
+，那么在复平面内复数31z -对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
3．采购经理指数()PMI ，是通过对企业采购经理的月度调查结果统计汇总、编制而成的指数，它涵盖了企业采购、生产、流通等各个环节包括制造业和非制造业领域，是国际上通用的监测宏观经济走势的先行性指数之一，具有较强的预测、预警作用．如图为国家统计局所做的我国2019年12月及2020年1~12月份的采购经理指数()PMI 的折线图，若PMI 指数为50%，则说明与上月比较无变化，根据此图，下列结论正确的( )
A ．2020年1至12月的PMI 指数的最大值出现在2020年3月份
B ．2020年1至12月的PMI 指数的中位数为51.0%
C ．2020年1至3月的PMI 指数的平均数为49.9%
D ．2020年1月至3月的月PMI 指数相对10月至12月，波动性更大 4．下列对不等关系的判断，正确的是( ) A ．若
11
a b
<，则33a b > B ．若
22||||
a b a b
>，则22a b <
C ．若22lna lnb >，则||||22a b >
D ．若tan tan a b >，则a b >
5．如果等比数列{}n a 的前n 项和12n n S a +=+，则常数(a = ) A ．1-
B ．1
C ．2-
D ．2
6．函数()2cos2f x x x =+的图象在点5(12π，5())12
f π
处的切线方程为( )
A ．5012x y π-+=
B ．5012x y π--=
C ．5012x y π++
= D ．504x y π+-
= 7．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1
sin cos sin cos 3a A C c A A c +=，
32a c =，则锐角B 的值为( )
A ．
12
π
B ．
6
π C ．
4
π D ．
3
π 8．已知22()(12710)()f x x ax a ln x a =---的值域为[0，)+∞，则实数(a = ) A ．4或0
B ．4或3
5
-
C ．0或3
5
-
D ．2或3
5
-
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的四个选项中。

有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分。

9．2020年3月15日，某市物价部门对5家商场的某商品一天的销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x （元)和销售量y （件)之间的一组数据如表所示：
按公式计算，y 与x 的回归直线方程是：ˆˆ3.2y
x a =-+，相关系数||0.986r =，则下列说法正确的有( )
A ．变量x ，y 线性负相关且相关性较强
B ．ˆ40a
= C ．当8.5x =时，y 的估计值为12.8 D ．相应于点(10.5,6)的残差约为0.4
10．设函数()sin(2)3f x x π
=+，则下列结论正确的是( )
A ．()f x 的一个周期为4π-
B ．()y f x =的图象关于直线712
x π
=
对称
C ．函数()f x 向左平移12
π
后所得函数为奇函数
D ．()f x 在区间7(
12π，
13)12
π
上单调递增 11．已知直线:0l kx y +=与圆22:2210M x y x y +--+=，则下列说法中正确的是( ) A ．直线l 与圆M 一定相交 B ．若0k =，则直线l 与圆M 相切
C ．当1k =-时，直线1与圆M 的相交弦最长 D
．圆心M 到直线l 12．若非负实数a ，b ，c 满足1a b c ++=，则下列说法中一定正确的有( ) A ．222a b c ++的最小值为1
3
B ．()a b c +的最大值为
29
C ．ac bc ca ++的最大值为1
3
D ．49
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在122021
1(1)x x
+-
的展开式中，2x 项的系数为 ．
14．已知向量满足||||1a b ==，3
()2
a a
b ⋅+=
，则a <，b >= ．
15．设直三棱柱111ABC A B C -的所有顶点都在一个球面上，且球的体积是，1AB AC AA ==，120BAC ∠=︒，则此直三棱柱的高是 ．
