高数A期中11.05华东师范大学期中考试试卷
上海市华东师范大学第二附属中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷
上海市华东师范大学第二附属中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷一、填空题1．用∈或∉填空：0φ.2．实数a ，b 满足31a -≤≤，13b -≤≤，则3a b -的取值范围是．3．若全集{}2,3,5U =，{}2,5A a =-，{}5A =，则a 的值是．4．命题“1x >”是命题“11x <”的条件.5．已知0x >，则812x x --的最大值为.6．已知(21)y f x =+定义域为(1,3]，则(1)y f x =+的定义域为．7．已知关于x 的不等式210ax bx ++<的解集为11,43⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a b +=．8．设1x 、2x 是关于x 的方程22242320x mx m m -++-=的两个实数根，则2212x x +的最小值为.9．若函数()f x 满足R x ∀∈，()()11f x f x +=-，且1x ∀，[)21,x ∈+∞，()()()1212120f x f x x x x x ->≠-，若()()1f m f >-，则m 的取值范围是.10．已知{}{}22230,210,0A x x x B x x ax a =+->=--≤>，若A B ⋂中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是．11．已知函数()3(1)1f x x =-+，且()()22(1,0)f a f b a b +=>->，则121a b++的最小值是.12．如图，线段,AD BC 相交于O ，且,,,AB AD BC CD 长度构成集合{}1,5,9,x ，90ABO DCO ∠=∠=︒，则x 的取值个数为.二、单选题13．下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A ．2(),()x f x x g x x==B ．()(),()()f x x x R g x x x Z =∈=∈C ．,0(),(),0x x f x x g x x x ≥⎧==⎨-<⎩D．2(),()f x x g x ==14．设集合A ＝{x |x ＝12m ，m ∈N *}，若x 1∈A ，x 2∈A ，则（）A ．(x 1+x 2)∈A B ．(x 1﹣x 2)∈A C ．(x 1x 2)∈A D ．12x x ∈A 15．如图1，小球从左侧的斜坡滚下，到达底端后又沿着右侧斜坡向上滚在这个过程中，小球的运动速度v （m /s ）与运动时间t （s ）的函数图象如图②，则该小球的运动路程y （m ）与运动时间t （s ）之间的函数图象大致是（）A．B．C ．D ．16．设集合A 是集合*N 的子集，对于*i ∈N ，定义1,()0,i i A A i A ϕ∈⎧=⎨∉⎩，给出下列三个结论：①存在*N 的两个不同子集,A B ，使得任意*i ∈N 都满足()0i A B ϕ= 且()1i A B ϕ= ；②任取*N 的两个不同子集,A B ，对任意*i ∈N 都有()i A B ϕ= ()i A ϕ ()i B ϕ；③任取*N 的两个不同子集,A B ，对任意*i ∈N 都有()i A B ϕ= ()+i A ϕ()i B ϕ；其中，所有正确结论的序号是（）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③三、解答题17．已知关于x 的不等式122x a -≤的解集为集合A ，40x B x x ⎧⎫-=≤⎨⎬⎩⎭.(1)若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，求a 的取值范围.(2)若A B =∅ ，求a 的取值范围.18．已知函数()211y m x mx =+-+．(1)当5m =时，求不等式0y >的解集；(2)若不等式0y >的解集为R ，求实数m 的取值范围．19．某化工企业生产过程中不慎污水泄漏，污染了附近水源，政府责成环保部门迅速开展治污行动，根据有关部门试验分析，建议向水源投放治污试剂，已知每投放a 个单位（04a <≤且R a ∈）的治污试剂，它在水中释放的浓度y （克/升）随着时间x （天）变化的函数关系式近似为()y af x =，其中()[](]1,0,5711,5,112x x x f x x x +⎧∈⎪⎪-=⎨-⎪∈⎪⎩，若多次投放，则某一时刻水中的治污试剂浓度为每次投放的治污试剂在相应时刻所释放的浓度之和，根据试验，当水中治污试剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能治污有效．(1)若只投放一次4个单位的治污试剂，则有效时间最多可能持续几天？(2)若先投放2个单位的治污试剂，6天后再投放m 个单位的治污试剂，要使接下来的5天中，治污试剂能够持续有效，试求m 的最小值．20．对于函数()f x ，若存在0R x ∈，使()00f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点.(1)求函数23y x x =--的不动点；(2)若函数()221y x a x =-++有两个不相等的不动点1x 、2x ，求1221x x x x +的取值范围；(3)若函数()()211g x mx m x m =-+++在区间0,2上有唯一的不动点，求实数m 的取值范围.21．对任意正整数n ，记集合(){1212,,,,,,n n n A a a a a a a =⋅⋅⋅⋅⋅⋅均为非负整数，且}12n a a a n ++⋅⋅⋅+=，集合(){1212,,,,,,n n n B b b b b b b =⋅⋅⋅⋅⋅⋅均为非负整数，且}122n b b b n ++⋅⋅⋅+=．设()12,,,n n a a a A α=⋅⋅⋅∈，()12,,,n n b b b B β=⋅⋅⋅∈，若对任意{}1,2,,i n ∈⋅⋅⋅都有i i a b ≤，则记αβ ．(1)写出集合2A 和2B ；(2)证明：对任意n A α∈，存在n B β∈，使得αβ ；(3)设集合(){},,,n n n S A B αβαβαβ=∈∈ 求证：n S 中的元素个数是完全平方数．。
华东师范大学期中期末试卷(A)(简明答案)
华东师范大学期中/期末试卷（A ）(简明答案)2007—2008学年第一学期课程名称：实变函数学生姓名：___________________ 学 号：___________________专 业：___________________ 年级/班级：__________________一.判别题(每题2分,共20分)设()f x 在(,)-∞+∞上单调增,则()f x 的不连续点是可数的.不可数个闭集的交集仍是闭集.设{}n E 是一列可测集,且1,1,2,,n n E E n +⊂=L 则1()lim ().n n n n m E m E ∞→∞==I 任意多个可测集的交集是可测集.若()f x 在E 上可测,则存在F σ型集,()0F E m E F ⊂-=,()f x 在F 上连续.若,mE <∞{}()n f x 在E 上几乎处处有限,几乎处处收敛于几乎处处有限的(),f x 则0,δ∀>存在闭集,()F E m E F δδδ⊂-<,{}()n f x 在F δ上一致收敛于()f x .cos x x是[1,)+∞上勒贝格可积函数. 若()f x 是[,]a b 上单调增连续函数,且()0f x '=几乎处处成立,则()f x 为常值函数.若()f x 是[0,1]上单调严格增绝对连续函数,()g x 在([0,1])f 满足李普西茨条件,则(())g f x 是[0,1]上绝对连续函数.设(,)f x y 在{}(,):,()()D x y a x b g x y h x =≤≤≤≤上可积,其中(),()g x h x 是[,]a b 上连续函数,则()()()(,).b h x a g x D f P dP dx f x y dy =⎰⎰⎰二.(12分)若在可测集E 上,()()(),()()()n n f x f x n g x g x n ⇒→∞⇒→∞.求证:在E 上,()()()()().n n f x g x f x g x n +⇒+→∞三.(12分)设()f x 在E 上可积,[],1,2,n E E f n n =≥=L . 求证:(1)lim ()0;n n m E →∞=(2)lim ()0.n n nm E →∞= 四.(12分)若{}()n f x 是一列[,]a b 上有界变差函数,[,],lim ()(),n n x a b f x f x →∞∀∈=且 0,M ∃>().1,2,.bn a f M n ∨≤=L 求证:f 是[,]a b 上有界变差函数. 五.(12分)设E 是可测集,{}n E 是E 内的一列可测子集.1,()(),1,2,0,\n n n E n x E f x x n x E E χ∈⎧===⎨∈⎩L 求证：(1){}()n f x 在E 上一致收敛于1的充分且必要条件是:,,.n N n N E E ∃∀>=(2)()1n f x ⇒的充分且必要条件是:lim ()0.n n m E E →∞-= 六.(12分)设()f x 在E 上可积,(),()(),1,2,0,()n f x f x n f x n f x n ⎧≤⎪==⎨>⎪⎩L 求证:(1)()n f x 在E 上可积,1,2,n =L ;(2)lim()()n E En f x dx f x dx →∞=⎰⎰. 七.(10分) 设{}()n g x 是一列可测集E 上可积函数,lim ()()n n g x g x →∞=在E 上几乎处处成立,且 lim ()()n E E n g x dx g x dx →∞=⎰⎰.{}()n f x 是一列E 上可测函数,lim ()()n n f x f x →∞=在E 上几乎处处成立,且,()(),1,2,n n x E f x g x n ∀∈≤=L . 求证: lim()()n E En f x dx f x dx →∞=⎰⎰. 八.(10分)设E 是可测集,{}n E 是E 内的一列可测子集. 1,()(),1,0,\n n n E n x E f x x n x E E χ∈⎧===⎨∈⎩L 仿第五题(1)给出lim ()1n n f x →∞=在E 上几乎处处成立的充分且必要条件，并证明;。
2023-2024学年上海市华东师范大学第二附属中学高三上学期期中考试数学试卷含详解
华二附中高三期中数学试卷2023.11一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1.不等式221x x -≥-的解集为___________.2.已知3,0,cos 225ππαα⎛⎫⎛⎫∈--=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin2α=________．3.设252i1i i z +=++，则z =________．4.钝角ABC中，3,60a b A ===，则ABC 的面积是__________.5.圆2222210x y ax ay a a +++++-=的半径的最大值为______.6.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若45S =-，6221S S =，则8S =_______．7.已知a b 、满足21a b += ，且()1,1a =- ，则b 在a 上数量投影的最小值为________．8.正四面体ABCD 的棱长为2，则所有与A ，B ，C ，D 距离相等的平面截这个四面体所得截面的面积之和为______．9.设n ∈N *，a n 为(x ＋4)n －(x ＋1)n 的展开式的各项系数之和，1222...555n n n na a a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（[x ]表示不超过实数x 的最大整数），则()()222n n t b t -+-+(t ∈R )的最小值为____.10.已知抛物线2(0)y ax a =>，在y 轴正半轴上存在一点P ，使过P 的任意直线交抛物线于M N 、，都有2211||||MP NP +为定值，则点P 的坐标为________．11.某学校有如图所示的一块荒地，其中60m AB =，40m AD =，45m BC =，π2DAB ∠=，2π3ABC ∠=，经规划以AB 为直径做一个半圆，在半圆外进行绿化，半圆内作为活动中心，在以AB 为直径的半圆弧上取,E F 两点，现规划在OEF 区域安装健身器材，在OBE △区域设置乒乓球场，若BOE EOF ∠=∠，且使四边形AOEF 的面积最大，则cos EOF ∠=______．12.M 是正整数集的子集，满足：1,2022,2023M M M ∈∈∉，并有如下性质：若a 、b M ∈，则222a b M+∈，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数，则M 的非空子集个数为________．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.已知集合{3,2,0,1,2,3,7},{,}A B xx A x A =--=∈-∉∣，则B =（）A.{0,1,7}B.{1,7}C.{0,2,3}D.{0,1,2,3,7}14.对四组数据进行统计，获得如下散点图，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是（）A.2431r r r r <<< B.4231r r r r <<< C.4213r r r r <<< D.2413r r r r <<<15.已知函数()sin 2f x x π=，任取t ∈R ，记函数()f x 在[,1]t t +上的最大值为t M ，最小值为t m ，设()t t h t M m =-，则函数()h t 的值域为（）A.212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.221,122⎡-+⎢⎣⎦C.2122⎡-⎢⎣ D.22,122+⎣⎦16.已知曲线:1(0,)nnx yC n n a b+=>∈R ．当4,2,1n a b ===时，①曲线C 所围成的封闭图形的面积小于8；②曲线C 上的点到原点O 的距离的最大值为1417．则（）A.①成立②成立B.①成立②不成立C .①不成立②成立D.①不成立②不成立三、解答题（本大题共有5题满分78分）解下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17.甲乙两人进行乒乓球比赛，现约定：谁先赢3局谁就赢得比赛，且比赛结束．若每局比赛甲获胜的概率为13，乙获胜的概率为23．（1）求甲赢得比赛的概率；（2）记比赛结束时的总局数为X ，写出X 的分布列，并求出X 的期望值．18.如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，1PA AB BC PC ====，（1）求证：BC ⊥平面PAB ；（2）求二面角A PC B --的大小．19.已知函数()()cos2,sin f x x g x x ==．（1）判断函数()ππ42H x f x g x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的奇偶性，并说明理由；（2）设函数()()πsin 0,02h x x ωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭，若函数π2h x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭和()πh x -都是奇函数，将满足条件的ω按从小到大的顺序组成一个数列{}n a ，求{}n a 的通项公式．20.过坐标原点O 作圆22:(2)3C x y ++=的两条切线，设切点为,P Q ，直线PQ 恰为抛物2:2,(0)E y px p =>的准线.（1）求抛物线E 的标准方程；（2）设点T 是圆C 上的动点，抛物线E 上四点,,,A B M N 满足：2,2TA TM TB TN ==，设AB 中点为D .（i ）求直线TD 的斜率；（ii ）设TAB △面积为S ，求S 的最大值.21.已知函数()()ln 1f x x =+，2()1(g x x bx b =++为常数)，()()().h x f x g x =-（1）若函数()f x 在原点的切线与函数()g x 的图象也相切，求b ；（2）当2b =-时，[]12,0,1x x ∃∈，使12()()h x h x M -≥成立，求M 的最大值；（3）若函数()h x 的图象与x 轴有两个不同的交点12(,0),(,0)A x B x ，且120x x <<，证明：1202x x h +⎛⎫'⎪⎝⎭＜华二附中高三期中数学试卷2023.11一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1.不等式221x x -≥-的解集为___________.【答案】[)0,1【分析】根据移项，通分，将分式不等式化为()10x x -≤且1x ≠，即可求解.【详解】有已知得2201x x --≥-，()212011x x x x ---≥--，01x x -≥-，01x x ≤-,即()10x x -≤且1x ≠，则不等式的解集为[)0,1，故答案为：[)0,1.2.已知3,0,cos 225ππαα⎛⎫⎛⎫∈--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin2α=________．【答案】2425-##0.96-【分析】先求得3sin 5α=-，4cos 5α=，再利用二倍角正弦公式即可求得sin 2α的值.【详解】因为π,02α⎛⎫∈-⎪⎝⎭，且5os 3si 2n παα⎛⎫-= ⎪=-⎝⎭，则4cos 5α=，则3424sin 22sin cos 25525ααα⎛⎫==⨯-⨯=-⎪⎝⎭故答案为：2425-.3.设252i1i iz +=++，则z =________．【答案】12i +##2i 1+【分析】由题意首先计算复数z 的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可.【详解】由题意可得()252i 2i 2i 2i2i 112i 1i i 11i i 1z +++-=====-++-+-，则12i z =+.故答案为：12i +.4.钝角ABC中，3,60a b A === ，则ABC 的面积是__________.【答案】334【分析】利用余弦定理与面积公式即可得【详解】由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，代入数据2793c c =+-，解得1c =或2c =，因为ABC 是钝角三角形，22222cos 022a c b c B ac ac+--==<，所以1c =，所以ABC 的面积是1sin 24bc A =.故答案为：45.圆2222210x y ax ay a a +++++-=的半径的最大值为______.【答案】3【分析】化为圆的标准方程求出半径，根据a 的范围利用抛物线的单调性可得答案.【详解】由2222210x y ax ay a a +++++-=可得()2223124a x y a a a ⎛⎫+++-⎝=-+ ⎪⎭，当23104a a --+>表示圆，即解得a 的取值范围是22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，=，2324433y a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭是开口向下对称轴为23a =-的抛物线，在22,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭单调递增，在22,33⎛⎫-⎪⎝⎭单调递减，所以23a =-时最大值为233.故答案为：233．6.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若45S =-，6221S S =，则8S =_______．【答案】85-【分析】由题意知公比1q ≠，设首项为1a ，由6221S S =求出2q ，再代入4S 求出11a q-，由此求得8S ．【详解】等比数列{}n a 中，45S =，6221S S =，显然公比1q ≠，设首项为1a ，则41(1)51a q q-=--①，6211(1)21(1)11a q a q q q --=--②，化简②得42200q q +-=，解得24q =或25q =-（不合题意，舍去），代入①得1113=-a q ，所以844118(1)1(1)(1)(15)(116)85113a q a S q q q q -==-+=⨯-⨯+=---．故答案为：85-7.已知a b 、满足21a b += ，且()1,1a =- ，则b 在a 上数量投影的最小值为________．【答案】12+-【分析】据题意设(,)b x y =，代入条件可推得点(,)x y 在以11(,)22-为圆心，半径为12的圆上运动，再根据数量投影概念得出数量投影与x y -有关，利用直线和圆的位置关系求得x y -的范围，进而求出数量投影最小值．【详解】设(,)b x y = ，则2(21,21)a b x y +=+-，由|2|1a b += ，可得22(21)(21)1x y ++-=，即22111()()224x y ++-=，所以点(,)x y 在以11(,)22-为圆心，半径为12的圆上，又b 在a上数量投影为a b a b b a a b⋅⋅⋅==，令x y t -=，则由直线0x y t --=与圆22111()()224x y ++-=有公共点，12≤，即12t +≤，解得222112112222t +---≤≤-+⇒-≤，故b 在a上数量投影的最小值为12+-．故答案为：122+-．8.正四面体ABCD 的棱长为2，则所有与A ，B ，C ，D 距离相等的平面截这个四面体所得截面的面积之和为______．3【分析】根据题意知，到正四面体ABCD 四个顶点距离相等的截面分为两类：一类是由同一顶点出发的三条棱的中点构成的三角形截面，这样的截面有4个；另一类是与一组相对的棱平行，且经过其它棱的中点的四边形截面，这样的截面有3个；求出所有满足条件的截面面积之和即可．【详解】设E 、F 、G 分别为AB 、AC 、AD 的中点，连结EF 、FG 、GE ，则EFG 是三棱锥A BCD -的中截面，可得平面//EFG 平面BCD ，点A 到平面EFG 的距离等于平面EFG 与平面BCD 之间的距离，A ∴、B 、C 、D 到平面EFG 的距离相等，即平面EFG 是到四面体ABCD 四个顶点距离相等的一个平面；正四面体ABCD 中，象EFG 这样的三角形截面共有4个．正四面体ABCD 的棱长为2，可得1EF FG GE ===，EFG ∴ 是边长为1的正三角形，可得13sin6024EFG S EF FG =⋅⋅=；取CD 、BC 的中点H 、I ，连结GH 、HI 、IE ，EI 、GH 分别是ABC 、ADC 的中位线，∴1//2EI AC ,1//2GH AC 得//EI GH ∴四边形EGHI 为平行四边形；又AC BD = 且AC BD ⊥，1//2EI AC ，1//2HI BD EI HI ∴=且EI HI ⊥，∴四边形EGHI 为正方形，其边长为112AB =，由此可得正方形EGHI 的面积1EGHI S =；BC 的中点I 在平面EGHI 内，B ∴、C 两点到平面EGHI 的距离相等；同理可得D 、C 两点到平面EGHI 的距离相等，且A 、B 两点到平面EGHI 的距离相等；A ∴、B 、C 、D 到平面EGHI 的距离相等，∴平面EGHI 是到四面体ABCD 四个顶点距离相等的一个平面，且正四面体ABCD 中，象四边形EGHI 这样的正方形截面共有3个，因此，所有满足条件的正四面体的截面面积之和等于34343134EFG EGHI S S +=⨯+⨯= ．3．【点睛】本题主要考查了正四面体的性质、点到平面距离的定义、三角形面积与四边形形面积的求法等知识，属于难题．9.设n ∈N *，a n 为(x ＋4)n －(x ＋1)n 的展开式的各项系数之和，1222...555n n n na a a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（[x ]表示不超过实数x 的最大整数），则()()222n n t b t -+-+(t ∈R )的最小值为____.【答案】12【分析】根据展开式求出系数和得52nnn a =-，求出22n n n b -=，将()()222n n t b t -+-+转化为点2,2n n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭到(),2t t -的距离的平方，结合几何意义即可得解.