2017-2018学年同步备课套餐之高一物理粤教版必修2讲义：第四章第四节

第四节机械能守恒定律
[学习目标] 1.知道什么是机械能，知道物体的动能和势能能够互相转变.2.能够依据动能定理、
.3.会依据机械能守恒的条件判断重力做功与重力势能变化间的关系，推导出机械能守恒定律
机械能能否守恒，能运用机械能守恒定律解决相关问题．
一、动能与势能的互相转变
1．重力势能与动能的转变
只有重力做功时，若重力对物体做正功，则物体的重力势能减少，动能增添，物体的重力势
能转变成动能，若重力对物体做负功，则物体的重力势能增添，动能减少，物体的动能转变
为重力势能．
2．弹性势能与动能的转变
只有弹簧弹力做功时，若弹力对物体做正功，则弹簧的弹性势能减少，物体的动能增添，弹
簧的弹性势能转变成物体的动能；若弹力对物体做负功，则弹簧的弹性势能增添，物体的动
能减少，物体的动能转变成弹簧的弹性势能．
3．机械能：重力势能、弹性势能与动能统称为机械能．
二、机械能守恒定律
1．内容：在只有重力或弹力做功的物系统统内，动能与势能能够互相转变，而机械能的总量保持不变．
2．表达式： E k1＋ E p1＝ E k2＋E p2，即 E1＝ E2 .
[即学即用 ]
1．判断以下说法的正误．
(1)机械能守恒时，物体必定只受重力和弹力作用．(× )
(2)协力为零，物体的机械能必定守恒．(× )
(3)协力做功为零，物体的机械能保持不变．(× )
(4)只有重力做功时，物体的机械能必定守恒．(√ )
2．如图 1 所示，桌面高为h，质量为m 的小球从离桌面高为H 处自由落下，不计空气阻力，假定桌面处的重力势能为零，则小球落到地眼前瞬时的机械能为________．
图 1
答案mgH
一、机械能守恒条件的理解
[导学研究 ]如图2所示，过山车由高处在封闭发动机的状况下飞驰而下．
图 2
(1)过山车受哪些力作用？各做什么功？
(2)过山车下滑时，动能和势能怎么变化？两种能的和不变吗？
(3)若忽掠过山车的摩擦力和空气阻力，过山车下滑机遇械能守恒吗？
答案(1) 重力、支持力、摩擦力和空气阻力．重力做正功，支持力不做功，摩擦力和空气阻
力做负功．
(2)动能增添、势能减小，因为摩擦阻力和空气阻力做负功，因此动能和势能的和变小，机械
能不守恒．
(3)守恒．
[知识深入 ]机械能守恒条件的理解
1．从能量特色看：只有系统动能和势能互相转变，无其余形式能量(如内能 )之间转变，则系统机械能守恒．
2．从机械能的定义看：依据动能与势能之和能否变化判断机械能能否守恒，如一个物体沿水平方向匀速运动时，动能和势能之和不变，机械能守恒；但沿竖直方向匀速运动时，动能不
变，势能变化，机械能不守恒．
3．从做功特色看：只有重力和系统内的弹力做功．
例 1 (多项选择 )不计空气阻力，以下说法中正确的选项是()
A．用绳索拉着物体匀速上涨，只有重力和绳索的拉力对物体做功，机械能守恒
B．做竖直上抛运动的物体，只有重力对它做功，机械能守恒
C．沿圆滑斜面自由下滑的物体，只有重力对物体做功，机械能守恒
D．用水平拉力使物体沿圆滑水平面做匀加快直线运动，机械能守恒
答案BC
例 2 (多项选择 )如图 3 所示，弹簧固定在地面上，一小球从它的正上方 A 处自由着落，抵达 B 处开始与弹簧接触，抵达 C 处速度为0，不计空气阻力，则在小球从 B 到 C 的过程中 ()
图 3
A．弹簧的弹性势能不停增添
B．弹簧的弹性势能不停减少
C．小球和弹簧构成的系统机械能不停减少
D．小球和弹簧构成的系统机械能保持不变
答案AD
分析从 B 到 C，小球战胜弹力做功，弹簧的弹性势能不停增添， A 正确， B 错误；对小球、弹簧构成的系统，只有重力和系统内弹力做功，系统机械能守恒， C 错误， D 正确．
二、机械能守恒定律的应用
例 3 如图 4 所示，质量 m＝ 70 kg 的运动员以10 m/s 的速度从高 h ＝10 m 的滑雪场 A 点沿斜坡自由滑下，以最低点 B 所在的水平面为零势能面，全部阻力可忽视不计．求运动员：(g ＝ 10 m/ s2)
图 4
(1)在 A 点时的机械能；
(2)抵达最低点 B 时的速度大小；
(3)相关于 B 点能抵达的最大高度．
答案(1)10 500 J (2)10 3 m/s (3)15 m
分析(1) 运动员在 A 点时的机械能E＝ E k＋ E p＝1
mv2＋mgh＝
1
× 70× 102 J＋ 70× 10× 10 J＝2 2
10 500 J.
