高一年级下学期第一次月考数学试卷
陕西省西安高新第一中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题
陕西省西安高新第一中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}1N|24x A x -=∈<，集合{}3|log (1)1B x x =+<，则A B =I （ ）A ．(3),-∞B ．(1,3)-C ．{0,1}D ．{0,1,2}2．如图，在△OAB 中，点P 在边AB 上，且32AP PB =．则OP =u u u r （ ）A ．3255OA OB +u u u r u u u r B ．2355OA OB +u u u r u u u rC ．3255OA OB -u u u r u u u rD ．2355OA OB -u u ur u u u r3．已知向量,a b r r 为非零向量，向量,a b rr 之间夹角为,:p θθ为钝角，:0q a b ⋅<r r ，则p 是q 的（ ）条件.A ．充要B ．必要不充分C ．充分不必要D ．既非充分也非必要4．如图，测量河对岸的塔高AB 时可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得∠BCD =15°，∠BDC =30°，CD =30m ，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB 等于（ ）A ．B ．C ．D ．5．函数2()1cos 1e xf x x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭的部分图象为（ ） A ． B ．C ．D ．6．已知()f x 为R 上偶函数，且对1212,[0,),x x x x ∀∈+∞≠时，都有()()12120f x f x x x -<-成立，若()1.1,(sin1),2a fb fc f -⎛=== ⎝则（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．c a b << D ．b<c<a7．在锐角ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，且1b =，cos cos A a B a -=，则（ ） A ．ππ64A <<B ．ππ63A << C ．ππ43A << D ．ππ42A << 8．已知ABC V 中，,,ABC 所对的边为,,,a b c 若,,O P H 为ABC V 所在平面内点，则下列说法正确的个数为（ ）①若1()3PO PA PB PC =++u u u r u u u r u u u r u u u r，则O 为三角形ABC 的重心；②若222222HA BC HB CA HC AB +=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则点H 是ABC V 的垂心；③若O 是ABC V 的外心，则sin2sin2sin20A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r r；④若O 是ABC V 的内心，则0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r r.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、多选题9．已知平面向量()2,1a =-r，(2,)b t =r ，则下列说法错误的是（ ）A ．若6t =，则向量a r 与b r的夹角为锐角B ．若a b r r=，则1t =C ．a r方向上的单位向量为⎝⎭D ．若3t =，则向量a r 在b r上的投影为10．已知函数()sin (0)f x x x ωωω=>的最小正周期为π，则下列各选项正确的是（ ）A ．2ω=B ．将()f x 图象上所有的点向右平移π6个单位长度，可得到2sin 2y x =的图象C ．()f x 在π5π,612⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．直线π6x =是图象的一条对称轴11．在ABC V 中，,,a b c 分别为,,A B C 的对边，则下列叙述正确的是（ ）A ．若cos cos b C cB b +=，则ABC V 是等腰三角形. B ．若A B >，则cos2cos2A B <.C ．若2,3,30a b A ︒==∠=，则解此三角形的结果有一解.D ．若角C 为钝角，则333a b c +<. 12．下列说法正确的是（ ）A ．若12x <，则1221x x +-的最大值是1- B ．若,,x y z 都是正数，且2x y z ++=，则411x y z+++的最小值是3 C ．若0,0,228x y x xy y >>++=，则2x y +的最小值是3 D ．若实数,x y 满足22228x xy y ++=，则2x y +的最大值是4三、填空题13．已知平面向量,a b r r 满足||1a =r ，||2,b a =r r与b r 的夹角为60︒，则|2|a b +r r 的值.14．ABC V 的内角,,A B C 所对应边为,,a b c ，若π2,4a A ==，则sin sin +=+b cB C . 15．若ABC V为边长为P 满足2CP =u u u r ，则AP BP ⋅u u u r u u u r 的取值范围为. 16．已知函数241,1()log 3,1xx f x x x ⎧-⎪=⎨+>⎪⎩…集合21()2()02M x f x t f x t ⎧⎫⎛⎫=-++=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭∣，若集合M中有3个元素，则实数t 的取值范围为．四、解答题17．已知向量()2,1a =r ，()1,3b =-r.(1)当实数k 为何值时，()()ka b a b -⊥+r r r r？(2)若2AB a b =-u u u r r r，BC a mb =+u u u r r r ，且A 、B 、C 三点共线，求实数m 的值.18．（1）已知函数()log (2)4,(0a f x x a =-->且1),()a f x ≠图像过定点M ，若角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，角α终边经过点M ，求3sin(π)cos π2cos(2π)sin()αααα⎛⎫++- ⎪⎝⎭-+-的值.（2）已知()3sin 30,901805αα︒︒︒+=<<，求cos α的值.19．如图所示，在平面四边形ABCD中，1,2,AD CD AC ===(1)求cos CAD ∠的值.(2)若B为锐角，2,sin BC BAC =∠=B . 20．已知函数()πsin )(0,0,||)2(f x A x B A ωϕωϕ=++>><的部分图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式及其单调递增区间； (2)将函数()y f x =的图象上所有的点向右平移π12个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象.若方程()0g x m -=在7π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有三个不相等的实数根()123123,,x x x x x x <<，求()123tan 2x x x ++的值.21．在锐角ABC V 中，内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且满足cos cos cos c a bC A B+=+ (1)求角C 的大小；(2)若c A 与角B 的内角平分线相交于点D ，求ABD △面积的取值范围. 22．如图，在边长为1的正三角形ABC 中，O 为中心，过点O 的直线交边AB 与点M ，交边AC 于点N ．(1)用AB u u u r ，AC u u ur 表示AO u u u r ；(2)若34AM =，求AN 的值； (3)求22OM ON +的最大值与最小值．。
高一年级第一次月考数学试卷
高一年级第一次月考数学试卷一、选择题（每题5分，共60分）1. 设集合A = {xx^2 - 3x + 2 = 0}，则集合A中的元素为（）A. 1，2B. -1，-2C. 1，-2D. -1，22. 已知函数y = f(x)的定义域为(0, +∞)，则函数y = f(x + 1)的定义域为（）A. (-1, +∞)B. (0, +∞)C. (1, +∞)D. (0,1)3. 下列函数中，在区间(0,+∞)上为增函数的是（）A. y=(1)/(x)B. y = -x + 1C. y=log_2xD. y = ((1)/(2))^x4. 若a = log_32，b=log_52，c = log_23，则（）A. a>b>cB. b>a>cC. c>a>bD. c>b>a5. 函数y = √(x^2)-1的定义域为（）A. [1, +∞)B. (-∞,-1]∪[1,+∞)C. [-1,1]D. (-∞,-1)6. 已知函数f(x)=2x + 1，g(x)=x^2，则f(g(2))的值为（）A. 9B. 7C. 17D. 257. 设a = 2^0.3，b = 0.3^2，c=log_20.3，则a，b，c的大小关系是（）A. a < b < cB. c < b < aC. c < a < bD. b < c < a8. 函数y = 3^x与y=log_3x的图象关于（）对称。
A. x轴B. y轴C. 直线y = xD. 原点。
9. 若函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x^2+1，则f(-1)等于（）A. -2B. 2C. -1D. 010. 已知f(x)=x + 1,x≤slant0 x^2,x > 0，则f(f(-1))的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 411. 函数y = (1)/(x - 1)在区间[2,3]上的最大值为（）A. 1B. (1)/(2)C. (1)/(3)D. (1)/(4)12. 若f(x)是偶函数，且在(0,+∞)上是减函数，f(3)=0，则不等式xf(x)>0的解集为（）A. (-∞,-3)∪(0,3)B. (-3,0)∪(3,+∞)C. (-∞,-3)∪(-3,0)D. (0,3)∪(3,+∞)二、填空题（每题5分，共20分）13. 计算log_327=_ 。
高一数学下学期第一次月考试卷(含解析)-人教版高一全册数学试题
2015-2016学年某某鄂尔多斯市准格尔旗世纪中学高一（下）第一次月考数学试卷一．选择题（每题5分，共60分）1．tan 300°+sin 450°的值为（）A．1+B．1﹣C．﹣1﹣ D．﹣1+2．以下命题正确的是（）A．小于90°的角是锐角B．A={α|α=k•180°，k∈Z}，B={β|β=k•90°，k∈Z}，则A⊆BC．﹣950°12′是第三象限角D．α，β终边相同，则α=β3．在空间直角坐标系中的点P（a，b，c），有下列叙述：①点P（a，b，c）关于横轴（x轴）的对称点是P1（a，﹣b，c）；②点P（a，b，c）关于yOz坐标平面的对称点为P2（a，﹣b，﹣c）；③点P（a，b，c）关于纵轴（y轴）的对称点是P3（a，﹣b，c）；④点P（a，b，c）关于坐标原点的对称点为P4（﹣a，﹣b，﹣c）．其中正确叙述的个数为（）A．3 B．2 C．1 D．04．已知α是第二象限的角，其终边上一点为P（a，），且cosα=a，则sinα的值等于（）A．B．C．D．5．函数y=2sin（﹣2x）（x∈[0，π]）为增函数的区间是（）A．[0，] B．[] C．[，] D．[，π]6．已知，且，则tanφ=（）A．B．C．﹣D．7．已知点A（1，2，﹣1），点C与点A关于平面xOy对称，点B与点A关于x轴对称，则线段BC的长为（）A．2 B．4 C．2 D．28．直线y=a（a为常数）与y=tanωx（ω＞0）的相邻两支的交点距离为（）A．πB．C． D．与a有关的值9．函数的图象（）A．关于原点成中心对称B．关于y轴成轴对称C．关于成中心对称D．关于直线成轴对称10．已知θ∈[0，2π），|cosθ|＜|sinθ|，且sinθ＜tanθ，则θ的取值X围是（）A．B．C．D．11．化简cosα+sinα（π＜α＜）得（）A．sinα+cosα﹣2 B．2﹣sinα﹣cosαC．sinα﹣cosα D．cosα﹣sinα12．圆心角为60°的扇形，它的弧长为2π，则它的内切圆的半径为（）A．2 B．C．1 D．二、填空题（每题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13．函数的定义域为．14．函数y=2cos（ωx）的最小正周期是4π，则ω=．15．已知tanα=2，则tan2α的值为．16．已知sin（﹣x）=，则cos（﹣x）=．三．解答题（共70分）17．已知sinα+cosα=，α∈（0，π），求的值．18．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）当，求f（x）的值域．19．sin θ和cos θ为方程2x2﹣mx+1=0的两根，求+．20．已知函数y=2acos（2x﹣）+b的定义域是[0，]，值域是[﹣5，1]，求a、b的值．21．函数f（x）=3sin（2x+）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出f（x）的最小正周期及图中x0，y0的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，﹣]上的最大值和最小值．22．已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；（2）函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x（x∈R）的图象经过怎样的变换得到？2015-2016学年某某鄂尔多斯市准格尔旗世纪中学高一（下）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（每题5分，共60分）1．tan 300°+sin 450°的值为（）A．1+B．1﹣C．﹣1﹣ D．﹣1+【考点】诱导公式的作用．【分析】由诱导公式逐步化简可得原式等于﹣tan60°+sin90°，为可求值的特殊角，进而可得答案．【解答】解：由诱导公式可得：tan 300°+sin 450°=tan（360°﹣60°）+sin（360°+90°）=﹣tan60°+sin90°=﹣+1=1﹣，故选B2．以下命题正确的是（）A．小于90°的角是锐角B．A={α|α=k•180°，k∈Z}，B={β|β=k•90°，k∈Z}，则A⊆BC．﹣950°12′是第三象限角D．α，β终边相同，则α=β【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据角的X围以及终边相同角的关系分别进行判断即可．【解答】解：A．∵0°角满足小于90°，但0°角不是锐角，故A错误，B．当k=2n时，β=k•90°=n•180°，当k=2n+1时，β=k•90°=k•180°+90°，则A⊆B成立，C．﹣950°12′=﹣4×360°+129°48′，∵129°48′是第二象限角，∴﹣950°12′是第二象限角，故C错误，D．α，β终边相同，则α=β+k•360°，k∈Z，故D错误，故选：B3．在空间直角坐标系中的点P（a，b，c），有下列叙述：①点P（a，b，c）关于横轴（x轴）的对称点是P1（a，﹣b，c）；②点P（a，b，c）关于yOz坐标平面的对称点为P2（a，﹣b，﹣c）；③点P（a，b，c）关于纵轴（y轴）的对称点是P3（a，﹣b，c）；④点P（a，b，c）关于坐标原点的对称点为P4（﹣a，﹣b，﹣c）．其中正确叙述的个数为（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据空间点的对称性分别进行判断即可．【解答】解：①点P（a，b，c）关于横轴（x轴），则x不变，其余相反，即对称点是P1（a，﹣b，﹣c）；故①错误，②点P（a，b，c）关于yOz坐标平面的对称，则y，z不变，x相反，即对称点P2（﹣a，b，c）；故②错误③点P（a，b，c）关于纵轴（y轴）的对称，则y不变，x，z相反，即对称点是P3（﹣a，b，﹣c）；故③错误，④点P（a，b，c）关于坐标原点的对称，则x，y，z都为相反数，即对称点为P4（﹣a，﹣b，﹣c）．故④正确，故选：C4．已知α是第二象限的角，其终边上一点为P（a，），且cosα=a，则sinα的值等于（）A．B．C．D．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】根据三角函数的大小建立方程求出a的值即可得到结论．【解答】解：∵α是第二象限的角，其终边上一点为P（a，），且cosα=a，∴a＜0，且cosα=a=，平方得a=﹣，则sinα===，故选：A．5．函数y=2sin（﹣2x）（x∈[0，π]）为增函数的区间是（）A．[0，] B．[] C．[，] D．[，π]【考点】复合三角函数的单调性．【分析】利用正弦函数的单调性，确定单调区间，结合x的X围，可得结论．【解答】解：由正弦函数的单调性可得≤﹣2x≤（k∈Z）∴﹣﹣kπ≤x≤﹣﹣kπk=﹣1，则故选C．6．已知，且，则tanφ=（）A．B．C．﹣D．【考点】同角三角函数间的基本关系．【分析】先由诱导公式化简cos（φ）=﹣sinφ=确定sinφ的值，再根据φ的X 围确定cosφ的值，最终得到答案．【解答】解：由，得，又，∴∴tanφ=﹣故选C．7．已知点A（1，2，﹣1），点C与点A关于平面xOy对称，点B与点A关于x轴对称，则线段BC的长为（）A．2 B．4 C．2 D．2【考点】空间中的点的坐标．【分析】求出对称点的坐标，然后求解距离．【解答】解：点A（1，2，﹣1），点C与点A关于平面xoy对称，可得C（1，2，1），点B与点A关于x轴对称，B（1，﹣2，1），∴|BC|==4故选：B．8．直线y=a（a为常数）与y=tanωx（ω＞0）的相邻两支的交点距离为（）A．πB．C． D．与a有关的值【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】直线y=a与正切曲线y=tanωx两相邻交点间的距离，便是此正切曲线的最小正周期．【解答】解：因为直线y=a（a为常数）与正切曲线y=tanωx相交的相邻两点间的距离就是正切函数的周期，∵y=tanωx的周期是：，∴直线y=a（a为常数）与正切曲线y=tanωx相交的相邻两点间的距离是：．故选：B．9．函数的图象（）A．关于原点成中心对称B．关于y轴成轴对称C．关于成中心对称D．关于直线成轴对称【考点】正弦函数的对称性．【分析】将x=0代入函数得到f（0）=2sin（﹣）=﹣1，从而可判断A、B；将代入函数f（x）中得到f（）=0，即可判断C、D，从而可得到答案．【解答】解：令x=0代入函数得到f（0）=2sin（﹣）=﹣1，故A、B不对；将代入函数f（x）中得到f（）=0，故是函数f（x）的对称中心，故C 对，D不对．故选C．10．已知θ∈[0，2π），|cosθ|＜|sinθ|，且sinθ＜tanθ，则θ的取值X围是（）A．B．C．D．【考点】三角函数的化简求值．【分析】由已知的sinθ＜tanθ，移项并利用同角三角函数间的基本关系变形后得到tanθ（1﹣cosθ）大于0，由余弦函数的值域得到1﹣cosθ大于0，从而得到tanθ大于0，可得出θ为第一或第三象限，若θ为第一象限角，得到sinθ和cosθ都大于0，化简|cosθ|＜|sinθ|，并利用同角三角函数间的基本关系得到tanθ大于1，利用正切函数的图象与性质可得出此时θ的X围；若θ为第三象限角，得到sinθ和cosθ都小于0，化简|cosθ|＜|sinθ|，并利用同角三角函数间的基本关系得到tanθ大于1，利用正切函数的图象与性质可得出此时θ的X围，综上，得到满足题意的θ的X围．【解答】解：∵sinθ＜tanθ，即tanθ﹣sinθ＞0，∴tanθ（1﹣cosθ）＞0，由1﹣cosθ＞0，得到tanθ＞0，当θ属于第一象限时，sinθ＞0，cosθ＞0，∴|cosθ|＜|sinθ|化为cosθ＜sinθ，即tanθ＞1，则θ∈（，）；当θ属于第三象限时，sinθ＜0，cosθ＜0，∴|cosθ|＜|sinθ|化为﹣cosθ＜﹣sinθ，即tanθ＞1，则θ∈（，），综上，θ的取值X围是．故选C11．化简cosα+sinα（π＜α＜）得（）A．sinα+cosα﹣2 B．2﹣sinα﹣cosαC．sinα﹣cosα D．cosα﹣sinα【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用同角三角函数基本关系式、三角函数值在各个象限的符号即可得出．【解答】解：∵π＜α＜，∴==，同理可得=，∴原式=﹣（1﹣sinα）﹣（1﹣cosα）=﹣2+cosα+sinα．故选：A．12．圆心角为60°的扇形，它的弧长为2π，则它的内切圆的半径为（）A．2 B．C．1 D．【考点】圆的标准方程．【分析】设扇形和内切圆的半径分别为R，r．由弧长公式可得2π=R，解得R．再利用3r=R=6即可求得扇形的内切圆的半径．【解答】解：设扇形和内切圆的半径分别为R，r．由2π=R，解得R=6．由题意可得3r=R=6，即r=2．∴扇形的内切圆的半径为2．故选：A．二、填空题（每题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13．函数的定义域为．【考点】正切函数的定义域．【分析】根据正弦函数的定义域，我们构造关于x的不等式，解不等式，求出自变量x的取值X围，即可得到函数的定义域．【解答】解：要使函数的解析式有意义自变量x须满足：≠kπ+，k∈Z解得：故函数的定义域为故答案为14．函数y=2cos（ωx）的最小正周期是4π，则ω=±．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】利用周期公式列出关于ω的方程，求出方程的解即可得到ω的值．【解答】解：∵=4π，∴ω=±．故答案为：±15．已知tanα=2，则tan2α的值为﹣．【考点】二倍角的正切．【分析】由条件利用二倍角的正切公式求得tan2α的值．【解答】解：∵tanα=2，∴tan2α===﹣，故答案为：﹣．16．已知sin（﹣x）=，则cos（﹣x）= ﹣．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】原式中的角度变形后，利用诱导公式化简，将已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：∵sin（﹣x）=，∴cos（﹣x）=cos[+（﹣x）]=﹣sin（﹣x）=﹣．故答案为：﹣三．解答题（共70分）17．已知sinα+cosα=，α∈（0，π），求的值．【考点】三角函数的化简求值．【分析】把已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系变形求出2sinαcosα的值，进而判断出sinα﹣cosα的正负，利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系求出sinα﹣cosα的值，联立求出sinα与cosα的值，即可确定出的值．【解答】解：把sinα+cosα=①，两边平方得：（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=，∴2sinαcosα=﹣，∵α∈（0，π），∴sinα＞0，cosα＜0，即sinα﹣cosα＞0，∴（sinα﹣cosα）2=1﹣2sinαcosα=，即sinα﹣cosα=②，联立①②，解得：sinα=，cosα=﹣，则==﹣．18．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）当，求f（x）的值域．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的定义域和值域．【分析】（1）根据最低点M可求得A；由x轴上相邻的两个交点之间的距离可求得ω；进而把点M代入f（x）即可求得φ，把A，ω，φ代入f（x）即可得到函数的解析式．（2）根据x的X围进而可确定当的X围，根据正弦函数的单调性可求得函数的最大值和最小值．确定函数的值域．【解答】解：（1）由最低点为得A=2．由x轴上相邻的两个交点之间的距离为得=，即T=π，由点在图象上的故∴又，∴（2）∵，∴当=，即时，f（x）取得最大值2；当即时，f（x）取得最小值﹣1，故f（x）的值域为[﹣1，2]19．sin θ和cos θ为方程2x2﹣mx+1=0的两根，求+．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用韦达定理可求得sinθ+cosθ=，sinθ•cosθ=，利用同角三角函数基本关系式即可解得m，将所求的关系式化简为sinθ+cosθ，即可求得答案．【解答】解：∵sinθ和cosθ为方程2x2﹣mx+1=0的两根，∴sinθ+cosθ=，sinθ•cosθ=，∵（sinθ+cosθ）2=sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ=1+2sinθcosθ，∴m2=1+2×，解得：m=±2，∴+=+=sinθ+cosθ=．20．已知函数y=2acos（2x﹣）+b的定义域是[0，]，值域是[﹣5，1]，求a、b的值．【考点】余弦函数的定义域和值域．【分析】由求出的X围，由余弦函数的性质求出cos（2x﹣）的值域，根据解析式对a分类讨论，由原函数的值域分别列出方程组，求出a、b的值．【解答】解：由得，，∴cos（2x﹣），当a＞0时，∵函数的值域是[﹣5，1]，∴，解得，当a＜0时，∵函数的值域是[﹣5，1]，∴，解得，综上可得，或．21．函数f（x）=3sin（2x+）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出f（x）的最小正周期及图中x0，y0的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，﹣]上的最大值和最小值．【考点】三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域．【分析】（Ⅰ）由题目所给的解析式和图象可得所求；（Ⅱ）由x∈[﹣，﹣]可得2x+∈[﹣，0]，由三角函数的性质可得最值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=3sin（2x+），∴f（x）的最小正周期T==π，可知y0为函数的最大值3，x0=；（Ⅱ）∵x∈[﹣，﹣]，∴2x+∈[﹣，0]，∴当2x+=0，即x=时，f（x）取最大值0，当2x+=，即x=﹣时，f（x）取最小值﹣322．已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；（2）函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x（x∈R）的图象经过怎样的变换得到？【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．【分析】（1）由函数的解析式求得周期，由求得x的X围，即可得到函数的单调增区间（2）由条件可得，再根据函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律得出结论．【解答】解：（1）由函数，可得周期等于 T==π．由求得，故函数的递增区间是．（2）由条件可得．故将y=sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，即可得到f（x）的图象．。
2022-2023学年上海市新川中学高一年级下册学期第一次月考数学试题【含答案】