【详解】a n 为(x ＋4)n －(x ＋1)n 的展开式的各项系数之和，即52n n n a =-，522155n n n n-⎛⎫=- ⎪⎝⎭，考虑()20,,2255nf n n n N n n *⎛⎫=>∈+< ⎪⎝⎭，()()()()12112151525n nn f n n f n nn +⎛⎫+ ⎪++⎝⎭==<⎛⎫⎪⎝⎭，所以()20,5nf n n n N *⎛⎫=>∈ ⎪⎝⎭递减，所以()220,55nf n n ⎛⎫⎛⎤=∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，所以2155n n n na n n n ⎡⎤⎡⎤⎛⎫=-=-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦，212...12n n n b n -=+++-=，()()()22222222n n n n t b t n t t ⎛⎫--+-+=-+-+ ⎪⎝⎭，可以看成点2,2n n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭到(),2t t -的距离的平方，即求点2,2n nn⎛⎫-⎪⎝⎭到直线2y x=-的距离最小值的平方，由图可得即求点()1,0或()2,1到直线20x y+-=的距离的平方，即212=故答案为：12【点睛】此题考查求二项式系数，数列增减性与求和，通过几何意义转化求解代数式的最值，涉及转化与化归思想和数形结合思想.10.已知抛物线2(0)y ax a=>，在y轴正半轴上存在一点P，使过P的任意直线交抛物线于M N、，都有2211||||MP NP+为定值，则点P的坐标为________．【答案】10,2a⎛⎫⎪⎝⎭【分析】设直线MN的解析式为y kx m=+，联立方程组，利用一元二次方程根与系数的关系和两点间的距离公式，化简整理，即可得到点P的坐标．【详解】设(0,)P m．设直线MN的解析式为y kx m=+，联立2(0)y ax a=>得到：22ax kx m ax m kx=+-=，，整理，得20ax kx m--=，则1212,k mx x x xa a+==-设221122(,),(,),M x ax N x ax则()()222222222222111222()1,()1PM x m ax k x PN x m ax k x=+-=+=+-=+∴22122222212111||||1,x xMP NP k x x++=⨯+()2121222212211,x x x xk x x+-=⨯+222211k m a a k m a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⨯+⎛⎫- ⎪⎝⎭222121k am k m +=⨯+即存在12m a=时，222114||||a MP NP +=，即存在10,2P a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得2211||||MP NP +为定值24a故答案为：10,2a ⎛⎫⎪⎝⎭．11.某学校有如图所示的一块荒地，其中60m AB =，40m AD =，45m BC =，π2DAB ∠=，2π3ABC ∠=，经规划以AB 为直径做一个半圆，在半圆外进行绿化，半圆内作为活动中心，在以AB 为直径的半圆弧上取,E F 两点，现规划在OEF 区域安装健身器材，在OBE △区域设置乒乓球场，若BOE EOF ∠=∠，且使四边形AOEF 的面积最大，则cos EOF ∠=______．【答案】3318-【分析】设O BOE E F θ∠∠==，先求得四边形OEFA面积的表达式，然后利用导数求得当1cos 8θ-=时，四边形AOEF 的面积最大.【详解】设O BOE E F θ∠∠==，根据题意易知π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∵OF OA =，OAF △为等腰三角形，且OFA OAF ∠=∠，又∵BOF OFA OAF ∠=∠+∠，∴EOF OFA OAF θ∠=∠=∠=，∴//OE FA ，∴四边形OEFA 为梯形，则四边形OEFA 面积：()()13030sin π2sin 450sin sin 22S θθθθ⎡⎤=⨯⨯⨯-+=+⎣⎦，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()()2450cos 2cos 24504cos cos 2S θθθθ=+=+-'，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，令0S '=，则24cos cos 20θθ+-=，解得331cos 8θ=（舍）或331cos 8θ-=，设为φ为1cos 8θ-=所对应的角，∵cos y θ=在π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，∴()0,θϕ∈时，331cos ,18θ⎛⎫-∈ ⎪⎪⎝⎭，()24504cos cos 20S θθ'=+->，S 单调递增，∴π,2θϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，331cos 0,8θ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，()24504cos cos 20S θθ'=+-<，S 单调递减．∴当331cos 8θ-=时，面积最大，即331cos 8EOF -∠=．故答案为：3318．【点睛】方法点睛：求解面积最大值或最小值有关问题，可先将面积的表达式求出，然后根据表达式选取合适的方法来求最值.可以考虑的方向有函数的单调性、二次函数的性质、基本不等式、三角函数值域、导数等知识.12.M 是正整数集的子集，满足：1,2022,2023M M M ∈∈∉，并有如下性质：若a 、b M ∈，则M ∈，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数，则M 的非空子集个数为________．【答案】202221-【分析】根据题意，先判断M 中相邻两数不可能大于等于2，可得2，3，⋯，2021M ∈，从而求出M ，再根据子集的个数与集合元素个数之间的关系即可得答案．【详解】由题意可知：若x ，()y M x y ∈<，则1x +，2x +，⋯，1y -均属于M ，而事实上，若2y x -≥，中12x yx y ++≤<<，所以11x y +≤≤-，故[x ，]y 中有正整数，从而M 中相邻两数不可能大于等于2，故2，3，⋯，2021M ∈，若2024p ≥，p M ∈，则有2023M ∈，与2023M ∉矛盾，当2022a b ==2022=，当1a b ==时，则1=，所以[1∈，2022]，所以{1M =，2，⋯，2022}，所以非空子集有202221-个．故答案为：202221-．【点睛】新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.已知集合{3,2,0,1,2,3,7},{,}A B xx A x A =--=∈-∉∣，则B =（）A.{0,1,7}B.{1,7}C.{0,2,3}D.{0,1,2,3,7}【答案】B【分析】根据集合的描述法及元素与集合的关系求解.【详解】因为{3,2,0,1,2,3,7}A =--，{,}B xx A x A =∈-∉∣，所以{1,7}B =.故选：B.14.对四组数据进行统计，获得如下散点图，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是（）A.2431r r r r <<<B.4231r r r r <<<C.4213r r r r <<<D.2413r r r r <<<【答案】A【分析】根据题目给出的散点图，先判断是正相关还是负相关，然后根据点的集中程度分析相关系数的大小．【详解】由给出的四组数据的散点图可以看出，图1和图3是正相关，相关系数大于0，图2和图4是负相关，相关系数小于0，图1和图2的点相对更加集中，所以相关性要强，所以1r 接近于1，2r 接近于1-，由此可得24310r r r r <<<<．故选:A.15.已知函数()sin 2f x x π=，任取t ∈R ，记函数()f x 在[,1]t t +上的最大值为t M ，最小值为t m ，设()t t h t M m =-，则函数()h t 的值域为（）A.212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B.221,122⎡-+⎢⎣⎦C.12⎡-⎢⎣⎦D.,122+⎣⎦【答案】C【分析】考虑一个周期内()h t 的情况，根据t 的取值，求得()h t 的解析式，结合三角函数的值域，求该函数值域即可.【详解】因为()444t t h t M m +++=-，其中44,t t M m ++分别是指()f x 在区间[]4,5t t ++上的最大值和最小值，因为()f x 的周期242T ππ==，故()f x 在区间[]4,5t t ++的图象与在区间[],1t t +上的图象完全相同，故44,t t t t M M m m ++==，故()()4h t h t +=，即()h t 是周期为4的函数，故(),R h t t ∈的值域与()[],2,2h t t ∈-时的值域相同；又()f x 在[]2,1--单调递减，[]1,1-单调递增，在[]1,2单调递减，故当32,2t ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭时，()f x 在区间[],1t t +上的最大值为()sin 2f t t π=，最小值为1-，此时()sin 12h t t π=+；当3,12t ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭时，()f x 在区间[],1t t +上的最大值为()1sin cos 222f t t t πππ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，最小值为1-，此时()cos12h t t π=+；当[)1,0t ∈-时，()f x 在区间[],1t t +上的最大值为()1cos2f t t π+=，最小值为()sin 2f t t π=，此时()cossin 22h t t t ππ=-24t ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；当10,2t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()f x 在区间[],1t t +上的最大值为1，最小值为()sin 2f t t π=，此时()1sin 2h t t π=-；当1,12t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()f x 在区间[],1t t +上的最大值为1，最小值为()1cos 2f t t π+=，此时()1cos 2h t t π=-；当[]1,2t ∈时，()f x 在区间[],1t t +上的最大值为()sin2f t t π=，最小值为()1cos 2f t t π+=，此时()sincos 22h t t t ππ=-24t ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；故()h t 在[]22-,的函数图象如下所示：数形结合可知，()h t 的值域为212⎡-⎢⎣.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查函数值域的求解，涉及三角函数值域的求解；处理问题的关键是能够根据题意，找到()h t 的周期，同时要对t 进行分类讨论求()h t 的解析式，属综合困难题.16.已知曲线:1(0,)n nx yC n n a b+=>∈R ．当4,2,1n a b ===时，①曲线C 所围成的封闭图形的面积小于8；②曲线C 上的点到原点O 的距离的最大值为1417．则（）A.①成立②成立B.①成立②不成立C.①不成立②成立D.①不成立②不成立【答案】A【分析】根据曲线在一个长为4，宽为2的矩形内部判断①正确，利用三角换元计算得到②正确，【详解】因为曲线:1(0,)n nx yC n n a b+=>∈R ．所以，当4,2,1n a b ===时，曲线44:116xC y +=，对①：因为44121162x y x ≤⇒-≤-≤=，当且仅当0y =时取等号，44611111x y y -⇒-=≤≤≤，当且仅当0x =时取等号，故曲线在一个长为4，宽为2的矩形内部，故曲线C 所围成的封闭图形的面积小于248⨯=，正确；对②：设曲线上一点为(,)M x y ，则44116x y +=，设224cos sin x y θθ⎧=⎨=⎩，M 到原点的距离的平方为224cos sin )x y θθθϕ+=+=+，[0,2πθ∈，tan 4ϕ=，当sin()1θϕ+=时，距离平方有最大值为，故距离的最大值为1417，正确．故选：A ．三、解答题（本大题共有5题满分78分）解下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17.甲乙两人进行乒乓球比赛，现约定：谁先赢3局谁就赢得比赛，且比赛结束．若每局比赛甲获胜的概率为13，乙获胜的概率为23．（1）求甲赢得比赛的概率；（2）记比赛结束时的总局数为X ，写出X 的分布列，并求出X 的期望值．【答案】（1）1781（2）分布列见详解，()10727E X =.【分析】（1）根据题意，求出甲胜共进行3局，4局，5局的概率，再利用互斥事件的概率公式求解；（2）X 的可能值为3，4，5，分别求出每种情况的概率，按照步骤求分布列即可.【小问1详解】比赛采用5局3胜，甲赢得比赛有以下3种情况：①甲连赢3局：3111327P ⎛⎫== ⎪⎝⎭；②前3局2胜1负，第4局甲赢：22231212C 33327P 骣骣骣琪琪琪==琪琪琪桫桫桫;③前4局甲2胜2负，第5局甲赢：222341218C 33381P 骣骣骣琪琪琪==琪琪琪桫桫桫，所以甲赢得比赛的概率为1231781P P P ++=.【小问2详解】X 可以取3，4，5所以()331213333P X ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()22241285C 3327P X 骣骣琪琪===琪琪桫桫,()18104132727P X ==--=,由此可得X 的分布列为：X345P131027827所以()11081073453272727E X =⨯+⨯+⨯=.18.如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，1PA AB BC PC ====，（1）求证：BC ⊥平面PAB ；（2）求二面角A PC B --的大小．【答案】（1）证明见解析（2）π3【分析】（1）先由线面垂直的性质证得PA BC ⊥，再利用勾股定理证得BC PB ⊥，从而利用线面垂直的判定定理即可得证；（2）结合（1）中结论，建立空间直角坐标系，分别求得平面PAC 与平面PBC 的法向量，再利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解.【小问1详解】因为PA ⊥平面,ABC BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥，同理PA AB ⊥，所以PAB 为直角三角形，又因为PB ==1,BC PC ==所以222PB BC PC +=，则PBC 为直角三角形，故BC PB ⊥，又因为BCPA ⊥，PA PB P = ，所以BC ⊥平面PAB .【小问2详解】由（1）BC ⊥平面PAB ，又AB ⊂平面PAB ，则BC AB ⊥，以A 为原点，AB 为x 轴，过A 且与BC 平行的直线为y 轴，AP 为z轴，建立空间直角坐标系，如图，则(0,0,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,0)A P C B ，所以(0,0,1),(1,1,0),(0,1,0),(1,1,1)AP AC BC PC ====-，设平面PAC 的法向量为()111,,m x y z = ，则0m AP m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即1110,0,z x y =⎧⎨+=⎩令11x =，则11y =-，所以(1,1,0)m =-，设平面PBC 的法向量为()222,,x n y z = ，则0n BC n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222200y x y z =⎧⎨+-=⎩，令21x =，则21z =，所以(1,0,1)n =，所以1cos ,2m n m n m n⋅===，又因为二面角A PC B --为锐二面角，所以二面角A PC B --的大小为π3.19.已知函数()()cos2,sin f x x g x x ==．（1）判断函数()ππ42H x f x g x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的奇偶性，并说明理由；（2）设函数()()πsin 0,02h x x ωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭，若函数π2h x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭和()πh x -都是奇函数，将满足条件的ω按从小到大的顺序组成一个数列{}n a ，求{}n a 的通项公式．【答案】19.非奇非偶函数，理由见解析20.*2N 3n a n n =∈，【分析】（1）函数()sin 2cos H x x x =-+，为非奇非偶函数．运用奇偶性的定义即可得到；（2）由奇函数和诱导公式可得ππ2k ωϕ+=，()ππ,Z l k l ϕω-=∈，解得2()3k l ω=-，即可得到所求通项公式【小问1详解】函数()ππππcos 2sin 4222H x f x g x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭sin 2cos x x =-+，为非奇非偶函数．理由：定义域为R ，()sin 2()cos()sin 2cos ()H x x x x x H x -=--+-=+≠，且()()H x H x -≠-，即有()H x 为非奇非偶函数；【小问2详解】函数π2h x ⎛⎫+⎪⎝⎭和()πh x -都是奇函数，即有πsin 2x ωωϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭和()sin πx ωϕω+-均为奇函数，则ππ2k ωϕ+=，()ππ,Z l k l ϕω-=∈，解得2()3k l ω=-，由于0ω>，k ，Z l ∈，则*2N 3n n ω=∈，．故数列{}n a 的通项公式为*2N 3n a n n =∈，20.过坐标原点O 作圆22:(2)3C x y ++=的两条切线，设切点为,P Q ，直线PQ 恰为抛物2:2,(0)E y px p =>的准线.（1）求抛物线E 的标准方程；（2）设点T 是圆C 上的动点，抛物线E 上四点,,,A B M N 满足：2,2TA TM TB TN ==，设AB 中点为D .（i ）求直线TD 的斜率；（ii ）设TAB △面积为S ，求S 的最大值.【答案】（1）22y x =（2）（i ）0；（ii ）48【分析】（1）设直线PQ 与x 轴交于0,02p P ⎛⎫-⎪⎝⎭，由几何性质易得：20CP CP CO =⋅，即可解决；（2）设()()()001122,,,,,T x y A x y B x y ，（i ）中，由于TA 中点M 在抛物线E 上，得20101222y y x x ++⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，将()()1122,,,A x y B x y ，代入联立得D 点纵坐标为1202y y y +=，即可解决；（ⅱ）由（i ）得点200034,2y x D y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1213222S TD y y =⋅-=，又点T 在圆C 上，得2200041y x x =---，可得：322S =即可解决.【小问1详解】设直线PQ 与x 轴交于0,02p P ⎛⎫-⎪⎝⎭.由几何性质易得：0CPP 与OCP △相似，所以CP CO CP CP=，20CP CP CO =⋅，即：3222p ⎛⎫-⎝+⎪⎭=⋅，解得：1p =.所以抛物线E 的标准方程为：22y x =.【小问2详解】设()()()001122,,,,,T x y A x y B x y （i ）由题意，TA 中点M 在抛物线E 上，即20101222y y x x ++⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，又2112y x =，将2112y x =代入，得：2210100240y y y x y -+-=，同理：2220200240y y y x y -+-=，有1202120024y y y y y x y +=⎧⎨=-⎩，此时D 点纵坐标为1202y y y +=，所以直线TD 的斜率为0.（ⅱ）因为()222212120012122342442y y y y y x x x y y +--++===，所以点200034,2y x D y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，此时1212S TD y y =⋅-，2200000343222y x TD x y x -=-=-，12y y -=所以322S =又因为点T 在圆C 上，有()220023x y ++=，即2200041y x x =---，代入上式可得：323222S ==由022x -≤-≤+，所以03x =-时，S取到最大价32482=.所以S 的最大值为48.21.已知函数()()ln 1f x x =+，2()1(g x x bx b =++为常数)，()()().h x f x g x =-（1）若函数()f x 在原点的切线与函数()g x 的图象也相切，求b ；（2）当2b =-时，[]12,0,1x x ∃∈，使12()()h x h x M -≥成立，求M 的最大值；（3）若函数()h x 的图象与x 轴有两个不同的交点12(,0),(,0)A x B x ，且120x x <<，证明：1202x x h +⎛⎫'⎪⎝⎭＜【答案】（1）3b =或1-；（2）ln 21+；（3）证明过程见解析.【分析】（1）计算()f x 在原点的切线方程，然后与()g x 联立，利用Δ0=，计算即可.（2）求得()h x '，判断函数()h x 单调性，根据条件等价于()()max min h x h x M -≥，简单计算即可.（3）利用()()1200h x h x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，求得()()211221ln 1ln 1x x x x b x x +-+++=-，然后计算122x x h +⎛⎫' ⎪⎝⎭，并利用等价条件可得()21221121ln 021x x x x x x -+-<+++，构建新函数并采取换元2111x t x +=+，求导计算即可.【小问1详解】由()11f x x '=+，所以()()01,00f f ='=，所以函数()f x 在原点的切线方程为：y x =，将该切线方程代入()g x 可得：()2110x b x +-+=，依据题意可得()21403b b ∆=--=⇒=或1-，所以3b =或1-；【小问2详解】当2b =-时，()2()ln 121h x x x x =+-+-，()21322211x h x x x x -=-+='++，当[]0,1x ∈时，()0h x '>，所以()h x 在[]0,1单调递增，则()()()()max min 1ln 2,01h x h h x h ====-，由题可知：[]12,0,1x x ∃∈使得()()12h x h x M -≥成立等价于()()max min h x h x M -≥，所以ln 21M ≤+，所以M 的最大值为ln 21+；【小问3详解】由题可知：()()()()2111122222ln 110ln 110h x x x bx h x x x bx ⎧=+---=⎪⎨=+---=⎪⎩，所以两式相减可得：()()211221ln 1ln 1x x x x b x x +-+++=-，由1()21h x x b x '=--+，所以()121212222x x h x x b x x +⎛⎫'=-++ ⎪++⎝⎭，所以()()21121221ln 1ln 1222x x x x h x x x x +-++⎛⎫'=- ⎪++-⎝⎭，由120x x <<，要证1202+⎛⎫'< ⎪⎝⎭x x h ，即证()21221121ln 021x x x x x x -+-<+++，即()()()()2122112111ln 0111x x x x x x +-+⎡⎤+⎣⎦-<++++，令()21111x t t x +=>+，所以即证明：22ln 01t t t --<+，令()()22ln 11t m t t t t -=->+，所以()()()2211t m t t t '--=+，当1t >时，()0m t '<，所以()m t 在()1,+∞单调递减，所以()()10m t m <=，所以1202+⎛⎫'< ⎪⎝⎭x x h .【点睛】关键点睛：第（1）问关键在于求得切线方程；第（2）问在于使用等价转化()()max min h x h x M -≥；第（3）问在于化简得到()()211221ln 1ln 1x x x x b x x +-+++=-，然后进行换元计算.。