122E (2)运动员从 A 点运动到 B 点的过程，依据机械能守恒定律得E＝2mv B，解得 v B＝m ＝
2× 10 500
m/s＝10 3 m/s
70
(3)运动员从 A 点运动到斜坡上最高点的过程中，由机械能守恒定律得E＝ mgh′，解得h′
E
10 500
＝ mg ＝ 70×10 m ＝ 15 m.
1． 机械能守恒定律的应用步骤
第一对研究对象进行正确的受力剖析，判断各个力能否做功，并剖析能否切合机械能守恒的
条件．若机械能守恒，则依据机械能守恒定律列出方程，或再辅以其余方程进行求解．
2．机械能守恒定律常用的三种表达式
(1)从不一样状态看： E k1 ＋E p1＝E k2 ＋E p2(或 E 1＝ E 2)
此式表示系统的两个状态的机械能总量相等．
(2)从能的转变角度看： E k ＝－ E p
此式表示系统动能的增添 (减少 )量等于势能的减少 (增添 )量．
(3)从能的转移角度看：
E A 增＝ E B 减．
此式表示系统 A 部分机械能的增添量等于系统 B 部分机械能的减少许．
针对训练
某游玩场过山车模型简化为如图
5 所示，圆滑的过山车轨道位于竖直平面内，该
轨道由一段斜轨道和与之相切的圆形轨道连结而成，圆形轨道的半径为 R ，可视为质点的过
山车从斜轨道上某处由静止开始下滑，而后沿圆形轨道运动．
图 5
(1)若要求过山车能经过圆形轨道最高点，
则过山车初始地点相关于圆形轨道底部的高度起码
要多少？
(2)考虑到旅客的安全，要求全过程旅客遇到的支持力不超出自己重力的
7 倍，过山车初始位
置相关于圆形轨道底部的高度不得超出多少？
答案
(1)2.5R (2)3R
分析
(1) 设过山车总质量为 M ，从高度 h 1 处开始下滑，恰能以
v 1 经过圆形轨道最高点．
2
在圆形轨道最高点有：
Mg ＝M
v 1
R
①
运动过程机械能守恒：
1
Mgh 1＝ 2MgR ＋ 2Mv 1
2
②
由①② 式得：h1＝2.5R
即高度起码为 2.5R.
(2)设从高度h2处开始下滑，旅客质量为m，过圆周最低点时速度为v2，旅客遇到的支持力最大是N＝ 7mg.
2
最低点：N－ mg＝ mvR2 ③
运动过程机械能守恒：
1
mgh 2＝ 2mv2
2 ④
由③④式得： h2＝3R
即高度不得超出3R.
1． (机械能能否守恒的判断)(多项选择 )以下物体中，机械能守恒的是()
A．做平抛运动的物体
B．被匀速吊起的集装箱
C．圆滑曲面上自由运动的物体
4
D．物体以5g 的加快度竖直向上做匀减速运动
答案AC
2．(机械能守恒的判断)如图6 所示，一轻质弹簧固定于O 点，另一端系一重物，将重物从与悬点 O 在同一水平面且弹簧保持原长的 A 点无初速度地开释，让它自由摆下，不计空气阻力，在重物由 A 点摆向最低点 B 的过程中( )
图 6
A．系统的弹性势能不变
B．重物的重力势能增大
C．重物的机械能不变
D．重物的机械能减少
答案 D
分析重物从 A 点开释后，在从 A 点向 B 点运动的过程中，重物的重力势能渐渐减少，动能渐渐增添，弹簧渐渐被拉长，弹性势能渐渐增添，因此，重物减少的重力势能一部分转变成
动能，另一部分转变成弹簧的弹性势能，对重物和弹簧构成的系统，机械能守恒，但对重物
来说，其机械能减少，选项 D 正确．
3.(机械能守恒定律的应用
1圆弧槽的最高点滑下的小物块，滑出槽口)如图 7 所示，从圆滑的4
时速度沿水平方向，槽口与一个半球极点相切，半球底面在水平面内，若要使小物块滑出槽
口后不沿半球面下滑，已知圆弧轨道的半径为R1，半球的半径为 R2，则 R1与 R2的关系为 ()
图 7
A．R1≤R2 B． R1≥R2
C．R1≤R2
D． R1≥
R2 2 2
答案 D
分析小物块沿圆滑的
1
4圆弧槽下滑的过程，只有重力做功，机械能守恒，故有
1 2
①mgR1＝ mv
2
要使小物块滑出槽口后不沿半球面下滑，即做平抛运动，则
2
v
②
mg≤ m R2
由①② 解得R1≥R2 2 .