2022-2023学年上海市新川中学高一下学期第一次月考数学试题一、填空题1．的终边经过点,则的正切值为________.α()5,12-α【答案】125-【分析】直接根据正切函数的广义定义带入即可算出.【详解】.1212tan 55y x α-===-故答案为: .125-2．已知是第二象限角，，则________．α1sin 3α=πsin 2α⎛⎫+=⎪⎝⎭【答案】【分析】根据诱导公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.【详解】因为是第二象限角，，α1sin 3α=所以πsin cos 2αα⎛⎫+==== ⎪⎝⎭故答案为：3．已知角终边上一点，则________．α()2,3P -()()πcos sin π23πcos πcot 2αααα⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫++ ⎪⎝⎭【答案】【分析】根据三角函数定义及诱导公式化简即可得解.【详解】由诱导公式知，，()()πcos sin πsin sin 2sin 3πcos (tan )cos πcot 2ααααααααα⎛⎫+- ⎪-⋅⎝⎭===--⋅-⎛⎫++ ⎪⎝⎭因为角终边上一点，α()2,3P -所以sin α所以原式sin α=-=故答案为：4化成的形式___________.cos x x -sin()(0,02)A x A ϕϕπ+>≤<【答案】112sin 6x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再由诱导公式将其转化为cos 2sin(6x x x π-=-的形式即可.sin()(0,02)A x A ϕϕπ+>≤<，1cos cos )2(sin cos cos sin 2sin()2666x x x x x x x πππ-=-=-=-.112sin()2sin[2(2sin()666x x x ππππ-=+-=+故答案为：.112sin()6x π+5．化简________．()()()()sin 70cos 10cos 70sin 170αααα︒+︒+-︒+︒-=【分析】根据诱导公式以及两角和的正弦公式进行化简，即可求得答案.【详解】由题意可得()()()()sin 70cos 10cos 70sin 170αααα︒+︒+-︒+︒-()()()()sin 70cos 10cos 70sin 10αααα=︒+︒+-︒+︒+()()7010]sin 6sin[0αα︒+-︒+=︒==6．若，则_______________．1cos()3αβ-=22(sin sin )(cos cos )αβαβ+++=【答案】83【解析】原式展开，利用、两角差的余弦公式，化简整理，即可得答案.22sin cos 1αα+=【详解】222222(sin sin )(cos cos )sin +sin 2sin sin cos cos 2cos cos αβαβαβαβαβαβ+++=++++=.22sin sin 2cos 282cos()2323cos αβαβαβ++=+-=+=故答案为：83【点睛】本题考查同角三角函数的关系，两角差的余弦公式，考查计算化简的能力，属基础题.7．已知，,则________.2tan()5αβ+=1tan()44πβ-=tan()4πα+=【答案】322【分析】由，再结合两角差的正切公式求解即可.()()44ππααββ+=+--【详解】解：因为，,2tan()5αβ+=1tan()44πβ-=又，()()44ππααββ+=+--所以=，tan()tan()4tan()tan[()()]441tan()tan()4παββππααββπαββ+--+=+--=++-213542122154-=+⨯故答案为.322【点睛】本题考查了两角差的正切公式及考查了角的拼凑，重点考查了观()()44ππααββ+=+--察能力及运算能力，属中档题.8．已知则________．1sin cos 3αα+=2πcos 4α⎛⎫-=⎪⎝⎭【答案】118【分析】由两角差余弦公式可得，结合条件可求.πππcos cos cos sin sin444ααα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭2πcos 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭【详解】因为πππcos cos cos sin sin444ααα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭所以，)πcos cos sin 4ααα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭又，1sin cos 3αα+=所以，2π111cos 42918α⎛⎫-=⨯=⎪⎝⎭故答案为：.1189．中，，，________．ABC 60A ∠=︒75C ∠=︒a =ABC S = 【分析】根据正弦定理可求得c ，再求出B ，根据三角形面积公式即可求得答案.【详解】因为sin 75sin(4530)sin 45cos30cos 45sin 30︒=︒+=︒+︒在中，由正弦定理可得，ABC sin ,sin sin sin a c a C c A C A =∴===因为，，故，60A ∠=︒75C ∠=︒45B ∠=︒所以，11sin 22ABC S ac B ===10．边长为10，14，16的三角形中最大角与最小角的和为________．【答案】##2π3120【分析】利用余弦定理求得最大角与最小角的和的补角即可.【详解】解：设边长为10，14，16分别对应边a ，b ，c ，由余弦定理得：,2222221016141cos 2210162a c b B ac +-+-===⨯⨯因为，()0,B π∈所以，则，3B π=23A C π+=故三角形中最大角与最小角的和为，2π3故答案为：2π311．在中，边，，则角的取值范围是________________.ABC ∆2BC =AB C 【答案】0,3π⎛⎤ ⎝⎦【分析】利用余弦定理构建方程，利用判别式可得不等式，从而可求角的取值范围．C 【详解】由题意，设，由余弦定理得，AC b =2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅即，即，，2344cos b b C =+-24cos 10b b C -+=216cos 40C ∴∆=-≥或，1cos 2C ∴≥1cos 2C ≤-，不可能为钝角，则，AB BC < C ∴1cos 2C ≥又，.0C >03C π∴<≤因此，角的取值范围是.C 0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦故答案为：.0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦【点睛】本题考查余弦定理的运用，考查解不等式，解题的关键是利用余弦定理构建方程，利用判别式得不等式，属于中等题.12．已知，存在实数，使得对任意，总成立，则的最小值是0θ>ϕn N *∈()cos cos8n πθϕ+<θ______．【答案】27π【分析】作出单位圆，根据终边位置可得；结合，即可求得最n θϕ+4πθ>2N πθ*∈()2k N k πθ*=∈小值.【详解】作出单位圆如图所示，由题意知：的终边需落在图中阴影部分区域，n θϕ+，即，()()188n n ππθϕθϕθ⎛⎫∴++-+=>--⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭4πθ>对任意，总成立，，即，n N *∈()cos cos 8n πθϕ+<2N πθ*∴∈()2k N k πθ*=∈又，，.4πθ>1,2,3,4,5,6,7k ∴=min 27πθ∴=故答案为：.27π【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数中的恒成立问题的求解，解题关键是能够根据三角函数定义，结合单位圆，确定角的终边的位置，进而利用位置关系构造不等式求得所求变量所满足的范围.二、单选题13．下列命题中，正确的是（ ）A ．第二象限角大于第一象限角；B ．若是角终边上一点，则()(),20P a a a ≠αsin α=C．若，则、的终边相同；sin sin αβ=αβD ．．tan x =ππ,Z 3x x k k ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭【答案】D【分析】取特例可判断AC ，根据三角函数的定义判断B ，利用周期解出三角方程的解集判断D.【详解】因为象限角不能比较大小，如是第二象限角，是第一象限角，故A 错误；100α=︒400β=︒因为是角终边上一点，所以，()(),20P a a a ≠α|r a==所以B 错误；sin α==当时，满足，但、的终边不相同，故C 错误；π2π,33αβ==sin sin αβ=αβ当上的解为，故在定义域上的解为，tan x =ππ(,)22-π3-ππ,Z 3x x k k ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭故D 正确.故选：D14．化简 ）A ．B ．C ．D ．2sin 22sin 2-2sin 24cos 2-2sin 24cos2-+【答案】C【分析】根据正弦、余弦的二倍角公式即可求解．【详解】又2sin 2cos 22cos 2==-+因为，所以，即原式22ππ<<sin 20,cos 20><2sin 24cos 2=- 故选C【点睛】本题考查正弦、余弦的二倍角公式，属于基础题．15．中，设，则的形状为（ ）ABC 21cos cos cos 2CA B -=ABC A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．等腰三角形D ．钝角三角形【答案】C 【分析】先将降幂扩角,再将利用诱导公式换成,再利用和角公式展开即可2cos 2Ccos C ()cos A B -+得出结论.【详解】由得21cos cos cos 2C A B -=1cos 1cos cos 2CA B +-=整理得,因为,12cos cos cos A B C -=πA B C ++=所以()()cos cos πcos cos cos sin sin C A B A B A B A B=-+=-+=-+⎡⎤⎣⎦所以12cos cos cos cos sin sin A B A B A B -=-+所以()1cos cos sin sin cos A B A B A B =+=-又因为,所以,即.(),0,πA B ∈0A B -=A B =所以为等腰三角形.ABC 故选:C.16．设a ，，，若对任意实数x 都有，则满足条件的有R b ∈[)0,2πc ∈()π2sin 3sin 3x a bx c ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭序实数组的组数为（ ）()a b c ，，A ．1组；B ．2组；C ．4组；D ．无数组．【答案】C【分析】由题意得出，，然后对、的取值进行分类讨论，结合题中等式求出的值，3b =2=a a b c 即可得出正确选项.【详解】由题意知，函数与函数的最大值相等，最小值也相等，2sin 3π3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()sin y a bx c =+则，2=a 函数与函数的最小正周期相等，则，2sin 3π3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()sin y a bx c =+3b =当，时，由于，则，2a =3b =()2sin 32sin 33πx x c ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭()π2πZ 3c k k =-+∈由于，此时，；02πc ≤<5π3c =当，时，，2a =3b =-()()2sin 32sin 32sin 33πx x c x c π⎛⎫-=-+=-+ ⎪⎝⎭则，得，，此时，；()ππ2πZ 3c k k -=-∈()4π2πZ 3c k k =-∈02πc ≤< 4π3c =当，时，，2a =-3b =()()2sin 32sin 32sin 33πx x c x c π⎛⎫-=-+=++ ⎪⎝⎭则，得，，则；()ππ2πZ 3c k k +=-∈()()213c k k Z ππ=--∈02c π≤< 23c π=当，时，，2a =-3b =-()()π2sin 32sin 32sin 33x x c x c ⎛⎫-=--+=- ⎪⎝⎭则，得，，则.()π2πZ 3c k k -=-∈()π2πZ 3c k k =-∈02πc ≤< π3c =因此，满足条件的有序实数组的组数为组.()a b c ，，4故选：C ．三、解答题17．已知，，都是锐角，求的值．cos αsin βαβαβ+【答案】π4αβ+=【分析】利用同角三角函数的基本关系求得，的值，再利用两角和的余弦公式求出sin αcos β的值，可得的值.()cos αβ+αβ+【详解】因为，cos α=sin β=αβ所以sin α==cos β==所以()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-==因，为都是锐角，所以，．所以，αβπ02α<<π02β<<0παβ<+<所以．π4αβ+=18．证明：()sin 211tan 1sin 2cos 212θθθθ+=+++【答案】证明见解析【分析】根据二倍角公式以及同角三角函数之间的基本关系即可得出证明.【详解】证明：由二倍角公式以及可得，22sin 22sin cos cos 2cos sin θθθθθθ==-，22sin cos 1θθ+=222sin 212sin cos sin cos sin 2cos 212sin cos 2cos θθθθθθθθθθ+++=+++()()2sin cos sin cos 2cos sin cos 2cos θθθθθθθθ++==+1sin cos 2cos cos θθθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()1tan 12θ=+得证．19．设点P 是以原点为圆心的单位圆上的一个动点，它从初始位置出发，沿单位圆按顺时()01,0P 针方向转动角后到达点，然后继续沿着单位圆按顺时针方向转动角到达点，若π02αα⎛⎫<< ⎪⎝⎭1P π32P点的纵坐标为，求点的坐标．2P 35-1P【答案】【分析】由三角函数的定义可得，利用两角差的正弦、余弦公式可求得、π3sin 35α⎛⎫--=-⎪⎝⎭sin α的值，即可得出点的坐标.cos α1P 【详解】由三角函数的定义可知，点的纵坐标为，即，2P π3sin 35α⎛⎫--=-⎪⎝⎭π3sin 35α⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭故．因为，则，π3sin 35α⎛⎫+= ⎪⎝⎭π02α<<ππ5π336α<+<若，不符合题意；πππ332α<+<πsin 13α⎛⎫<+< ⎪⎝⎭若，则，符合题意．ππ5π236α≤+<1πsin 123α⎛⎫<+≤⎪⎝⎭故．所以．ππ5π236α≤+<π4cos 35α⎛⎫+==-⎪⎝⎭所以ππ1ππcos cos cos 33233αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．ππ1ππsin sin sin 33233αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦而()cos cos αα-==()sinsin αα-=-=所以点的坐标为．1P 20．在中，角A ，B ，C 对应边为a ，b ，c ，其中．ABC 2b =(1)若，且，求边长c ；120A C +=︒2a c =(2)若，求的面积．15,sin A C a A =︒-=ABC ABC S 【答案】(2)3【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换的知识求得.c （2）利用正弦定理、两角和的正弦公式以及三角形的面积公式求得正确答案.【详解】（1）依题意，，2a c =由正弦定理得，即，sin 2sin A C =()sin 1202sin C C︒-=，1sin 2sin ,tan 2C C C C +==由于，所以，则，0120C ︒<<︒30C =︒90,60A B =︒=︒由正弦定理得.sin ,sin sin sin c b b Cc C B B====（2）依题意，，sin a A =由正弦定理得，sin sin A C A =由于，，所以，15180A ︒<<︒sin 0A>sin C =由于，所以为锐角，所以，150A C -=︒>C 45C =︒则，60,75A B =︒=︒()sin 75sin 4530sin 45cos30cos 45sin 30︒=︒+︒=︒︒+︒︒=由正弦定理得，sin ,sin sin sin c b b Cc C B B====)21==所以.)11sin 221322ABC S bc A ==⨯⨯=△21．在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市（如图）的东偏南O 方向300千米的海面处，并以20千米/时的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭(cos θθ=P的范围为圆形区域，当前半径为60千米，并以10千米/时的速度不断增大，问几个小时后该城市开始受到台风的侵袭？受到台风的侵袭的时间有多少小时？【答案】12小时后该城市开始受到台风侵袭，受到台风的侵袭的时间有12小时.【分析】设经过小时台风中心移动到点时，台风边沿恰好在城，由题意得，t Q O，在中，300,20,r()6010OP PQ t OQ t t ====+cos 45a θθ==-︒4sin 5a θ==POQ ∆由余弦定理得：.2222cos OQ OP PQ OP PQ a =+-⋅【详解】解：设经过小时台风中心移动到点时，台风边沿恰好在城，t Q O 由题意得，300,20,r()6010OP PQ t OQ t t====+cos 45a θθ==-︒4sin 5a θ∴==由余弦定理得：2222cos OQ OP PQ OP PQ a=+-⋅即2224(6010)300(20)230020t 5t t +=+-⨯⨯⨯即2362880t t -+=解得，1212,24t t ==2112t t -=答：12小时后该城市开始受到台风侵袭，受到台风的侵袭的时间有12小时.【点睛】本题主要考查了余弦定理在实际生活中的应用，需熟记定理内容，属于基础题.。
高一年级数学下学期第一次月考
高一年级数学下学期第一次月考数学试题（任意角的三角函数）命题：尤师勋 王照阳本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共150分,考试时间120分钟第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题：（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分. 在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的）1、下列四个角中，①5-、②π37、③π511-④︒1206其中是第一象限角的个数是（ ） A 、1个 B 、 2个 C 、3个 D 、4个2、在︒︒360~0之间与︒-35终边相同的角是（ ）A 、︒325B 、︒-125C 、︒35D 、︒2353、tan600︒的值是（ ）A 、3-B 、3C 、 D4、下列命题中的真命题是（ ）A 、三角形的内角是第一象限角或第二象限角B 、第一象限的角是锐角C ．第二象限的角比第一象限的角大D 、角α是第四象限角的充分条件是παππk k 222<<-)(z k ∈ 5、已知α为第一象限角，则2α的终边所在的象限是（ ） A 、第一或第二象限 B 、第二或第三象限C 、第一或第三象限D 、第二或第四象限6、若角α的终边过点)30cos ,30(sin ︒-︒，则αsin 等于（ ）A 、12B 、-12C 、-2D 、-37、若sin cos αα+=1tan tan αα+的值为（ ） A 、1 B 、2 C 、1- D 、2-8、在ABC ∆中，“30A >︒”是“1sin 2A >”的 ( ) A 、仅充分条件 B 、仅必要条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件9、若sin cos 1(,)2k k Z πθ=-≠∈，则θ所在象限是（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 10、下列说法正确的是（ ）A 、 对任意角α，如果α终边上一点坐标为()y x ,，都有x y =αtan B 、设()y x P ,是角α终边上一点，因为 ry =αsin ，所以αsin 与y 成正比 C 、负角的三角函数值是负的；零的三角函数值是零；正角的三角函数值是正的D 、对任意象限的角α，均有|cot tan ||cot ||tan |αααα+=+成立11、满足)()(),()(x f x f x f x f =--=+π的函数)(x f 可能是（ ）A 、x 2cosB 、x sinC 、2sin x D 、x cos 12、已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（ ）A 、2B 、1sin 2C 、1sin 2D 、2sin第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷中相应的横线上.）13. 函数()x x f cos -=的定义域是14、“等式()βγα2sin sin =+成立”是“γβα,,成等差数列”的________条件15、若20πα<<，则αααt a n s i n 、、按从小到大的顺序排列是_______(用不等式连接)16、已知51cos sin =+θθ， ),0(πθ∈，则θcot 的值为________三、解答题：（本大题共6小题70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17、（本题满分10分）化简ααααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+，其中α为第四象限角.18、（本题满分12分）若点()y P ,3-()0>y 在α的终边上，且y 42sin =α，求ααtan ,cos 的值.19、（本题满分12分）已知53cos -=θ, 求θsin , θtan 的值?20．（本题满分12分）扇形的弧长为320π，面积为10π，求此扇形所在圆的半径.21、（本题满分12分）已知2tan 1tan 1=-+αα，求下列各式的值 （1）ααααcos sin 2cos 2sin -- （2）sin αcos α + 222、（本题满分12分）已知6sin α2+sin αcos α-2cos 2α=0，α⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈ππ,2 , 求αααππαtan )cos()2sin()cot(⋅-+⋅--的值.。
2022-2023学年河南省新乡市原阳县高一年级下册学期第一次月考测试数学试卷【含答案】
高一第一次月考测试卷数学注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知tan 5α=，则2sin 3cos 3sin 2cos αααα+=-（）A ．1713B ．1C ．35D ．7132．若3a = ,4b = |,,a b 的夹角为135︒,则a b ⋅ 等于().A ．32-B ．62-C ．62D ．23．已知平面向量()()sin ,1,cos ,2a b θθ==- ，若//a b r r，则tan θ=（）A ．12-B ．2-C ．2D ．124．已知2b a = ，若a 与b的夹角为120 ，则2a b - 在b 上的投影向量为（）A ．3b- B ．32b- C ．12b- D ．3b5．已知角α的顶点与直角坐标系原点重合,始边与x 轴非负半轴重合,其终边上有一点)()cos ,cos P θθ,且π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,若()0,2π∈α,则α=（）A ．θB ．π2θ+C ．π4D ．5π46．已知π3cos 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 26α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．23-B ．23C ．13-D ．137．在平行四边形ABCD 中，13AE AD = ，13CF CD = ，则BA =（）A ．6955AF CE -B ．2355AF CE -C ．6955AF CE +D ．2355AF CE+8．如图，A ，B 是函数()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭图像上的两个最高点，点C 是()f x 图像上的一个对称中心，若ABC 为直角三角形，则ϕ=（）A ．π3-B ．π4-C ．π3D ．π4二、选择题：本题共有4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错的得0分.9．关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（）A ．若a b b c ⋅=⋅，则a c= B ．()()1,1,2,a b x == ，若a b +与b a - 平行，则2x =C ．非零向量a 和b 满足a b a b ==- ，则a 与a b +的夹角为30︒D ．点()()1,3,4,1A B ==-，与向量AB 同方向的单位向量为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭10．下列各式中，值为12的是（）A ．22cossin 1212ππ-B ．2tan 22.51tan 22.5︒-︒C ．2sin15cos15︒︒D ．1cos32π+11．为了得到函数πsin 43y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数πsin 6y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（）A ．所有点的横坐标缩短到原来的14，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移π8个单位长度B ．所有点的横坐标缩短到原来的14，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移π8个单位长度C ．向右平移π2个单位长度，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的14，纵坐标不变D ．向左平移π2个单位长度，再把得到的图象上所有点的横坐标摍短到原来的14，纵坐标不变12．关于函数π()2sin 214f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，下列叙述正确的是（）A ．其图像关于直线π4x =对称B ．其图像可由π2sin 14y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图像上所有点的横坐标变为原来的12得到C ．其图像关于点3π,08⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．其值域是[]1,3-三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分13．写出使“函数()()cos 2f x x φ=+为奇函数”的ϕ的一个取值______．14．已知平面向量()1,2a =- ，(),3b m =- ，若2a b + 与a共线，则m =______.15．已知向量a ，b满足2a = ，1b = ，3a b += ，则a b -=r r _________.16．一扇中式实木仿古正方形花窗如图1所示，该窗有两个正方形，将这两个正方形（它们有共同的对称中心与对称轴）单独拿出来放置于同一平面，如图2所示.