2024-2025学年华东师大二附中高一数学上学期期中考试卷及答案解析
上海市华东师范大学第二附属中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷1. 用Î或Ï填空：0______f .【答案】Ï【解析】【分析】空集中没有任何元素．【详解】由于空集不含任何元素，∴0ÏÆ．故答案为Ï．【点睛】本题考查元素与集合的关系，关键是掌握空集的概念．2. 实数a ，b 满足31a -££，13b -££，则3a b -的取值范围是________．【答案】[]12,4-【解析】【分析】根据题意利用不等式的性质运算求解.【详解】因为31a -££，13b -££，则933a -££，31b -£-£，可得1234a b -£-£，所以3a b -的取值范围是[]12,4-.故答案为：[]12,4-.3. 若全集{}2,3,5U =，{}2,5A a =-，{}5A =，则a 的值是______．【答案】2或8【解析】【分析】由53a -=即可求解.【详解】因为{}2,3,5U =，{}2,5A a =-，且{}5A =，所以53a -=，解得2a =或8a =.故答案为：2或8.4. 命题“1x >”是命题“11x<”的______条件.【答案】充分不必要【解析】【分析】解出不等式11x<，根据真子集关系即可【详解】11x <，即10x x -<，即()10x x -<，即()10x x -<，解得1x >或0x <，则“1x >”能推出“1x >或0x <”，而“1x >或0x <”不能推出 “1x >”，故命题“1x >”是命题“11x<”的充分不必要条件.故答案为：充分不必要.5. 已知0x >，则812x x --的最大值为_____________.【答案】7-【解析】【分析】利用基本不等式求解即可.【详解】因为0x >，所以828x x +³=，当82x x=，即2x =时等号成立，所以881212187x x x x æö--=-+£-=-ç÷èø，即812x x--的最大值为7-，故答案为：7-.6. 已知(21)y f x =+定义域为(1,3]，则(1)y f x =+的定义域为__________．【答案】(2,6]【解析】【分析】根据3217x <+£可得317x <+£，即可求解.【详解】由于(21)y f x =+定义域为(1,3]，故3217x <+£，因此(1)y f x =+的定义域需满足317x <+£，解得26x <£，故(1)y f x =+的定义域为(2,6]，故答案为：(2,6]7. 已知关于x 的不等式210ax bx ++<的解集为11,43æöç÷èø，则a b +=______．【答案】5【解析】【分析】由题意得11,43是方程210ax bx ++=的两个根，由根与系数的关系求出,a b 即可.【详解】由题意可知，11,43是方程210ax bx ++=的两个根，且0a >，由根与系数的关系得1134b a +=-且11134a´=，解得12,7a b ==-，则5a b +=.故答案为：58. 设1x 、2x 是关于x 的方程22242320x mx m m -++-=的两个实数根，则2212x x +的最小值为______.【答案】89【解析】【分析】根据1x 、2x 是关于x 的方程22242320x mx m m -++-=的两个实数根，由Δ≥0，解得 23m £，然后由()2212121222x x x x x x ++×=- ，将韦达定理代入，利用二次函数的性质就.【详解】因为1x 、2x 是关于x 的方程22242320x mx m m -++-=的两个实数根，所以()()22482320m m m D =-+-³，解得 23m £，所以112222322,2x x x x m m m +=×-=+，则 ()2212121222x x x x x x ++×=- ，()22232222m m m +-=-´， 2232m m =-+， 237248m æö=-+ç÷èø，所以2212x x +的最小值为2237823489æö-+=ç÷èø，故答案为：899. 若函数()f x 满足R x "Î，()()11f x f x +=-，且1x "，[)21,x Î+¥，()()()1212120f x f x x x x x ->¹-，若()()1f m f >-，则m 的取值范围是______.【答案】()(),13,-¥-È+¥【解析】【分析】由题意，()f x 在[)1,+¥上单调递增，函数图像关于1x =对称，利用单调性和对称性解不等式.【详解】因为1x "，[)21,x Î+¥，()()()1212120f x f x x x x x ->¹-，所以()f x 在[)1,+¥上单调递增，R x "Î，()()11f x f x +=-，则函数图像关于1x =对称，若()()1f m f >-，则111m ->--，解得3m >或1m <-.所以m 的取值范围是()(),13,-¥-È+¥.故答案为：()(),13,-¥-È+¥.10. 已知{}{}22230,210,0A x x x B x x ax a =+->=--£>，若A B Ç中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是______．【答案】【解析】【详解】试题分析：由题意，得{}{}223013A x x x x x x =+-=<-或，{}{2210,0=|B x x ax a x a x a =--£££+；因为，所以若A B Ç中恰含有一个整数，则{}2A B Ç=，则，即，两边平方，得，解得，即实数的取值范围为；故填．考点：1．集合的运算；2．一元二次不等式的解法．11. 已知函数()3(1)1f x x =-+，且()()22(1,0)f a f b a b +=>->，则121a b ++的最小值是________.【答案】2【解析】【分析】利用()3(1)1f x x =-+，单调性与对称性，可知，若有()()2f m f n +=，则必有2m n +=成立.再利用基本不等式求121a b ++的最小值即可.【详解】∵3y x =在R 为单调递增奇函数，∴3y x =有且仅有一个对称中心()0,0，∴()3(1)1f x x =-+单调递增，有且仅有一个对称中心()1,1，又∵()()22(1,0)f a f b a b +=>->，∴22a b +=，则()214a b ++=，∴()1211221141a b a b a b æö+=+++éùç÷ëû++èø()411441a b a b +éù=++êú+ë1424é³+=êêë，当且仅当()411a b a b+=+即0,2a b ==时，等号成立，∴121a b++的最小值是2.故答案为：2.12. 如图，线段,AD BC 相交于O ，且,,,AB AD BC CD 长度构成集合{}1,5,9,x，90ABO DCO Ð=Ð=°，则x 的取值个数为________.【答案】6【解析】【分析】画出等效图形，分9AD =和x 两种情况由勾股定理求出对应x 值即可；的【详解】如图，因为90ABO DCO Ð=Ð=°，且,,,AB AD BC CD 长度构成集合{}1,5,9,x ，因为直角三角形ADE 中，斜边AD 一定大于直角边AE 和DE ，所以9AD =或x ，当9AD =时，可分为AE x =，此时由勾股定理可得()222159x ++=，解得x =CE x =，此时由勾股定理可得()222159x ++=，解得5x =；CD x =，此时由勾股定理可得()222519x ++=，解得1x =；当AD x =，可分为()222915x ++=，解得x =()222195x ++=，解得x =；()222519x ++=，解得x =所以x 的取值个数为6，故答案为：6.【点睛】关键点点睛：本题的关键是能够画出等效图形再结合勾股定理解答.13. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）A. 2(),()x f x x g x x== B. ()(),()()f x x x R g x x x Z =Î=ÎC. ,0(),(),0x x f x x g x x x ³ì==í-<î D. 2(),()f x x g x ==【答案】C【解析】【分析】分别求得函数的定义域和对应法则，结合同一函数的判定方法，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，函数()f x x =的定义域为R ，函数2()x g x x=的定义域为(,0)(0,)-¥+¥U ，两函数的定义域不同，不是同一函数；对于B 中，函数()()f x x x R =Î和()()g x x x Z =Î的定义域不同，不是同一函数；对于C 中，函数,0(),0x x f x x x x ³ì==í-<î与,0(),0x x g x x x ³ì=í-<î定义域相同，对应法则也相同，所以是同一函数；对于D 中，函数()f x x =定义域为R，2()g x =的定义域为[0,)+¥，两函数的定义域不同，不是同一函数.故选：C.【点睛】本题主要考查了同一函数的判定，其中解答中熟记两函数是同一函数的判定方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.14. 设集合A ＝{x |x ＝12m ，m ∈N *}，若x 1∈A ，x 2∈A ，则（ ）A. (x 1+x 2)∈AB. (x 1﹣x 2)∈AC. (x 1x 2)∈AD. 12x x ∈A 【答案】C【解析】【分析】利用元素与集合的关系的进行判定.【详解】设112p x =，212q x =， 则12111222p q p qx x +=×=，因为p 、*N q Î，所以*N p q +Î，则x 1x 2∈A ，故选：C ．15. 如图1，小球从左侧的斜坡滚下，到达底端后又沿着右侧斜坡向上滚在这个过程中，小球的运动速度v （m /s ）与运动时间t （s ）的函数图象如图②，则该小球的运动路程y （m ）与运动时间t （s ）之间的函数图象大致是（ ）的的A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意结合图象分析即可.【详解】由题意，小球是匀变速运动，所以图象是先缓后陡，在右侧上升时，先陡后缓.故选：C.16. 设集合A 是集合*N 的子集，对于*i ÎN ，定义1,()0,i i A A i A j Îì=íÏî，给出下列三个结论：①存在*N 的两个不同子集,A B ，使得任意*i ÎN 都满足()0i A B j =I 且()1i A B j =U ；②任取*N 的两个不同子集,A B ，对任意*i ÎN 都有()i A B j =I ()i A j g ()i B j ；③任取*N 的两个不同子集,A B ，对任意*i ÎN 都有()i A B j =U ()+i A j ()i B j ；其中，所有正确结论的序号是（ ）A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③【答案】A【解析】【分析】根据题目中给的新定义，对于*,0i i N A j Î=（）或1，可逐一对命题进行判断，举实例例证明存在性命题是真命题，举反例可证明全称命题是假命题．【详解】∵对于*i ÎN ，定义1,()0,i i A A i A j Îì=íÏî，∴对于①，例如集合A 是正奇数集合，B 是正偶数集合，,*A B A B N \=Æ=I U ，()()01i i A B A B j j \==I U ;，故①正确；对于②，若()0i A B j =I ，则()i A B ÏI ，则i A Î且i B Ï，或i B Î且i A Ï，或i A Ï且i B Ï；()()0i i A B j j \×=；若()1i A B j =I ，则()i A B ÎI ，则i A Î且i B Î； ()()1i i A B j j \×=；∴任取*N 的两个不同子集,A B ，对任意*i ÎN 都有()i i A B A i B j j j =×I （）（）；正确，故②正确；对于③，例如：{}{}{}1232341234A B A B ===U ,,,,,,,,,，当2i =时，1i A B j =U （）；()()1,1i i A B j j ==；()()()i i i A B A B j j j \¹+U ； 故③错误；∴所有正确结论的序号是：①②； 故选：A ．【点睛】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17. 已知关于x 的不等式122x a -£的解集为集合A ，40x B x x ìü-=£íýîþ.（1）若x A Î是x B Î的必要不充分条件，求a 的取值范围.（2）若A B =ÆI ，求a 的取值范围.【答案】（1）[]0,2（2）(](),24,-¥-+¥U 【解析】分析】（1）首先解不等式求出集合A 、B ，依题意B 真包含于A ，即可得到不等式组，解得即可；（2）首先判断A ¹Æ，即可得到240a +£或244a ->，解得即可.【小问1详解】由122x a -£，即1222x a -£-£，解得2424a x a -££+，所以{}2424|A x x a a -=££+，由40x x -£，等价于()400x x x ì-£í¹î，解得04x <£，所以{}40|04x B x x x x ìü-=£=<£íýîþ，【因为x A Î是x B Î的必要不充分条件，所以B 真包含于A ，所以244240a a +³ìí-£î，解得02a ££，即a 的取值范围为[]0,2；【小问2详解】因为A B =ÆI ，显然A ¹Æ，所以240a +£或244a ->，解得2a £-或4a >，即a 的取值范围为(](),24,-¥-+¥U .18. 已知函数()211y m x mx =+-+．（1）当5m =时，求不等式0y >的解集；（2）若不等式0y >的解集为R ，求实数m 的取值范围．【答案】（1）{13x x <或x >（2）(22-+【解析】【分析】（1）根据题意易得26510x x -+>，因式分解后利用口诀“大于取两边，小于取中间”即可得解；（2）由题意易得()2110m x mx +-+>的解集为R ，分类讨论1m =-与1m ¹-两种情况，结合二次函数的图像性质即可得解.【小问1详解】根据题意，得2651y x x =-+，由0y >得26510x x -+>，即()()31210x x -->，解得：13x <或12x >，故不等式0y >的解集为{13x x <或x >【小问2详解】由题意得，()2110m x mx +-+>的解集为R ，当1m =-时，不等式可化为10x +>，解得1x >-，即()2110m x mx +-+>的解集为()1,-+¥，不符合题意，舍去；当1m ¹-时，在()211y m x mx =+-+开口向上，且与x 轴没有交点时，()2110m x mx +-+>的解集为R ，所以()210Δ410m m m +>ìí=-+<î，解得22m m >ìïí-<<+ïî22m -<<+，综上：22m -<<+，故实数m的取值范围为(22-+.19. 某化工企业生产过程中不慎污水泄漏，污染了附近水源，政府责成环保部门迅速开展治污行动，根据有关部门试验分析，建议向水源投放治污试剂，已知每投放a 个单位（04a <£且R a Î）的治污试剂，它在水中释放的浓度y （克/升）随着时间x （天）变化的函数关系式近似为()y af x =，其中()[](]1,0,5711,5,112xx xf x x x +ìÎïï-=í-ïÎïî，若多次投放，则某一时刻水中的治污试剂浓度为每次投放的治污试剂在相应时刻所释放的浓度之和，根据试验，当水中治污试剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能治污有效．（1）若只投放一次4个单位的治污试剂，则有效时间最多可能持续几天？（2）若先投放2个单位的治污试剂，6天后再投放m 个单位的治污试剂，要使接下来的5天中，治污试剂能够持续有效，试求m 的最小值．【答案】（1）7天； （2）min 2m =.【解析】【分析】（1）根据给定的函数模型求投放一次4个单位的治污试剂的有效时间即可；（2）由题设()5=11413x g x x m x --+׳-，将问题化为()()1375x x m x --³-在[6,11]x Î上恒成立，利用基本不等式求右侧最大值，即可得求参数最小值.【小问1详解】因为一次投放4个单位的治污试剂，所以水中释放的治污试剂浓度为()44,0547222,511xx y f x x x x +죣ï==-íï-<£î，当05x ££时，()4147x x+³-，解得35x ££；当511x ££时，2224x -³，解得59x ££；综上，39x ££，故一次投放4个单位的治污试剂，则有效时间可持续7天．【小问2详解】设从第一次投放起，经过()611x x ££天后浓度为()()()16511[]117613x x g x x m x m x x+--=-+=-+×---．因为611x ££，则130x ->，50x ->，所以511413x x m x --+׳-，即()()1375x x m x --³-，令5x t -=，[]1,6t Î，所以()()281610t t m t tt --æö³-=-+ç÷èø，因为168t t+³=，所以2m ≥，当且仅当16t t =，4t =即9x =时等号成立，故为使接下来的5天中能够持续有效m 的最小值为2.20. 对于函数()f x ，若存在0R x Î，使()00f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点.（1）求函数23y x x =--不动点；（2）若函数()221y x a x =-++有两个不相等的不动点1x 、2x ，求1221x x x x +的取值范围；（3）若函数()()211g x mx m x m =-+++在区间(0,2)上有唯一的不动点，求实数m 的取值范围.【答案】（1）1-和3. （2）()2,+¥（3）(]1,1-U .【解析】【分析】（1）解方程23x x x --=，即可求出不动点；（2）由题意，方程()2310x a x -++=有两个不相等的实数根1x 、2x ，由0D >即可求出a 的范围，结合韦达定理和二次函数图象性质即可求出1221x x x x +的范围；的（3）由题意，()2210mx m x m -+++=在(0,2)上有且只有一个解，令()()221h x mx m x m =-+++，分()()020h h ×<，()00h =，()20h =和0D =四种情况进行讨论即可.【小问1详解】由题意知23x x x --=，即2230x x --=，则()()310x x -+=，解得11x =-，23x =，所以不动点为1-和3.【小问2详解】依题意，()221x a x x -++=有两个不相等的实1x 数根1x 、2x ，即方程()2310x a x -++=有两个不相等的实数根1x 、2x ，所以()22Δ34650a a a =+-=++>，解得5a <-，或1>-a ，且123x x a +=+，121x x =，所以()()2222121212122112232x x x x x x x x a x x x x ++==+-=+-，因为函数()232y x =+-对称轴为3x =-当3x <-时，y 随x 的增大而减小，若5x <-，则2y >；当3x >-时，y 随x 的增大而增大，若1x >-，则2y >；故()()2322,a ¥+-Î+，所以1221x x x x +的取值范围为()2,¥+.【小问3详解】由()()211g x mx m x m x =-+++=，得()2210mx m x m -+++=，由于函数()g x 在(0,2)上有且只有一个不动点，即()2210mx m x m -+++=在(0,2)上有且只有一个解，令()()221h x mx m x m =-+++，①()()020h h ×<，则()()110m m +-<，解得11m -<<；②()00h =，即1m =-时，方程可化为20x x --=，另一个根为1-，不符合题意，舍去；③()20h =，即1m =时，方程可化为2320x x -+=，另一个根为1，满足；④0D =，即()()22410m m m +-+=，解得m =（ⅰ）当m =时，方程的根为()2222m m x m m -++=-==（ⅱ）当m =()2222m m x m m -++=-==，不符合题意，舍去；综上，m 的取值范围是(]1,1-È.21. 对任意正整数n ，记集合(){1212,,,,,,n nnA a a a a a a=××××××均为非负整数，且}12n a a a n ++×××+=，集合(){1212,,,,,,n nnB b b b b b b =××××××均为非负整数，且}122n b b b n ++×××+=．设()12,,,n n a a a A a =×××Î，()12,,,n n b b b B b =×××Î，若对任意{}1,2,,i n Î×××都有i i a b £，则记a b p ．（1）写出集合2A 和2B ；（2）证明：对任意n A a Î，存在n B b Î，使得a b p ；（3）设集合(){},,,n nnS A B a b a b a b =ÎÎp 求证：nS中的元素个数是完全平方数．【答案】（1）()()(){}20,2,1,1,2,0A =，()()()()(){}20,4,1,3,2,2,3,1,4,0B =（2）证明见解析 （3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据集合n A 与n B 的公式，写出集合和即可；（2）任取()12,,,n n a a a A a =×××Î，设()11,2,3,,i i b a i n =+=×××，令()12,,,n b b b b =×××，只需证明n B b Î，即可证明结论成立；（3）任取()12,,,n n a a a A a =×××Î，()12,,,n n a a a A a =×עע΢¢，可证明n B a a +¢Î，且a a a +¢p ，a a a ¢+¢p ，再设集合n A 中的元素个数为t ，设{}12,,,n t A a a a =×××，设集合(){},1,2,,,1,2,,n i i j T i t j t a a a =+=×××=×××，通过证明n n T S Í，n n S T Í，推出n n S T =，即可完成证明．【小问1详解】()()(){}20,2,1,1,2,0A =，()()()()(){}20,4,1,3,2,2,3,1,4,0B =．【小问2详解】对任意()12,,,n n a a a A a =×××Î，设()11,2,3,,i i b a i n =+=×××，则12,,,n b b b ×××均为非负整数，且()1,2,3,,i i a b i n £=×××．令()12,,,n b b b b =×××，则12n b b b ++×××+()()()12111n a a a =++++×××++()12n a a a n=++×××++2n =，所以n B b Î，且a b p ．【小问3详解】对任意()12,,,n n a a a A a =×××Î，()12,,,n n a a a A a =×עע΢¢，记()1122,,,n n a a a a a a a a +=++×××¢+¢¢¢，则11a a ¢+，22a a ¢+，…，n n a a ¢+均为非负整数，且()()()1122n n a a a a a a ++++×××++¢¢¢()()1212n n a a a a a a ¢=++×××++++××+¢×¢n n =+2n =，所以n B a a +¢Î，且a a a +¢p ，a a a ¢+¢p ．设集合n A 中的元素个数为t ，设{}12,,,n t A a a a =×××．设集合(){},1,2,,,1,2,,n iijT i t j t a a a =+=×××=×××．对任意i n A a Î(1,2,,)i t =×××，都有1i a a +，2i a a +，…，i t n B a a +Î，且i i j a a a +p ，1,2,,j t =×××．所以n n T S Í．若(),n S a b Î，其中()12,,,n n a a a A a =×××Î，()12,,,n n b b b B b =×××Î，设i i i c b a =-()1,2,,i n =×××，因为i i a b £，所以0i i i c b a =-³，记()12,,,n c c c a =×××¢，则12n c c c +++L ()()()1122n n b a b a b a =-+-+-L ()()1212n n b b b a a a =++×××+-++×××+2n n n =-=，所以n A a ¢Î，并且有b a a =+¢，所以(),n T a b Î，所以n n S T Í．所以n n S T =．因为集合n T 中的元素个数为2t ，所以n S 中的元素个数为2t ，是完全平方数．【点睛】关键点点睛：集合元素的个数转换为证明两个集合相等.。
2022-2023学年华东师大版九年级上册数学期中复习试卷及参考答案