4．(机械能守恒定律的应用 )如图 8 所示，一固定在竖直平面内的圆滑半圆形轨道ABC ，其半径 R＝ 0.5 m，轨道在 C 处与水平川面相切，在 C 处放一小物块，给它一水平向左的初速度
v0＝ 5 m/s ，结果它沿 CBA 运动，经过 A 点，最后落在水平川面上的 D 点，求 C、 D 间的距离 s.(重力加快度 g 取 10 m/ s2，不计空气阻力 )
图 8
答案 1 m
分析解法一：应用机械能守恒定律求解
物块由 C 到 A 过程，只有重力做功，机械能守恒，则E p＝－E k，
即 2mgR＝1
2mv02－
1
2mv2
物块从 A 到 D 过程做平抛运动，则
1 2
竖直方向： 2R＝2gt ②
水平方向： s＝ vt
由①②③式并代入数据得：s＝ 1 m.
解法二：应用动能定理求解
物块由 C 到 A 过程，只有重力做功，由动能定理得
－ 2mgR＝1 2 1 2 2mv －2mv0
物块从 A 到 D 过程做平抛运动，则
竖直方向： 2R＝1
2gt2
水平方向： s＝ vt
联立解得： s＝ 1 m.
课时作业
一、选择题 (1～ 7 为单项选择题，8～ 10 为多项选择题)
1．一个物体在运动的过程中所受的协力为零，则这个过程中() A．机械能必定不变
B．物体的动能保持不变，而势能必定变化
C．若物体的势能变化，机械能必定变化
D．若物体的势能变化，机械能不必定变化
答案 C ①③
分析因为物体在均衡力的作用下运动，速度不变，即物体的动能不变，当物体的势能变化机遇械能必定变化， C 正确， A 、B、D 错误．
2．以下运动的物体，机械能守恒的是()
A．物体沿斜面匀速下滑
B．物体从高处以 0.9g 的加快度竖直着落
C．物体沿圆滑曲面滑下
D．拉着一个物体沿圆滑的斜面匀速上涨
答案 C
分析物体沿斜面匀速下滑时，动能不变，重力势能减小，因此机械能减小．物体以0.9g 的加快度竖直着落时，除重力外，其余力的协力向上，大小为0.1mg，其余力的协力在物体下
落时对物体做负功，物体的机械能不守恒．物体沿圆滑曲面滑下时，只有重力做功，机械能
守恒．拉着物体沿斜面匀速上涨时，拉力对物体做功，物体的机械能不守恒．综上所述，机
械能守恒的是 C 项．
3．质量为 1 kg 的物体从倾角为30°、长2 m 的圆滑斜面顶端由静止开始下滑，若选初始地点为零势能点，那么，当它滑到斜面中点时拥有的机械能和重力势能分别是(g 取 10 m/s2)( ) A．0 J，－5 J B．0 J，－ 10 J
C．10 J,5 J D． 20 J，－ 10 J
答案 A
4．如图1 所示是某公园设计的一种惊险刺激的娱乐设备．管道除 D 点右边水平部分粗拙外，
其余部分均圆滑．若挑战者自斜管上足够高的地点滑下，将无能量损失的连续滑入第一个、
第二个圆管形管道A、B 内部 (管道 A 比管道 B 高)．某次一挑战者自斜管上某处滑下，经过
管道 A 内部最高点时，对管壁恰巧无压力．则这名挑战者()
图 1
A ．经过管道 A 最高点时的机械能大于经过管道
B ．经过管道 A 最高点时的动能大于经过管道C．经过管道 B 最高点时对管外侧壁有压力D．不可以经过管道B 的最高点
B 最低点时的机械能B 最低点时的动能
答案 C
5.如图2 所示，固定的竖直圆滑长杆上套有质量为m 的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧
一端连结，弹簧的另一端连结在墙上，而且处于原长状态，现让圆环由静止开始下滑，已知
弹簧原长为L，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变成2L(未超出弹性限度)，则在圆环下滑到最大距离的过程中( )
图 2
A．圆环的机械能守恒
B．弹簧弹性势能变化了3mgL
C．圆环下滑到最大距离时，所受协力为零
D．圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变
答案 B
分析圆环在着落过程中机械能减少，弹簧弹性势能增添，而圆环与弹簧构成的系统机械能
守恒．圆环着落到最低点时速度为零，可是加快度不为零，即协力不为零；圆环降落高度h ＝2L 2－L2＝3L，因此圆环重力势能减少了3mgL ，由机械能守恒定律可知，弹簧的弹
性势能增添了3mgL.应选 B.
