专题：用等体积法求点到面的距离和体积-2021-2022学年高一下学期数学+人教A版(2019)

专题:用等体积法求点到面的距离和体积
知识梳理：
1、当点到面的距离那条垂线不好作或找时，利用等体积法可以间接求点到面的距离，从而快速解决体积问题，是一种常用数学思维方法
2、在用变换顶点求体积时，变换顶点的原则是能在图象中直接找到求体积所用的高，有时单一靠棱锥四个顶点之间来变换顶点无法达到目的时，还可以利用平行关系（线面平行，面面平行）转换顶点，如当线面平行时，线上任意一点到平面的距离是相等的，同理面面平行也可以变换顶点 典型例题：
例1. 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD=AA 1=1，AB=2，点E 在棱AB 上移动．当E 为AB 的中点时,求点E 到面ACD 1的距离；
例2．如图，底面是正三角形的直三棱柱中，D 是BC 的中点，.
（Ⅰ）求证：
平面
； （Ⅱ）求点A 1 到平面的距离.
A
A 1
B
D
E C B 1
C 1
D 1
练习：
1、 如图，已知正四棱柱ABCD —A 1 B 1 C 1 D 1，点E 在棱DD 1上，截面EAC ∥D 1B ，且面EAC 与底面ABCD 所成角为45°，AB=a 。

（Ⅰ）求截面EAC 的面积；（Ⅱ）求异面直线A 1B 1与AC 之间的距离；
（Ⅲ）求三棱锥B 1—EAC 的体积。

2、在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，设E 是棱CC 1的中点． （1）求证：BD ⊥AE ；
O
A
C
A 1
D
B
E
D 1 B 1
C 1
（2）求证：AC ∥平面B 1DE ； （3）求三棱锥A ﹣B 1DE 的体积．
答案及解析
例1：解：设点Ｅ到平面ＡＣD 1的距离为h ，在ΔＡＣD 1中，ＡD 1
＝，ＡＣ＝ＣD 1＝，故
＝
＝，而＝＝． ∵∴
∴h=．
例2．
.证明：（Ⅰ）连接
交于O ，连接OD ，在中，O 为
中点，D 为BC 中点
25S
C
AD 1∆21
5221-⋅⋅23s ACE ∆BC AE ⋅⋅2121,3131111h DD S S V C AD AEC AEC D ⋅=⋅=∆∆-,23121h ⨯=⨯3
1
且
即 解得
解法二：由①可知
点
到平面
的距离等于点C 到平面
的距离…………8分
为 …………10分
设点C 到面的距离为h 即解得
练习1. 解：（Ⅰ）、（Ⅱ）略。

（Ⅲ）连结BD 交AC 于O ，连结B 1O 。

由（Ⅰ）可知 AO ⊥平面B 1BDD 1且ΔAOE ≌ΔCOE ,LAO=CO= a , AO 为三棱锥A —EOB 1的高,又∵S ΔEOB = S
矩形BDD B -
S ΔEOD －S ΔBOB － S ΔED B =
2
2
11
1111
a ∴V B1—EAC =2V A —EOB =2a a=a 所以三棱锥B 1—EAC 的体积
是
a 。

练习2.
4321•31•4
3
2•224234
2
3。