已知6AB =分米，FG =3分米，点P 在正方形ABCD 的四条边上运动，当AE AP ⋅ 取得最大值时，A E 与AP夹角的正切值为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（10分）已知4sin 5θ=，θ为第二象限角．(1)求sin 2θ的值；(2)求πcos 6θ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．18．（12分）已知(1,0),(2,1)a b ==.(1)当k 为何值时，ka b - 与2a b +共线(2)若23,AB a b BC a mb =+=+且A ，B ，C 三点共线，求m 的值.19．（12分）已知函数31()sin cos 2626f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x R ∈.（1）求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）求函数()f x 的最小正周期；（3）当20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域.20．（12分）已知tan α<0，（1）若25sin ,5α=-求2sin()cos(2)3cos()sin()22αππαππαα++---+的值;（2）若21sin sin cos ,5ααα+=-求tan α的值.21．（12分）在ABC 中，点D ，E 分别在边BC 和边AB 上，且2DC BD =，2BE AE =，AD 交CE 于点P ，设BC a = ，BA b =.(1)若EP tEC = ，试用a ，b 和实数t 表示BP ；(2)试用a ，b 表示BP；(3)在边AC 上有点F ，使得5AC AF =，求证：B ，P ，F 三点共线.22．（12分）设向量()2sin ,3cos a x x ωω= ，(cos ,1)b x ω= ，(0)>ω，函数()32f x a b =⋅- ，将函数()f x 的图象向左平移12π个单位长度后得到函数()g x 的图象，已知()g x 的最小正周期为π.（1）求()f x 取得最大值时，x 的取值集合；（2）令函数()()2sin 3h x g x x m =++-，对任意实数2,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，恒有()0h x ≥，求实数m 的取值范围.参考答案：1．B【分析】利用同角三角函数的基本关系式即可求得结果．【详解】2sin 3cos 2tan 325313sin 2cos 3tan 2352αααααα++⨯+===--⨯-，故选：B ．2．B【详解】因为3,4a b == ，,a b 的夹角为135︒，所以2cos13534622a b a b ︒⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭.故选:B.3．A【分析】根据向量共线得2sin cos θθ-=，则1tan 2θ=-.【详解】//a b ，2sin cos θθ∴-=，显然cos 0θ≠，1tan 2θ∴=-，故选：A.4．B【分析】先计算(2)a b b -⋅，再根据投影向量公式即可计算.【详解】2223(2)22cos1202a b b a b b a b b b ︒-⋅=⋅-=⋅⋅-=- 2a b ∴- 在b 上的投影向量为23(2)322b a b b b b bb b b b--⋅⋅=⋅=-故选：B 5．D【分析】根据点()cos ,cos P θθ在角α终边上,利用正弦函数余弦函数的定义,写出其等式,将π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭代入进行化简,即可求得结果.【详解】解:因为π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以cos 0θ<,因为点()cos ,cos P θθ在角α终边上,所以22cos cos 2sin 22cos cos cos ===-+θθαθθθ,22cos cos 2cos 22cos cos cos ===-+θθαθθθ,因为()0,2π∈α,所以5π4α=.故选:D6．D【分析】2ππππsin 2sin 212cos 6626ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，代入数据计算得到答案.【详解】2πππππsin 2sin2cos 212cos 66266αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111233=-⨯=.故选：D7．C【分析】设AB a=，AD b = ，将BA ，AF ，CE 都用a ，b 表示，设BA mAF nCE =+ ，解出m ，n .【详解】设AB a=，AD b = ，因为13AE AD = ，所以23CE CD DE a b =+=-- ，因为13CF CD = ，所以23AF AD DF b a =+=+ ，设BA mAF nCE =+，则22()()33a m b a n a b -=++-- ，213203m n m n ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得65m =，95n =，即6955BA AF CE =+ .故选：C.8．B【分析】由题意得3A =，π2ACB ∠=，设()f x 的最小正周期为T ，分别用T 表示出2AC ，2BC ，2AB ，由勾股定理解出T ，进一步求出ω，又因为点A 在图像上，代入即可求出ϕ.【详解】由题意得3A =，π2ACB ∠=.设()f x 的最小正周期为T ，所以()22234T AC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()222334T BC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，22AB T =，所以222961616T T T =++，即4T =，所以2ππ2T ω==.因为3π33sin 3222f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()3ππ2π42k k ϕ+=+∈Z ，即()π2π4k k ϕ=-+∈Z ，又π2ϕ<，所以π4ϕ=-.故选：B.9．BCD【分析】根据向量的数量积、平行、几何意义、单位向量这些知识对每一个选项进行判断即可.【详解】对于A ，若,a b c b ⊥⊥ 且|||a c ≠ ，可满足条件，但a c ≠，故A 不正确；对于B ，由条件(3,1),(1,1)a b x b a x +=+-=-，若这两向量平行，有3(1)1x x -=+，解得2x =，故B 正确；对于C ，由条件可知，以向量a 和b 为边对应的四边形为一个角是60︒的菱形，则a 与a b + 的夹角为30︒，故C 正确；对于D ，可得(3,4)AB =- ，因此与AB同方向的单位向量为22(3,4)34(,)55||(3)(4)AB AB -==-+-，故D 正确.故选：BCD.10．BC【分析】根据正弦函数、余弦函数和正切函数的倍角公式，准确化简，即可求解.【详解】由余弦的倍角公式，可得223cos sin cos 2cos 12121262ππππ⎛⎫-=⨯==⎪ ⎭⎝，所以A 不正确；由正切的倍角公式，可得2tan 22.51tan 22.5︒-︒212tan 22.511tan 4521tan 22.522︒=⋅=︒=-︒，所以B 正确；由正弦的倍角公式，可得12sin15cos15sin 302︒︒=︒=，所以C 正确；由11cos1332222π++==，所以D 不正确.故选：BC .11．AC【分析】根据三角函数的图象变换规律逐个分析可得答案.【详解】将πsin 6y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标缩短到原来的14，得到πsin 46y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移π8个单位长度，得到函数πsin 43y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，A正确；将πsin 6y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π2个单位长度，得到πsin 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的14，纵坐标不变，得到函数πsin 43y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，C 正确.故选：AC12．BD【分析】根据正弦函数的性质逐一判断即可.【详解】对于A ，因为π3π2sin 11244f ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以直线π4x =不是函数图象的对称轴，故A 错误；对于B ，函数π2sin 14y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标变为原来的12，可得π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，故B 正确；对于C ，因为3π2sin π118f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的图象关于点3π,18⎛⎫⎪⎝⎭对称，故C 错误；对于D ，因为[]πsin 21,14x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以[]π()2sin 211,34f x x ⎛⎫=++∈- ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：BD.13．π2（答案不唯一）【分析】根据三角函数的性质得出ππ,Z 2k k ϕ=+∈，从而得出ϕ的一个取值.【详解】因为函数()()cos 2f x x φ=+为奇函数，所以ππ,Z 2k k ϕ=+∈.即ϕ的一个取值为π2.故答案为：π2（答案不唯一）13．32或1.5【分析】确定()212,4a b m +=-+-，根据平行得到()4312m m -=--+，解得答案.【详解】()1,2a =- ，(),3b m =-，则()212,4a b m +=-+- ，()2a b a + ∥，故()4212m =-+，解得32m =故答案为：3215．7【分析】根据模长公式及向量的数量积公式求解即可.【详解】由3a b += 可得，2223a a b b +⋅+= ，即4213a b +⋅+= ，解得：1a b ⋅=-，所以2242217a a b a b b -=+⋅++-== ．故答案为：7．16．12或0.5【分析】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，分类讨论P 点的位置，根据平面向量数量积的坐标表示可求出结果.【详解】以A 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，则()0,0A ，39,22E ⎛⎫⎪⎝⎭，()6,6C.39(,)22AE = ，981310||442AE =+=，设(,)P x y ，(,)=AP x y uuu r ，AE AP ⋅= 3922x y +，当0y =时，06x ≤≤，AE AP ⋅= 3922x y +336922x =≤⨯=，当且仅当6x =时等号成立，当6x =时，06y ≤≤，AE AP ⋅= 3922x y +99362y =+≤，当且仅当6y =时等号成立，当6y =时，06x ≤≤，AE AP ⋅= 3922x y +327362x =+≤，当且仅当6x =时等号成立，当0x =时，06y ≤≤，AE AP ⋅= 3922x y +9272y =≤，当且仅当6y =时等号成立，由以上可知，当6,6x y ==时，AE AP ⋅取得最大值36，此时(6,6)P ，(6,6)AP = ，设A E与AP 的夹角为θ，则cos θ|||AE AP AE AP ⋅=⋅ 927310622+=⨯255=，所以45sin 155θ=-=，5sin 15tan cos 2255θθθ===.故答案为：1217．(1)2425-(2)43310-【分析】（1）根据同角三角函数结合已知得出cos θ，即可根据二倍角的正弦公式代入数值得出答案；（2）根据两角和差的余弦公式代入数值得出答案.【详解】（1）4sin 5θ=，θ为第二象限角，2243cos 1sin 155θθ⎛⎫∴=--=--=- ⎪⎝⎭，则4324sin 22sin cos 25525θθθ⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭；（2）πππ3341433cos cos cos sin sin 666525210θθθ-⎛⎫-=+=-⨯+⨯= ⎪⎝⎭.18．(1)12k =-(2)32【分析】(1)根据向量共线坐标表示即可求；(2)三点共线可转化为向量共线，再根据向量共线坐标表示即可求.【详解】（1）(1,0)(2,1)(2,1),ka b k k -=-=--2(1,0)2(2,1)(5,2).a b +=+=因为ka b - 与2a b +共线，所以2(2)(1)50,k ---⨯=解得12k =-.故当12k =-时，ka b - 与2a b +共线.（2）因为A ，B ，C 三点共线，a 与b不共线，所以存在实数λ，使得(),AB BC R λλ=∈即23()a b a mb λ+=+，整理得(8,3)(2,),m m λλλ=+所以283m m λλλ+=⎧⎨=⎩，解得32m =.故m 的值为32.19．（1）32；（2）2π；（3）[0,1].【解析】（1）本题将3x π=代入()f x 中进行计算即可得出结果；（2）本题首先可通过两角和的正弦公式将函数()f x 转化为()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后通过周期计算公式即可得出结果；（3）本题首先可根据20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得出,33x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，然后通过正弦函数性质即可求出值域.【详解】（1）313sin cos 322222f πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即332f π⎛⎫= ⎪⎝⎭.（2）31()sin cos sin sin 2626663f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故()f x 的最小正周期2T π=.（3）因为20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以,33x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，当3x ππ+=，即23x π=时，min ()sin 0f x π==；当32x ππ+=，即6x π=时，max ()1f x =，故()f x 在20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[0,1].20．（1）5-；（2）1tan 2α=-或1tan 3α=-．【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系求得cos α的值，可得tan α的值，再利用诱导公式求得要求式子的值．（2）利用同角三角函数的基本关系求得22tan tan 1tan 15ααα+=-+，由此求得tan α的值．【详解】（1）tan 0α< ，25sin 5α=-，α\为第四象限角，25cos 1sin 5αα∴=-=，sin tan 2cos ααα∴==-，∴2sin()cos(2)2sin cos 2tan 153sin cos tan 1cos()sin()22αππααααππααααα++--+-+===-++--+．（2）21sin sin cos 5ααα+=- ，∴22222sin sin cos tan tan 1sin cos tan 15αααααααα++==-++，1tan 2α∴=-，或1tan 3α=-．【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，诱导公式，属于基础题．21．(1)()213BP ta t b =+- (2)1477BP a b =+ (3)证明见解析【分析】(1)根据向量加减法运算即可;(2)根据向量的数量关系及向量加减法表示;(3)应用向量共线且有公共点证明即可.【详解】（1）由题意2233BE BA b == ，所以23EC EB BC a b =+=- ，()2221333BP BE EP BE tEC b t a b ta t b ⎛⎫=+=+=+-=+- ⎪⎝⎭ ①（2）设DP k DA = ，由1133BD BC a == ，13DA DB BA b a =+=- ，()1111333BP BD DP a k b a k a kb ⎛⎫=+=+-=-+ ⎪⎝⎭ ②由①、②得，()()211133ta t b k a kb +-=-+ ，所以()()113213t k t k ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得1747t k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以1477BP a b =+ ；（3）由AC a b =- ，得()1155AF AC a b ==- ，所以1455BF BA AF a b =+=+ ，所以75BF BP = ，因为BF 与BP 有公共点B ，所以B ，P ，F 三点共线.22．（1）,12x x k k ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ；（2）[)4,+∞.【分析】（1）先根据三角恒等变换的公式化简()f x ，然后根据图象平移求解出()g x 的解析式，最后采用整体替换的方法求解出()f x 取最大值时x 的取值集合；（2）根据已知条件将问题转化为“24sin sin 1m x x ≥-+对2,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立”，由此采用换元法求解出()2max 4sin sin 1x x -+，则结果可求.【详解】解：（1）根据已知得到23313()sin cos 3cos sin 2cos 2cos 222226f x a b x x x x x x πωωωωωω⎛⎫=⋅-=+-=+=- ⎪⎝⎭ ，将()f x 的图象向左平移12π个单位长度后得到函数()g x 的图象.则()cos 2cos 212666g x x x ππωππωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由()g x 的最小正周期为π，得22ππω=，1ω=.由22()6x k k ππ-=∈Z ，得12x k ππ=+，k ∈Z .故当()f x 取最大值时，x 的取值集合为,12x x k k ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z .（2）由（1）得()cos 2g x x =，所以()()()22sin 32cos 2sin 3212sin sin 3h x g x x m x x m x x m =++-=++-=-++-.根据()0h x ≥对任意2,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立，可得24sin sin 1m x x ≥-+对任意2,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立.令sin t x =，()22115414816r t t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，因为2,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以1,12t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，易得当1t =时，函数()r t 取得最大值4，所以4m ≥，故实数m 的取值范围为[)4,+∞.。
高一数学第二学期第一次月考试卷
一数学第二学期第一次月考试卷一、选择题：1．若数列{a n }的通项公式是a n =2(n ＋1)＋3，则此数列 ( )(A)是公差为2的等差数列 (B)是公差为3的等差数列(C) 是公差为5的等差数列 (D)不是等差数列2．等差数列{a n }中，若a 2+a 4+a 9+a 11=32，则a 6+a 7= ( )（A ）9 （B ）12 （C ）15 （D ）163．在数列{a n }中，21=a ，1221+=+n n a a ，则101a 的值为 （ ） （A ）49 （B ）50 （C ）51 (D)524．已知△ABC 三边满足ab c b a c b a =-+⋅++)()(，则角C 的度数为（ ）（A ）60o （B ）90o （C ）120o (D) 150o5．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，已知A=3π ,3=a ，1=b ,则=c （ ）（A ）1 （B ）2 （C ）13- （D ）3 6． 已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（ ）（A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）27．设｛a n ｝是由正数组成的等比数列，且a 5a 6=81，log 3a 1+ log 3a 2+…+ log 3a 10的值是 （ ）（A ）5 （B ）10 （C ）20 （D ）2或48．已知等差数列{a n }的公差d ≠0,若a 5、a 9、a 15成等比数列,那么公比为 ( )(A) (B) (C)(D) 9．数列2211,12,122,,1222,n -+++++++的前99项和为 （ ） （A ）1002101- （B ） 992101-（C ）100299- （D ） 99299-10．一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(*1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）二、填空题：11．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 7=35，则a 4= ．12． △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，已知A=6π ,334=a ，4=b ,则角B= ． 13．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且c=2a ，则cosB= ．14．在钝角△ABC 中，已知1=a ，2=b ，则最大边c 的取值范围是 ．15．设等比数列{n a }的公比为q ，前n 项和为n S ，若1+n S ，n S ，2+n S 成等差数列，则q 的值为 ．16．等比数列的前ｎ项的和13+⋅=n n k S ，则ｋ的值为__________．17．在数列{a n }中，若11=a ，)1(321≥+=+n a a n n ，则此数列的通项公式为 ．ｏ 1 1 ｘ ｙ ｏ 1 1 ｘ ｙ ｏ 1 1 ｘ ｙ ｏ 1 1 ｘ ｙ。
高一下学期第一次月考数学试题1(必修4)(含答案)
高一下学期第一次月考数学试题一、 选择题（每题5分，共计60分）1、sin 210︒的值为A ．12B ． 12- C ．2 D ． 2- 2、已知4tan 3α=-，且α为第四象限角，则sin α的值为 A ．35 B ．35- C ．45 D ．45- 3、若sin 0α<且tan 0α>是，则α是A ．第一象限角B ．第二象限角C ． 第三象限角D ． 第四象限角4、所有与角α终边相同的角, 连同角α在内, 可构成的一个集合S 是A ．{β|β=α+k ·180°，k ∈Z}B ．{β|β=α+k ·360°, k ∈Z}C ．{β|β=α+k ·180°，k ∈R}D ．{β|β=α+k ·360°, k ∈R}5、下列函数是周期为π的偶函数为A ． cos 2y x =B ． sin 2y x =C ． tan 2y x =D ． 1cos 2y x = 6、函数)32sin(2π+=x y 的图象A ．关于原点对称B ．关于点（－6π，0）对称 C ．关于y 轴对称 D ．关于直线x =6π对称 7、若[]0,2x π∈，则使函数sin y x =为增函数，cos y x =为减函数的区间为A ．[0,]2πB ． [,]2ππC ． 3[,]2ππD ．3[,2]2ππ 8、若函数234y x x =--的定义域为[0, m]，值域为25[,4]4--，则m 的取值范围是A.[0,4]B.[4,23] C.[3,23]D.[+∞,23) 9、函数sin()y A x ωϕ=+在一个周期内的图象如下，此函数的解析式可以为A ．)322sin(2π+=x yB ．)32sin(2π+=x y C ．)32sin(2π-=x y D ．)32sin(2π-=x y10、若函数3cos(2)y x ϕ=+的图像关于点43π⎛⎫⎪⎝⎭，0中心对称，则||ϕ的最小值为 A. 6π B. 4π C. 3π- D. 2π11、为了得到函数)321sin(π-=x y 的图像，需将x y 21sin =的图像上每一个点 A.向左平移3π个单位长度 B.向右平移3π个单位长度 C.向右平移32π个单位长度 D.向左平移32π个单位长度 12、函数0.5log cos 2y x =的单调递增区间是A ． 2,22k k πππ⎡⎫+⎪⎢⎣⎭（Z k ∈） B ． ,2k k πππ⎡⎫+⎪⎢⎣⎭（Z k ∈） C ． ,4k k πππ⎡⎫+⎪⎢⎣⎭（Z k ∈） D ．. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡++2,4ππππk k （Z k ∈） 二、填空题(每小题5分, 共20分)13、角α的终边上有一点()4,P m -，且sin (0)5m m α=<，则sin cos αα+= ； 14、一个扇形的弧长为cm 5,它的面积为25cm ，则这个扇形的圆心角的弧度数是______.15、()sin tan 1,(5)7,(5)f x a x b x f f =++=-=已知满足则 ；16、 函数[]()sin 2sin ,0,2f x x x x π=+∈的图像与直线y=k 有且只有两个不同的交点，则 k 的取值范围是 。
2023-2024学年安徽省合肥市高一下学期第一次月考质量检测数学试题(含解析)