16．双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线l 过1F 与C 的左支
和右支分别交于A ，B 两点，若x 轴上存在点Q 满足23QB F A =，22QBF ABF ∠=∠，则C 的渐近线方程为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知数列{}n a 是等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，35a =，749S =． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）数列{}n b 满足1(1)n n b a +-，求数列{}n b 的前2n 项和2n T ．
18．在ABC ∆中，已知2sin sin()sin 6B C A π
+=．
（1）求角B 的大小；
（2）若4AB =，ABC ∆的面积为3，求sin 2A 的值．
19．如图，ABCD 为矩形，点A 、E 、B 、F 共面，且ABE ∆和ABF ∆均为等腰直角三角形，且90BAE AFB ∠=∠=︒．
（Ⅰ）若平面ABCD ⊥平面AEBF ，证明平面BCF ⊥平面ADF ；
（Ⅱ）问在线段EC 上是否存在一点G ，使得//BG 平面CDF ，若存在，求出此时三棱锥G ABE -与三棱锥G ADF -的体积之比．
20．针对国内天然气供应紧张问题，某市打响了节约能源的攻坚战．某研究人员为了了解天然气的需求状况，对该地区某些年份天然气需求量进行了统计，数据资料见表1: 表1:
年份 2015 2016 2017 2018 2019 年份代码x 1 2 3 4 5 天然气需求量/y 亿立方
米
24
25
26
28
29
（Ⅰ）已知这5年的年度天然气需求量y 与x 之间的关系可用线性回归模型拟合，求y 与x 的线性回归方程，并预测2021年该地区的天然气需求量；
（Ⅱ）政府部门为节约能源出台了《购置新能源汽车补贴方案》，根据续航里程的不同，将补贴金额划分为三类，A 类：每车补贴1万元；B 类：每车补贴2万元；C 类：每车补贴3万元．某出租车公司对该公司120辆新能源汽车的补贴情况进行了统计，结果如表2: 表2:
为了制定更合理的补贴方案，政府部门决定用分层抽样的方式了解出租车公司新能源汽车的补贴情况，在该出租公司的120辆车中抽取6辆车作为样本，再从6辆车中抽取2辆车进一步跟踪调查．若抽取的两辆车享受的补贴金额之和记为ξ，求ξ的分布列及期望．
参考公式：1
1
2
2
2
1
1
()()
ˆ()n
n
i
i i i
i i n
n
i
i
i i x
x y y x y
nxy
b
x
x x
nx ====---==
--∑∑∑∑，ˆˆa
y bx =-．
21．已知函数1
()a f x x alnx x
+=+
-，a R ∈． （1）求()f x 的单调性；
（2）若0a >，且()f x 的最小值小于423ln -，求a 的取值范围．
22．已知点M 是抛物线2
11:4
C y x =的准线上的任意一点，过点M 作1C 的两条切线MP ，MQ ，其中P ，Q 为切点．
（1）证明：直线PQ 过定点，并求出定点坐标；
（2）若直线PQ 交椭圆22
2:145
x y C +=于A ，B 两点，求||||PQ AB 的最小值．
22．已知函数()(,)b
f x lnx a a R b R x
=+
-∈∈有最小值M ，且0M ． （Ⅰ）求11a e b --+的最大值；
（Ⅱ）当11a e b --+取得最大值时，设F （b ）1
()a m m R b
-=-∈，()F x 有两个零点为1x ，212()x x x <，证明：2312x x e ⋅>．
考前20天终极冲刺高考模拟考试卷（6）答案
1．解：
4{|0},{|1}3
A y y
B x x x
==-或， ∴
4
{|1}3
R B x x
=-，4
()[0,]3
R A B =．
故选：A ．
2．解：复数21(1)21(1)(1)2
i i i
z i i i i ---=
===-++-， 那么在复平面内复数3113z i -=--对应的点(1,3)--位于第三象限， 故选：C ．
3．解：根据折线图可得，2020年1~12月的PMI 指数的最大值出现在2020年11月，故A 错误；