6.如图 3 所示，用长为 L 的细线，一端系于悬点 A，另一端拴住一质量为 m 的小球，先将小球拉至
水平川点并使细线绷直，在悬点 A 的正下方 O 点钉有一圆滑小钉子，今将小球由静止
开释，要使小球能在竖直平面内做完好圆周运动，OA 的最小距离是( )
图 3
L L
A. 2
B.3
2 3
C.3L
D.5L
答案 D
2
mv0
分析设小球做完好圆周运动时其轨道半径为R，小球恰巧过最高点的条件为mg＝
R
解得 v0＝gR
小球由静止开释到运动至圆周的最高点过程中，只有重力做功，因此机械能守恒，取初地点
所在水平面为参照平面，由机械能守恒定律得0＝1 m v0 2－ mg(L－ 2R)
2
解得 R ＝ 2
L
5
3
因此 OA 的最小距离为
L －R ＝ 5L ，故 D 正确．
7．以同样大小的初速度
v 0 将物体从同一水平面分别竖直上抛、
斜上抛、 沿圆滑斜面 (足够长 )
上滑，如图 4 所示，三种状况达到的最大高度分别为 h 1、h 2 和 h 3，不计空气阻力 (斜上抛物体
在最高点的速度方向水平
)，则( )
图 4
A ． h 1＝ h 2>h 3
B ． h 1＝ h 2<h 3
C ．h 1＝ h 3<h 2
D ． h 1＝ h 3>h 2
答案
D
分析 竖直上抛物体和沿斜面运动的物体，上涨到最高点时，速度均为
0，由机械能守恒得
2
2－1
mgh ＝ 1
mv 02
，因此 h ＝ v 0 ，斜上抛物体在最高点速度不为零，
设为 v 1，则 mgh 2＝ 1 m v 0 mv 1 2，
2 2g
2 2
因此 h 2 ＜h 1 ＝h 3，故 D 对．
8.把质量为 m 的石块从高 h 的山崖上以沿与水平方向成
θ角斜向上的方向抛出 (如图 5 所示 )，
抛出的初速度为 v 0，石块落地时的速度大小与下边哪些量没关
(不计空气阻力 )(
)
图 5
A ．石块的质量
B ．石块初速度的大小
C ．石块初速度的仰角
D ．石块抛出时的高度
答案 AC
分析 以地面为参照平面，石块运动过程中机械能守恒，则
mgh ＋1
mv 0 2＝ 1 m v 2
2 2
即 v 2＝ 2gh ＋ v 0 2，因此 v ＝ v 0 2＋2gh
由此可知， v 与石块的初速度大小
v 0 和高度 h 相关，而与石块的质量和初速度的方向没关．
9．图 6 是滑道压力测试的表示图，圆滑圆弧轨道与圆滑斜面相切，滑道底部
B 处安装一个
压力传感器， 其示数 N 表示该地方受压力的大小，
经过 B 处时，以下表述正确的有
( )
某滑块从斜面上不一样高度
h 处由静止下滑，
图 6
A ． N 小于滑块重力
B ． N 大于滑块重力
C ．N 越大表示 h 越大
D ． N 越大表示 h 越小
答案 BC
分析 设滑块在 B 点的速度大小为 v ，选 B 地方在平面为零势能面，从开始下滑到
B 处，由
1 2
2
v
机械能守恒定律得 mgh ＝ 2mv ，在 B 处由牛顿第二定律得 N －mg ＝m r ，因此选 B 、 C.