2023-2024学年安徽省合肥市高一下册第一次月考数学试题一、单选题1．下列五个结论：①温度有零上和零下之分，所以温度是向量；②向量a b ≠ ，则a 与b的方向必不相同；③a b > ，则a b > ；④向量a 是单位向量，向量b 也是单位向量，则向量a 与向量b共线；⑤方向为北偏西50︒的向量与方向为东偏南40︒的向量一定是平行向量．其中正确的有（）A ．①⑤B ．④C ．⑤D ．②④【正确答案】C【分析】根据向量的定义即可判断①；根据不相等向量的定义即可判断②；根据向量不能比较大小即可判断③；根据共线向量的定义即可判断④⑤.【详解】温度虽有大小却无方向，故不是向量，故①错；a b ≠ ，但a 与b的方向可以相同，故②错；向量的长度可以比较大小，但向量不能比较大小，故③错；单位向量只要求长度等于1个单位长度，但方向未确定，故④错；如图，作出这两个向量，则方向为北偏西50︒的向量与方向为东偏南40︒的向量方向相反，所以这两个向量一定是平行向量，故⑤正确．故选：C.2．若在△ABC 中，AB a =，BC b = ，且||||1a b == ，||a b += ABC 的形状是（）A ．正三角形B ．锐角三角形C ．斜三角形D ．等腰直角三角形【正确答案】D【分析】利用向量加法的几何意义和模长之间的关系即可判定其为等腰直角三角形.【详解】由于||||1AB a == ，||||1BC b == ，||||AC a b =+则222||a b a b +=+ ，即222||||AB BC AC += ，所以△ABC 为等腰直角三角形．故选：D ．3．已知a ，b 均为单位向量，(2)(2)2a b a b +⋅-=-，则a 与b 的夹角为（）A ．30°B ．45°C ．135°D ．150°【正确答案】A【分析】根据(2)(2)2a b a b +⋅-=-，求得a b ⋅=r r ，再利用向量夹角公式即可求解.【详解】因为22(2)(2)232232a b a b a a b b a b +⋅-=-⋅-=-⋅-=-，所以2a b ⋅=r r ．设a与b 的夹角为θ，则cos .2||||a b a b θ⋅==又因为0°≤θ≤180°，所以θ＝30°．故选：A.4．如果用,i j 分别表示x 轴和y 轴正方向上的单位向量，且()()2,3,4,2A B ，则AB可以表示为（）A ．23i j+ B ．42i j + C ．2i j - D ．2i j-+ 【正确答案】C【分析】先根据向量的坐标表示求出AB，再根据正交分解即可得解.【详解】因为()()2,3,4,2A B ，所以()2,1AB =-，所以2AB i j =- .故选：C.5．设平面向量()1,2a =r ，()2,b y =- ，若a b∥，则3a b + 等于（）A B C D【正确答案】A【分析】由两向量平行得出b坐标中的y ，即可求出3a b + 的值.【详解】由题意，∵()1,2a =r ，()2,b y =- ，a b∥，∴()1220y ⨯⨯--=，解得4y =-，∴()2,4b =--∴()()()33,62,41,2a b +=+--=== 故选：A.6．已知向量(2,3)u x =+ ，(,1)v x = ，当()f x u v =⋅取得最小值时，x 的值为（）A ．0B ．1-C ．2D ．1【正确答案】B【分析】直接利用向量数量积的坐标化运算得到2()(1)2f x x =++，利用二次函数性质得到其最值.【详解】22()(2)323(1)2f x u v x x x x x =⋅=++=++=++，故当=1x -时，f (x )取得最小值2．故选：B.7．在如图所示的半圆中，AB 为直径，点O 为圆心，C 为半圆上一点，且30OCB ∠=︒，2AB = ，则AC等于（）A ．1B CD ．2【正确答案】A【分析】根据OC OB =，可得30ABC OCB ∠=∠=︒，进一步得出答案.【详解】如图，连接AC ，由OC OB =，得30ABC OCB ∠=∠=︒.因为C 为半圆上的点，所以90ACB ∠=︒，所以112AC AB ==．故选：A.8．如图，在ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM = ，AC nAN =，则m n +=（）A ．1B ．32C ．2D ．3【正确答案】C【分析】连接AO ，因为O 为BC 中点，可由平行四边形法则得1()2AO AB AC =+ ，再将其用AM，AN 表示.由M 、O 、N 三点共线可知，其表达式中的系数和122m n+=，即可求出m n +的值.【详解】连接AO ，由O 为BC 中点可得，1()222m n AO AB AC AM AN =+=+ ，M 、O 、N 三点共线，122m n∴+=，2m n ∴+=.故选：C.本题考查了向量的线性运算，由三点共线求参数的问题，熟记向量的共线定理是关键.属于基础题.二、多选题9．在平面直角坐标系中，若点A (2，3)，B (-3，4)，如图所示，x 轴、y 轴同方向上的两个单位向量分别为i 和j，则下列说法正确的是（）A ．23OA i j=+ B ．34O i j B =+ C ．5AB i j =-+ D ．5BA i j=+ 【正确答案】AC【分析】根据图象，由平面向量的坐标运算求解.【详解】解：由图知，23OA i j =+ ，34OB i j =-+，故A 正确，B 不正确；5AB OB OA i j =-=-+ ，5A A i j B B =-=-，故C 正确，D 不正确．故选：AC10．在ABC 中，若3330b c B ===︒，，，则a 的值可以为（）A 3B ．23C ．33D ．43【正确答案】AB【分析】根据余弦定理，直接计算求值.【详解】根据2222cos b a c ac B =+-，得2339232a a =+-⨯⨯，即23360a a -+=，解得：3a =23a =故选：AB11．如图，在海岸上有两个观测点C ，D ，C 在D 的正西方向，距离为2km ，在某天10:00观察到某航船在A 处，此时测得∠ADC=30°，5分钟后该船行驶至B 处，此时测得∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，则（）A ．当天10:00时，该船位于观测点C 的北偏西15°方向B ．当天10:00时，该船距离观测点2C ．当船行驶至B 处时，该船距观测点2D ．该船在由A 行驶至B 的这5min 6km【正确答案】ABD【分析】利用方位角的概念判断A ，利用正弦定理、余弦定理求解后判断BCD ．【详解】A 选项中，∠ACD=∠ACB+∠BCD=60°+45°=105°，因为C 在D 的正西方向，所以A 在C 的北偏西15°方向，故A 正确.B 选项中，在△ACD 中，∠ACD=105°，∠ADC=30°，则∠CAD=45°.由正弦定理，得AC=sin sin CD ADCCAD∠∠=，故B 正确.C 选项中，在△BCD 中，∠BCD=45°，∠CDB=∠ADC+∠ADB=30°+60°=90°，即∠CBD=45°，则BD=CD=2，于是BC=C 不正确.D 选项中，在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2=AC 2+BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB=2+8－212=6，即，故D 正确.故选：ABD ．12．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a c ≠，tan B =ABC 的面积为则2b a c-可能取到的值为（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】AC由tan B =sin 3B =，再利用ABC 的面积为6ac =，再利用余弦定理可得22()8b a c =-+，然后代入2||b ac -中利用基本不等式可求得其最小值.【详解】解：tan B = 1cos 3B ∴=，sin 3B =，又1sin 2==S ac B 6ac ∴=，由余弦定理可得2222222cos 4()8=+-=+-=-+b a c ac B a c a c ，22()88||||||||-+∴==-+≥---b a c a c a c a c a c ，当且仅8||||-=-a c a c 等号成立，故2b a c-的最小值为AC 选项．故选：AC.关键点睛：本题考查余弦定理的应用，考查基本不等式的应用，解题的关键是根据面积得出6ac =，再利用余弦定理得出22()8b a c =-+，结合基本不等式求解.三、填空题13．已知点()1,5A --和向量()2,3a =r，若3AB a =，则点B 的坐标为________．【正确答案】()5,4【分析】根据向量线性运算的坐标表示，由OA AB OB =+求向量OB 的坐标，由此可得点B 的坐标.【详解】设O 为坐标原点，因为()1,5OA =--，()36,9AB a == ，故()5,4O A B OA B =+=，故点B 的坐标为()5,4．故答案为.()5,414．若向量()()(),3,1,4,2,1a k b c === ，已知23a b - 与c的夹角为钝角，则k 的取值范围是________．【正确答案】99,,322⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【分析】根据23a b - 与c 的夹角为钝角，由()230a b c -⋅< ，且23a b - 与c 的不共线求解.【详解】解：由()(),3,1,4a k b == ，得()2323,6a b k -=--．又23a b - 与c的夹角为钝角，∴()22360k --<，得3k <，若()23//a b c - ，则2312k -=-，即92k =-．当92k =-时，23a b - 与c 共线且反向，不合题意．综上，k 的取值范围为99,,322⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，故99,,322⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ．15．如图，设P 为ABC 内一点，且202PA PB PC ++=，则:ABP ABC S S =△△________．【正确答案】15##0.2【分析】设AB 的中点是D ，连接PD ，根据平面向量线性运算法则，得到14P C D P =-，即可得到面积比.【详解】设AB 的中点是D ，连接PD ，由202PA PB PC ++= ，可得12PA PB PC +=-，因为122PA PB PD PC +==- ，所以14P C D P =- ，所以P 为CD 的五等分点（靠近D 点），即15P D D C =，所以ABP 的面积为ABC 的面积的15．故答案为.1516．在ABC 中，3a =60A = ，求32b c +的最大值_________.【正确答案】219由正弦定理得2sin b B =，2sin c C =.代入，进行三角恒等变换可得326sin 4sin b c B C +=+219)B ϕ=+，由此可求得最大值.【详解】解：由正弦定理32sin sin sin 32ab cA B C ===，得2sin b B =，2sin c C =.326sin 4sin b c B C+=+()316sin 4sin 1206sin 4sin 22B B B B B ⎫=+︒-=++⎪⎪⎝⎭6sin 32sin B B B=++8sin)B B Bϕ=+=+)Bϕ=+，其中tan4ϕ=，所以max(32)b c+=故答案为.本题考查运用正弦定理解三角形，边角互化求关于边的最值，属于较难题.四、解答题17．已知向量12a e e=-，1243b e e=+，其中()()121,0,0,1e e==．(1)试计算a b⋅及a b+的值；(2)求向量a 与b 夹角的余弦值．【正确答案】(1)1a b⋅=，a b+(2)10【分析】（1）利用平面向量的数量积运算求解；（2）利用平面向量的夹角公式求解.【详解】（1）解：()()()1,00,11,1a=-=-，()()()41,030,14,3b=+=，∴()41311a b⋅=⨯+⨯-=，a b+（2）设a b，的夹角为θ，由cosa b a bθ⋅=⋅⋅，cos a ba bθ⋅=⋅．18．有一艘在静水中速度大小为10km/h的船，现船沿与河岸成60︒角的方向向河的上游行驶．由于受水流的影响，结果沿垂直于河岸的方向驶达对岸．设河的两岸平行，河水流速均匀．(1)设船相对于河岸和静水的速度分别为,u v，河水的流速为w，求,,u v w之间的关系式；(2)求这条河河水的流速．【正确答案】(1)u w v=+(2)河水的流速为5km/h，方向顺着河岸向下【分析】（1）根据题意可得v与u的夹角为30︒，则,,u v w三条有向线段构成一个直角三角形，其中,,O O O v u A BC w B C ====，再根据向量的加法法则即可得解；（2）结合图象，求出BC uu u r即可.【详解】（1）如图，u 是垂直到达河对岸方向的速度，v是与河岸成60︒角的静水中的船速，则v 与u的夹角为30︒，由题意知，,,u v w三条有向线段构成一个直角三角形，其中,,O O O v u A BC w B C ==== ，由向量加法的三角形法则知，OC OA OB =+，即u w v =+ ；（2）因为10km /h OB v == ，而1sin 30105km /h 2BC OB =︒=⨯= ，所以这条河河水的流速为5km /h ，方向顺着河岸向下．19．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A cos B ．若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．【正确答案】ac ＝【分析】由b sin Acos B 边化角求得B ，由sin C ＝2sin A 得c ＝2a ，再结合余弦定理即可求解.【详解】因为b sin Acos B ．所以由正弦定理，得sin sin cos .B A A B =sin 0,sin cos A B B ≠∴ ，即tan B =π0π,=3B B <<∴ ∵sinC ＝2sin A ，∴由正弦定理，得c ＝2a ，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即9＝a 2＋4a 2－2a ·2a cosπ3，解得a c ＝2a ＝20．如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，7,,cos 4210CAD AC ADB π∠==∠=-.（1）求sin C ∠的值；（2）若5BD =，求ABD ∆的面积.【正确答案】（1）45；（2）7.【详解】试题分析：（1）先由2cos 10ADB ∠=得出72sin 10ADB ∠=sin sin 4C ADB π⎛⎫∠=∠- ⎪⎝⎭展开，代入求值即可；（2）由正弦定理sin sin AD AC C ADC =∠∠得到AD 的值，再利用三角形面积公式即可.试题解析：（1）因为2cos 10ADB ∠=，所以2sin 10ADB ∠=.又因为4CAD π∠=，所以4C ADB π∠=∠-.所以722224sin sin sin cos cos sin 4441021025C ADB ADB ADB πππ⎛⎫∠=∠-=∠⋅-∠⋅=⨯+⨯= ⎪⎝⎭.（2）在ACD ∆中，由sin sin AD AC C ADC=∠∠，得74sin 2522sin 7102AC C AD ADC ⨯⋅∠==∠所以1172sin 22572210ABD S AD BD ADB ∆=⋅⋅∠=⨯=.1、两角差的正弦余弦公式；2、正弦定理及三角形面积公式.21．设两个向量,a b 满足()132,0,22a b ⎛== ⎝⎭，(1)求a b + 方向的单位向量；(2)若向量27ta b + 与向量a tb + 的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．【正确答案】(1)57211414⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭(2)17,222⎛⎫⎛⎫-⋃-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）根据()12,0,,22a b ⎛== ⎝⎭，求得a b + 的坐标和模后求解；（2）根据向量27ta b + 与向量a tb + 的夹角为钝角，由()()270ta b a tb ++< ，且向量27ta b + 不与向量a tb + 反向共线求解.【详解】（1）由已知()152,0,,2222a b ⎛⎛+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以a b +=所以14a b +=⎪⎭，即a b +方向的单位向量为1414⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；（2）由已知1a b ⋅= ，2,1a b == ，所以()()()22222722772157ta b a tb ta t a b tb t t +⋅+=++⋅+=++ ，因为向量27ta b + 与向量a tb + 的夹角为钝角，所以()()270ta b a tb ++< ，且向量27ta b + 不与向量a tb + 反向共线，设()()270ta b k a tb k +=+< ，则27t k kt =⎧⎨=⎩，解得2t =-，从而2215702t t t ⎧++<⎪⎨≠-⎪⎩，解得17,,222t ⎛⎛⎫∈--⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.22．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，1b a =+，2c a =+.．（1）若2sin 3sin C A =，求ABC 的面积；（2）是否存在正整数a ，使得ABC 为钝角三角形?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．【正确答案】（1）4；（2）存在，且2a =.【分析】（1）由正弦定理可得出23c a =，结合已知条件求出a 的值，进一步可求得b 、c 的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出sin B ，再利用三角形的面积公式可求得结果；（2）分析可知，角C 为钝角，由cos 0C <结合三角形三边关系可求得整数a 的值.【详解】（1）因为2sin 3sin C A =，则()2223c a a =+=，则4a =，故5b =，6c =，2221cos 28a b c C ab +-==，所以，C 为锐角，则sin 8C ==，因此，11sin 4522ABC S ab C ==⨯⨯△（2）显然c b a >>，若ABC 为钝角三角形，则C 为钝角，由余弦定理可得()()()()22222221223cos 022121a a a a b c a a C ab a a a a ++-++---===<++，解得13a -<<，则0<<3a ，由三角形三边关系可得12a a a ++>+，可得1a >，a Z ∈ ，故2a =.。
2023长沙一中高一下学期第一次月考数学试卷
长沙市第一中学2022-2023学年度高一第二学期第一次阶段性检测数学时量：120分钟满分：150分得分__________一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}260,{06}A xx x B x x =+->=<<∣∣，则()R A B ⋂=ð（）A.[]3,2- B.(]0,2 C.[)0,2 D.()2,6-2.已知3sin 5α=，则7cos 2a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.35 B.35- C.45 D.45-3.下列四个函数中，以π为最小周期，且在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减的是（）A.sin y x= B.cos y x =C.tan y x = D.cos 2xy =4.函数()1cos ,43f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象与直线y t =（t 为常数）的交点最多有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个5.已知向量,a b 不共线，且(),21c xa b d a x b =+=+- ，若c 与d 共线，则实数x 的值为（）A.1 B.12- C.1或12- D.1-或12-6.下列命题：①若a b = ，则a b = ；②若,a b b c == ，则a c = ；③a b = 的充要条件是a b = 且a b ∥ ；④若,a b b c ∥∥ ，则a c ∥ ；⑤若,,,A B C D 是不共线的四点，则AB DC = 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件.其中，真命题的个数是（）A.2B.3C.4D.57.如图所示，已知正方形ABCD 的边长为1,AB a = ，,BC b AC c == ，则向量a b c -- 的模为（）B.2C.D.48.设函数()2cos sin tan f x a x b x x =++，则()f x 的最小正周期（）A.与a 有关，且与b 有关B.与a 有关，但与b 无关C.与a 无关，且与b 无关D.与a 无关，但与b 有关二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数()ln ,0f x x a b =<<，且()()f a f b =，下列结论正确的是（）A.2a b +> B.23ba +>C.1ab > D.22(1)(1)a b +++的最小值为810.要得到函数cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，可以将函数sin y x =的图象（）得到A.先将各点横坐标变为原来的12倍，再向左平移3π个单位B.先将各点横坐标变为原来的23π个单位C.先将各点横坐标变为原来的12倍，再向右平移23π个单位D.先向左平移23π个单位，再将各点横坐标变为原来的12倍11.已知()()170,,0,,sin cos sin cos 13απβπααββ∈∈-=+=，下列关系可能成立的有（）A.αβ< B.3αβ>C.αβπ+< D.αβπ+>12.下列论断中，正确的有（）A.ABC 中，若A 为钝角，则sin sin cos cos B C B C+>+B.若奇函数()f x 对定义域内任意x 都有()()2f x f x =-，则()f x 为周期函数C.若函数()y f x =与()y g x =的图象关于直线y x =对称，则函数()2y f x =与()12y g x =的图象也关于直线y x =对称D.向量,,a b c 满足a b a c ⋅=⋅ ，则0a = 或b c= 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量,a b 满足1,2,7a b a b ==-= ，则a 与b 的夹角为__________.14.函数()26sin cos 4444f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的对称中心中，到y 轴距离的最小值是__________.15.函数()245f x x x =-+在区间[]0,m 上的最大值为5，最小值为1，则m 的取值范围是__________.16.已知点,024A π⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数()()sin (0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的图象上，直线6x π=是函数()f x 图象的一条对称轴，且()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调，则()f x =__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知函数()22sin 3cos24f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的单调递减区间；（2）若关于x 的方程()2f x m -=在,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有唯一解，求实数m 的取值范围.18.（本小题满分12分）如图，在四边形ABCD 中，60,3,6B AB BC ∠===，且3,2AD BC AD AB λ=⋅=- （1）求实数λ的值；（2）若M 是线段BC 上的动点，求DM BC ⋅的取值范围.19.（本小题满分12分）对于实数a 和b ，定义运算“*”：22,,,.a ab a b a b b ab a b ⎧-*=⎨->⎩ 设()()()211f x x x =-*-，且关于x 的方程()()f x m m R =∈恰有三个互不相等的实数根123,,x x x .若123x x x <<，求231x x x 的取值范围.20.（本小题满分12分）如图，已知OPQ 是半径为1，圆心角为3π的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形.记POC ∠α=，求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求这个最大面积.21.（本小题满分12分）（1）求证：2222tan 1tan sin2,cos21tan 1tan αααααα-==++；（2）已知351,,cos ,tan 21322πβαπα⎛⎫∈=-= ⎪⎝⎭，求cos 2αβ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.22.（本小题满分12分）悬链线（Catenary ）指的是一种曲线，指两端固定的一条（粗细与质量分布）均匀，柔软（不能伸长）的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状，适当选择坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数，其解析式为()2x x e e f x -+=，与之对应的函数()2x x e e g x --=称为双曲正弦函数，令()()()g x F x f x =.（1）若关于x 的方程()][()2250F f x F g x λ⎡⎤+-=⎣⎦在()0,ln3上有解，求实数λ的取值范围；（2）把区间()0,2等分成2n 份，记等分点的横坐标依次为,1,2,3,,21t x i n =- ，设()142321x h x -=-+，记()()()()()()12321*n H x h x h x h x h x n N -=++++∈ ，是否存在正整数n ，使不等式()()()2F x H n F x 有解？若存在，求出所有n 的值，若不存在，说明理由.。
河南省郑州市第二高级中学2022-2023学年高一下学期第一次月考数学试题