根据中位数的定义，将2020年1~12月的PMI 指数按从小到大的顺序排列后，可知排在第五和第六位的两个数据的平均数即为中位数，即可得中位数为50.951.0
50.95%2
+=，故B 错误；
根据平均数的定义，可求得2020年1~3月的PMI 指数的平均数为50.035.752.0
45.9%3
++=，故C 错误；
根据图中折线可得，2020年1月至3月的PMI 指数相对10月至12月，波动性更大，故D 正确． 故选：D ． 4．解：
11
a b
<时，得不出33a b >，比如1a =-，1b =，A ∴错误； 22
||||
a b a b
>得出11||||a b >，0||||a b ∴<<，得不出22a b <，比如，3a =-，4b =-，B ∴错误； 由22lna lnb >得，||||0a b >>，||||22a b ∴>，C ∴正确； tan tan a b >得不出a b >，比如,3
6
a b π
π
π=
=+
，D ∴错误．
故选：C ．
5．解：等比数列{}n a 的前n 项和12n n S a +=+，
∴21124a S a a ==+=+，
32221224a S S a a =-=+--=， 43332228a S S a a =-=+--=， 1a ，2a ，3a 成等比数列，
24(4)8a ∴=+⨯， 解得常数2a =-． 故选：C ．
6．解：()2cos2f x x x =+的导数为()22sin 2f x x '=-， 可得图象在点5(12π，5())12f π处的切线的斜率为522sin
16
π
-=，
切点为5(
12π，56π，
则切线的方程为55(612
y x ππ
--=-
，
即为5012x y π-+
=． 故选：A ．
7．解：因为1
sin cos sin cos 3
a A C c A A c +=，
所以3sin cos 3sin cos a A C c A A c +=， 又32a c =，可得3sin 2sin A C =，
所以2sin cos 3sin cos c A C c A A c +=，即2sin cos 3sin cos 1A C A A +=， 可得2sin cos 2sin cos 2sin()2sin 1A C C A A C B +=+==，可得1sin 2
B =， 因为B 为锐角， 所以6
B π
=
．
故选：B ． 8．解：
22()(12710)()(32)(45)()f x x ax a ln x a x a x a ln x a =---=+⋅-⋅-，
由()0f x =，可得23a x =-
，或54
a x =，或1x a =+， 它的定义域为(,)a +∞，值域为[0，)+∞，
若0a =，则2()12f x x lnx =⋅，则函数的值域为(,)-∞+∞，不满足条件．
若0a >，则根据函数的定义域为(,)a +∞，此时，函数()f x 的零点为5
4
x a =，1x a =+，
故
514
a
a =+，求得4a =； 若0a <，则函数的定义域为(,)a +∞，此时函数()f x 的零点为23
a
x =-，1x a =+， 故213
a
a -
=+，35a ∴=-．
综上3
5
a =-，或4a =，
故选：B ．
9．解：对A ，由表可知y 随x 增大而减少，可认为变量x ，y 线性负相关，且相关性强，
故A 正确．
对B ，价格平均10，销售量8．故回归直线恒过定点(10,8)，故ˆ8 3.21040a
=+⨯=，故B 正确．
对C ，当8.5x =时， 3.28.54012.8y =-⨯+=，故C 正确．
对D ，相应于点(10.5,6)的残差约为ˆ6(3.210.540)0.4e
=--⨯+=-，故D 不正确． 故选：ABC ．
10．解：函数()sin(2)3
f x x π
=+，
对于A ：函数的最小正周期为π，所以4π-也为函数的周期，故A 正确； 对于B ：当712x π=
时，73()sin
1122
f ππ
==-，故B 正确； 对于C ：函数()f x 的图象向左平移12π，得到()sin(2)cos22
g x x x π
=+=的图象，故函数()
g x 为偶函数，故C 错误； 对于D ：当7(12x π∈，
13)12π时，352(,)322
x πππ
+∈，故函数在该区间上单调递增，故D 正确． 故选：ABD ．
11．解：由222210x y x y +--+=，得22(1)(1)1x y -+-=， 直线:0l kx y +=过原点O ，且不与y 轴重合，