2022-2023学年华东师大新版九年级上册数学期中复习试卷一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．已知n 是正整数，是整数，n的最小值为（）A．21B．22C．23D．242．如果关于x的方程x2+px+q＝0有一根为﹣1，则p、q应满足（）A．p+q＝1B．p﹣q＝1C．p＝0D．q＝03．如图，图形甲与图形乙是位似图形，点O是位似中心，点A、B的对应点分别为点A′、）B′若OA′＝2OA，AB＝4.5，则A′B′的长为（A．8B．9C．10D．154．新纪元学校团委准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在长为30cm、宽为20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等（如图所示），若设彩纸的宽度为xcm，根据题意可列方程（）A．（30+x）（20+x）＝600B．（30+x）（20+x）＝1200C．（30﹣2x）（20﹣2x）＝600D．（30+2x）（20+2x）＝12005．某校为了解本校九年级男生在“新冠肺炎“疫情期间每天在家进行锻炼的时长情况，随机抽查了100名九年级男学生进行问卷调查，将收集到的数据整理如下：x＜100≤x＜2020≤x＜3030≤x＜4040≤x＜5050≤x＜60x＞60时间x（分）人数181034221510根据以上统计结果，抽查该校一名九年级男生，估计他每天进行锻炼的时间不少于40分钟的概率是（）A．0.22B．0.53C．0.47D．0.816．若A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝2（x+1）2+c上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y2 7．新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，已知在5×5的网格图形中，点A、B、C、D为不同的点且都在格点上，如果∠ADC ＝∠ABC，那么图中所有符合要求的格点D的个数是（）A．3B．5C．7D．98．已知点A（﹣2，y1），点B（﹣1，y2）和点C（1，y3）在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，则y1、y2、y3大小关系正确的是（）A．y1＞y2＞y3B．y3＞y2＞y1C．y2＞y1＞y3D．y3＞y1＞y2二．填空题（共6小题，满分183分）9．当x＝1时，二次根式的值是．10．一元二次方程x2﹣2x+3＝0的根的判别式的值是．11．如图，为了测量一棵树CD的高度，测量者在B处立了一根高为2.5m的标杆，观测者从E处可以看到杆顶A，树顶C在同一条直线上，若测得BD＝7m，FB＝3m，EF＝1.6m，则树高为m．12．如图，在△ABC中，点E是BC的中点，AB＝BE，BD⊥AE交AD于点D，若△ABC 的面积为2，则△CDE的面积为．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝10，BC＝5，M是射线AB上的一动点，以AM为斜边在△ABC外作Rt△AMN，且使tan∠MAN＝，O是BM的中点，连接ON．则ON长的最小值为．14．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C在y轴正半轴上，抛物线y＝ax2﹣2ax+c经过点B、C．若抛物线y＝ax2﹣2ax+c的顶点在正方形OABC的内部，则a的取值范围是．三．解答题（共10小题，满分78分）15．计算：（π﹣3.14）0++2tan60°﹣（﹣2）2021•（）2020．16．甲口袋中装有两个相同的小球，它们分别写有数字1和2，乙口袋中装有三个相同的小球，它们分别写有数字3，4和5．从两个口袋中各随机取出1个小球，用画树状图或列表的方法，求取出的2个小球上的数字之和为5的概率．17．如图，有一块长30m、宽20m的矩形田地，准备修筑同样宽的三条直路，把田地分成六块种植不同品种的蔬菜，并且种植蔬菜面积为矩形田地面积的，求道路的宽为多少m？18．已知：BD是△ABC的角平分线，点E在AB边上，BE＝BC，过点E作EF∥AC，交BD于点F，连接CF，DE．（1）如图1，求证：四边形CDEF是菱形；（2）如图2，当∠DEF＝90°，AC＝BC时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中度数为∠ABD的度数2倍的角．19．图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．（1）网格中△ABC的形状是；（2）在图①中确定一点D，连结DB、DC，使△DBC与△ABC全等；（3）在图②中△ABC的边BC上确定一点E，连结AE，使△ABE∽△CBA；（4）在图③中△ABC的边AB上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连结PQ，使△PBQ∽△ABC，且相似比为1：2．20．被誉为“中原第一高楼”的郑州会展宾馆（俗称“大玉米”）坐落在风景如画的如意湖畔，是来郑州观光的游客留影的最佳景点，学完了三角函数知识后，刘明和王华同学决定用自己学到的知识测量“大玉米”的高度，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量项目及结果如下表．项目内容课题测量郑州会展宾馆的高度测量示意图如图，在E 点用测倾器DE 测得楼顶B 的仰角是α，前进一段距离到达C 点用测倾器CF 测得楼顶B 的仰角是β，且点A 、B 、C 、D 、E 、F 均在同一竖直平面内测量数据∠α的度数∠β的度数EC 的长度测倾器DE ，CF 的高度40°45°53米1.5米……请你帮助该小组根据上表中的测量数据，求出郑州会展宾馆的高度（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，结果保留整数）21．某商店销售某种品牌的蜂蜜，购进时的价格是30元/千克．根据市场调查：在一段时间内，销售单价x （元/千克）与销售量y （千克）之间满足的关系如图所示．（1）求y 关于x 的函数关系式；（2）要使该商店销售这种蜂蜜获得11250元的销售利润且让利于顾客，则该蜂蜜的销售单价应定为多少元？22．在平面直角坐标系xOy 中，对于任意三点A 、B 、C 的“矩面积”，给出如下定义：任意两点横坐标差的最大值称为“水平底”a ，任意两点纵坐标差的最大值称为“铅垂高”h ，“水平底”与“铅垂高”的乘积为点A 、B 、C 的“矩面积S ”，即“矩面积”S ＝ah ．例如：点A（1，2）、B（﹣3，1）、C（2，﹣2），它们的“水平底”a＝5，“铅垂高”h＝4，“矩面积”S＝ah＝20．（1）已知点A（2，1）、B（﹣2，3），C（0，t）．①若A、B、C三点的“矩面积”为12，写出点C的坐标：；②写出A、B、C三点的“矩面积”的最小值：；（2）已知点D（﹣1，3）、E（4，0）、F（t，2t），设D、E、F三点的“矩面积”为S，求S（用含t的式子表示）23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，点P为抛物线上的一个动点，连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在直线AC上方，当四边形PABC面积最大时，求点P的坐标；（3）过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为点D，点Q是对称轴上一点，当△PDQ与△AOC全等时，求点P，Q的坐标．24．（1）【探究发现】如图①，等腰△ACB，∠ACB＝90°，D为AB的中点，∠MDN＝90°，将∠MDN绕点D旋转，旋转过程中，∠MDN的两边分别与线段AC、线段BC交于点E、F（点F与点B、C不重合），写出线段CF、CE、BC之间的数量关系，并证明你的结论；（2）【类比应用】如图②，等腰△ACB，∠ACB＝120°，D为AB的中点，∠MDN＝60°，将∠MDN绕点D旋转，旋转过程中，∠MDN的两边分别与线段AC、线段BC交于点E、F（点F与点B、C不重合），直接写出线段CF、CE、BC之间的数量关系为；（3）【拓展延伸】如图③，在四边形ABCD中，AC平分∠BCD，∠BCD＝120°，DAB ＝60°，过点A作AE⊥AC，交CB的延长线于点E，若CB＝6，DC＝2，则BE的长为．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．解：∵189＝32×21，∴＝3，∴要使是整数，n的最小正整数为21．故选：A．2．解：把x＝﹣1代入原方程得：1﹣p+q＝0，移项得：p﹣q＝1；故选：B．3．解：∵图形甲与图形乙是位似图形，∴AB∥A′B′，∴△AOB∽△A′OB′，∴＝，即＝，解得：A′B′＝9，故选：B．4．解：设彩纸的宽度为xcm，则由题意列出方程为：（30+2x）（20+2x）＝2×30×20．故选：D．5．解：估计他每天进行锻炼的时间不少于40分钟的概率是＝0.47，故选：C．6．解：∵抛物线y＝2（x+1）2+c的开口向上，对称轴是直线x＝﹣1，∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，∵A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝2（x+1）2+c上的三个点，∴点A关于对称轴x＝﹣1的对称点是（0，y1），∴y3＞y2＞y1，故选：C．7．解：如图，满足条件的点D有9个．故选：D．8．解：∵反比例函数y＝中k＞0，∴函数图象的两个分式分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．∵﹣2＜0，﹣1＜0，∴点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2）位于第三象限，∴y1＜0，y2＜0，∵﹣2＜﹣1＜0，∴0＞y1＞y2＞0．∵1＞0，∴点C（1，y3）位于第一象限，∴y3＞0，∴y3＞y1＞y2．故选：D．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）9．解：当x＝1时，原式＝＝2，故答案为：2．10．解：∵a＝1，b＝﹣2，c＝3，∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×3＝4﹣12＝﹣8，故答案为：﹣8．11．解：作EH⊥CD于H，交AB于G，如图，则EG＝BF＝3m，GH＝BD＝7m，GB＝HD＝EF＝1.6m，所以AG＝AB﹣GB＝2.5﹣1.6＝0.9（m），∵AG∥CH，∴△EAG∽△EHC，∴＝，即＝，解得：CH ＝3，∴CD ＝CH +DH ＝4.6（m ）．故答案为：4.6．12．解：∵AB ＝BE ，BD ⊥AE ，∴AD ＝DE ，∴S △CDE ＝S △ACE ，∵点E 是BC 的中点，∴S △ACE ＝S △ABC ＝1，∴△CDE 的面积＝．故答案为：．13．解：作NP ⊥AB 于点P ，在Rt △ACB 中，由勾股定理得：AB ＝＝＝5，设AM 长为x ，则BM ＝5﹣x ，∵tan ∠MAN ＝＝，∴AN ＝2MN ，∴AM ＝＝MN ，∴MN＝AM＝x，AN＝2MN＝x，同理，在Rt△ANP中可得NP＝＝x，AP＝2NP＝x，∵O为BM中点，∴BO＝BM＝，∴AO＝AB﹣BO＝，∴OP＝AO﹣AP＝﹣x＝，在Rt△ONP中，由勾股定理得ON2＝OP2+NP2，即ON2＝（）2+（x）2＝（25x2﹣150x+3125）＝（x2﹣6x+125）＝（x﹣3）2+20，∴当x＝3时，ON2取最小值为20，∴ON最小值为2．故答案为：2．14．解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c开口向上，∴a＞0，∵对称轴为直线x＝﹣＝1，且经过点B、C．∴BC＝2，∴正方形的边长为2，∴C（0，2），B（2，2），∴c＝2，∵抛物线为y＝ax2﹣2ax+2，∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c的顶点在正方形OABC的内部，∴0＜＜2，解得0＜a＜2，故答案为0＜a＜2．三．解答题（共10小题，满分78分）15．解：原式＝1+（﹣2）+2×﹣（﹣2）2020×（）2020×（﹣2）＝1﹣2+6﹣（﹣2×）2020×（﹣2）＝1﹣2+6﹣1×（﹣2）＝1﹣2+6+2＝7．16．解：根据题意，画树状图如下：共有6种结果，并且它们出现的可能性相等，符合题意的结果有2种，则取出的2个小球上的数字之和为5的概率是＝．17．解：设道路宽为x米，则六块菜地可合成长为（30﹣2x）m，宽为（20﹣x）m的矩形，依题意，得：（30﹣2x）（20﹣x）＝×30×20，整理，得：x2﹣35x+66＝0，解得：x1＝33（不合题意，舍去），x2＝2．答：道路的宽为2m．18．（1）证明：在△BDE和△BDC中，，∴△BDE≌△BDC（SAS）；∴DE＝DC，∠BDE＝∠BDC同理△BFE≌△BFC，∴EF＝CF∵EF∥AC∴∠EFD＝∠BDC，∴∠EFD＝∠BDE，∴DE＝EF，∴DE＝EF＝CF＝DC，∴四边形CDEF是菱形；（2）∵四边形CDEF是正方形，∴∠CDE＝∠DEF＝2∠EFD＝90°，∵AC＝BC，∴∠A＝∠CBE，∵∠A+∠AED＝180°﹣90°＝90°，∠AED+∠FEB＝90°，∴∠A＝∠FEB＝∠CBE＝2∠EBF，∵∠ABD+∠FEB＝∠DFE＝45°，∴∠ABD＝15°，∴∠FEB＝30°，∴∠A＝∠ABC＝∠FEB＝30°，∵△BFE≌△BFC，∴∠FEB＝∠FCB＝30°，综上所述，度数为∠ABD的度数2倍的角是∠A，∠ABC，∠FEB，∠FCB．19．解：（1）∵AC＝＝，AB＝＝2，BC＝5，∴AC2+AB2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∴△ABC是直角三角形；故答案为：直角三角形；（2）如图①中，点D，点D′，点D″即为所求；（3）如图②中，点E即为所求；（4）如图③，点P，点Q即为所求．20．解：由题意可得：设BN＝FN＝x，则tan40°＝＝≈0.84，解得：x＝278.25，故AB＝278.25+1.5≈280（米），答：郑州会展宾馆的高度为280米．21．解：（1）设y与x的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），将（60，400），（50，500）代入y＝kx+b，得：，解得：，∴y与x的函数解析式为y＝﹣10x+1000（30≤x≤100）；（2）依题意得：（x﹣30）（﹣10x+1000）＝11250，整理得：x2﹣130x+3600＝0，解得：x1＝40，x2＝90答：销售单价应定为每千克40元．22．解：（1）由题意：a＝4．①当t＞3时，h＝t﹣1，则4（t﹣1）＝12，可得t＝4，故点C的坐标为（0，4）；当t＜1时，h＝3﹣t，则4（3﹣t）＝12，可得t＝0，故点C的坐标为（0，0）；故答案为：（0，4）或（0，0）；②根据题意得：a的最小值为2，h的最小值为2，∴A、B、C三点的“矩面积”的最小值为2×2＝4；故答案为：4；（2）分情况讨论：如图所示：①当t ＞4时，S ＝（t +1）×2t ＝2t 2+2t ；②当≤t ≤4时，S ＝5×2t ＝10t ；③当0≤t ≤时，S ＝5×3＝15；④当﹣1≤t ＜0时，S ＝5（3﹣2t ）＝15﹣10t ；⑤当t ＜﹣1时，S ＝（4﹣t ）（3﹣2t ）＝2t 2﹣11t +12．23．解：（1）将A （﹣4，0），B （1，0）代入y ＝﹣x 2+bx +c ，∴，解得，∴y ＝﹣x 2﹣3x +4；（2）令x ＝0，则y ＝4，∴C （0，4），设直线AC 的解析式为y ＝kx +b ，∴，解得，∴y ＝x +4，过P 点作PG ∥y 轴交AC 于点G ，设P （t ，﹣t 2﹣3t +4），则G （t ，t +4），∴PQ ＝﹣t 2﹣3t +4﹣t ﹣4＝﹣t 2﹣4t ，∴S 四边形APBC ＝S △ABC +S △PAC ＝×5×4+×4×（﹣t 2﹣4t ）＝18﹣2（t +2）2，∵﹣4＜t ＜0，∴t＝﹣2时，四边形PABC面积有最大值，此时P（﹣2，6）；（3）∵y＝﹣x2﹣3x+4＝﹣（x+）2+，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣，∵AO＝4，OC＝4，∴△AOC是等腰直角三角形，∵△PDQ与△AOC全等，∴△PDQ是等腰直角三角形，∵PD⊥DQ，∴PD＝DQ，设P（t，﹣t2﹣3t+4），Q（﹣，m），∴|t+|＝|﹣t2﹣3t+4﹣m|＝4，∴t＝或t＝﹣，m＝﹣或m＝﹣，∴P（，﹣）或（﹣，﹣），Q（﹣，﹣）或（﹣，﹣）．24．解：（1）CF+CE＝BC．证明如下：∵等腰△ACB中∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD⊥AB，，∠A＝∠B＝45°，∴∠CDB＝90°，∴∠B＝∠BCD，∴DC＝DB．又∵∠MDN＝90°，∴∠EDC＝∠BDF．在△EDC和△FDB中，，∴△EDC≌△FDB，∴CE＝BF，∴BC＝BF+CF＝CE+CF；（2）CF+CE＝BC．证明如下：取BC中点G，连接DG，∵等腰△ACB中∠ACB＝120°，D为AB的中点，∴CD⊥AB，即∠CDB＝90°，，∵在Rt△CDB中，点G是BC中点，∴，∴△DCG是等边三角形，∴∠CDG＝∠CGD＝60°，DG＝DC，又∵∠CDG＝∠MDN＝60°，∴∠EDC＝∠FDG，又∵∠ECD＝∠FGD＝60°，DG＝DC，∴△EDC≌△FDG（ASA），∴CE＝GF，∴BC＝2CG＝2（GF+CF）＝2（CE+CF），∴．故答案为：；（3）延长EA，CD交于点F，取G为CF的中点，∵AE⊥AC，∴∠CAF＝90°，在Rt△CAF中，点G是CF中点，∴AG＝GC＝GF，∵AC平分∠BCD，∠BCD＝120°，∴，∴△ACG是等边三角形，∴∠GAC＝∠AGD＝60°，AG＝AC，又∵∠DAB＝60°，∴∠GAD＝∠CAB，又∵∠ACB＝∠AGD＝60°，AG＝AC，∴△ACB≌△AGD（ASA），∴GD＝BC＝6，∴FC＝2CG＝2（GD+DC）＝2×（6+2）＝16，∵∠F＝90°﹣∠ACD＝90°﹣°＝30°，∠E＝90°﹣∠ACE＝90°﹣60°＝30°，∴∠F＝∠E，∴CE＝CF＝16，∴BE＝CE﹣BC＝16﹣6＝10．故答案为：10．。
华师大附中高三期中考试试卷
华师大附中高三期中考试试卷第I卷（共110 分）I.Listening ComprehensionPart A Short ConversationsDirections : In Part A, you will hear ten short conversations between two speakers.At the end of each conversation, a question will be asked about what was said.The conversation and the question will be spoken only once.After you hear a conversation and the question about it, read the four possible answers in your paper, and decide which one is the best answer to the question you have heard.1.A.She doesn't like either of them.B.John copied it from Jim.C.Jim copied it from John.D.One is the copy from the other.2.A.She can only use it in the library.B.She is welcome to use it.C.She get one for herself.D.She can check one out.3.A.Andy will help if he's there this summer.B.West Virginia has many unexplored areas.C.Andy would probably be a good person to ask.D.The campers should try to get a lot of information.4.A.The history book. B.The English book.C.The maths book.D.The chemistry book.5.A.She didn't go to the drugstore.B.She couldn't get the medicine.C.She learned that the druggist had been robbed.D.She had a long wait before the druggist arrived.6.A.No, because it's not for sale.B.Yes, because he has plenty of money.C.Yes, if he borrows the money from the woman.D.No, because he didn't bring enough money.7.A.The movie is not good. B.The movie is excellent.C.She wants to see the movie again.D.She doesn't want to stay home.8.A.On a plane. B.On a train. C.In a car. D.On a ship.9.A.At 12 : 45. B.At 12 : 30. C.At 12 : 15. D.At 13 : 00.10.A.At home. B.In a medical center.C.In an office.D.In a shopping center.Part B PassagesDirections: In Part B, you will hear two short passages, and you will be asked three questions on each of the passages.The passages will be read twice but the questions will only be spoken once.When you hear a question, read the four possible answers in your paper and decide which one would be the best answer to the question you have heard.Questions 11 through 13 are based on the following passage.11.A.Very well. B.All right. C.Disappointingly. D.Badly.12.A.He was not doing anything. B.He painted only one mile.C.He quarreled with his boss.D.He wasted too much paint.13.A.The man got very tired. B.The man made a mess of his work.C.The man never liked the job.D.The man never moved the paint can. Questions 14 through 16 are based on the following passage.14.A.Sitting in front of the TV. B.Too much violence in real life.C.Watching violence on TV.D.Stricter controls on children.15.A.The possible effect on children of violence on TV and video.B.The survey carried in the UK and the US.C.The idea of watching different programmes on TV.D.The fact that more Americans were killed and wounded in a week.16.A.A phone-in programme. B.An online programme.C.A TV series.D.A story-telling programme.Part C Longer ConversationsDirections: In Part C, you will hear two longer conversations.The conversations will be read twice.After you hear each conversation, you are required