高一年级第一次月考数学1．若(3,2),(0,1)a b ==-，则43a b +的坐标为（ ）A ．(5,12)B ．(12,6)C ．(12,5)D ．(12,5)-- 2．已知点(1,3),(2,7)A B ，向量(0,2)AC =-，则BC =（ ） A ．(1,4) B ．(1,4)-- C ．(1,6) D ．(1,6)-- 3．．设向量(1,3),(2,4),(1,2)a b c =-=-=--，若表示向量4,42,2(),a b c a c d --的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d 为（ ）A ．(2,6)B ．()2,6-C ．(2,6)-D ．(2,6)-- 4. 若函数()213ax a f x +⎛⎫= ⎪⎝⎭在[)1,+∞上有最大值19，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．2- C ．1或2- D ．1或1- 5．如图，在75⨯正方形网格中，向量a ，b 满足a b ⊥，则AB AD BC -+=（ ）A ．132a b --B ．132a b -+C ．3a b -+D ．53a b + 6．在正方形ABCD 中，M 是BC 的中点．若AC AM BD λμ=+，则λμ+的值为（ ） A ．43 B ．53 C ．158 D ．2 7. 在锐角ABC ∆中，已知sin 4cos cos C A B =，则tan tan A B 的最大值为 ( )．A. 4B. 3C. 2D. 1 8．设向量2(2,2)OA x x α=+，(,sin cos )2y OB y αα=+，其中,,x y α为实数，若2OA OB =，则x y 的取值范围为 A ．[6,1]-B ．[1,6]-C ．[4,8]D ．(,1]-∞二.多选题一． 单选题9.下列各式的值等于1的是（ ）A ．2sin126cos36cos 54︒︒+︒B ．cos()cos()sin()sin()4444x x x x ππππ-+--+ C ．tan 21tan 241tan 21tan 24︒+︒-︒⋅︒D ．2222tan sin tan sin αααα-⋅ 10．已知函数()()ln ln 2f x x x =+-，则（ ）A ．()f x 在()0,2单调递增B ．()f x 在()0,1单调递增，在()1,2单调递减C ．()y f x =的图象关于直线1x =对称D ．()y f x =的图象关于点()1,0对称11．下列说法错误的是（ ）A ．若//a b ，则存在唯一实数λ使得λa b =B ．两个非零向量a ，b ，若a b a b -=+，则a 与b 共线且反向C ．已知()1,2a =，()1,1b =，且a 与a λb +的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．在ABC 中，BC CA CA AB ⋅=⋅，则ABC 为等腰三角形 12．设点M 是ABC 所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ） A ．若2AM AB AC =-，则点M 在直线BC 上B ．若AM ＝13AB ＋13AC ，则点M 是三角形的重心 C ．若()R AB AC AB A A C M ⎛⎫ ⎪=+∈ ⎪⎝⎭λλ，则点M 在边BC 的中线上 D ．若AM xAB yAC =+，且x ＋y ＝12，则△MBC 的面积是△ABC 面积的12三.填空13. 已知在ABC 中，(1,2)A ，(2,4)B ，(0,6)C ，D 为BC 中点，则AD 的坐标为 __． 14. 如图，已知O 是平面直角坐标系的原点，120OAB ABC ∠=∠=，24OA BC AB ===, 若四边形ABCD 为平行四边形,则点D 为______．15 .在平面直角坐标系xOy中，将向量12OP ⎛=- ⎝⎭按顺时针方向绕原点O 旋转3π后得到向量(),OQ a b =，则ab 的值为___________.16. 已知())2ln 121xf x x =-++，若()2f a =，则()f a -=______；若213log 10f x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，则实数x 的取值范围是______． 四.解答题17．(10分) 求解下列问题：(1)已知222cos 3cos sin 3sin 1αααα+-=，3π,π2α⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，求()()π2sin π3sin 2π4cos 9cos 2π2αααα⎛⎫--+ ⎪⎝⎭⎛⎫--- ⎪⎝⎭的值． (2)求()2lg 2lg 2lg50lg 25+⋅+18．(12分)已知向量()1,2a =，(1,3)=-b ，()4,3c =.(1)求与6a b +共线的单位向量；(2)若()()a kc b a +-∥，求实数k 的值.19．(12分)已知1a =，2b =．(1)若a b ∥，求a b ；(2)若,60a b =︒，求a b +；(3)若a b -与a 垂直，求当k 为何值时，()()2ka b a b -⊥+？20．如图，在ABC 中，2AB =，3AC =，O , C =120BA A ，2DB AD =，2CE EB =．(1)设CD xAB yAC =+，求x ，y 的值，并求CD ；(2)求AB DE ⋅的值．21．(12分)设函数()2cos (sin cos )1π2f x x x x x ⎛⎫=++-- ⎪⎝⎭. (1)求()f x 的图象的对称轴方程和对称中心的坐标；(2)求()f x 在π5π,126⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值.22．(12分)已知定义在[1,1]-上的奇函数()f x ，当(0,1]x ∈时，2 ()41x x f x =+. （1）求函数()f x 在[1,1]-上的解析式；（2）用函数单调性的定义证明()f x 在(0,1]上是单调减函数； （3）若()f x x b =+在[1,1]-上有解，求b 的取值范围.。
高一下学期数学第一次月考试卷附带答案
高一下学期数学第一次月考试卷附带答案（满分150分 时间：120分钟）一.单选题。
（共8小题，每小题5分，共40分） 1.已知（1+i ）z=3－i ，其中i 为虚数单位，则|z |=（ ） A.5 B.√5 C.2 D.√22.已知复数z=1+2i1+i （i 为虚数单位），则z 的共轭复数z ̅在复平面内对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.如图，正方形O’A’B’C’的边长为1，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ）A.4B.6C.8D.2+2√2（第3题图） （第4题图）4.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2，AA 1=1，则AC 1与平面A 1B 1C 1D 1所成角的正弦值为（ ） A.2√33B.23C.√24D.135.设b ，c 表示两条直线，α，β表示两个平面，下列命题正确的是（ ） A.若b ∥α，c ⊂α，则b ∥c B.若b ⊂α，b ∥c ，则c ⊂α C.若c ∥α，α⊥β，则c ⊥β D.若c ∥α，c ⊥β，则α⊥β6.已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，若过直线OP 的平面截圆锥所得的截面是面积为4的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（ ）A.4√2πB.2√2πC.4πD.（4√2+4）π7.已知圆锥的母线长为10，侧面展开图的圆心角为4π5，则该圆锥的体积为（ ） A.62√213π B.32√6π C.16√6π D.32√213π8.已知在正方体中，AD 1，A 1D 交于点O ，则（ ）A.OB⊥平面ACC1A1B.OB⊥平面A1B1CDC.OB∥平面CD1B1D.OB⊥BC1二．多选题.（共4小题，每小题5分，共20分）9.已知复数z=3+4i，下列说法正确的是（）A.复数z的实部为3B.复数z的共轭复数为3－4iC.复数z的虚部为4iD.复数z的模为510.如图，点A，B，C，M，N是正方体的顶点或所在棱的中点，则满足MN∥平面ABC的有（）A. B. C. D.11.如图，一个圆柱盒一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是（）A.圆锥的侧面积为2πR2B.圆柱与球的表面积比为32C.圆柱的侧面积与球的表面积相等D.圆柱与球的体积比为32（第11题图）（第12题图）12.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF 以及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，下列说法正确的是（）A.AG⊥平面EFHB.AH⊥平面EFHC.HF⊥平面AEHD.HG⊥平面AEF二.填空题。
2023-2024学年湖南高一下册第一次月考数学试卷(含解析)
2023-2024学年湖南高一下册第一次月考数学试卷一､选择题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 为虚数单位，下列说法正确的是（）A.若210x +=，则i x =B.实部为零的复数是纯虚数C.()21i z x =+可能是实数D.复数2i z =+的虚部是i2.设集合(){}1lg 1,24xA xy x B x ⎧⎫==-=>⎨⎬⎩⎭∣∣，则()A B ⋂=R ð（）A.()1,∞+B.(]2,1-C.()2,1-D.[)1,∞+3.若命题“2,40x x x a ∀∈-+≠R ”为假命题，则实数a 的取值范围是（）A.(],4∞- B.(),4∞- C.(),4∞-- D.[)4,∞-+4.下列说法正确的是（）A.“ac bc =”是“a b =”的充分条件B.“1x ”是“21x ”的必要条件C.“()cos y x ϕ=+的一个对称中心是原点”是“2,2k k πϕπ=-∈Z ”的充分不必要条件D.“0a b ⋅< ”的充分不必要条件是“a 与b的夹角为钝角”5.设1535212log 2,log 2,23a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A.a b c <<B.b a c <<C.b c a<< D.a c b<<6.已知不等式20ax bx c ++>的解集为{23}xx -<<∣，且对于[]1,5x ∀∈，不等式220bx amx c ++>恒成立，则m 的取值范围为（）A.(,∞-B.(,∞-C.[)13,∞+ D.(),13∞-7.若向量()()(),2,2,3,2,4a x b c ===- ，且a c ∥，则a 在b上的投影向量为（）A.812,1313⎛⎫⎪⎝⎭ B.812,1313⎛⎫-⎪⎝⎭ C.()8,12 D.413138.已知函数()sin f x x =，若存在12,,,m x x x 满足1204m x x x π<<< ，且()()()()()()()*1223182,m m f x f x f x f x f x f x m m --+-++-=∈N ，则m 的最小值为（）A.5B.6C.7D.8二､多选题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法中错误的是（）A.向量AB 与CD是共线向量，则,,,A B C D 四点必在一条直线上B.零向量与零向量共线C.若,a b b c == ，则a c= D.温度含零上温度和零下温度，所以温度是向量10.下列说法正确的是（）A.若α为第一象限角，则2α为第一或第三象限角B.函数()sin 4f x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭是偶函数，则ϕ的一个可能值为34πC.3x π=是函数()2cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一条对称轴D.若扇形的圆心角为60 ，半径为1cm ，则该扇形的弧长为60cm 11.已知0,0a b c >>>，则下列结论一定正确的是（）A.b b ca a c+<+ B.3322a b a b ab ->-C.22b a a b a b+<+ D.2()a b a ba b ab +>12.已知函数()f x 的定义域为(),1f x -R 为奇函数，()1f x +为偶函数，当()1,1x ∈-时，()21f x x =-，则下列结论正确的是（）A.()f x 为周期函数且最小正周期为8B.7324f ⎛⎫=⎪⎝⎭C.()f x 在()6,8上为增函数D.方程()lg 0f x x +=有且仅有7个实数解三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数23(0x y a a -=+>，且1)a ≠的图象恒过定点P ，若点P 也在函数()32log 1y x b =++的图象上，则b =__________.14.化简：()2tan1234cos 122sin12-=-__________.15.已知函数()2log ,02,sin ,210,4x x f x x x π⎧<<⎪=⎨⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎩若存在1234,,,x x x x ，满足1234x x x x <<<，且()()()()1234f x f x f x f x ===，则1234x x x x 的取值范围为__________.16.在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知,a b c ≠=2233sin ,cos cos cos 52A AB A A B =-=-，则ABC 的面积是__________.四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且22232b c bc a +-=.（1）求cos A 的值；（2）若2,3B A b ==，求a 的值.18.（本小题满分12分）如图，在平行四边形ABCD 中，AP BD ⊥，垂足为P .（1）若8AP AC ⋅=，求AP 的长；（2）设||6,||8,,3AB AC BAC AP xAB y AC π∠====+，求y x -的值.19.（本小题满分12分）有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数501log lg 210xv x =-，单位是km /min ，其中x 表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，0x 代表测量过程中某类候鸟每分钟的耗氧量偏差（参考数据：1.4lg20.30,59.52≈≈）.（1）当05x =，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量约为多少单位？（2）若雄鸟的飞行速度为1.75km /min ，同类雌鸟的飞行速度为1.5km /min ，则此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？20.（本小题满分12分）已知函数()f x 对任意实数x y ､恒有()()()f x y f x f y +=+，当0x >时()0f x <，且()12f -=.（1）求()f x 在区间[]2,4-上的最小值；（2）若()222f x m am <-+对所有的][1,1,1,1x a ⎡⎤∈-∈-⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围.21.（本小题满分12分）如图，在海岸线EF 一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC ，该曲线段是函数()()[]sin (0,0,0,),4,0y A x A x ωϕωϕπ=+>>∈∈-的图象，图象的最高点为()1,2B -.边界的中间部分为长1千米的直线段CD ，且CD EF ∥.游乐场的后一部分边界是以O 为圆心的一段圆弧 DE.（1）曲线段FGBC 上的入口G 距海岸线EF 的距离为1千米，现准备从入口G 修一条笔直的景观路到O ，求景观路GO 长；（2）如图，在扇形ODE 区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ ，平行四边形的一边在海岸线EF 上，一边在半径OD 上，另外一个顶点P 在圆弧 DE上，且POE ∠θ=，求平行四边形休闲区OMPQ 面积的最大值及此时θ的值.22.（本小题满分12分）已知函数()()2ee ,ln xx f x a g x x =-=.（1）求函数()26g x x --的单调递减区间；（2）若对任意21,e ex ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，存在()()()112,0,x f x g x ∞∈-≠，求实数a 的取值范围；（3）若函数()()()F x f x f x =+-，求函数()F x 零点的个数.数学答案一､选择题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号12345678答案CBADBBAB1.C A.i x =±，说法不正确；B.实部为零的复数可能虚部也为零，从而是实数，说法不正确；C.当i x =时，()21i z x =+是实数，说法正确；D.复数2i z =+的虚部是1，说法不正确.故选C .2.B 由题知()()1,,2,A B ∞∞=+=-+，从而得到()(]R 2,1A B ⋂=-ð.故选B .3.A 命题“2,40x x x a ∀∈-+≠R ”为假命题，2“,40x x x a ∴∃∈-+=R ”是真命题，∴方程240x x a -+=有实数根，则2Δ(4)40a =--，解得4a ，故选A.4.D对于A ，当0c =时，满足ac bc =，此时可能有,A a b ≠错误；对于2B,1x 等价于1x 或1x -，故“1x ”是“21x ”的充分不必要条件，B 错误；对于C ，“()cos y x ϕ=+的一个对称中心是原点”等价于()2k k πϕπ=+∈Z ，故“()cos y x ϕ=+的一个对称中心是原点”是“2k ϕπ=,2k π-∈Z 的必要不充分条件，C 错误；对于D ，0a b ⋅< 等价于a 与b的夹角,2πθπ⎛⎤∈⎥⎝⎦，故“0a b⋅< ”的充分不必要条件是“a 与b的夹角为钝角”，D 正确.故选D.5.B 因为33322213log 2log log 122a ==<=且153355221131122log 2log ,log 2log ,12222233a b c -⎛⎫⎛⎫=>==<=>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故b a c <<.故选B.6.B 由不等式20ax bx c ++>的解集为{23}xx -<<∣，可知2,3-为方程20ax bx c ++=的两个根，故0a <且()231,236b ca a-=-+==-⨯=-，即,6b a c a =-=-，则不等式220bx amx c ++>变为2120ax amx a -+->，由于[]0,1,5a x <∈，则上式可转化为12m x x <+在[]1,5恒成立，又12x x +=，当且仅当x =m <.故选B.7.A 因为a c∥，所以44x -=，得1x =-，所以()1,2a =- ，又()2,3b =，所以,cos ,b a b a b b a b⋅===所以a 在b上的投影向量为：812cos ,,1313b a a b b ⎛⎫⋅==⎪⎝⎭，故选A.8.B 因为()sin f x x =对任意(),,1,2,3,,i j x x i j m = ，都有()()max min ()()2i j f x f x f x f x --=，要使m 取得最小值，应尽可能多让()1,2,3,,i x i m = 取得最值点，考虑1204m x x x π<<< ，且()()()()()()()*1223182,m m f x f x f x f x f x f x m m --+-++-=∈N ，则m 的最小值为6，故选B.二､多选题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.题号9101112答案ADACABDABD9.AD向量AB 与CD是共线向量，则,,,A B C D 四点不一定在一条直线上，故A 错误；零向量与任一向量共线，故B 正确；若,a b b c == ，则a c =，故C 正确；温度是数量，只有正负，没有方向，故D 错误.故选A D.10.AC 对于A :若α为第一象限角，则22,2k k k ππαπ<<+∈Z ，则：,24k k k απππ<<+∈Z ，所以2α为第一或第三象限角，故A 正确；对于B ：函数()sin 4f x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭是偶函数，若ϕ的一个可能值为34π，当34πϕ=时，()()sin sin f x x x π=+=-，函数为奇函数，故B 错误；对于C ：2cos 23f ππ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以3x π=是函数()2cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一条对称轴，故C 正确；对于D :扇形圆心角为3π，半径为1cm ，则该扇形的弧长为cm 3π，故D 错误.故选AC.11.ABD 对于()()A,c b a b b c a a c a a c -+-=++，由a b >，得0b a -<，所以()()0c b a a a c -<+，所以b b ca a c+<+，故A 正确；对于B ，()()()()()332222220a b a b ab a b a ab b ab a b a b ---=-++-=-+>，故B 正确；对于()()()()22222222222()11C,0b a b a b a b a b a b a a b a b b a a b a b a b ab ab --+---⎛⎫+--=+=--==> ⎪⎝⎭，故C 错误；对于D ，2()a b a ba b ab +>等价于()ln ln ln ln 2a ba ab b a b ++>+，等价于ln ln ln ln 0a a b b b a a b +-->，即()()ln ln 0a b a b -->，故D 正确.故选ABD.12.ABD 因为()1f x -为奇函数，所以()()11f x f x --=--，即()f x 关于点()1,0-对称；因为()1f x +为偶函数，所以()()11f x f x -+=+，即()f x 关于直线1x =对称；则()()()()()()()112314f x fx f x f x f x =-+=-+=---=--，所以()()8f x f x =-，故()f x 的最小正周期为8,A 正确；275531111311111,B 222222224f f f f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=-=--=--=--=---=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦正确；由于()f x 在()1,0-上单调递减，且()f x 关于点()1,0-对称，故()f x 在()2,0-上单调递减，又()f x 的周期为8，则()f x 在()6,8上也为减函数，C 错误；作出函数()f x 的图象可知，函数()y f x =的图象与函数lg y x =-的图象恰有7个交点，D 正确，故选ABD.三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.2由题意可知，函数23(0x y a a -=+>，且1)a ≠的图象恒过定点()2,4，则有()32log 214b ++=，解得2b =.14.-4原式()()()222sin123tan123sin123cos12cos124cos 122sin1222cos 121sin1222cos 121sin12co s12-===---()()2132sin122sin 48222sin4841cos24sin242cos 121sin24sin482⎛⎫ ⎪--⎝⎭====--.15.(20,32)作出函数()2log ,02,sin ,2104x x f x x x π⎧<<⎪=⎨⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎩的图象，如图所示，因为()()()()12341234,f x f x f x f x x x x x ===<<<，所以，由图象可知，212234log log ,2612x x x x -=+=⨯=，且()32,4x ∈，则()2123433331,1212x x x x x x x x ==-=-+，由于23312y x x =-+在()2,4上单调递增，故2032y <<，所以1234x x x x 的取值范围为()20,32.16.369350+由题意得1cos21cos233sin22222A B A B ++-=-，即3131sin2cos2cos22222A AB B -=-，所以sin 2sin 266A B ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.由a b ≠得A B ≠，又()0,A B π+∈，得2266A B πππ-+-=，即23A B π+=，所以3C π=.由3,5sin sin a c c A A C ===，得65a =.由a c <，得A C <，从而4cos 5A =，故()343sin sin sin cos cos sin 10B AC A C A C +=+=+=，所以ABC的面积为1163433693sin 2251050S ac B ++==⨯⨯=.四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（1）在ABC 中，2223,2b c a bc +-=.由余弦定理222cos 2b c a A bc +-=，332cos 24bcA bc ∴==.（2）由（1）知，70,sin 24A A π<<∴==.32,sin sin22sin cos 2448B A B A A A =∴===⨯⨯=，又73sin 43,,2sin sin sin 378a b b A b a A B B ⨯==∴== ..18.（1） 在平行四边形ABCD 中，AP BD ⊥，垂足为P ，()22208AP AC AP AO AP AP PO AP AP ∴⋅=⋅=⋅+=⋅+=，22||4AP AP ∴== ，解得2AP = ，故AP 长为2.（2）2AP x AB y AC x AB y AO =+=+ ，且,,B P O 三点共线，21x y ∴+=①，又6,8,3AB AC BAC π∠=== ，则1cos 122AB AO AB AC BAC ∠⋅=⋅= ，由AP BD ⊥可知()()20AP BO x AB y AO AO AB ⋅=+⋅-= ，展开()22220y AO x AB x y AB AO -+-⋅= ，化简得到3y x =②联立①②解得13,77x y ==，故27y x -=.19.（1）由题意得，当候鸟停下休息时，它的速度是0，将05x =和0v =代入题目所给的公式，可得510log lg5210x =-，.即()5log 2lg521lg2 1.410x ==-≈，从而 1.410595.2x ≈⨯≈，故候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量约为95.2个单位.（2）设雄鸟每分钟的耗氧量为1x ，雌鸟每分钟的耗氧量为2x ，由题意得：15025011.75log lg ,21011.5log lg ,210x x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩两式相减可得15211log 42x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得：12x x =，倍.20.（1）取0x y ==，则()()()0020,00f f f +=∴=，取y x =-，则()()()()00f x x f x f x f -=+-==，()()f x f x ∴-=-对任意x ∈R 恒成立，()f x ∴为奇函数；任取()12,,x x ∞∞∈-+且12x x <，则()()()2121210,0x x f x f x f x x ->+-=-<，()()21f x f x ∴<--，又()f x 为奇函数，()()12f x f x ∴>.故()f x 为R 上的减函数.[]()()2,4,4x f x f ∈-∴ ，()()()()()42241418f f f f ===⨯--=- ，故()f x 在[]2,4-上的最小值为-8.（2）()f x 在[]1,1-上是减函数，()()12f x f ∴-=，()222f x m am <-+ 对所有][1,1,1,1x a ⎡⎤∈-∈-⎣⎦恒成立.2222m am ∴-+>对[]1,1a ∀∈-恒成立；即220m am ->对[]1,1a ∀∈-恒成立，令()22g a am m =-+，则()()10,10,g g ⎧->⎪⎨>⎪⎩即2220,20,m m m m ⎧+>⎨-+>⎩解得：2m >或2m <-.∴实数m 的取值范围为()(),22,∞∞--⋃+.21.（1）由已知条件，得2A =，又23,12,46T T ππωω===∴= ，又当1x =-时，有2sin 26y πϕ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，且()20,,3πϕπϕ∈∴=，∴曲线段FGBC 的解析式为[]22sin ,4,063y x x ππ⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭.由22sin 163y x ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，根据图象得到()22636x k k ππππ+=+∈Z ，解得()312x k k =-+∈Z ，又[]()4,0,0, 3.3,1x k x G ∈-∴==-∴-.OG ∴=.∴千米.（2）如图，1OC CD ==，2,6OD COD π∠∴==，作1PP x ⊥轴于1P 点，在Rt 1OPP 中，1sin 2sin PP OP θθ==，在OMP 中，2sin sin 33OP OM ππθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，sin 2332cos sin 23sin 3OP OM πθθθπ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴==-，12cos 2sin 3QMPQ S OM PP θθθ⎛⎫=⋅=-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭.24323234sin cos 2sin2333θθθθθ=-=+-sin 2,0,3633ππθθ⎛⎫⎛⎫=+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.当262ππθ+=，即6πθ=时，平行四边形面积有最大值为233平方千米.22.（1）由260x x -->得：2x <-或3x >，即()26g x x --的定义域为{2x x <-∣或3}x >，令26,ln m x x y m =--=在()0,m ∞∈+内单调递增，而(),2x ∞∈--时，26m x x =--为减函数，()3,x ∞∈+时，26m x x =--为增函数，故函数()26g x x --的单调递减区间是(),2∞--（2）由21,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦与()1,0x ∞∈-可知()[]()121,1,e 0,1x g x ∈-∈，所以112e e 1x x a ->或112e e 1x x a -<-，分离参数得11211e e x x a >+，或11211e e x x a <-有解，令11ex n =，则21,n a n n >>+或2a n n <-有解，得2a >或0a <.（3）依题意()()()222e e e e e e e e 2x x x x x xx x F x a a a a ----=-+-=+-+-，令e e x x t -=+，则函数()F x 转化为()()222h t at t a t =--，此时只需讨论方程220at t a --=大于等于2的解的个数，①当0a =时，()0h t t =-=没有大于等于2的解，此时()F x 没有零点；②当0a >时，()020h a =-<，当()20h >时，1a >，方程没有大于等于2的解，此时()F x 没有零点；当()20h =时，1a =，方程有一个等于2的解，函数()F x 有一个零点；当()20h <时，01a <<，方程有一个大于2的解，函数()F x 有两个零点.③当0a <时，()()020,2220h a h a =->=-<恒成立，即方程不存在大于等于2的解，此时函数()F x 没有零点；·综上所述，当1a =时，()F x 有一个零点；当01a <<时，()F x 有两个零点；当0a 或1a >时，()F x 没有零点.。