∴当0k >时，直线l 与圆M 相离，故A 错误；
若0k =，则直线l 与圆M 相切，故B 正确；
当1k =-时，直线1过圆心M ，直线l 与圆M 的相交弦最长，故C 正确； 当1k =时，圆心M 到直线l 的距离取最大值为2，故D 正确． 故选：BCD ．
12．解：因为222a b c ab ac bc ++++，当且仅当a b c ==时取等号， 所以222222222a b c ab ac bc ++++，
所以2222333()1a b c a b c ++++=， 故222a b c ++的最小值1
3
，A
正确；
因为211()(1)()24c c a b c c c -++=-==，当且仅当1c c -=，即1
2
c =时取等号， 即()a b c +的最大值
1
4
，B 正确； 同A ，21()333a b c ac bc ca =++++， 所以1
3
ab ac bc
++，当且仅当a b b ==时取等号，C 正确； b x =c y =， 所
以
23
2
2
2
3
3
3(1)(1)()44
x x a b b c b c b b c x y x y x x xy x y x x x x =----+=-+--+⋅=-
，
令3
3()4x f x x =-，01x ，
则2
9()14
x f x '=-，
易得，当2
03
x <时，()0f x '>，函数单调递增，当213x 时，()0f x '<，函数单调递减， 故24
()()39
f x f =，D 正确．
故选：ACD ． 13．解：在1220211
(1)x x
+-
的表示12个因式2021
1(1)x x +-的乘积，
故有2个因式取x ，其余的10个因式都取1，可得展开式中，含2x 项，
故含2x 项的系数为21012
1066C C ⋅=， 故答案为：66．
14．解：||||1a b ==，且3
()2
a a
b ⋅+=
， ∴232a a b +⋅=
，即31122
a b ⋅=-=， 则1
12cos ,112
||||a b a b a b ⋅<>===⨯，
又a <，[0b >∈，]π，a ∴<，3
b π
>=
．
故答案为：
3
π． 15．解：设12AB AC AA m ===．120BAC ∠=︒，30ACB ∴∠=︒， 于是
22(sin30m
r r =︒
是ABC ∆外接圆的半径），2r m =． 又球心到平面ABC 的距离等于侧棱长1AA 的一半，
∴球的半径为22(2)5m m m +=． ∴球的表面积为344010(5)33
m π
π⨯=
， 解得2m =．
于是直三棱柱的高是1222AA m ==． 故答案为：22．
16．解：如图所示，由题意可得12||2F F c =， 因为21
3
F A QB =，所以△12F AF ∽△1F BQ ，
所以2||4F Q c =，设2||AF m =，则||3BQ m =， 由角平分线的性质定理可得，因为2BF 平分1F BQ ∠， 所以
1122||||21
||||42
BF F F c BQ F Q c ===， 所以13||2m BF =
，111||||32m AF BF ==，12
||||3
AB BF m ==， 由双曲线的定义可得21||||2AF AF a -=，所以22
m
m a -=，即4m a =，①， 12||||2BF BF a -=，所以23||22
m
BF a m =
-=， 所以22||||||BF AB AF m ===，即2ABF ∆是等边三角形，
所以2260F BQ ABF ∠=∠=︒，
在△2F BQ 中，2222222222||||||9161
cos 2||||232BF BQ F Q m m c F BQ BF BQ m m +-+-∠=
==⋅⋅， 化简可得22716m c =，②
由①②可得227c a =，所以222
22
6b c a a a -=
=， 所以双曲线的渐近线方程为6y x =±． 故答案为：6y x =±．
17．解：（1）因为74749S a ==，所以47a =， 而35a =，
设数列{}n a 的公差为d ， 则432d a a =-=，11a =， 所以12(1)21n a n n =+-=-； （2）由2
1(121)2
n S n n n =+-=，
由11(1)n n n n b S S a ++-，
可得(1)(21)11
(1)()(1)1
n n n n b n n n n -+=
=-+++， 211111111211223342212121