to fill in the numbered blanks with the information you hear.Student’s Book √(19)Teacher’s Book √ 3Cassette Tapes √(20)Complete the form.Write ONE WORD for each answer.Blanks 21 through 24 are based on the following conversation.Complete the form.Write ONE WORD for each answer.II.GrammarDirections: Beneath each of the following sentences there are four choices marked A, B, C and D. Choose the one answer that best completes the sentence.25.The Summer Olympics about two weeks and the summer athletic events are five categories.A.RUN FOR...DIVIDED INTO C.GO FOR...SPLIT INTOB.RUN FOR...SEPARATED INTO D.GO ON FOR...BROKEN INTO26.The secretary made a note of it __________ she should forget.A.IN ORDER THATB.IN CASEC.SO THATD.EVERWHEN27.Frank and his team-mates the baseball team often practise in the school gymnasium.A.FORB.ONC.ATD.TO28.I don't know .A.WHOM OF THEM I SHOULD ELECT C.WHO OF THEM I SHOULD ELECTB.WHICH OF THEM I SHOULD CHOOSE D.WHICH OF THEMSHOULD I CHOOSE29.The hotel during our holidays is a grand one with a big garden in front of it.A.WHICH WE STAYED C.WHICH WE STAY ATB.WHERE WE STAY AT D.WHERE WE LIVED30.In our school there is a reading room, _________ the students often go to read newspapers and magazines.A.AT WHICHB.WHICHC.IN WHICHD.TO WHICH31.I regret you that our company has been out of business now.I am afraid that you'll have to go somewhere else.A.TELLINGB.TELLC.TO TELLD.HA VING TOLD32.It is to stare at others.A.BAD MANNERSB.BAD MANNERC.GOOD MANNERD.GOOD MANNERS33.Frank is not quite___________ today.A.HIMB.HIS OWNC.HIMSELFD.HE34 No one is ________ blind _________ those who will not see.A.SO...THATB.SUCH...THATC.SUCH...ASD.SO...AS35.Students are____________.A.prevented to smoke C.forbidden to smokeB.stopped to smoke D.preventing from smoking36.None of the students could answer the teacher's questions.They ____________ the lesson last night.A.would have previewed C.should have previewedB.should previewed D.must have previewed37.The electricity ___________, the light went out.A.cut offB.having cut offC.were cut offD.had cut off38.It was a long time___________ that he graduated from the university.A.sinceB.agoC./D.before39.Mould can grow on all kinds of things food.A.andB.exceptC.besidesD.and on40.China is one of the countries where silkworms ____________.A.riseB.are risingC.are raisedD.feed41.The PLA man spoke about his war experience and .A.listen with great interest C.listened to with great interestB.was listened with great interest D.was listened to with great interest42.It's easier to talk about doing a thing than into practice.A.putting itB.puttingC.to putD.to put it43.Mr.Johnson prefers that to him personally.A.she speaksB.she spokeC.she will speakD.she would speak44.Children usually their parents for food and clothing.A.turn intoB.live onC.ask forD.depend onIII.VocabularyDirections: Beneath each of the following sentences there are four choices marked A, B, C and D. Choose the one answer that best completes the sentence.45.In the advanced course students must take performances at monthly .A.gapsB.lengthC.intervalsD.distance46.Investors seem to be losing in the car industry.A.trustB.relianceC.beliefD.confidence47.He wore a blue silk handkerchief in his pocket.A.shoulderB.breastC.heartD.high48.Sea water can be changed into drinking water by removing the salt in it.A.freshB.cleanC.pureD.clear49.In China it is necessary that a senior high school graduate take an entrance exam to be into a university.A.appointedB.admittedC.acceptedD.agreed50.He a diary the whole time he was in the countryside.A.carried onB.followedC.keptD.put down51.The stream into the fiver just outside the town.A.meetsB.flowsC.unitesD.supplies52She in business as a dressmaker.A.set upB.set offC.set outD.set down53.The American film I saw was .A.not very funnyB.not much funnyC.not very funD.not too much fun54.We have decided to the trip to Beijing until the weather improves.A.put offB.put awayC.delay offD.waitIV.ClozeDirections: For each blank in the following passages there are four words or phrases marked A, B, C and D. Fill in each blank with the word or phrase that best fits the context.(A)Do you read newspapers regularly? Newspaper articles55 important and interesting information for people of all ages.56 , not all information is of 57 to everyone. Fortunately, finding the sections that you particularly want to read is not difficult. There are probably certain sections of the paper that interest you most. 58 , the titles of articles and the pictures give some clues about the contents.Once you have chosen an article to read, you will find the important 59 information 60 the key facts in the first few paragraphs. The rest of mostarticles give 61 . They are usually 62 because they provide valuable supporting ideas to help the reader 63 the key facts better. Sometimes they are simply human-interest details, 64 background information or quotes from people in the news story.55.A.cover B.keep C.record D.contain56.A.Whatever B.Otherwise C.However D.Because57.A.interest B.interesting C.necessary D.important58.A.Above all B.In a word C.Beside D.Apart from thatmon B.ordinary C.general D.detailed60.A.with B.into C.for D.except61.A.facts B.details C.material D.things62.A.including B.included ed D.found63.A.understand B.read C.see D.improveA.so thatB.such asC.insteadD.in spite of(B)Twice-crowned beauty queen Michele Reis may be at most 18 years old, but she is still Mommy’s little girl. Mrs.Reis described her 65 feeling the night when her daughter won the Miss Hong Kong beauty show, “I felt as if I suffered the 66 of something important when they crowned her. Not that I wasn’t happy for her, 67 that I knew my daughter no longer belonged to me alone and I would have to 68 her with everyone else.”Considering her recent fame, the beauty queen said, “Sometimes I have the feeling that I’m 69 myself. My schedule is 70 . I’m not getting enough sleep, and I am always hurrying from one place to another.”Being a famous person has another 71 . “People no longer regard me as an ordinary person. It’s becoming more difficult for me to make friends, ___72 I’ve learned to love old friends because they ___73 treat me as Michele 74 Miss Hong Kong.”65.A.mixed B.mixing C.excited D.exciting66.A.loss B.value C.start D.end67.A.only B.but C.while D.yet68.A.admire B.share C.take D.see69.A.always B.quite C.belong to D.no longer70.A.busy B.full C.long D.covered71.A.price B.advantage C.question D.meaning72.A.and B.but C.unless D.while73.A.never B.forever C.still D.everA.more thanB.instead ofC.in spite ofD.exceptV.Reading ComprehensionDirections: Read the following passages. Each passage is followed by several questions or unfinished statements. For each of them there are four choices marked A, B, C and D. Choose the one that fits best according to the information given in the passage you have just read.(A)Handball is a hugely popular sport in Europe and Asia, and it is one of the fastest and most exciting sports in the world. It combines basketball and soccer with the splendid saves of water polo.Handball is played on an indoor court (the size of two basketball courts) and there are goals at each end.There are twelve players on each team, two goal keepers and ten field players, but there is a maximum of one goalkeeper and six field players from each team allowed on the court at any one time.The idea is simple: score more goals than the other team.The ball is made of leather or a synthetic material and it must be of perfectly round shape.The surface must not be shiny or slippery.The size and weight of the ball varies for male and female teams, and adult and junior teams.Handball has the same free-ranging play as basketball, with all players except the goalkeeper constantly moving from attack to defense.The goalkeeper uses hands, feet, head and body to keep out the other team’s shots. The origins of handball are unclear.Many people think that it developed as a training game for soccer, to be played in the off reason, or when it was snowing. Now, in countries where handball is popular, players can earn large sums of money, and indoor stadiums seating over ten thousand people sell out regularly. Handball has been played at the Olympics since 1972.74.The passage tells us that handball was most probably developed________.A.as an alternative to basketball.B.by supporters of water polo.C.for the 1972 Olympics.D.as a training game.75.In which order does the information appear in the passage?A.beginning of the sport; type of ball; court size; team membersB.court size; team members; type of ball; beginning of the sportC.court size; type of ball; team members; beginning of the sportD.beginning of the sport; team members; type of ball; court size76.From the statement “The idea is simple”, we know that in handball the________.A.players can change positionsB.court is clearly markedC.game has only one objectiveD.players can earn a lot of money77.The main purpose of this passage is to ________.A.describe an interesting sportB.show how the rules of handball have changedC.list the world champion handball teamsD.increase the number of teams at the Olympics(B)We find that bright children are seldom held back by mixed-ability teaching.On the contrary, both their knowledge and experience are enriched.We feel that there are many disadvantages in dividing the class of the pupils grouped according to their abilities and intelligence.It doesn’t take into consideration the fact that children develop at different rates.It can have a bad effect on both the bright and the not-so-bright children.After all, it can be quite discouraging to be at the bottom of the top grade!Besides, it is rather unreal to grade people just according to their intellectual ability.This is only one part of their total personality.We are concerned to develop the abilities of all our pupils to the full, not just their study ability.We also value personal qualities and social skills, and we find that mixed-ability teaching helps to bring about all these parts of learning. Sometimes the pupils work in pairs; sometimes they work alone, and they can do this at their own speed.They also have some formal class teaching when this is suitable.We encourage our pupils to use the library, and we teach them the skills they need in order to do this well.An advanced pupil can do advanced work: it does not matter what age the child is.We expect our pupils to do their best, not their least, and we give them every encouragement to achieve this goal.78.In the passage the writer ________ “mixed-ability teaching”A.criticizesB.questions onC.appreciatesD.objects to79.The writer thinks that a teacher’s main concern should be the developmentof the student’s ________.A.social skillsB.total personalityC.learning ability and communicative skillsD.intellectual ability80.The phrase “held back” in the first line means ________.A.“made to remain in the same class”B.“forced to study in the lower classes”C.“drawn to their studies”D.