2022-2023学年云南省玉溪市一中高一年级下册学期第一次月考数学试题
玉溪一中2022—2023学年下学期高一年级第一次月考数学总分：150分 考试时间：120分钟一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，，则{30}A xx =-≤≤∣{1}B x x =≥-∣A B ⋃= A ． B ． C ．D ．[1,0]-[3,)-+∞(,0]-∞[1,)-+∞2．命题“，”的否定是[]1,2x ∃∈-21x < A ．，B ．，[]1,2x ∃∈-21x ≥[]1,2x ∃∉-21x < C ．，D ．，[]1,2x ∀∈-21x <[]1,2x ∀∈-21x ≥3．已知△是等边三角形，边长为1，则ABC AB BC ⋅=A ．B ．C ．D 12-124．在平行四边形中，，，设，则ABCD 12CF CD =2CE EB =EF x AB y AD =+ x y += A ．1 B ． C ． D ．1656765．下列函数既是奇函数，又在上单调递增的是(0,)+∞ A ．B ．C ．D ．2y x =ln y x =tan y x =3y x =6．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据国家有关规定：驾驶人血液中的酒精含量大于（或等于）毫克/毫升，小于毫克/毫升的情况下驾驶机动车属于饮酒驾车；含0.20.8量大于（或等于）毫克/毫升的情况下驾驶机动车属于醉酒驾车．假设某驾驶员一天0.8晚上点钟喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到了毫克/毫升．如果在停止喝酒61后，他血液中酒精含量以每小时的速度减少，那么他次日上午最早几点（结果取整10%数）开车才不构成酒驾？（参考数据：，）lg 20.301≈lg 30.477≈ A ．8点B ．9点C ．10点D ．11点7．已知为偶函数，当时，，则当时，()f x 0x >()223f x x x =--0x <()f x = A ．B ．C ．D ．223x x --+223x x +-223x x -++223x x --8．已知，，，则5log 2a =sin 55b =︒0.60.5c = A ． B ．C ．D ．c b a >>a c b >>b c a >>b a c>>二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分．9．下列结论正确的有 A ．三棱柱有6个顶点B ．棱台的侧面是等腰梯形C ．五棱锥有6个面D ．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形10．要得到函数的图象，只需要将的图象())3f x x π=+()2g x x = A ．向左平移个单位长度B ．向左平移个单位长度6π3πC ．向右平移个单位长度D ．向右平移个单位长度6π56π11．某单位为了激励员工努力工作，决定提高员工待遇，给员工分两次涨工资，现拟定了三种涨工资方案．方案甲：第一次涨幅，第二次涨幅；%a %b 方案乙：第一次涨幅，第二次涨幅；%2a b +%2ab+．其中，小明帮员工李华比较上述三种方案得到如下结论，其中正确的有0a b >> A ．方案甲和方案乙工资涨得一样多B ．采用方案乙工资涨得比方案丙多 C ．采用方案乙工资涨得比方案甲多D ．采用方案丙工资涨得比方案甲多12．已知函数，令，则()23log ,0211,22x x x f x x -⎧<≤⎪=⎨⎛⎫->⎪ ⎪⎝⎭⎩()()g x f x k =- A ．若有1个零点，则或()g x 0k <1k > B ．若有2个零点，则或()g x 1k =0k = C ．的值域是()f x ()1,-+∞ D ．若存在实数（）满足，则的取值范围为,,a b c a b c <<()()()f a f b f c==abc ()2,3三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2，弧长为的扇形，则该圆锥的体积为 2π．14． ．()27π3227log 42⋅=（单位：米）关于时间（单位：t16．如图，在△中，，，ABC 12AD AB=13AE AC =与交于点，，，，则CD BE P 2AB =4AC =2AP BC ⋅=的值为．AB AC ⋅四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）（1）已知，求的值；tan 2α=sin cos cos sin αααα-+（2）已知，且，求的值．3sin(+)65πα=536ππα<<cos α18．（本小题满分12分）已知向量，．()3,2a =(),1b x =-（1）当，求的值；()2a b b-⊥ x （2）当，，求向量与的夹角．()8,1c =--()a b c+∥ abα19．（本小题满分12分）在△中，内角的对边分别为，且ABC ,,A B C ,,a b c．cos sin B b C =+ （1）求C ；（2）若，△的值．c =a b >ABC sin 2B 20．（本小题满分12分）设函数．()22(sin cos )1f x x x x =+--（1）求的最小正周期和最小值；()f x （2）若，求的单调递增区间．()31()42g x f x π=-()g x 21．（本小题满分12分）已知，其中，为实数．()224f x x ax b=+-a b （1）若不等式的解集是，求的值；()0f x ≤[]2,6-b a （2）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围．()22x xf y =(],1-∞b22．（本小题满分12分）为响应国家“乡村振兴”号召，农民老王拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：区域为荔枝林和放养走地鸡，区域规划BNC △CMA △为“民宿”供游客住宿及餐饮，区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓．为安全起MNC △见，在鱼塘周围筑起护栏．已知，MNC △40m AC =，，．BC =AC BC ⊥30MCN ∠=︒（1）若，求护栏的长度（的周长）；20m AM =MNC △（2）若鱼塘的面积是“民宿”的面积MNC △CMA △的长；AM （3）鱼塘的面积是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理MNC △由．玉溪一中2022—2023学年下学期高一年级第一次月考数学参考答案一、单项选择题1．【答案】B 【详解】因为集合，，所以,{30}A xx =-≤≤∣{1}B x x =≥-∣[)3,A B =-+∞ 故选：B.2．【答案】DCAB3．【答案】A 【详解】.故答案为：.21cos 11cos 332AB BC AB BC πππ⎛⎫⋅=⋅⋅-=⨯⨯=- ⎪⎝⎭ 12-4．【答案】B 【详解】（1）因为，所以，1122CF CD AB ==- 2CE EB = 2233EC BC AD == 所以，所以，故.21213232EF EC CF BC CD AD AB =+=+=- 12,23x y =-=16x y +=5．【答案】D 【解析】对于A ，是偶函数，故A 错误；对于B ，是非奇非2y x =ln y x =偶函数，故B 错误；对于C ，设，其定义域为，tan y x =ππ,2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z 故C 错误.对于D ，是奇函数，在单调递π0,π(),2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎭∞⊄⎩+⎬Z 3y x =(0,)+∞增，故D 正确；故选:D 6．【答案】C 【详解】假设经过小时后，驾驶员开车才不构成酒驾，则()*x x N ∈，即，，则()1110%0.2x⨯-<0.90.2x <lg 0.9lg 0.2x ∴<，，次日上午最早点，1lglg 0.2lg 51lg 2515.29lg 0.92lg 3112lg 3lg 10x -->===≈--min 16x ∴=∴10该驾驶员开车才不构成酒驾.故选：C.7．【答案】B 【详解】当时，，则，又因0x <0x ->()()()222323f x x x xx -=----=+-为是偶函数，所以.故选：B()f x ()()223x x f x f x +=--=8．【答案】C 【详解】，即，5510log2log 2a <=<=10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即，sin 45sin 551b =︒<=︒<b ⎫∈⎪⎪⎭即，故.故选:C.110.620.611110.52222c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=<==<= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12c ⎛∈ ⎝b c a >>二、多项选择题9．【答案】ACD 【详解】三棱柱有6个顶点，棱台的侧面是梯形，不一定是等腰梯形，五棱锥有6个面，正棱锥的侧面是全等的等腰三角形.故选：ACD.10．【答案】AD 【详解】，所以要得到的图象，只()g()66f x x x ππ=+=+()f x 需要将的图象向左平移个单位长度，又因为的最小正周期为，()gx 6π()2g x x=π所以要得到的图象，只需要将的图象向右平移个单位长度，所以选AD()f x ()g x56π11．【答案】BC 【详解】不妨设原工资为1，方案甲：两次涨幅后的价格为：；方案乙：两次涨幅后的价格为：(1%)(1%)1%%0.01%a b a b ab ++=+++；方案丙：两次涨幅后的价格为：2(1%)(1%)1%%0.01()%222a b a b a b a b +++++=+++；因为，由均值不等式(110.01%ab +=++0a b >>，当且仅当时等号成立，故，因为，所以a b +≥a b =2(2a b ab+≥a b ≠，2(2a b ab +>a b +>所以方案采用方案乙工资涨得比方案甲多，采用方案甲工资涨得比方案丙多，故选：.BC 12．【答案】BCD 【详解】由函数的图象，根据函数图2log y x =象的翻折变换，由函数的图象，根据函数图象的平移变12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭换，向右平移3个单位，向下平移1个单位，可得函数的图()f x 象，如下图：函数的图象可由函数经过平移变换得到，显然当或()g x ()f x 10k -<<时，函数的图象与轴存在唯一交点，故A 错误；由函数的图象，本身1k >()g x x ()f x 存在两个交点，向下平移一个单位，符合题意，故B 正确；由图象，易知C 正确；，1ab =由图象可知，解得，即，故D 正确；故选：BCD.()0,1d ∈()2,3c ∈()2,3abc c =∈三、填空题13．14．【答案】27【详解】()27π3227log 42⋅()()2314π323π4log 2+=+-+16．【答案】2【详解】令，，而BP BE λ=CP CD μ=，1()(1)33AP AB BE AB BA AC AB ACλλλλ=+=++=-+，1()(1)22AP AC CD AC CA AB AC ABμμμμ=+=++=-+ ∴，得，∴，又1213μλλμ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩3545λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2155AP AB AC=+ ，∴()(21)55()2A AP BC AP AC AB AC AB B AC +⋅⋅=⋅-=-=，，，∴.故答案为：2221155225AP A BC AC AB AB C +⋅=⋅-= 2AB =4AC =2AB AC ⋅= 四、解答题17．【答案】（1）（213431cos cos[(+)]cos (+)cos sin (+)sin 666666552ππππππαααα=-=+=-+==1x =5x π4α=19．【答案】（1）（23π20．【答案】（1）最小正周期为（2），π2252,233k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦Z k ∈21．【答案】(1) (2)8ba =-1b ≤-【详解】（1）解：因为不等式的解集是，所以，关于的方程()0f x ≤[]2,6-x 的两根分别为、，所以，，解得，，因此，2240x ax b +-=2-6262264ab -+=-⎧⎨-⨯=-⎩2a =-3b =22．【答案】（1）；（2）；（3）的面积有最小值，其最60+40(2m CMN △小值是(212002m【详解】解：（1）∵，，，∴40m AC=BC =AC BC⊥tan AC B BC ==，∴，∴，∴，在中，30B =︒60A =︒280AB AC ==ACM △由余弦定理可得2222cos CM AC AM AC AM A=+-⋅⋅，则116004002402012002=+-⨯⨯⨯=CM =，∴，∵，∴222AC AM CM =+CM AB ⊥30MCN ∠=︒，∴，∴护栏的长度（tan 3020MN CM =︒=240CN MN ==的周长）为....4分MNC 204060++=+（2）设（），因为鱼塘的面积是“民宿”的面积的ACM θ∠=060θ︒<<︒MNC △CMA △，即，11sin 30sin 22CN CM CA CM θ⋅︒=⋅CN θ=，由三角形外角定理可得，在中，60BCN θ︒∠=-90CNA B BCN θ︒∠=∠+∠=-CAN △由，得，()40sin 60sin 90cos CN CA θθ==︒︒-CN =θ=1sin 22θ=由，得，所以，即.中，02120θ︒<<︒230θ=︒15θ=︒15ACM ∠=︒CAM △，由可得105AMC ∠= sin105sin15AC AM =︒︒40sin1540sin1540sin15sin105sin(9015)cos15AM ︒︒︒===︒︒+︒︒ (8)分240sin15cos1520sin3040(2m 1cos30cos 152︒︒︒===+︒︒（3）鱼塘的面积有最小值，理由如下：设，由（2）知MNC △()060ACM θθ∠=︒<<︒，中，由外角定理可得CN =90BCM θ︒∠=-BCM △,又在中，由，得120CMA B BCM θ︒∠=∠+∠=-ACM △()sin60sin 120CM CAθ=︒︒-CM =A()1300sin 302sin 120cos CMN S CM CN θθ=⋅⋅︒==︒-△，所以当且仅当，==26090θ+︒=︒即时，的面积取最小值为........12分15θ=︒CMN △(212002m。
广东省2023-2024学年高一下学期第一次月考试题 数学含答案
2023-2024学年第二学期高一教学质量检测数学试卷（答案在最后）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知()2,1a =- ，()1,1b =- ，则()()23a b a b +⋅-等于（）A.10B.-10C.3D.-32.函数()2cos 2f x x x =是（）A.周期为2π的奇函数 B.周期为2π的偶函数C.周期为4π的奇函数 D.周期为4π的偶函数3.将向量()1,1OA = 绕坐标原点O 逆时针旋转60°得到OB ，则OA AB ⋅=（）A.-2B.2C.-1D.14.一个质点受到平面上的三个力1F ，2F ，3F （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态，已知1F ，2F成60°角且12F = ，24F = ，则3F =（）A.6B.2C. D.5.在ABC △中，若sin cos a B A =，且sin 2sin cos C A B =，那么ABC △一定是（）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形6.请运用所学三角恒等变换公式，化简计算tan102sin102︒+︒，并从以下选项中选择该式子正确的值（）A.12C.2D.17.在ABC △中，D 是AB 的中点，E 是CD 的中点，若AE CA CB λμ=+，则λμ+=（）A.34-B.12-C.34D.18.已知菱形ABCD 的边长为1，60ABC ∠=︒，点E 是AB 边上的动点，则DE DC ⋅的最大值为（）.A.1B.32C.12D.32二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分.9.下列关于平面向量的命题正确的是（）A.若a b ∥ ，b c ∥ ，则a c∥ B.两个非零向量a ，b 垂直的充要条件是：0a b ⋅=C.若向量AB CD =，则A ，B ，C ，D ，四点必在一条直线上D.向量()0a a ≠ 与向量b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b aλ= 10.如图，函数()()2tan 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，且满足ABC △的面积为2π，则下列结论不正确的是（）A.4ω=B.函数()f x 的图象对称中心为,082k ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k ∈Z C.()f x 的单调增区间是5,8282k k ππππ⎛⎫++⎪⎝⎭，k ∈Z D.将函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度后可以得到函数2tan y x ω=的图象11.如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在s t 时相对于平衡位置的高度h （单位：cm ）由关系式()sin h A t ωϕ=+，[)0,t ∈+∞确定，其中0A >，0ω>，(]0,ϕπ∈.小球从最高点出发，经过2s 后，第一次回到最高点，则（）A.4πϕ=B.ωπ=C. 3.75s t =与10s t =时的相对于平衡位置的高度h 之比为22D. 3.75s t =与10s t =时的相对于平衡位置的高度h 之比为12三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.如图，在正六边形ABCDEF 中，2AF ED EF AB -++=__________.13.已知(2a = ，若向量b 满足()a b a +⊥ ，则b 在a方向上的投影向量的坐标为__________.14.已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，ABC △3，且2cos 2b A c a =-，4a c +=，则ABC △的周长为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知α，β为锐角，1tan 2α=，()5cos 13αβ+=.（1）求cos 2$α的值；（2）求()tan αβ-的值.16.（15分）已知4a = ，2b = ，且a 与b的夹角为120°，求：（1）2a b -；（2）a 与a b +的夹角；（3）若向量2a b λ- 与3a b λ-平行，求实数λ的值.17.（15分）如图，四边形ABCD 中，1AB =，3BC =，2CD DA ==，60DCB ∠=︒.（1）求对角线BD 的长：（2）设DAB θ∠=，求cos θ的值，并求四边形ABCD 的面积.18.（17分）如图，某公园摩天轮的半径为40m ，圆心距地面的高度为50m ，摩天轮做匀速转动，每3min 转一圈，摩天轮上的点P 的起始位置在最低点处.（1）已知在时刻t （单位：min ）时点P 距离地面的高度()()sin f t A t h ωϕ=++（其中0A >，0ω>，ϕπ<，求函数()f t 解析式及2023min 时点P 距离地面的高度；（2）当点P距离地面(50m +及以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中有多少时间可以看到公园的全貌？19.（17分）设向量()12,a a a = ，()12,b b b = ，定义一种向量()()()12121122,,,a b a a b b a b a b ⊗=⨯=.已知向量12,2m ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，,03n π⎛⎫= ⎪⎝⎭，点()00,P x y 为函数sin y x =图象上的点，点(),Q x y 为()y f x =的图象上的动点，且满足OQ m OP n =⊗+（其中O 为坐标原点）.（1）求()y f x =的表达式并求它的周期；（2）把函数()y f x =图象上各点的横坐标缩小为原来的14倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象.设函数()()()h x g x t t =-∈R ，试讨论函数()h x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的零点个数.2023-2024学年第二学期高一教学质量检测数学答案1.B 【详解】由向量()2,1a =- ，()1,1b =- ，可得()24,3a b +=- ，()31,2a b -=-，所以()()()()23413210a b a b +⋅-=⨯-+-⨯=-.2.A 【详解】由题意得()2cos 2sin 42f x x x x ==，所以()()()4sin 422f x x x f x -=-=-=-，故()f x 为奇函数，周期242T ππ==.3.C 【详解】因为OA == OB = ，()21212OA AB OA OB OA OA OB OA ⋅=⋅-=⋅-=-=- .4.D 【详解】∵物体处于平衡状态，∴1230F F F ++=，即()312F F F =-+ ，∴312F F F =+===5.D 【详解】因为sin cos a B A =，则sin sin cos A B B A =，因为(),0,A B π∈，则sin 0B >，所以tan A =，则3A π=，又因为sin 2sin cos C A B =，A B C π++=，则()sin 2sin cos A B A B +=，则sin cos cos sin 2sin cos A B A B A B +=，即sin cos cos sin 0A B A B -=，即()sin 0A B -=，又因为(),0,A B π∈，则A B ππ-<-<，所以3A B π==，即3A B C π===.即ABC △一定是等边三角形，故D 正确.6.A 【详解】2sin102cos10tan102sin102sin1022cos102cos10︒︒+︒⨯︒︒+︒=+︒=︒︒()2sin 30102sin 202cos102cos10︒+︒-︒︒+︒==︒︒()2sin 30cos10cos30sin102cos10︒+︒︒-︒︒=︒cos10cos1012cos102cos102︒+︒︒︒===︒︒7.B 【详解】ABC △中，D 是AB 的中点，E 是CD 的中点，则()1111113122222244AE AC AD AC AB AC AC CB CA CB ⎛⎫⎛⎫=+=+=++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以34λ=-，14μ=，所以12λμ+=-.8.D 【详解】设AE x =，[]0,1x ∈，()DE DC DA AE DC DA DC AE DC⋅=+⋅=⋅+⋅113cos cos0,222DA DC ADC AE DC x ⎡⎤=⋅∠+︒=+∈⎢⎥⎣⎦ ，∴DE DC ⋅ 的最大值为32.