n n T n n n n =--
++--+⋯⋯++=-=-+++． 18．解：（1）在ABC ∆中，2sin sin()sin 6B C A π
+=，
3sin sin cos sin()B C B C B C +=+．
3sin sin sin cos sin cos cos sin B C B C B C B C +=+，
所以3sin sin cos sin B C B C =． 又sin 0C ≠，所以3tan 3
B =， 又0B π<<，所以6
B π
=
．
（2）设BC t =．由题意及（1）得，14sin 326
ABC S t π
∆=⨯=，
解得3t =，即3BC =． 在ABC ∆中，由余弦定理，
得22222
2cos 4(3)243cos
76
AC AB BC AB BC B π
=+-⋅⋅⋅=+-⨯⨯=
所以7AC =． 由正弦定理，得
sin sin AC BC
B A
=， 所以3121
sin sin 6214
7BC A AC π=
⋅=⨯=． 因为73AC BC =>=， 所以B A ∠>∠，所以06
A π
<∠<
．
所以222157
cos 1sin 1(
)1414
A A =-=-=
， 所以215753
sin 22sin cos 2141414
s A A A ==⨯⨯=
． 19．解
：
（
1）
证明：ABCD 为矩形，BC AB ∴⊥，
又平面ABCD ⊥平面AEBF ，BC ⊂平面ABCD ，平面ABCD ⋂平面AEBF AB =， BC ∴⊥平面AEBF ，
又AF ⊂平面AEBF ，BC AF ∴⊥．
90AFB ∠=︒，即AF BF ⊥，且BC 、BF ⊂平面BCF ，BC
BF B =，
AF ∴⊥平面BCF ．
又
AF ⊂平面ADF ，∴平面ADF ⊥平面BCF ．
（2）解：
//BC AD ，AD ⊂平面ADF ，//BC ∴平面ADF ．
ABE ∆和ABF ∆均为等腰直角三角形，且90BAE AFB ∠=∠=︒，
45FAB ABE ∴∠=∠=︒，//AF BE ∴，又AF ⊂平面ADF ，//BE ∴平面ADF ， BC
BE B =，∴平面//BCE 平面ADF ．
延长EB 到点H ，使得BH AF =，又//BC AD =，连CH 、HF ， 由题意能证明ABHF 是平行四边形，
////HF AB CD =
=
∴，HFDC ∴是平行四边形，//CH DF ∴．
过点B 作CH 的平行线，交EC 于点G ，即////BG CH DF ，(DF ⊂平面)CDF //BG ∴平面CDF ，即此点G 为所求的G 点．
又22BE AF BH ===，2
3
EG EC ∴=
，又2ABE ABF S S ∆∆=， 24444
33333G ABE C ABE C ABE D ABF B ADF G ADF V V V V V V ------=====，
故
4
3
G ABE G ADF V V --=． 20．解：（Ⅰ）由题意可知1234535x ++++==，2425262829
26.45
y ++++==，
∴22222
1242253264285295326.4
ˆ 1.31234553b
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯==++++-⨯，
∴ˆ26.4 1.3322.5a =-⨯=，
∴ˆˆ1.322.5y
x =+，所以当7x =时，ˆ31.6y =， 2021∴年该地区的天然气需求量大约为31.6亿立方米．
（Ⅱ）由题意可知抽样比为61
12020
=， 所以A 类车抽取120120⨯
=辆，B 类车抽取140220⨯=辆，C 类车抽取160320
⨯=辆， 故ξ的可能取值为3，4，5，6，
1
2262
(3)15
C P C ξ===；
12322
64
(4)15
C C P C ξ+===； 11232662
(5)155
C C P C ξ====；
232631
(6)155
C P C ξ====；
所以ξ的分布列为：
242114()34561515553
E ξ∴=⨯
+⨯+⨯+⨯=． 21．解：（1）2222
1(1)(1)[(1)]
()1a a x ax a x x a f x x x x x
+--++-+'=--==，(0)x >， ①当1a -时，()0f x '恒成立，()f x ∴在(0,)+∞上单调递增，