“prevented from advancing”81.The purpose of the writer in writing the passage is to ________.A.argue for teaching bright and not-so-bright pupils in the same classB.recommend pair work and group work for classroom activitiesC.offer advice on the proper use of the libraryD.put emphasis on the importance of proper formal classroom teaching(C)It moved without a ripple, a moon-white circle beneath the surface, and in a few seconds it was as far away as it had been when he had first sighted it.Then it broke the top of the water.Jonsai was astonished.It was a turtle.Jonsai rubbed his eyes, thinking that the sun had weakened them. It was not unusual to find turtle feeding near the edge of the reef.But this was not an ordinary turtle.It stayed there on the surface, white and shining.The creature stayed still for some time.So did the boy.Leaning forward, he stared without moving, disbelief giving way to a small fear.His heart was beating wildly.There was no such thing as a white turtle!His mind moved first.Tonight the men would return from the pig hunt.Samu and Aesake would be at the feast with the men.He, Jonsai, would have to sit with the women and children. But what would happen if, at the height of the feasting, Jonsai brought forward a gift for Chief Vueti, something he had never seen before, a present that would make him the envy of every chief on the island?His heart beat fast, but steady now, as he got closer, moving swiftly like a thief. He would leave his spear hidden under the raft. That wonderful shell must not be pierced. The only way to catch the turtle was by stealth.82.Jonsai was surprised when he saw the turtle because the turtle ________.A.was the Chief’s favoriteB.moved very slowly through the waterC.was whiteD.was not afraid of him83.Jonsai’s main reason for wanting to catch the turtle is to ________.A.provide food for his familyB.make the other people envy himC.get the shell for jewelryD.impress the chief of his village84.In the last paragraph, as Jonsai moves towards the turtle, he feels ______.A.determined but sadB.unsure but excitedC.jealous and unsureD.worried and upset(D)Mrs.White was 67 when she moved out of the house where she had lived most of her life.The house was pulled down and a new block of flats was built there instead.At about the same time her only son was offered a job in Canada.Since the shopping and the housework had become too much for her, and her son and his wife were not able to look after her any more, Mrs.White had to be taken to Homefield Old People’s Home.She still had some friends near her old home, but now she was separated from them.During the first few months she was visited by friends and former neighbours, but Homefield was a long way from where they lived, too far away for old people.At Homefield Mrs.White was given a small room of her own, and she was well looked after.But she knew no one when she arrived, and she was not able to make friends there.She was well liked by the people who worked there, but she kept apart from the other old people and spent most of her time in her room.After a time she was hardly ever seen at meetings and social evenings.Although she was in poor health and had to be treated for a weak heart, she did not complain.“After all,”she said, “lots of people are worse off than I am.”What she disliked most was the “quietness” in the home, and what was even worse was that her son was not able to see her, not even at Christmas.A.Mrs.White was moved out of her old house mainly because ________.B.her son was going to work in CanadaC.she didn’t want to do housework any moreD.her house was to be replaced by a new buildingE.her friends had all moved away from the area85.She was ________ the people who worked there.A.criticized byB.disliked byC.popular withD.kept away from86.Which of the following words can best describe her life in the old people’shome?A.BusyB.UnhappyC.VariedD.Happy87.Which of the following is incorrect?A.She suffered from a heart trouble.B.Her son didn’t wish to see her at Christmas.C.She didn’t like the atmosphere in the home.D.She was quite satisfied with her living conditions.第II卷（共40 分）I. TranslationDirections: Translate the following sentences into English, using the wordsgiven in the brackets.1.十人中有九人会同意你刚才说的话。
上海市华东师范大学第二附属中学2021-2022学年高一上学期期中考试数学试卷
2021-2022学年华二附中高一期中数学试卷2021.11一.填空题（每题4分，满分40分）1.若1∈{a，a²}，则a的值是_____.2.若函数y=f(x)是定义域为R的偶函数，则ff（1+√2）-f（11−√2）=_____.3.设集合A={x|ax+1=0,x∈R)只有一个子集，则满足要求的实数a组成的集合是_____.4.已知函数f(x)=�mmmm²+3mmmm+mm+1的定义域为R，则实数m的范围为_____.5.不等式7|x+1|<5-x的解集为_____.6.若函数f(x)=ppxx2+1xx−qq是奇函数，且f(2)=52，则p=_____.7.已知集合A={ x |m+1≤x≤2m-1}，B=(x|x²-2x-15≤0)，且A⊂B，则实数m的取值范围是_____.8.对任意的x∈[0,1]均有|ax+b|≤1，则|a|的最大值为_____.9.设正实数x、y满足xx22+yy2+16xx+12yy=454，则xx22−14yy的最小值为_____.10.已知函数y=f(x)的定义域为{a,b,c}值域为{-2,-1,0,1,2}的子集，则满足f(a)+f(b)+f(c)=0的函数y=f(x)的个数为_____.二.选择题（每题4分，满分16分）11.设a、b、c、d∈R，则�cc+dd>aa+bb(cc−aa)(dd−bb)>0成立的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件~D.非充分非必要条件12.当a>b>c时，下列不等式恒成立的是( )A.ab >acB.a|c|>b|cC.|ab|>|bcD.(a-b)lc-b|>013，已知实数a<b，关于x的不等式x2-(a+b)x+ab+1<0的解集为(x1,x2)，则实数a、b、x1、x2从小到大的排列是( )A.a<x1<x2<bB.x1<a<b<x2C.a<x1<b<x2D.x1<a<x2<b14.已知函数g(x)的定义域为R，对任何实数m、n，都有g(m+n)=g(m)+g(n)+1，且函数f(x)=xx√1−xx2xx2+1+gg(mm)的最大值为p，最小值为q，则p+q的值为( )A. -2B.-1C. 1D.2三.解答题（满分54分）15.（12分）已知关于x的不等式aaxx−1xx−aa≤0的解集为A.(1)当a=4时，求集合A;(2)若3∈A，5∉A，求实数a的取值范围16.（12分）已知函数f(x)=x2+(x-1)|x+al.(1)若a=1，解不等式f(x)<1;(2)已知函数g(x)=f(x)-x|x|在R上是奇函数或偶函数，求满足条件的所有实数a，并请说明理由.17.（15分）已知函数f(x)=|mx+1| (m∈R)，函数g(x)=x2 +ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞).(1)若不等式f(x)<3的解集为(-2,1)，求m的值;(2)在(1)的条件下，若|f(x)-2f(xx2)|≤k恒成立，求实数k的取值范围:(3)若关于x的不等式g(x)<c的解集为(m,m+6)，求实数c的值.18.（15分）已知集合A={x|x=kk+ll kk,k≥1且k∈N}(1)证明:每一个大于等于2的整数都可以表示成A中至少一个元素之积(可以相等);(2)对于一切整数x≥2，记f(x)为最小的正整数，满足将x表示成A中f(x)个元素之积(可以相等)，比如49=�21�5(32)(4948)，因此f(49)≤7.试证明:存在正整数对(x,y)，满足x、y≥2，且f(xy)<f(x)+f(y);(3)对于满足条件(2)的f(x)，试证明:存在无穷多对正整数(x,y)，满足x、y≥2，且f(xy)<f(x)+f(y).。
上海市华东师范大学第二附属中学2024-2025学年高三上学期期中数学试卷
上海市华东师范大学第二附属中学2024-2025学年高三上学期期中数学试卷一、填空题1．数据1，4，4，67，8的第60百分位数是.2．已知数列{}n a 为无穷等比数列，若23a =-，公比12q =-，则无穷等比数列{}n a 的各项和为.3．在研究线性回归模型时，样本数据(),i i x y （1i =，2，3，L ，n ）所对应的点均在直线132y x =-+上，用r 表示解释变量对于反应变量变化的线性相关度，则r =.4．已知椭圆2222135x y m n+=和双曲线2222123x y m n -=有公共焦点，那么双曲线的渐近线方程为．5．i 是虚数单位，若3i 34i z a z =+=+₁，₂，且12z z 为纯虚数，则实数a =.6．在6312x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数为．7．第41届全国中学生物理竞赛决赛于10月24日至10月30日由华东师范大学第二附属中学承办.根据赛事安排，组委会欲安排589名选手和各省领队参观5个不同场馆，分别为李政道研究所、中国商飞、上海交通大学张江高等研究院、上海科技大学和上海博物馆东馆.现欲将6位志愿者老师分配到5个不同场馆做带队服务.若每个场馆至少1人，则不同的分配方案的种数为.8．设随机变量X 服从正态分布()22,N σ.若()00.9P X >=，则()24P X <<=.9．已知随机事件A B 、.若()()()112|343P A P B P B A ===，，则()|P A B =.10．某菜农有两段总长度为20米的篱笆PA 及PB ，现打算用它们和两面成直角的墙OM 、ON 围成一个如图所示的四边形菜园OAPB （假设OM 、ON 这两面墙都足够长）.已知10PA PB ==（米），π4AOP BOP ∠=∠=，OAP OBP θ∠=∠=，若θ为变量，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则四边形OAPB 面积的最大值为(平方米).11．设双曲线2214x y -=的右焦点为F ，点12,,,n P P P 是其右上方一段()20x y ≤≤≥上的点，线段k P F 的长度为k a (k =1，2，3，……，n ).若数列{}123k a k = ，，，，，n 成等差数列且公差15d ⎛∈ ⎝⎭，则n 最大取值为.12．已知ABC V 是边长为4的正三角形，平面上两动点O ，P 满足123OP OA OB OC λλλ=++ ，（1231λλλ++=且1λ，2λ，30λ≥.若1OP = ，则OA OB ⋅的最大值为.二、单选题13．设α，β为两个平面，则//αβ的充要条件是A ．α内有无数条直线与β平行B ．α内有两条相交直线与β平行C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面14．以下说法错误的个数为（）①直角坐标平面内直线的倾斜角的取值范围是[)0π，；②平面内两个非零向量的夹角的取值范围是[)0π，；③空间两条异面直线所成角的取值范围是π02⎛⎤ ⎥⎝⎦，A ．0B ．1C ．2D ．315．已知函数()y f x =，x ∈R 的导数是()y f x '=.对于如下两个命题:①“函数()y f x =在R 上是严格增函数”是()0f x '≥的充分非必要条件；②“函数()y f x =在R 上是严格增函数”是()0f x '>的必要非充分条件.下列判断正确的为（）A ．①与②均为真命题B ．①与②均为假命题C ．①为真命题，②为假命题D ．①为假命题，②为真命题16．已知n 个大于2的实数12,,,n x x x ⋅⋅⋅，对任意()1,2,,i x i n =⋅⋅⋅，存在2i y ≥满足i i y x <，且i i y x i i x y =，则使得12115n n x x x x -++⋅⋅⋅+≤成立的最大正整数n 为（）A ．14B ．16C ．21D ．23三、解答题17．设函数()()22sin 1R f x x x x =-+∈的最大值为M ，最小正周期为T .(1)若函数()f x 的图象向左平移π6个单位，得到函数()g x 的图象，求()g x 的单调递减区间：(2)设集合(){},010A x f x M x T ==<<，求集合A 中的元素个数.18．已知一个正四面体QPTR 和一个正八面体AEFBHC 的棱长都是a (如图)，把它们拼接起来.使它们一个表面完全重合，得到一个新多面体.(1)求新多面体的表面积和体积；(2)求正八面体AEFBHC 中二面角A -BF -C 的大小.19．研究表明，春季早晚温差大，由于个人体质不同，可能会导致感冒患病.某医学研究小组为了解20-30岁年轻人的体质健康是否与性别有关，在4月感冒易发季节对某一小区中该年龄段的年轻人进行了随机抽样，得到如2×2列联表.性别健康状况感冒不感冒男814女424(1)在上述感冒的年轻人中按照性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机选取3人访谈，记参与访谈的男性人数为X ，求X 的分布和期望[]E X ；(2)依据表中数据，能否认为有95%的把握认为20-30岁年轻人的体质健康与性别有关?若把表中所有数据都扩大到原来的10倍，此时结论还一样吗?请解释其中原因，并简要说明应如何调整调查可使此研究更具有严谨性.参考数据：()2P K k >0.150.100.050.0250.0100.0050.001k 2.072 2.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.20．已知椭圆C 的方程为22221x y a b+=，1F 、2F 为左右焦点.(1)已知a =1b =.若P 为椭圆上的动点且12PF F 为直角三角形，求12PF F 的面积；(2)若过2F 的一条直线与C 交于A ，B 两点，且1AF AB ⊥，21BF =，求椭圆长轴长的最小值；(3)已知2a =，3b =，若P 、Q 、R 为椭圆上不同的点，直线PQ 、PR 均与圆()22201x y r r +=<<相切，记直线PQ 、PR 的斜率分别为1k 、2k ，是否存在点P 使得121k k =若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由.21．已知坐标平面xOy 上的曲线Γ：()y f x =和异于原点的点P ，若存在Γ的两条过P 的切线，使得它们互相垂直，且所成直角被直线OP 平分，则称P 为Γ的一个“H 点”.(1)判断曲线cos y x =和214y x =+是否有“H 点”(无需说明理由)；(2)是否存在0r >，使()1,2P 为曲线()y x r =<的一个“H 点”?说明理由；(3)设,0a b >，且曲线()³f x ax bx =-有“H 点”.证明：b 的最小值与a 无关，并求出该最小值.。
华东师范大学高数a试题及答案
华东师范大学高数a试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^2-4x+3，求f(2)的值。
A. -1B. 1C. 3D. 5答案：B2. 已知数列{an}是等差数列，且a1=3，公差d=2，求a5的值。
A. 13B. 11C. 9D. 7答案：A3. 计算定积分∫(0到1) x^2 dx。
A. 1/3B. 1/2C. 1/4D. 1/6答案：B4. 求极限lim(x→0) (sin x)/x。
A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B二、填空题（每题5分，共20分）5. 设函数g(x)=x^3+2x^2-3x+1，求g'(1)的值。
答案：56. 已知函数f(x)=ln(x)，求f'(x)的值。
答案：1/x7. 设函数h(x)=2x-3，求h(2)的值。
答案：18. 求定积分∫(1到2) (x^2-1) dx的值。
答案：2三、解答题（每题10分，共60分）9. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点。
答案：函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的导数为f'(x)=3x^2-12x+11。
令f'(x)=0，解得x=1/3或x=11/3。
经检验，x=1/3为极大值点，x=11/3为极小值点。
10. 求函数y=x^3-3x^2+4在x=1处的切线方程。
答案：函数y=x^3-3x^2+4的导数为y'=3x^2-6x。
在x=1处，y'(1)=-3，y(1)=2。
因此，切线方程为y-2=-3(x-1)，即3x+y-5=0。
11. 求定积分∫(0到π) sin x dx。
答案：∫(0到π) sin x dx = [-cos x](0到π) = -cos(π) +cos(0) = 2。
12. 求级数Σ(k=1到∞) (1/k^2)的和。
答案：级数Σ(k=1到∞) (1/k^2)是一个收敛的p级数，其和为π^2/6。
13. 求函数y=e^x的n阶导数。
上海市华东师范大学第一附属中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷
上海市华东师范大学第一附属中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知扇形的圆心角为120o ，半径为2厘米，则扇形面积是 平方厘米2．已知2sin 3=-a ，且α是第三象限的角，则tan α= . 3．已知()(),1,2,1a k b =-=-r r ，且()//a b b +r r r ，则实数k 的值为 . 4．在△ABC 中，60,4,3A AB AC ∠=︒==，则△ABC 的外接圆的半径为 .5．向量,,a b c r r r 在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则a b -=r r .6．已知角α的终边与单位圆221x y +=交于点1,2P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则πcos 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 7．在ABC V 中，π,22C AC ∠==，则AB CA ⋅=u u u r u u u r . 8．如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC 、直角边AB 、AC ，已知以直角边AC 、AB 为直径的半圆的面积之比为425，记ABC α∠=，则cos2=α .9．已知函数()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，且()f x 在[]0,m 上单调递减，在5π2,3m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则实数m 的取值范围是 .10．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若2222024a b c +=，则2t a n t a n t a n (t a n t a n )A BC A B⋅+的值为 .11．平面向量,,a b c r r r 满足()0a b c t t ===>r r r ，且0,8,6a b c a c b ⋅=⋅=⋅=r r r r r r ，则t = .12．已知π,(0,)2x y ∈，且tan sin cot cos y y x x +≤+，则222(1)x y --的最大值为 .二、单选题13．函数22cos 14y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭是 A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数 D ．最小正周期为2π的偶函数14．已知向量a =r ，(cos ,sin )b αα=r ，则下列结论：①.若//a b r r ，则tan α=②.若a b ⊥r r ，则tan α=③.若a r 与b r 的夹角为π3，则3a b -=r r 其中正确结论的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个15．已知()sin cos f x x x =，关于该函数有下面两种说法，①当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 的取值范围为⎡⎢⎣⎦②()f x 的图象可由1πg()sin(2)24x x =+的图象向右平移π8个单位长度得到. 下列判断正确的是（ ）A ．①正确，②正确B ．①正确，②错误；C ．①错误，②正确D ．①错误，②错误；16．在平直的铁轨上停着一辆高铁列车，列车与铁轨上表面接触的车轮半径为R ，且某个车轮上的点P 刚好与铁轨的上表面接触，若该列车行驶了距离S ，则此时P 到铁轨上表面的距离为（ ）A ．1cos S R R ⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．1cos S R R ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．2sin S R RD ．sin S R R三、解答题17．已知α为钝角，且π3sin 45α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ (1)求πsin 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值 (2)求tan 2α的值18．如下图，M 是线段AB 外一点，4,3,MA MB P ==是线段AB 的垂直平分线l 上的动点(1)若5AB =，求AB AM ⋅u u u r u u u u r(2)求MP AB ⋅u u u r u u u r19．设半圆O 的半径为2，而A 为直径延长线上的一点，且4OA =.对半圆上任意给定的一点B ，以AB 为一边作等边三角形ABC ，使ABC V 和ABO V 在AB 的两侧（如图所示）(1)若ABC V 的面积为AOB ∠的大小(2)当点B 在半圆上运动时，求四边形OACB 面积的最大值20．已知()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭ (1)某同学用“五点法”画出函数()y f x =在某一周期内的图像，列表如下：请填写表中的空格，并写出函数()y f x =的表达式(2)若()2cos 10cos 222x x x f x =+，将函数()y f x =的图像向右平移π6个单位长度，再向下平移10个单位长度后得到函数()g x 的图像，求函数()y g x =的零点所组成的集合；(3)对于（2）中的函数()y g x =，证明：存在无穷多个互不相等的正整数0x ，使得()05g x >21．定义向量(),OM a b =u u u u r 的“对应函数”为sin cos y a x b x =+；函数sin cos y a x b x =+的“对应向量”为(),OM a b =u u u u r （其中O 为坐标原点），记平面内所有向量的“对应函数”构成的集合为S(1)设()π3sin 4sin 2g x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，求证：()y g x S =∈(2)已知()()[]πcos ,0,π4h x x x αα⎛⎫=++-∈ ⎪⎝⎭且()y h x S =∈，OM u u u u r 是函数()y h x =的“对应向量”，()2,2ON =u u u r ，求()2OM ON -u u u u r u u u r (3)已知()()2cos ,sin π,Z OM k k θθθ=+≠∈u u u u r ，向量OM u u u u r 的“对应函数”()y f x =在0x x =处取得最大值，当θ变化时，求0tan 2x 的取值范围。
2022-2023学年上海市华东师范大学第二附属中学高一上学期期中数学试题(解析版)
2022-2023学年上海市华东师范大学第二附属中学高一上学期期中数学试题一、单选题 1．函数()()2ax bf x x c +=+的图象如图所示，则下列结论成立的是A ．0a >，0b >，0c <B ．a<0，0b >，0c >C ．a<0，0b >，0c <D ．a<0，0b <，0c < 【答案】C【详解】试题分析：函数在P 处无意义，由图像看P 在y 轴右侧，所以0,0c c -><，()200,0b f b c =>∴>，由()0,0,f x ax b =∴+=即bx a=-，即函数的零点000.0,0bx a a b c a=->∴<∴<，故选C ． 【解析】函数的图像2．设()f x 是偶函数，且当0x ≥时，()f x 是严格单调函数，则满足()34x f x f x +⎛⎫= ⎪+⎝⎭的所有x 之和为（ ） A ．3- B ．3 C ．8- D ．8【答案】C【分析】则题意可得()f x 在(,0)-∞和[0,)+∞上严格单调，由()34x f x f x +⎛⎫= ⎪+⎝⎭可得34x x x +=+或34x x x +=-+，即有2330x x +-=或2530x x ++=，利用韦达定理求出这两个方程的四个根的和即可.【详解】解：因为()f x 是偶函数， 所以()()f x f x -=，又因为当0x ≥时，()f x 是严格单调函数， 所以当0x <时，()f x 也是严格单调函数， 因为()34x f x f x +⎛⎫= ⎪+⎝⎭，所以34x x x +=+或34x x x +=-+， 即有2330x x +-=或2530x x ++=， 设方程2330x x +-=的两根为12,x x ， 则有123x x +=-，设方程2530x x ++=的两根为34,x x ， 则有345x x +=-， 所以12348x x x x +++=-. 故选：C.3．己知函数()g x 的定义域为R ，对任意实数m 、n 都有()()()2022g m n g m g n +=++，且函数()()f x g x =的最大值为p ，最小值为q ，则p q +=（ ）A ．2-B ．2022C ．2022-D ．4044-【答案】D【分析】由()()()2022g m n g m g n +=++，分别令0m n ==，m n =-，得到()2022g x +是奇函数，进而得到2022f x是奇函数求解.【详解】解：因为函数()g x 的定义域为R ，对任意实数m 、n 都有()()()2022g m n g m g n +=++， 令0m n ==，得02022g ，令m n =-，得()()202220220g n g n ++-+=， 所以()2022g x +是奇函数，设()h x因为()()2022h x h x x -==--+，所以()h x 是奇函数， 所以2022f x是奇函数，又因为奇函数的最大值和最小值互为相反数， 所以202220220p q +++=，即4044p q +=-， 故选：D二、多选题4．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若,,R a b c ∈，则下列命题正确的是（ ） A ．若0ab ≠且a b <，则11a b> B ．若01a <<，则3a a <C ．若0a b >>，则11b ba a+>+ D ．若c b a <<且0ac <，则22cb ab <【答案】BC【解析】利用特殊值法，不等式的性质，作差法判断． 【详解】解：A ，不成立，比如2a =-，1b =，B ，成立，01a <<，21a <，2(1)0a a -<，即3a a <，C ，成立，()()10111b b ab a ab b a ba aa a a a ++----==>+++，所以11b b a a+>+， D ，不成立，若0b =，00<，不成立，故选：BC ．【点睛】考查不等式的性质，和作差法，特殊值法在比较不等式中的应用，属于基础题．三、填空题5．若集合{}21,x x ∈，则x =___________【答案】0【分析】根据集合中元素与集合的关系即可列式求解.【详解】解：{}21,x x ∈，则211x x =⎧⎨≠⎩，无解，或221x x x ⎧=⎨≠⎩，解得0x =.故答案为：0.6．“1x =”是“()()110x x -+=”的___________条件 【答案】充分不必要【分析】判断“1x =”能否得到“()()110x x -+=”，及“()()110x x -+=”能否得到“1x =”即可. 【详解】当1x =时，()()110x x -+=，即()()1110x x x =⇒-+=， 故“1x =”是“()()110x x -+=”的充分条件.当()()110x x -+=时，不一定能够得到1x =，即“1x =”不是“()()110x x -+=”的必要条件.综上“1x =”是“()()110x x -+=”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要.7．若集合{}21,R A y y x x ==-+∈，{}222,R B y y x x x ==-∈，则A B =___________【答案】1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】根据二次函数值域的知识求得,A B ，从而求得A B ⋂. 【详解】211y x =-+≤，(],1A =-∞；()22211222244y x x x x x x ⎛⎫=-=-=-+- ⎪⎝⎭21112222x ⎛⎫=--≥- ⎪⎝⎭， 所以1,2B ⎡⎫=-+∞⎪⎢⎣⎭，所以1,12A B ⎡⎤⋂=-⎢⎥⎣⎦.故答案为：1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦8．已知集合{}2320A x ax x =+-=有且仅有两个子集，则满足条件的实数a 组成的集合是___________ 【答案】9,08⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【分析】根据集合A 的子集的个数得到集合A 中只有一个元素，然后分0a =和0a ≠两种情况求解即可.【详解】因为集合A 有且仅有两个子集，所以集合A 中只有一个元素，即方程2ax 3x 20+-=只有一个解，当0a =时，320x -=，只有一个解，满足要求；当0a ≠时，980a ∆=+=，解得98a =-，所以98a =-或0.故答案为：9,08⎧⎫-⎨⎬⎩⎭.9．命题“x ∀∈R ，都有210x x +>＋”的否定是___________. 【答案】x ∃∈R ，有210x x ++≤ 【分析】由命题的否定的定义求解．【详解】题“x ∀∈R ，都有210x x +>＋”的否定是：2,10x R x x ∃∈++≤． 故答案为：2,10x R x x ∃∈++≤．10．若函数()()3x f x a x a=∈-R 是偶函数，则()f x 的单调递增区间是___________【答案】(0,)+∞【分析】由函数为偶函数，以及偶函数定义域关于原点对称，故0a =，结合二次函数的性质判断即可.【详解】由题意，函数()()3x f x a x a=∈-R 的定义域为{|}x x a ≠，若函数为偶函数，则函数定义域关于原点对称，故0a =，即()2(0)f x x x =≠，由于2y x 为开口向上的二次函数，对称轴为0x =，故函数()f x 的单调递增区间为：(0,)+∞. 故答案为：(0,)+∞11．己知关于x 的不等式22101kx kx x -+≤+的解集为空集，则实数k 的取值范围是___________ 【答案】[)0,4【分析】不等式等价于210kx kx -+≤的解集是φ，分0k =和0k ≠两种情况讨论求实数k 的取值范围. 【详解】210x 恒成立，∴不等式等价于210kx kx -+≤的解集是φ，当0k =时，10≤不成立，解集是φ，当0k ≠时，2Δ40k k k >⎧⎨=-<⎩，解得：04k <<， 综上：04k ≤<. 故答案为：[)0,412．已知函数())0f x a =>，若()f x 在区间(]0,1上是严格减函数，则实数a 的取值范围是_________ 【答案】(]1,3【分析】根据减函数的定义对()f x 的解析式推导即可.【详解】由题意，()f x 在(]0,1 上严格单调递减，则必有：1030a ax -⎧⎨-≥⎩＞ ，∴31a x ≤＜ ，即13a <≤ . 故答案为：(]1,3 .13．设集合S 为实数集R 的非空子集，若对任意x S ∈，y S ∈，都有()x y S +∈，()x y S -∈，()xy S ∈，则称集合S 为“完美集合”.给出下列命题： ①若S 为“完美集合”，则一定有0S ∈； ②“完美集合”一定是无限集；③集合{},,A x x a a Z b Z ==∈∈为“完美集合”；④若S 为“完美集合”，则满足S T R ⊆⊆的任意集合T 也是“完美集合”. 其中真命题是___________.（写出所有正确命题的序号） 【答案】①③##③①【分析】对于①③，可以利用完美集合的定义分析判断，对于②④可以举反例分析判断.【详解】因为x ，y 是集合中任意的元素，所以x 与y 可以是同一个元素，故0一定在完美集合中，故①正确；完美集合不一定是无限集，例如{0}，故②错误；集合{},,A x x a a Z b Z ==∈∈，在集合A 中任意取两个元素，x a y c =+=+其中a ，b ，c，d 为整数，则(x y a c b d +=+++(x y a c b d -=-+-5(xy ac bd ad bc =+++③正确；{0}S =，{0T =，1}，也满足④，但是集合T 不是一个完美集合，故④不正确.故答案为：①③14．方程()22102x px p p--=∈R 的两根1x 、2x ，满足44122x x +≤，则p =___________ 【答案】182-±【分析】由题意22221212144122[()2]2x x x x x x x x -+=+-，结合韦达定理代入运算即可.【详解】由题意，222242()02p p p p ∆=-+=+>， 由韦达定理，121221,2x x p x x p +==-， 22222222212121224221114()2[()2]2x x x x x x x x x x x x =+-=--++224244111()2222p p p p p=+-=++≤即84210p -+≤，即)2410-≤，410-=，即182p -=±. 故答案为：182-±.四、解答题 15．求解下列问题：(1)求不等式组217321x x x ⎧-≥⎪⎨+≥⎪-⎩的解集；(2)求关于x 的不等式()220x x a a a --+<∈R 的解集．【答案】(1)[]4,5 (2)①当12a <时，解集为(),1a a -；②当12a =时，解集为∅；③当12a >时，解集为()1,a a -【分析】（1）根据绝对值不等式、分式不等式的解法求得正确答案. （2）对a 进行分类讨论，从而求得不等式的解集. 【详解】（1）217217x x -≥⇔-≤-或217x -≥， 解得3x ≤-或4x ≥.()()()3215103352,20111110x x x x x x x x x x x x +--⎧-+-≥++-+≥-==≥⇔⎨-----≠⎩， 解得15x <≤.所以不等式组217321x x x ⎧-≥⎪⎨+≥⎪-⎩的解集为[]4,5.（2）由()220x x a a a --+<∈R ，得()()10x a x a -+-<，112a a a =-⇒=， 所以：①当12a <时，解集为(),1a a -； ②当12a =时，解集为∅； ③当12a >时，解集为()1,a a -. 16．已知正实数x 、y 满足2xy x y =+． (1)求xy 的最小值，并求取最小值时x 、y 的值； (2)若()0x ay a +>的最小值为9，求a 的值． 【答案】(1)8，2x =，4y = (2)2【分析】（1）利用基本不等式求最小值即可；（2）利用基本不等式得到1222x ay a a +≥++，然后列方程12229a a ++=，解方程即可.【详解】（1）222xy x y xy =+≥，即22xy xy ≥，解得8xy ≥，当且仅当22x yxy x y=⎧⎨=+⎩，即2x =，4y =时等号成立，所以xy 的最小值为8，此时，2x =，4y =. （2）由2xy x y =+得211y x +=，则()212121222x ay x ay x ay a a a y x y x ⎛⎫+=++=+++≥++ ⎪⎝⎭，所以12229a a ++=，令20a t =>，则2129t t ++=，解得2t =或-4（舍去），所以2a =， 当2a =时，222xy x yx y y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得3x y ==，所以3x y ==时，2x y +取得最小值9，满足要求，所以2a =.17．如图所示，将一个矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求M 在射线AB 上，N 在射线AD 上，且对角线MN 过点C ，已知AB 长为4米，AD 长为3米，设AN x =．(1)要使矩形花坛AMPN 的面积大于54平方米，则AN 的长应在什么范围内？(2)要使矩形花坛AMPN 的扩建部分铺上大理石，则AN 的长度是多少时，用料最省？（精确到0.1米）(3)当AN 的长度是多少时，矩形花坛AMPN 的面积最小，并求出最小值． 【答案】(1)()93,9,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(2)6AN =(3)6AN =，最小面积48平方米【分析】（1）利用CBM NDC 得到1243AM x =+-，然后得到124543AMPN S x x ⎛⎫=+> ⎪-⎝⎭，解不等式即可；（2）结合（1）得到扩建部分的面积，然后利用基本不等式得到面积最小时AN 的长度； （3）利用基本不等式求最值即可. 【详解】（1）由题可知CBM NDC ，所以ND CB DC BM =，又AN x =，所以3DN x =-，334x BM-=，所以123BM x =-，1243AM x =+-， 124543AMPNS x x ⎛⎫=+> ⎪-⎝⎭，解得92x <或9x >，由题意得3x >，所以AN 的长的范围为()93,9,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.（2）()()123361212434412431212333AMPN ABCD x x S S S x x x x x x -+⎛⎫=-=+-⨯=+-=-++- ⎪---⎝⎭扩()36431212363x x =-++≥=-，当且仅当()36433x x -=-，即6x =时等号成立，所以当AN 为6米时，用料最省.（3）()()()12336123644312432448333AMPN x S x x x x x x -+⎛⎫=+=-++=-++≥ ⎪---⎝⎭，当且仅当()36433x x -=-，即6x =时等号成立，所以当AN 为6米时，矩形花坛AMPN 的面积最小，最小为48平方米.18．已知函数()()2210g x ax ax b a =-++>在区间[]2,3上的最大值为4，最小值为1，记()()()f x g x x =∈R ．(1)求实数a 、b 的值；(2)若不等式()()223f x g x t t +≥--对任意x ∈R 恒成立，求实数t 的范围；(3)对于定义在[],p q 上的函数()m x ，设0x p =，n x q =，用任意的()1,2,,1i x i n =-将[],p q 划分为n个小区间，其中11i i i x x x -+<<，若存在一个常数0M >，使得不等式()()()()0112m x m x m x m x -+-+()()1n n m x m x M -+-≤恒成立，则称函数()m x 为[],p q 上的有界变差函数，试判断函数()f x 是否是在[]0,3上的有界变差函数，若是，求出M 的最小值；若不是，请说明理由．【答案】(1)1a =，0b = (2)[]1,3- (3)是，5【分析】（1）根据()g x 在[]2,3上的单调性可得()g x 的最大值和最小值，结合已知条件可求,a b 的值.（2）令()()()22242,022,0x x x F x f x g x x x ⎧-+≥=+=⎨+<⎩，可得其最小值，将问题转化为()2min 23t t F x --≤，即可求得t 的取值范围.（3）对任意的[]0,3上的划分，必定存在k *∈N ，使得011310n k k x x x x x +=<<<≤<<=<，从而可得()()()11|()()|032ni i k i f x f x f f f x -=-=+-∑，故可得11|()()|ni i i f x f x -=-∑的最大值，从而可判断()f x 是[]0,3上的有界变差函数且min 5M =.【详解】（1）因为2()21g x ax ax b =-++的对称轴为直线1x =，0a > 故()g x 在[2,3]为增函数，所以()max ()331g x g a b ==++，()min ()211g x g b ==+=，解得0b =，又314a b ⨯++=，解得1a =. 所以1,0a b ==.（2）由（1）得()222g x x =+，2()(||)21f x g x x x ==-+，第 11 页 共 11 页 令()()()22242,022,0x x x F x f x g x x x ⎧-+≥=+=⎨+<⎩，函数图像如图所示， 则()()223f x g x t t +≥--，即()2min 230t t F x --≤=所以()()310t t -+≤，解得13t -≤≤所以[]1,3t ∈-（3）当[]0,3x ∈时，()221f x x x =-+，此时()()max min 4,0f x f x ==，且()f x 在[]0,1为减函数，在[]1,3为增函数.设121,,n x x x -将区间[0,3]任意划分成n 个小区间，且01103i i n x x x x x -=<<<<<<=，则存在k *∈N ，使得011310n k k x x x x x +=<<<≤<<=<，所以()()()()()()1011211|()()|n i i k k i f x f x f x f x f x f x f x f x --=-=-+-++-∑ ()()()()()()1211k k k k n n f x f x f x f x f x f x +++-+-+-++-，整理得到()()()()()()101|()()|2032n i i n k k i f x f x f x f x f x f f f x -=-=+-=+-∑，因为()0k f x ≥，()()()()()032035k f f f x f f +-≤+=， 故11|()()|5ni i i f x f x -=-≤∑，当且仅当()0k f x =即1k x =时等号成立， 故()f x 是[]0,3上的有界变差函数，又5M ≥，所以min 5M =.。
2022-2023学年上海市华东师范大学第二附属中学高二上学期期中数学试题(解析版)