故选：D.9.BD 【详解】对于A ，当0b =时，不一定成立，A 错误；对于B ，两个非零向量a ，b ，当向量a ，b 垂直可得0a b ⋅= ，反之0a b ⋅= 也一定有向量a ，b垂直，∴B 正确；对于C ，若向量AB CD = ，AB 与CD方向和大小都相同，但A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上，∴C 错误；对于D ，由向量共线定理可得向量()0a a ≠ 与向量b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b a λ=，∴D 正确.10.ABD 【详解】A ：当0x =时，()02tan 24OC f π===，又2ABC S π=△，所以112222ABCS AB OC AB π==⨯=△，得2AB π=，即函数()f x 的最小正周期为2π，由T πω=得2ω=，故A 不正确；B ：由选项A 可知()2tan 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，令242k x ππ+=，k Z ∈，解得48k x ππ=-，k Z ∈，即函数()f x 的对称中心为,048k ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，k Z ∈，故B 错误；C ：由32242k x k πππππ+<+<+，k Z ∈，得58282k k x ππππ+<<+，k Z ∈，故C 正确；D ：将函数()f x 图象向右平移8π个长度单位，得函数2tan 2y x =的图象，故D 不正确.11.BC 【详解】对于AB ，由题可知小球运动的周期2s T =，又0ω>，所以22πω=，解得ωπ=，当0s t =时，sin A A ϕ=，又(]0,ϕπ∈，所以2πϕ=，故A 错误，B 正确；对于CD ，则sin cos 2h A t A t πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以 3.75s t =与10s t =时的相对于平衡位置的高度之比为()()15cos coscos 3.75244cos 10cos10cos 02A A πππππ⎛⎫- ⎪⨯⎝⎭===⨯，故C 正确D 错误.故选：BC.12.0【详解】由题意，根据正六边形的性质()222AF ED EF AB AF ED EF AB AF DF AB-++=--+=++ 22220AF CA AB CF AB BA AB =++=+=+= .故答案为：0.13.(1,-【详解】由题意知()a b a +⊥ ，故()0a b a +⋅= ，所以20a a b +⋅=，而(a =，则a ==23a b a ⋅=-=- ，则b 在a方向上的投影向量为(1,a a aab ⋅⋅==- ，即b在a方向上的投影向量的坐标为(1,-，故答案为：(1,-.14.6【详解】∵2cos 2b A c a =-，∴222222b c a b c a bc+-⋅=-，∴22222b c a c ac +-=-，∴222a cb ac+-=∴2221cos 22a cb B ac +-==∵0B π<<，∴3B π=，∵1sin 24ABC S ac B ac ===△∴4ac =，∵4a c +=，∴2a c ==，又3B π=，∴ABC △是边长为2的等边三角形，∴ABC △的周长为6.15.【详解】（1）22222211cos sin 1tan 34cos 21cos sin 1tan 514ααααααα---====+++；（2）由1tan 2α=，得22tan 14tan 211tan 314ααα===--，因为α，β为锐角，所以,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()0,αβπ+∈，又因()5cos 13αβ+=，所以0,2παβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以()12sin 13αβ+==，所以()()()sin 12tan cos 5αβαβαβ++==+，则()()()()412tan 2tan 1635tan tan 24121tan 2tan 63135ααβαβααβααβ--+-=-+==-⎡⎤⎣⎦+++⨯.16.【详解】（1）2a b -====（2）因为()2222168412a ba ab b +=+⋅+=-+=，所以a b += ，又()216412a a b a a b ⋅+=+⋅=-=，所以()3cos ,2a a b a a b a a b⋅++===+ ，又[],0,a a b π+∈ 所以a 与a b + 的夹角为6π；（3）因为向量2a b λ- 与3a b λ-平行，所以存在实数k 使()233a b k a b ka kb λλλ-=-=- ，所以23kkλλ=⎧⎨-=-⎩，解得λ=17.【详解】（1）解：连接BD ，在BCD △中，3BC =，2CD =，60DCB ∠=︒得：22212cos 9423272BD CD BC CD BC DCB =+-⨯⨯∠=+-⨯⨯⨯=∴BD =（2）在ABD △中，由DAB θ∠=，1AB =，2DA =，7BD =2221471cos 22122AB DA BD AB DA θ+-+-===-⨯⨯⨯，∴120θ=，四边形ABCD 的面积：11sin sin 22BCD ABC S S S BC CD BCD AB AD θ=+=⨯⨯⨯∠+⨯⨯⨯△△∴13133212232222S =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=.18.【详解】（1）依题意，40A =，50h =，3T =，则23πω=，所以()240sin 503f t t πϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭，由()010f =可得，40sin 5010ϕ+=，sin 1ϕ=-，因为ϕπ<，所以2πϕ=-.故在时刻t 时点P 距离地面的离度()()240sin 50032f t t t ππ⎛⎫=-+≥⎪⎝⎭.因此()2202340sin 2023507032f ππ⎛⎫=⨯-+=⎪⎝⎭，故2023min 时点P 距离地面的高度为70m.（2）由（1）知()2240sin 505040cos 323f t t t πππ⎛⎫⎛⎫=-+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中0t ≥.依题意，令()503f t ≥+240cos 33t π⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭23cos 32t π⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，解得52722636k t k πππππ+≤≤+，k ∈Z .则573344k t k +≤≤+，k ∈Z .由75330.544k k ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可知转一圈中有0.5min 时间可以看到公园全貌.19.【详解】（1）因为12,2m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()00,OP x y =，因为点()00,P x y 为sin y x =的图象上的动点，所以00sin y x =，0000112,2,sin 22m OP x y x x ⎛⎫⎛⎫⊗== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；因为OQ m OP n =⊗+ ，所以()000011,2,sin ,02,sin 2332x y x x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以00231sin 2x x y x π⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即0032sin 2x x x y π⎧-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，所以()11sin 226y f x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，它的周期为4T π=；（2）由（1）知()1sin 226g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎣⎦，当262x ππ-=时，3x π=所以()1sin 226g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，其函数图象如下图所示：由图可知，当12t=或1144t-≤<时，函数()h x在区间0,2π⎡⎤⎢⎣⎦内只有一个零点，当1142t≤<时，函数()h x在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有两个零点，当14t<-或12t>时，函数()h x在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内没有零点.。
下学期高一年级第一次月考数学试卷(2021附答案)
下学期高一年级第一次月考数学试卷（2021附答案）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、下列表述正确的是：（ ）Ａ、+∈N 0 Ｂ、R ∉π Ｃ、Q ∉1 Ｄ、Z ∈0 2、下列四个集合中，表示空集的是：（ ）Ａ、}0{ Ｂ、},,),{(22R y R x x y y x ∈∈-= Ｃ、},,5{N x Z x x x ∉∈= Ｄ、},0232{2N x x x x ∈=-+ 3、函数b x k y ++=)12(在R 上是减函数，则（ ）Ａ、5.0>k Ｂ、5.0<k Ｃ、5.0->kＤ、5.0-<k4、函数）x f y (=的图像与直线a x =的交点共有（ ）Ａ、0 个 Ｂ、1 个 Ｃ、0个或1个 Ｄ、可能多于1个5、已知全集U R =，则正确表示集合{1,0,1}M =-和{}2|0N x x x =+= 关系的韦恩图是（ ）6、设U =R ，{|0}A x x =>，{|1}B x x =>，则B C A U ⋂= ( )A 、{|01}x x ≤<B 、{|01}x x <≤C 、{|0}x x <D 、{|1}x x >7、集合{}0,2,A a =,{}21,B a =,若{}0,1,2,4,16A B =,则a 的值为( )A 、0B 、1C 、2D 、48、已知)(x f 为R 上的减函数，则满足)1()1(f x f >的实数x 的取值范围是：（ ）Ａ、)1,(-∞ Ｂ、),1(+∞ Ｃ、)1,0()0,(⋃-∞ Ｄ、),1()0,(+∞⋃-∞二、填空题（本大题共7个小题，每小题5分，满分35分，请将正确的答案填在横线上。
）9、某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为__ 10、已知函数23)1(+=+x x f ，则)(x f 的解析式为：__11方程组⎩⎨⎧=-=+9122y x y x 的解集是 . 12. 已知函数2(4)()(1)(4)x x f x f x x ⎧<=⎨-≥⎩, 则(5)f _____________13．函数c bx x y ++=2))1,((-∞∈x 是单调函数时，b 的取值范围 . 14、函数()f x 的定义域为),(b a ，且对其内任意实数12,x x 均有：1212()()0f x f x x x -<-，则()f x 在),(b a 上是 __函数（增、减性）15、设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -∉且1k A +∉，那么k 是A的一个“孤立元”，给定{1,2,3,4,5,6,7,8,}S =，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个答卷一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案二、填空题：9．__________________10．__________________ 11．__________________ 12．__________________ 13．__________________ 14．__________________ 15．__________________三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．(本小题满分12分)设集合}32,3,2{2-+=a a U ，}2|,12{|-=a A ，}5{=A C U ，求实数a 的值.17．(本小题满分12分)用定义证明：函数4()f x x x=+在[)2,x ∈+∞上是增函数18．(本小题满分12分)已知集合A={x|x 2－3x+2=0},B={x|x 2－ax+3a －5=0},若A ∩B=B ， 求实数a 的值．19．(本小题满分13分)已知)(x f 为二次函数，若0)0(=f ，且1)()1(++=+x x f x f ，求)(x f 的表达式.20．(本小题满分13分)如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 在AM 上，D 在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知|AB|＝3米，|AD|＝2米，（1）设AN 的长为x 米，用x 表示矩形AMPN 的面积？（2） 要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则AN 的长应在什么范围内？ABCDMNP21．(本小题满分13分) 已知数集1212{,,}(1,2)n n A a a a a a a n =≤<<≥具有性质P ；对任意的,(1)i j i j n ≤≤≤，i j a a 与j ia a 两数中至少有一个属于A 。
天津市重点高一下学期第一次月考数学试题(解析版)
一、单选题1．若角的终边上一点的坐标为，则( ) α(11)-，cos α=A ．B ．CD ．1-1【答案】C【分析】根据任意角三角函数的定义即可求解.【详解】∵角的终边上一点的坐标为，它与原点的距离 α(11)-，r ==∴ cos x r α===故选：C.2．下列说法正确的是（ ） A ．第二象限角比第一象限角大 B ．角与角是终边相同角60︒600︒C ．三角形的内角是第一象限角或第二象限角D ．将表的分针拨慢分钟，则分针转过的角的弧度数为 10π3【答案】D【分析】举反例说明A 错误；由终边相同角的概念说明B 错误；由三角形的内角的范围说明C 错误；求出分针转过的角的弧度数说明D 正确．【详解】对于，是第二象限角，是第一象限角，，故A 错误； A 120︒420︒120420︒<︒对于B ，，与终边不同，故B 错误；600360240︒=︒+︒60︒对于C ，三角形的内角是第一象限角或第二象限角或轴正半轴上的角，故C 错误； y 对于D ，分针转一周为分钟，转过的角度为，将分针拨慢是逆时针旋转， 602π钟表拨慢分钟，则分针所转过的弧度数为，故D 正确．∴101π2π63⨯=故选:D ．3．下列叙述中正确的个数是：（ ）①若，则；②若，则或；③若，则④若a b = 32a b >a b = a b = a b =- ma mb = a b = ，则⑤若，则,a b b c ∥∥a c ∥a b = a bA A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】由向量不能比较大小判断①；举例判断②；由时判断③；由时判断④；由相0m =0b =等向量和平行向量的关系判断⑤.【详解】解：因为向量不能比较大小，所以①错误， 如单位向量模都为1，方向任意，所以②错误，当时，，但是与不一定相等，所以③错误， 0m =0ma mb ==r r ra b 当时，和可能不平行，所以④错误， 0b = a c两个向量相等则它们一定平行，所以⑤正确， 故选：B4．若，则（ ） sin cos θθ-=44sin cos +=θθA ．B ．C ．D ．34567889【答案】C【分析】根据同角三角函数的基本关系和二倍角的正弦公式可得，结合 1sin 22θ=计算即可.44sin cos +=θθ211sin 22θ=-【详解】 sin cos θθ-=得，即，221sin 2sin cos cos 2θθθθ-+=11sin 22θ-=所以， 1sin 22θ=所以 4422222sin cos (sin cos )2sin cos θθθθθθ+=+-.2211171sin 21()2228θ=-=-⨯=故选：C5．已知，则（ ） 1sin()3πα+=3cos 2πα⎛⎫-=⎪⎝⎭A ．B ．C ．D 13-13【答案】B【分析】已知等式左边利用诱导公式化简求出的值，原式利用诱导公式化简后将的值代sin a sin a 入计算即可求出值.【详解】()1sin sin ,3παα+=-= 31cos()sin .23παα∴-=-=故选：B【点睛】诱导公式可以将任意角的三角函数转化为锐角三角函数，因此常用于化简求值，一般步骤：任意负角的三角函数→任意正角的三角函数→的三角函数→锐角的三角函数.[0,2)π6．已知，的值为0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin 23πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭A B C D 【答案】D【详解】sin 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭3sin )sin 2,cos sin 5θθθθθ⇒-=⇒=>πππ4(0,(0,),2(0,22425θθθθ∈∴∈∈=所以，选D. sin 23πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭314525=⨯+=7．在中,,则是 ABC ∆AB BC AB BC ==+ ABC ∆A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形【答案】B【解析】根据向量的线性运算化简判定即可.【详解】,则,故是等边三角形.AB BC AC +=||||||AB BC AC == ABC ∆故选：B【点睛】本题主要考查了利用向量判定三角形形状的方法,属于基础题型.8．定义为中较大的数，已知函数，给出下列命题： {}max ,a b ,a b (){}max sin ,cos f x x x =①为非奇非偶函数； ()f x ②的值域为；()f x []1,1-③是以为最小正周期的周期函数； ()f x π④当时，. ()π2π2ππZ 2k x k k -+<<+∈()0f x >其中正确的为（ ） A ．②④ B ．①③C ．③④D ．①④【答案】D【分析】作出函数的图象，利用图象确定出奇偶性，值域，周期，单调区间，即可求解. ()f x 【详解】解：作出函数的图象，如下：()f x令，则，，解得，，sin cos x x =π04x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ππ4x k -=Z k ∈ππ4x k =+Z k ∈当，时 5π2π4x k =+Z k ∈()f x =由图可知，是非奇非偶函数，值域为，故①正确，②错误； ()f x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦因为是以为最小正周期的周期函数，故③错误； ()f x 2π由图可知，时，，故④正确. ()π2π2ππZ 2k x k k -+<<+∈()0f x >故选：D.9．的值为（ ） sin 45cos15cos 225sin15⋅+⋅A ．B ．C ．D 1212-【答案】A【分析】利用差的正弦公式化简计算.【详解】sin 45cos15cos 225sin15sin 45cos15cos 45sin15︒︒︒︒=︒︒︒︒⋅+⋅⋅-⋅. ()1sin 4515sin 302=︒-︒=︒=故选：A.10．已知函数是奇函数，且的最小正周期为，将()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωϕπ=+>><()f x π的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为()y f x =2()g x．若（ ） 4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫=⎪⎝⎭A ．B ． 2-C D ．2【答案】C【分析】先根据原函数的奇偶性及周期性确定的值，然后得到的解析式，再根据,ωϕ()g x，最后求解的值. 4g π⎛⎫⎪⎝⎭A 38f π⎛⎫ ⎪⎝⎭【详解】因为函数是奇函数，且其最小正周期为，()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωϕπ=+>><π所以，则，得．0,2ϕω==()sin 2f x A x =()sin g x A x =又，故，sin 44g A ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭2A =()2sin 2f x x =所以，332sin84f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭故选：C.【点睛】本题考查型函数的图象及性质，难度一般.解答时先要()()()sin +0,0f x A x b A ωϕω=+>>根据题目条件确定出、及的值，然后解答所给问题. A ωϕ11．函数(其中，)的图象如下图所示，为了得到的图象，()sin()f x x ωϕ=+0ω>02πϕ<≤sin y x =则需将的图象（ ）()y f x =A ．横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位 124πB ．横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位128πC ．横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位 4πD ．横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位8π【答案】C【解析】先根据图象的特点可求出，然后再根据周期变换与相位变换即可得出()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭答案.【详解】由图可知，，所以，故， 1732882T πππ=-=T π=22T πω==故函数，()()sin 2f x x ϕ=+又函数图象经过点，故有，即， 3,08π⎛⎫ ⎪⎝⎭3sin 208πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭328k πϕπ⨯+=所以（）， 34πφk π=-Z k ∈又，所以，02πϕ<≤4πϕ=所以，()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故将函数图象的横坐标伸长到原来的2倍得到的图象，然后再向()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭4y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭右平移个单位即可得到的图象.4πsin y x =故选：C .【点睛】本题考查由三角函数图象确定解析式，考查三角函数图象的平移伸缩变换，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查数形结合思想，属于常考题.12．已知函数，给出以下四个命题：①的最小正周期为；②()sin (sin cos )f x x x x =⋅+()f x π()f x 在上的值域为；③的图像关于点中心对称；④的图像关于直线0,4⎡⎤⎢⎣⎦π[]0,1()f x 51,82π⎛⎫⎪⎝⎭()f x 对称．其中正确命题的个数是（ ）118x π=A ． B ．C ．D ．1234【答案】D【解析】化简，根据函数的周期，值域，对称性逐项验证，即可求得结()sin (sin cos )f x x x x =⋅+论.【详解】2()sin (sin cos )sin cos sin 1111sin 2cos 2,22242f x x x x x x xx x x π=⋅+=⋅+=-+=-+周期为，①正确；()f x π110,,2[,[,4444422x x x πππππ⎡⎤∈-∈--∈-⎢⎥⎣⎦的值域为，②正确；()f x []0,1，③正确； 511(822f ππ=+=为的最大值，11511()8222f ππ=+=()f x ④正确. 故选:D【点睛】本题考查三角函数的化简，以及三角函数的性质，属于中档题.二、填空题13．若，则_______． 2sin 3α=sin()πα-=【答案】23【解析】直接利用诱导公式得到答案. 【详解】 2sin()sin 3παα-==故答案为：23【点睛】本题考查了诱导公式，属于简单题.14．向量_________AB MB BO BC OM +=+++【答案】##ACCA - 【分析】利用向量加法的三角形法则及向量加法的运算律即可求解.【详解】()()AB MB BO BC OM AB BO MB BC OM +++=+++++ .()AO MC OM AO OM MC AM MC AC +=+=+=++=故答案为：.AC15．函数________.y =【答案】 72,2,66k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 【分析】根据使函数有意义必须满足，再由正弦函数的性质得到的范围． 12sin 0x -≥x 【详解】由题意得：12sin 0x -≥ 1sin 2x ∴≤ 722,66k x k k ππππ∴-≤≤+∈Z 即 72,2,66x k k k ππππ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦Z 故答案为 72,2,66k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 【点睛】本题考查关于三角函数的定义域问题，属于基础题．16．若方程在上有解,则实数m 的取值范围是________.sin 41x m =+[]0,2x π∈【答案】1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】先求出的范围，将代入，解不等式即可得m 的取值范围. sin x sin 41x m =+【详解】解：， [][]0,2,sin 1,1x y x π∈∴=∈- ，[]1sin 114,x m ∈-+∴=，1,02m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦故答案为：1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查方程有解问题，可转化为函数的值域问题，是基础题. 17．下列五个命题：①终边在轴上的角的集合是； y π,2k k αα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭Z ∣②在同一坐标系中，函数的图象和函数的图象有三个公共点； sin y x =y x =③把函数的图象向右平移个单位长度得到的图象；π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π63sin2y x =④函数在上是单调递减的；πsin 2y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭[]0,π⑤函数的图象关于点成中心对称图形.πtan 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭其中真命题的序号是__________. 【答案】③⑤【分析】①终边在y 轴上的角的集合为；②根据的大小关系判断；③ππ,2k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z sin ,x x 根据三角函数的图象的平移变换规律判断；④根据正弦函数的单调性判断；⑤根据正切函数的对称性判断.