②当1a >-时，令()0f x '<，则01x a <<+，令()0f x '>，则1x a >+， ()f x ∴在(0,1)a +上单调递减，在(1,)a ++∞上单调递增，
综上：当1a -时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，
当1a >-时，()f x 在(0,1)a +上单调递减，在(1,)a ++∞上单调递增，
（2）由（1）知()(1)11(1)min f x f a a aln a =+=++-+，则(1)223a aln a ln -+<-， 令()(1)g x x xln x =-+，则1
()1(1)(1)11
x g x ln x ln x x x '=-+-
=-++++， 令1
()(1)1
h x ln x x =-+++，2
11()01(1)h x x x '=--<++， ()h x ∴在(1,)-+∞上单调递减，又(0)10h =>，h （1）1
202
ln =
-<， ∴存在0(0,1)x ∈，使得0()0h x =，
即0()0g x '=，()g x 在0(0,)x 上单调递增，在0(x ，)+∞上单调递减， 又(0)0223g ln =>-，g （2）223ln =-， g ∴（a ）2232ln a <-⇔>． a ∴的取值范围为(2,)+∞．
22．解：（1）证明：根据题意，设(,1)M t -，1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，
由214y x =
，求导得1
2
y x '=， 所以切线MP 的方程为111()2x y y x x -=
-，又2111
4
y x =， 所以MP 的方程可化为112()x x y y =+， 同理，切线MQ 的方程为222()x x y y =+，
因为上述两条直线都过点M ，把M 的坐标代入两方程，得11220tx y -+=和22220tx y -+=，
这两个方程说明点P ，Q 都在直线220tx y -+=上， 而此直线过定点(0,1)， 所以直线PQ 过定点(0,1)．
（2）设直线PQ 的方程为1(y kx k =+总存在），3(A x ，3)y ，4(B x ，4)y ， 联立方程组，2141
y x
y kx ⎧
=⎪⎨⎪=+⎩， 消去y ，得2440x kx --=， △2116(1)0k =+>，
所以124x x k +=，124x x =-，
所以212|||4(1)PQ x x k =-=+， 联立22
145
1x y y kx ⎧+
=⎪⎨⎪=+⎩
， 消去y ，得22(54)8160k x kx ++-=， △22645(1)0k =⨯+>， 所以342854k x x k -+=
+，34
2
16
54x x k -=+，
所以34|||AB x x =-=
所以
2||5
||2
PO AB =，
所以
||||PO AB
22．解：（Ⅰ）有题意221()(0)b x b
f x x x x x
-'=
-=>， 当0b 时，()0f x '，()f x 在(0,)+∞上单增，此时显然不成立， 当0b >时，令()0f x '=，得x b =，
此时()f x 在(0,)b 上单减，在(,)b +∞上单增，
M f ∴=（b ）10lnb a =+-，即1lnb a -，所以1a b e -，10a e b --．
所以11a e b --+的最大值为1．
（Ⅱ）证明：当11a e b --+取得最大值时，1a lnb -=，1()a lnb
F b m m b b
-=-=-， ()F x 的两个零点为1x ，2x ，则
1212
0;0lnx lnx
m m x x -=-=，即11lnx mx =，22lnx mx =， 不等式2312x x e ⋅>恒成立等价于12121222(2)3lnx lnx mx mx m x x +=+=+>， 两式相减得1
1
212212
()x ln
x x ln m x x m x x x =-⇒=-， 带入上式得1121122
12
112212
2
3(1)
3()(2)322x x
ln
x x x x x x x ln x x x x x x x --+⋅>⇔<=-++， 令
12(01)x t t x =<<，则3(1)(),(01)2
t g t lnt t t -=-<<+，2(1)(4)()0(2)t t g t t t --'=>+， 所以函数()g t 在(0,1)上单调递增，()g t g ∴<（1）0=，得证．。