2022-2023学年上海市华东师范大学第二附属中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．“1k <-”是“方程221324x y k k +=++表示焦点在x 轴上的椭圆”的（ ）条件A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充分必要D ．既非充分又非必要【答案】B【解析】先化简条件“方程221324x y k k +=++表示焦点在x 轴上的椭圆”，结合k 的范围进行判定. 【详解】因为方程221324x y k k +=++表示焦点在x 轴上的椭圆， 所以3240k k +>+>，解得21k -<<-；因为211k k -<<-⇒<-，反之不成立，所以“1k <-”是“方程221324x y k k +=++表示焦点在x 轴上的椭圆”的必要非充分条件. 故选：B.【点睛】本题主要考查充分必要条件的判定，把复杂的已知条件进行化简，结合推出关系可以进行判定，侧重考查逻辑推理的核心素养.2．开普勒第二定律的内容是“在相等的时间内，行星与恒星所连线段扫过的面积相等”，如图，已知行星绕恒星运动的轨道是一个椭圆，恒星在椭圆的一个焦点F 处.从行星位于长轴端点P 这一位置开始计算，它再次运行到点P 所经过的时间为T .根据开普勒第二定律，从P 开始经过4T时间，行星的位置可能在（ ）A ．A 点处B ．B 点处C ．C 点处D ．D 点处【答案】A【解析】根据开普勒第二定律即可得【详解】因为在相等的时间内，行星与恒星所连线段扫过的面积相等，P 点到F 的距离较远，经过4T时间，14BPFSS >椭圆，所以4T 时间后未到B 点，可能在A 处故选：A.【点睛】本题考查椭圆对称性的应用，属于基础题.3．曲线Γ：2222(1)5049y x y x +---，要使直线()y m m R =∈与曲线Γ有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．55(,)33-B ．()3,3-C ．55(3,)(,3)33--D ．5555(3,)(,)(,3)3333---【答案】C【分析】根据曲线Γ的方程，得到曲线表示是一个圆与双曲线的一部分，画出曲线的图象，结合图象，即可求解.【详解】由曲线Γ：2222(1)5049y x y x +--=-，可知,[3,3]x y ∈-，如图所示，曲线表示是一个圆与双曲线的一部分，由2222905420x y x y ⎧+-=⎨-=⎩，解得53y =±， 要使直线()y m m R =∈与曲线Γ有四个不同的交点， 结合图象，可得55(3,)(,3)33m ∈--.故选：C ．4．已知F 为抛物线24y x =的焦点，A 、B 、C 为抛物线上三点，当0FA FB FC ++=时，则存在横坐标2x >的点A 、B 、C 有（ ） A ．0个 B ．2个 C ．有限个，但多于2个 D ．无限多个【答案】A【分析】首先判断出F 为ABC 的重心，根据重心坐标公式可得2312313,x x x y y y +=-+=-，结合基本不等式可得出()2221232y y y ≤+，结合抛物线的定义化简得出12x ≤，同理得出232,2x x ≤≤，进而得出结果.【详解】设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，先证12x ≤， 由0FA FB FC ++=知，F 为ABC 的重心， 又131132(1,0),1,033x x x y y yF ++++∴==，2312313,x x x y y y ∴+=-+=-， ()()222222323232322y y y y y y y y ∴+=++≤+，()2221232y y y ∴≤+， 2223122444y y y ⎛⎫∴≤+ ⎪⎝⎭，()1232x x x ∴≤+，()1123x x ∴≤-12x ∴≤， 同理232,2x x ≤≤， 故选：A.【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质，基本不等式的应用，解本题的关键是判断出F 点为三角形的重心，属于中档题.二、填空题5．直线350x -=的倾斜角的大小为___________. 【答案】2π##90︒【分析】根据直线与倾斜角的关系可求解. 【详解】因为直线方程为：350x -=， 即53x =，此直线与x 轴垂直，所以此直线的倾斜角为2π. 故答案为：2π. 6．抛物线22022x y =的准线方程为__________. 【答案】10112y =-【分析】根据抛物线标准方程直接求解即可.【详解】由22022x y =可知，22022p =，焦点在y 轴的正半轴上， 所以准线方程为：101122p y =-=-， 故答案为：10112y =-. 7．已知双曲线方程为22116y x -=，则该双曲线的渐近线方程为__________.【答案】4y x =±.【分析】根据双曲线方程，求出,a b ，直接求解即可.【详解】由双曲线方程22116y x -=可知，焦点在x 轴上，221,16a b ==， 即1,4a b ==，所以渐近线方程为4y x =±， 故答案为：4y x =±.8．已知直线l 过点()3,1-，且与向量()2,3n =-垂直，则直线l 的点法向式方程为__________. 【答案】()()23310x y --+=【分析】设直线上点(),M x y ，直线的向量可用()3,1PM x y =-+，由已知0PM n ⋅=，代入即得结果.【详解】设(),M x y 为直线上异于()3,1P -的任意一点，则()3,1PM x y =-+， 由已知，PM n ⊥，即()()23310PM n x y ⋅=--+=，所以直线l 的点法向式方程为()()23310x y --+=.显然()3,1P -满足该方程.故答案为：.()()23310x y --+=9．若直线1:350l ax y +-=与2:210l x y +-=互相垂直，则实数a 的值为________． 【答案】6-【分析】由两直线互相垂直，建立关于实数a 的方程，解方程即可得到答案. 【详解】两直线1:350l ax y +-=与2:210l x y +-=互相垂直. 所以1320a ⨯+⨯=，解得6a =- 故答案为：6-【点睛】本题考查两直线互相垂直求参数的值，注意两直线互相垂直的充要条件，属于基础题. 10．已知点()3,2A 和()1,4B -到直线10ax y ++=的距离相等，则a 的值为________； 【答案】4-或12【分析】根据点到直线的距离公式，列出等式即可求解.【详解】∵两点()3,2A 和()1,4B -到直线10ax y ++=距离相等，4a =-或12a =， 故答案为:4-或12.11．已知圆221:(2)(2)1C x y -+-=和圆2222:()(0)C x y m m m +-=>内切，则m 的值为___________．【答案】72##3.5【分析】首先根据题中圆的标准方程求出圆的圆心与半径，再根据两圆相切求出m 的值. 【详解】解：圆1C 的圆心为()2,2，半径为11r =， 圆2C 的圆心为()0,m ，半径为2r m =，所以两圆的圆心距d =又因为两圆内切，有1d m =-，解得72m =. 故答案为：72.12．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2，过点F 的直线l 与抛物线C 交于()11,P x y ，()22,Q x y 两点，若124y y +=，则线段PQ 的长度为__________．【答案】8【分析】确定2P =，设直线方程并和抛物线方程联立，求得114y y =-，进而求出12x x +，根据抛物线的弦长公式求得答案.【详解】由题意知2p =,故24y x =，其焦点为(1,0)，设直线l 的方程为1,(0)x ky k =+≠ ，联立24y x =，得:2440y ky --= , 216(1)0k ∆=+> ,由于()11,P x y ，()22,Q x y ，则11114,4y y k y y +==-，而124y y +=，故22212121212()2162(4)64444y y y y y y x x +---+=+=== ， 故PQ 的长为12628x x p ++=+=， 故答案为：813．已知椭圆C ：2221(0)9x y b b+=>的左、右两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 的直线交椭圆C 于,A B 两点.若1F AB 是等边三角形，则b 的值等于_________. 【答案】6【分析】因为1F AB 是等边三角形，可得AB ⊥x 轴，再根据椭圆的定义可得22AF =，进而求得c ，再根据椭圆中,,a b c 的关系求解b 即可【详解】因为1F AB 是等边三角形，故11F A F B =，故,A B 关于x 轴对称，故AB ⊥x 轴.故1290F F A =∠，1260F AF ∠=，故122AF AF =，又12296AF AF +==，故22AF =，故1223F F =，即3c =，所以293b -=，6b =故答案为：614．已知()2,0A ､()8,0B ､()4,2C ，且动点P 满足12PA PB =，则2PC PB +取得最小值时，点P 的坐标是___________. 【答案】()71,71+-【分析】设(),P x y ，由214PA PB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭得P 点轨迹为2216x y +=；由()22PC PB PC PA +=+可知当,,A P C 三点共线且P 在线段AC 上时取得最小值，联立圆的方程和直线AC 方程即可求得结果.【详解】设(),P x y ，则()()222222148PA x y PB x y ⎛⎫-+== ⎪ ⎪-+⎝⎭，整理可得：2216x y +=；()2222PC PB PC PA PC PA +=+=+，∴当,,A P C 三点共线且P 在线段AC 上时，2PC PB +取得最小值，又直线AC 方程为：240224y x --=--，即2y x =-， 由22162x y y x ⎧+=⎨=-⎩得：7171x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩或1717x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩又P 在线段AC 上，()771P ∴.故答案为：()771-.15．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线与x 轴交于点M ，过F 且斜率大于0的直线l与C 交于A ，B 两点，若tan 22AMB ∠=l 的斜率为______． 【答案】1【分析】设直线l 的方程为2p x my =+，()()1122,,,A x y B x y ，联立222p x my y px ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，利用韦达定理求得1212,y y y y +，证明0AM BM k k +=，再根据tan AMB ∠=tan AMF ∠，再结合抛物线的定义即可得出答案.【详解】解：设直线l 的方程为2px my =+，()()1122,,,A x y B x y ， 联立222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消x 得2220y mpy p --=， 则212122,y y mp y y p +==-，121222AM BM y y k k p p x x +=+++1212y y my p my p=+++()()()1212122my y p y y my p my p ++=++()()()()212220m p p mp my p my p -+==++，所以AMF BMF ∠=∠，则22tan tan 1tan AMFAMB AMF∠∠==-∠又因AMF ∠为锐角，所以解得tan 2AMF ∠=， 如图，作AH x ⊥轴于点H ， 根据抛物线得定义可得MH AF =，则tan sin 2AH AH AMF AFH MHAF∠===∠=， 又AFH ∠为锐角，所以4AFH π∠=，所以直线l 的斜率为tan 1AFH ∠=. 故答案为：1.16．已知点P （0，2），圆O ∶x 2 +y 2=16上两点11(,)M x y ，22(,)N x y 满足 (R)MP PN λλ→→=∈，则1122|3425||3425|x y x y +++++的最小值为___________.【答案】48【分析】将原式化为1122|3425||3425|555x y x y ++++⎛⎫+ ⎪⎝⎭，而1122|3425||3425|,55x y x y ++++分别表示,M N 到直线:34250l x y ++=的距离，取MN 的中点T ，设T 在直线:34250l x y ++=的射影为1T ，则原式=110||TT ，根据圆的性质可以知道T 在以OP 为直径的圆C 上，其中()0,1C ，进一步即可得到答案.【详解】由题意，,,M P N 三点共线，设T 为MN 的中点，,,M T N 在直线:34250l x y ++=的射影分别为111,,M T N ，点O 到直线:34250l x y ++=的距离|304025|545d ⨯+⨯+==>，∴:34250l x y ++=与圆22:16O x y +=相离 ，如图：而11221122|3425||3425||3425||3425|555x y x y x y x y ++++⎛⎫+++++=+ ⎪⎝⎭()1115||||10||MM MM TT =+=，易得OT MN ⊥，即OT PT ⊥，∴T 在以OP 为直径的圆C 上，其中()0,1C . ∵11|304125|24||||1155TT CT ⨯+⨯+≥-=-=，当1,,C T T 共线，且T 在1,C T 之间时取“=”.∴1122|3425||3425|x y x y +++++的最小值为2410485⨯=. 故答案为：48.【点睛】本题突破口有两点，一是将原式转化为距离的问题，这需要我们对距离公式非常熟悉；二是取MN 的中点T ，这就需要对圆的性质要敏感，提到弦立马要想到弦心距，进而问题才能得解.三、解答题17．已知点()0,2A ，直线1:10l x y --=，直线2:220l x y -+=. (1)求点A 关于直线1l 的对称点B 的坐标； (2)求直线2l 关于直线1l 的对称直线方程. 【答案】(1)(3,1)- (2)250x y --=【分析】（1）设点(,)B x y ，则由题意可得210222110x y y x +⎧--=⎪⎪⎨-⎪⋅=-⎪-⎩，解方程组求出,x y ，从而可得点B 的坐标，（2）先求出两直线的交点坐标，再在直线2l 上任取一点，求出其关于直线1l 的对称点，从而可求出直线2l 关于直线1l 的对称直线方程【详解】（1）设点(,)B x y ，则由题意可得210222110x y y x +⎧--=⎪⎪⎨-⎪⋅=-⎪-⎩，解得31x y =⎧⎨=-⎩，所以点B 的坐标为(3,1)-，（2）由10220x y x y --=⎧⎨-+=⎩，得43x y =⎧⎨=⎩，所以两直线交于点(4,3)C ，在直线2:220l x y -+=上取一点(0,1)D ，设其关于直线1l 的对称点为00(,)E x y ，则0000110221110x y y x +⎧--=⎪⎪⎨-⎪⋅=--⎪⎩，解得0021x y =⎧⎨=-⎩，即(2,1)E ， 所以3(1)242CE k --==-， 所以直线CE 为32(4)y x -=-，即250x y --=， 所以直线2l 关于直线1l 的对称直线方程为250x y --=18．已知圆M经过两点(A ，()2,2B 且圆心M 在直线2y x =-上. (1)求圆M 的标准方程；(2)若直线l 过点()1,3C ，且被圆M截得的弦长为l 的方程. 【答案】(1)22(2)4x y -+= (2)1x =或43130x y +-=.【分析】（1）设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，根据题意列出方程组，求得,,D E F 的值，即可求解；（2）由圆的弦长公式，求得圆心到直线l 的距离为1，分类直线l 的斜率不存在和斜率存在两种情况讨论，即可求得直线的方程.【详解】（1）解：圆M经过两点(A ，()2,2B 且圆心M 在直线2y x =-上， 设圆的方程为2222(4)00x y Dx Ey F D E F ++++=+->，可得933044220222D F D E F E D ⎧⎪+++=⎪++++=⎨⎪⎪-=--⎩，解得4,0,0D E F ===，所以圆的方程为2240x y x +-=，即22(2)4x y -+=.（2）解：由圆22:(2)4M x y -+=，可得圆心(2,0)M ，半径为2r =， 因为直线l 过点()1,3C ，且被圆M截得的弦长为可得=1d =，即圆心到直线l 的距离为1， 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =， 此时圆心M 到直线的距离为1d =，符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的斜率为k ，可得直线l 的方程为3(1)y k x -=-， 即30kx y k --+=由圆心M到直线的距离为1d ==，解得43k =-，所以直线的方程为43(1)3y x -=-⋅-，即43130x y +-=，综上可得，所求直线方程为1x =或43130x y +-=. 19．直线:1l x my =+与抛物线24y x =相交于A ，B 两点， （1）若1m =，求OA OB ⋅的值； （2）AB 弦长的最小值． 【答案】（1）3-；（2）4．【分析】（1）代入1m =，联立直线与抛物线的方程得到关于y 的二次方程，然后使用韦达定理并结合数量积计算公式计算即可.（2）联立直线与抛物线的方程得到关于y 的二次方程，令0∆>求得m 范围，然后根据弦长公式进行计算可得结果.【详解】（1）由题1m =，:1l x y =+，联立214x y y x=+⎧⎨=⎩，得2440y y --=， 设A ，B 两点坐标(,,)A x y ()22,B x y ，由韦达定理得121244y y y y +=⎧⎨=-⎩，因此，()()12121212121211213OA OB x x y y y y y y y y y y ⋅=+=+++=+++=-；（2）联立214x my y x=+⎧⎨=⎩，得2440y my --=，验证216160m ∆=+>，因此直线与抛物线恒有两相异交点，()22||414AB m ==+≥， 所以，当0m =，即直线:1l x =时，弦长AB 取得最小值4．【点睛】思路点睛：直线与圆锥曲线的综合问题一般需要联立直线与圆锥曲线方程并结合韦达定理，着重在于计算，掌握计算中的一般技巧（不等式，换元等）. 20．设12,F F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>的左、右两焦点，过点2F 的直线():0,R l x my t m t --=∈与Γ的右支交于M ，N 两点，Γ过点（﹣2，3），且它的虚轴的端点与焦点．(1)求双曲线Γ的方程；(2)当121MF F F =时，求实数m 的值；(3)设点M 关于坐标原点O 的对称点为P ，当2212=MF F N 时，求△PMN 面积S 的值． 【答案】(1)2213y x -=(2)m =【分析】（1）根据点在双曲线上及两点距离列方程组求双曲线参数，即可得方程；（2）由点在直线上求得t ＝2，根据F 1到直线:20l x my --=的距离与等腰三角形12F MF 底边2MF 上的高相等，列方程求参数m ；（3）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），联立双曲线与直线方程，应用韦达定理得1221213my y m +=-，122913y y m +=--，由向量的数量关系可得2135m =，根据对称点，三角形面积公式1222OMNS Sy y ==-，可求△PMN 面积．【详解】（1）因为双曲线Γ过点（﹣2，3）可得：()222224917a b b a b ⎧-=⎪⎨⎪++=⎩，解得：2213a b ⎧=⎨=⎩，所以双曲线Γ的方程为2213y x -=． （2）因为直线:0l x my t --=，且过点F 2（2，0）， 则200m t -⨯-=，解得：2t =，由121MF F F =得：三角形12F MF 为等腰三角形，所以等腰三角形12F MF 底边2MF又因为点F 1到直线:20l x my --=的距离等于等腰三角形12F MF 底边上的高，则d =化简得：2115m =，即1515m =±． （3）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 由直线与双曲线联立得：221320y x x my ⎧-=⎪⎨⎪--=⎩， 化简得：()22311290m y my -++=，由韦达定理得：1221213m y y m +=-，122913y y m =--， 又2212=MF F N ，即212y y =-，则121213m y m -=-，2129213y m =-， 即22212921313m m m ⎛⎫= ⎪--⎝⎭，则2135m =， 又点M 关于坐标原点O 的对称点为P ，则： ()2221212122221291219352224241313134OMNm m S Sy y y y y y m m m +⎛⎫⎛⎫==-=+-=--== ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭． 则所求的△PMN 面积为9354． 21．椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为55，短轴长为4．左右顶点分别为1A 、2A(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l ：5x =x 轴交于点D ，P 点是椭圆C 异于1A ，2A 的动点，直线1A P ，2A P 分别交直线l 于E ，F 两点，求证：DE DF 为定值．(3)如图，原点O 到1l ：y kx m =+距离为1，直线1l 与椭圆C 交于A ，B 两点，直线2l ：y kx n =+()0,mn n m >≠与1l 平行且与椭圆C 相切于点M （O ，M 位于直线1l 的两侧）．记△MAB ，△OAB的面积分别为1S ，2S ，若12S S λ=，求实数λ的取值范围． 【答案】(1)22154x y += (2)证明见解析(3))1⎡⎣【分析】（1）根据题意得到方程组22224c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解之即可求出结果；（2）设()00,P x y ，依次求出直线1A P ，2A P 的方程即可求出,E F 的坐标，进而表示出,DE DF 的长度，从而结合2200154x y +=化简整理即可求出结果； （3）利用点到直线的距离公式得到m =2:l y kx n =+与椭圆可得到0∆=，即2254n k =+，结合平行线间的距离公式表示出三角形的面积，然后转为1n m =-λ，求出nm的范围即可求出结果.【详解】（1）由题意可得22224c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆C 的方程为22154x y +=； （2）由题意知())12,A A ，设()00,P x y，且0x <<，直线1A P的方程为y x =+，令x =yDE =直线2A P的方程为y x =，令x =y =DF =因此220155y DE DF x ⋅==-，又因为2200154x y +=，则()2200545y x =-，所以()22002200345151255x y DE DF x x ⨯-⋅===--；（3）因为原点与直线1:l y kx m =+的距离为11=，即m =联立直线2:l y kx n =+与椭圆的方程22154y kx n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()22245105200k x knx n +++-=，因为直线2:l y kx n =+与椭圆相切，所以()()()222104455200kn k n ∆=-+-=，即2254n k =+，直线1l 与直线2l间的距离为d =1211,1,22S AB d S AB =⋅⋅=⋅⋅所以121m n S nS m m λ-====-， 又因为2222541511n k m k k +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，因为20k ≥，所以[)24,5n m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 又,O M 位于直线1l 的两侧，所以,m n同号，故n m⎡∈⎣，因此)11n m ⎡-∈⎣，故实数λ的取值范围为)1⎡⎣.【点睛】求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．。
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华东师范大学期中考试试卷
2010－2011 学年第二学期 总分---------------
课程名称： 高等数学A 课程性质：公共必修.
学生姓名：___________________ 学 号：___________________ 专 业：___________________ 年级/班级：2010级
一、填空题（每小题4分，共24分） 1. 22001cos()lim 1x y x y xy e →→-=- ；
2. 设(,)arctan x f x y y =，则(1,1)grad f = ；
3. sin
y z x x =的全微分dz = ； 4. 2
20sin x
y dx dy y ππ⎰⎰= ； 5. 设L 为222(0)x y a y +=≥，则2
L y ds =⎰ ；
6. 曲线22222241:2x y z L z x y
⎧++=⎨=+⎩ 在xOy 平面上的投影柱面方程是 . 二、计算题（每小题7分，共56分）
1. 求2ln()z x y =+在点（2,1
）处沿l = 方向的方向导数.
2. 设22
(,sin )z f xy x y =-，f 有二阶连续偏导，求2z x y ∂∂∂.
3. 求曲面22z x y =+平行于平面21x y z -+=的切平面方程.
4. 设20y z t u e dt +-=
⎰，而(),()y yx z zx ==是由方程组22222,2320z x y x y z =+++=确定，求
du dx .
5. 计算
D xyd σ⎰⎰，其中D 由曲线y =x =与y 轴围成的右上方部分.
6. 计算
2z dV Ω
⎰⎰⎰，其中Ω由半球面2222(1)x y z z z ++=≥与锥面z =围成.
7. 计算曲面积分
∑，其中∑为柱面224x y +=介于01z ≤≤之间的部分.
8. 计算222()d d d d ()d d ,z x y z y z x z x x y ∑++-+⎰⎰其中∑为旋转抛物面22z x y =+介
于01z ≤≤之间部分，取下侧.
三、综合题（20分）
1. （10分）设r =220b b L x x r dx r dy y y
-=⎰ 对上半平面内的任何光滑曲线L 都成立，求b 的值.
2.（10分）求函数2z x y =+在区域2
2
:14y D x +≤上的最大值和最小值.。