【详解】①终边在y 轴上的角的集合为，故①错误；ππ,2k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ②在同一直角坐标系中，函数的图象和函数的图象有一个公共点，为原点，当sin y x =y x =0x =时，；当时，；sin x x =1x ≥sin x x <当时，如图，在单位圆中，轴，，弧的长度为，则；所以01x <<PM Ox ⊥=sin PM x PA x sin x x <当时，.0x >sin x x <同理当时，，所以函数的图象和函数的图象有一个公共点，0x <sin x x >sin y x =y x =故②错误；③的图象向右平移得到的图象，故③正确；π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π6ππ3sin 23sin263y x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦④，在上是增函数，故④错误；πsin cos 2y x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭()0,π⑤当时，代入函数中可得，，则可知是对称中心，π6x =-ππtan 2tan0063y ⎡⎤⎛⎫=⨯-+== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭故⑤正确. 故答案为：③⑤.18．函数的部分图象如图所示.若方程()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭有实数解，则的取值范围为__________.()π2cos 43f x x a ⎛⎫++= ⎪⎝⎭a【答案】94,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】根据图象求出函数的解析式为，求出()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令()2ππππ2sin 22cos 42sin 2212sin 26366g x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，根据二次函数的性质，即可求出结果.[]πsin 2,1,16t x t ⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭【详解】解：由图可知，， 2A =2πππ2362T =-=所以，即，πT =2ππω=⇒2ω=当时，，可得，π6x =()2f x =πππ2sin 222π632k ϕϕ⎛⎫⨯+=⇒+=+ ⎪⎝⎭即，因为，所以，π2π,6k k ϕ=+∈Z π2ϕ<π6ϕ=所以函数的解析式为，()f x ()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭设，()()π2cos 43g x f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭则，()ππ2sin 22cos 463g x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2ππ2sin 2212sin 266x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦令，[]πsin 2,1,16t x t ⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭记，()2219422444h t t t t ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭因为，所以，[]1,1t ∈-()94,4h t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦即，故，()94,4g x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦94,4a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦故的取值范围为.a 94,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故答案为：.94,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦19．如图，四边形是平行四边形，点P 在上，判断下列各式是否正确（正确的在括号内ABCD CD 打“√"，错误的打“×”）（1）．() DA DP PA +=（2）．() DA AB BP DP ++=（3）．()AB BC CP PA ++=【答案】 × √ ×【解析】（1）由图形得；（2）、（3）利用向量加法几何意义；DA DP PA -=【详解】对（1），因为，故（1）错误；DA DP PA -=对（2），利用向量加法三角形首尾相接知，（2）正确；DA AB BP DP ++=对（3），，故（3）错误.AB BC CP AP ++= 故答案为：(1) ×；(2) √；(3) ×【点睛】本题考查平面向量加法的几何意义，考查数形结合思想，求解时注意三角形法则的运用.三、解答题20．已知函数． 2()cos cos f x x x x =-(1)求的最小正周期；()f x (2)当时，讨论的单调性并求其值域．ππ[,]62x ∈-()f x 【答案】(1)π(2)时，单调递增，时，单调递减，值域为ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()f x ππ,32x ⎡⎤∈⎢⎣⎦()f x 31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）对化简后得到，利用求最小正周期；（2）整体法()f x ()π1sin 262f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭2πT ω=求解函数单调性及其值域.【详解】（1） 1cos 2ππ1π1()2sin 2cos cos 2sin sin 2266262x f x x x x x +⎛⎫=-=--=-- ⎪⎝⎭所以的最小正周期为． ()f x 2ππ2=（2）当时，．ππ,62x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦52,πππ626x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦故当，即时，单调递增，πππ2262x --……ππ63x -……()f x 当，即时，单调递减． ππ5π2266x -……ππ32x ……()f x 当时，，52,πππ626x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦π1sin 216x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭……所以，即的值域为31()22f x -……()f x 31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦21．设，是两个不共线的向量，已知，，. 1e 2e 1228AB e e =- 123CB e e =+ 122CD e e =-(1)求证：，，三点共线；A B D (2)若，且，求实数的值.123BF e ke =-u r u u u r u r //B B F Dk 【答案】(1)证明见解析 (2) 12【分析】（1）由题意证明向量与共线，再根据二者有公共点，证明三点共线；AB BDB （2）根据与共线，设由（1）的结论及题意代入整理，结合，是两BF BD() R BF BD λλ∈= 1e 2e 个不共线的向量，构造方程解实数的值.k【详解】（1）由已知得, 121212))(2(34BD CD CB e e e e e e =-+=-=--因为，所以,1228AB e e =- 2AB BD = 又与有公共点，所以，，三点共线；AB BDB A B D （2）由（1）知，若，且，124BD e e =- 123BF e ke =-u r u u u r u r //B B F D可设,() R BF BD λλ∈=所以，即，121234e ke e e λλ-=-12(3)(4)e k e λλ-=- 又，是两个不共线的向量，1e 2e所以解.3040k λλ-=⎧⎨-=⎩12k =22．已知函数，且的最小正周期为. 2()cos 2cos (0)f x x x x ωωωω=+>()f x π（1）求ω的值及函数f (x )的单调递减区间； （2）将函数f (x )的图象向右平移个单位长度后得到函数g (x )的图象，求当时，函数6π0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦g (x )的最大值.【答案】（1）ω=1，单调递减区间为；（2）3. 2[,],63k k k ππ+π+π∈Z 【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得，利用周()2sin(2)16f x x πω=++期公式即可解得的值，利用正弦函数的图象和性质，令，即可解得ω3222262k x k πππππ+++……的单调减区间．()f x （2）根据函数的图象变换可求，由的范围，可求sin()y A x ωϕ=+()2sin(2)16g x x π=-+x ，由正弦函数的图象和性质即可得解． 52666x πππ--……【详解】解：（1），()21cos 22sin(2)16f x x x x πωωω++=++，， 22T πππω=⇒=1ω∴=从而：，令， ()2sin(2)16f x x π=++3222262k x k πππππ+++……得， 263k x k ππππ++……的单调减区间为．()f x ∴2[,],63k k k ππ+π+π∈Z（2），()2sin[2()]12sin(21666g x x x πππ=-++=-+，， [0,2x π∈∴52666x πππ--……当，即时，． ∴226x ππ-=3x π=()2113max g x =⨯+=【点睛】本题主要考查了函数的图象变换，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的sin()y A x ωϕ=+图象和性质，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．23．已知数的相邻两对称轴间的距离为. 2()2sin 1(0)6212x f x x πωπωω⎛⎫⎛⎫=+++-> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2π(1)求的解析式； ()f x (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），()f x 6π12得到函数的图象，当时，求函数的值域；()y g x =,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()g x (3)对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为()g x 4()3g x =4,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦12,,nx x x ，若，试求与的值. m =1231222n n x x x x x -+++++ n m 【答案】(1) ()2sin 2f x x =(2) [-(3) 205,3n m π==【分析】（1）先整理化简得，利用周期求得，即可得到； ()2sin f x x ω=2ω=()2sin 2f x x =（2）利用图像变换得到，用换元法求出函数的值域；()sin()243g x x π=-()g x （3）由方程，得到，借助于正弦函数的图象，求出与的值.4()3g x =2sin(4)33x π-=sin y x =n m【详解】（1）由题意，函数21())2sin ()1626f x x x ππωω⎡⎤=+++-⎢⎥⎣⎦cos()2sin()2sin 6666x x x x ππππωωωω=+-+=+-=因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得.()f x 2πT π=2ω=故()2sin 2f x x =（2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象.()f x 6π2sin(2)3y x π=-再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象.12()2sin(4)3y g x x π==-当时，，,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦24,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎣⎦当时，函数取得最小值，最小值为，432x ππ-=-()g x 2-当时，函数433x ππ-=()g x故函数的值域. ()g x ⎡-⎣（3）由方程，即，即，4()3g x =42sin(4)33x π-=2sin(4)33x π-=因为，可得，4,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦4,533x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦设，其中，即，结合正弦函数的图象， 43x πθ=-,53πθπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2sin 3θ=sin y x =可得方程在区间有5个解，即， 2sin 3θ=,53ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦5n =其中， 122334453,5,7,9θθπθθπθθπθθπ+=+=+=+=即 12233445443,445,447,44933333333x x x x x x x x ππππππππππππ-+-=-+-=-+-=-+-=解得 1223344511172329,,,12121212x x x x x x x x ππππ+=+=+=+=所以. m =()()()()1212345233445223220x x x x x x x x x x x x x π=++++++++++++= 综上， 2053n m π==，【点睛】（1）三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于或sin y x =cos y x =的性质解题；（2）求y =A sin(ωx +φ)+B 的值域通常用换元法；。
2023-2024学年吉林省四平市四平第一高级中学高一(下)第一次月考数学试卷(含解析)
2023-2024学年吉林省四平第一高级中学高一（下）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数z=2(cosπ3+isinπ3)虚部是( )A. 3B. 1C. sinπ3D. cosπ32.在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，BC=32，则AC=( )A. 43B. 23C. 3D. 323.已知向量AB=(7,6)，BC=(−3,m)，AD=(−1,2m)，若A，C，D三点共线，则m=( )A. 32B. 23C. −32D. −234.已知向量a=(3,4)，b=(−2,m)，c=(2,−1)，若(a+b)⊥c，则m=( )A. −6B. −2C. 6D. 1325.在△ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是( )A. a=4，b=5，c=6B. a=3，b=2，A=45°C. a=10，A=45°，B=70°D. a=3，b=2，A=60°6.已知复数z满足|z−1|=1，则|z+2−2i|的最大值为( )A. 13−1B. 13C. 13+1D. 227.某校高一年级开展课外实践活动，数学建模课题组的学生选择测量山峰的高度.如图，在山脚A测得山顶P的仰角为60°，沿倾斜角为30°的斜坡向上走了90米到达B点(A,B,P,Q在同一个平面内)，在B处测得山顶P的仰角为75°，则山峰高PQ为( )A. 45(3+3)米B. 45(2+3)米C. 90(3−1)米D. 90(3+1)米8.已知点P是△ABC所在平面内的动点，且满足OP=OA+λ(AB|AB|AC|AC|λ>0)，射线AP与边BC交于点D，若∠BAC=2π3，|AD|=1，则|BC|的最小值为( )A. 3B. 2C. 23D. 43二、多选题：本题共3小题，共18分。
吉林省四平市第一高级中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题
吉林省四平市第一高级中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．复数ππ2cos isin 33z ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭虚部是（ ） AB ．1C ．πsin 3D ．πcos 32．在△ABC 中，若60A ∠=，45B ∠=，BC =AC =（ ）A ．B ．CD 3．已知向量()7,6AB =，()3,BC m =−，()1,2AD m =−，若A ，C ，D 三点共线，则m =（ ）A ．32B ．23 C ．32− D ．23− 4．已知向量(3,4)a =，(2,)b m =−，(2,1)c =−，若()a b c +⊥，则m =（ ） A ．6− B ．2− C ．6 D ．132 5．在ABC 中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）A ．4a =，5b =，6c =B ．a =2b =，45A =oC ．10a =，45A =o ，70B =D ．3a =，2b =，60A =6．已知复数z 满足|1|1z −=，则|22i |z +−的最大值为（ ）A1 B C 1 D ．7．某校高一年级开展课外实践活动，数学建模课题组的学生选择测量山峰的高度.如图，在山脚A 测得山顶P 的仰角为60︒，沿倾斜角为30︒的斜坡向上走了90米到达B 点（A ，B ，P ，Q 在同一个平面内），在B 处测得山顶P 的仰角为75︒，则山峰高PQ 为（ ）A ．45(3+米B ．45(2米C ．1)米D ．1)米8．已知点P 是ABC 所在平面内的动点，且满足AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪ ⎪⎝⎭(0)λ>，射线AP 与边BC 交于点D ，若23BAC π∠=，||1AD =，则||BC 的最小值为（ ）AB ．2C ．D ．二、多选题9．设(1i)2i z −=+，则下列叙述中正确的是（ ）A ．z 的实部是32−B ．13i 22z =−C ．||z =D ．在复平面内，复数z 对应的点位于第一象限 10．已知在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列结论正确的是（ ）A ．若AB >，则a b >B ．222a b c +>C ．若sin sin <A C ，则cos cos A C <D ．sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++11．在ABC 中，5AB AC ==，6BC =，P 为ABC 内的一点，设AP xAB y AC =+，则下列说法正确的是（ ）A ．若P 为ABC 的重心，则21x y +=B ．若P 为ABC 的外心，则18PB BC ⋅= C ．若P 为ABC 的垂心，则716x y +=D ．若P 为ABC 的内心，则58x y +=三、填空题12．已知向量a 与b 的夹角为60︒，||2a =，||1b =，则||a b += . 13．设复数1i 1i −=+z ，202420232()1f x x x x x =+++++，则()f z = . 14．已知(1,2),(1,1)a b ==且a 与a b λ+的夹角为锐角，则λ的取值范围是 .四、解答题15．已知复数()()22223i z m m m m =++−−，R m ∈，其中i 为虚数单位.(1)若1m =，求z ；(2)若复数z 为纯虚数，求m 的值.16．已知向量(1,2)OA =，(3,1)AB =，(,3)OC m =.(1)若向量OA OC ⊥，求向量AB 与向量OC 的夹角的大小：(2)若向量OB OC ⊥u u u r u u u r ，求向量AB 在向量OC 方向上的投影向量的坐标.17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos sin B b A =，又以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积分别为123,,S S S ，且132S S S +−=.(1)求角B 的大小；(2)求ABC 的面积；(3)若30sin sin 49A C =，求ABC 的周长. 18．如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，且2BE EA =，AD 与CE 交于点O .(1)用AB ，AC 表示DE ；(2)过点O 作直线交线段AB 于点G ，交线段AC 于点H ，且23AG AB =，AH t AC =，求t 的值；(3)若3AB AD AO EC ⋅=⋅，求AB AC 的值. 19．已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边.(1)若cos sin 0a C C b c −−=.①求A ；②当2a =时，求ABC 面积的最大值；(2)若8a c +=，sin tan22cos B A A=−，求ABC 面积的最大值.。
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吉安县二中2014～2015年第二学期 高一年级第一次月考数学试卷
2015.4.7
一、选择题：（12×5=60分） 1、在等差数列｛a n ｝中，62
1
129+=
a a ，则a 2+a 10=（ ） A. 4 B. 8 C. 11 D. 24
2、数列1，37，314，321，…中，398是这个数列的（ ）
A. 第13项
B. 第14项
C. 第15项
D. 不在此数列中
3、在等差数列｛a n ｝中，首项a 1=0, 公差d ≠0，若a k =a 1+a 2+a 3+…+a 7，则k=（ ） A. 22 B. 23 C. 24 D. 25
4、设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若8a 2+a 5=0，则下列式子中数值不能确定的是（ ） A.
35a a B. 35S S C. n n a a 1+ D. n
n S S
1+
5、已知{a n }为等差数列，a 1+a 3+a 5=105, a 2+a 4+a 6=99。
以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到
最大值的n 是（ ）
A. 21
B. 20
C. 19
D. 18
6、在△ABC 中，A=60°，a=6, b=4，那么满足条件的△ABC （ ） A. 有一个解 B. 有两个解 C. 无解 D. 不能确定
7、若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别是S n 和T n ，已知
3
7+=
n n
T S n n ，则55b a =（ ） A. 7 B.
32 C. 827 D. 4
21 8、设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a, b, c ，若bcosC+ccosB=asinA, 则△ABC 的形状为（ ）
A. 直角三角形
B. 锐角三角形
C. 钝角三角形
D. 不确定
9、数列｛a n ｝中，已知对任意正整数n ，a 1+a 2+a 3+…a n =2n
－1, 则2232221n a a a a +⋅⋅⋅+++等于
A. n
n )12(- B. )12(31-n C. )14(3
1-n D. 14-n
10、在△ABC 中，三个角满足2A=B+C ，且最大边与最小边分别是方程3x 2
－27x+32=0的两根，则△ABC 的外接圆的面积是（ ） A.
3196π B. 349π C. 25147π D. 25
588π
11、一同学在电脑中找出如下若干个圆：○●○○●○○○●○○○○●…，若依次规律继续下
去，得到一系列的圆，则在前2015个圆中共有●的个数是（ ） A. 61 B. 62 C. 63 D. 64
12、平行四边形ABCD 中，对角线AC=65，BD=17，周长为18，则这个平行四边形的面积是（ ） A. 16 B.
2
35
C. 18
D. 32 二、填空题（4×5=20分）
13、已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1,
321
a , 2a 2成等差数列，则8
7109a a a a ++= 14、已知锐角△ABC 中，AB=4，AC=1，△ABC 的面积为3，则AC AB ⋅的值为
15、若S n =1－2+3－4+5－…+(－1)n+1
·n ，则S 17+S 33+S 50= 。
16、已知钝角△ABC 的三边的长是3个连续的自然数，其中最大角为∠A ，则cosA= . 三、解答题：（10+12×5=70分） 17、△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a, b, c ，△ABC 的面积3=S 、2,32==b a 。
求A cos 及边c 的长。
18、设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7=21，S 15=－75，T n 为数列{n
n
S }的前n 项和，求T n 的最大值。
19、已知数列{a n }中，a 1=3, a n+1=
n a n n 2
31
3+-(n ≥1)，求a n .
20、成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列{b n }中的b 3, b 4, b 5。
（1）求数列{b n }的通项公式；
（2）数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列{S n +
4
5
}是等比数列。
21、△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a, b, c ，已知B b C a C c A a si n si n si n si n =-+ ⑴求角B 的大小； ⑵若△ABC 外接圆半径为2，求△ABC 面积S 的最大值。
22、设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4=4S 2，a 2n =2a n +1, （1）求数列{a n }的通项公式；
（2）设数列{b n }的前n 项和为T n , 且T n +
λ=+n
n a 2
1（λ为常数），令C n =b 2n (n ∈N +
)，求数列{C n }
的前n项和R n。
高一年级下学期第一次月考数学试卷
吉安县二中2014～2015年第二学期 高一年级第一次月考数学答卷
一、选择题：（12×5=60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
二、填空题（4×5=20分） 13、 14、 15、
16、
三、解答题：（10+12×5=70分）
17、（10分） 18、（12分）
19、（12分）
班级： 姓名： 考号：
高一年级下学期第一次月考数学试卷
22、（12分）
20、（12分）
21、（12分）。