10.如图 7 所示，质量同样的小球
A 和
B 分别悬挂在长为 L 和 2L 的不一样长绳上，先将小球拉
至同一水平川点从静止开释，不计空气阻力，当两绳竖直时，则
()
图 7
A ．两球的速率同样大
B ．两球的动能同样大
C ．两球的机械能同样大
D ．两球所受的拉力同样大
答案
CD
分析 两球在着落过程中机械能守恒，开始着落时，重力势能相等，动能都为零，因此机械
能相等，着落到最低点时的机械能也同样大，选项
C 正确．选用小球 A 为研究对象，设小球
v A ，动能为 E kA ，小球所受的拉力大小为
F A ，则 mgL ＝ 1
2
抵达最低点时的速度大小为
2mv A ，
2
F A － mg ＝
mv A
，可得 v A ＝ 2gL ， E kA ＝ mgL ， F A ＝3mg ；同理可得
v B ＝ 2 gL ，E kB ＝ 2mgL ，
L
F B ＝ 3mg ，应选项 A 、 B 错误，选项 D 正确． 二、非选择题
11.如图 8 所示，某大型露天游玩场中过山车的质量为 1 t ，从轨道一侧的极点 A 处由静止释
放，抵达底部 B 处后又冲上环形轨道， 使乘客头朝下经过 C 点，再沿环形轨道抵达底部 B 处，
最后冲上轨道另一侧的极点 D 处，已知 D 与 A 在同一水平面上． A、B 间的高度差为20 m，圆环半径为 5 m，假如不考虑车与轨道间的摩擦和空气阻力，g 取 10 m/s2 .试求：
图 8
(1)过山车经过 B 点时的动能；
(2)过山车经过 C 点时的速度大小；
(3)过山车经过 D 点时的机械能．(取过 B 点的水平面为零势能面)
答案(1)2 × 105 J (2)10 2 m/s (3)2× 10 5 J
分析(1) 过山车由 A 点运动到 B 点的过程中，由机械能守恒定律E k增＝ E p减可得过山车在
B点时的动能．
1
mv B 2－ 0＝ mgh AB
2
1 2
＝ mgh AB
E kB＝ mv B
2
解得 E kB＝2× 105 J
(2)同理可得，过山车从 A 点运动到 C 点时有
1 2
2mv C－ 0＝ mgh AC
解得 v C＝ 10 2 m/s
(3)由机械能守恒定律可知，过山车在 D 点时的机械能就等于在 A 点时的机械能，则有E D＝
E A＝ mgh AB
解得 E D＝ 2× 105 J.
12．如图 9 所示，竖直平面内有一半径R＝ 0.5 m 的圆滑圆弧槽 BCD， B 点与圆心 O 等高，
一水平面与圆弧槽相接于 D 点，质量 m＝ 0.5 kg 的小球从 B 点正上方 H 高处的 A 点自由着落，由 B 点进入圆弧轨道，从 D 点飞出后落在水平面上的Q 点， DQ 间的距离 s＝2.4 m，球从 D 点飞出后的运动过程中相对水平面上涨的最大高度h＝ 0.8 m，取 g＝ 10 m/s2，不计空气阻力，求：
图 9
(1)小球开释点到 B 点的高度 H ；
(2)经过圆弧槽最低点 C 时轨道对小球的支持力大小N.
答案(1)0.95 m (2)34 N
分析(1) 设小球在飞翔过程中经过最高点P 的速度为 v0， P 到 D 和 P 到 Q 可视为两个对称的平抛运动，则有：
1 2 s
h＝ gt ，＝v0t
2 2
可得： v0＝s
g ＝2.4×10 m/s ＝ 3 m/ s
2 2h 2 2× 0.8
在 D 点有： v y＝ gt＝ 4 m/s
在 D 点合速度大小为：v＝ v0 2＋ v y 2＝ 5 m/s
v0 3
设 v 与水平方向夹角为θ， cos θ＝v＝5
1 2
A 到 D 过程机械能守恒：mgH＋ mgRcos θ＝2mv 解得： H ＝0.95 m
(2)设小球经过 C 点时速度为 v C， A 到 C 过程机械能守恒：mg(H＋ R)＝1 2 2mv C
2
v C 由牛顿第二定律有， N－ mg＝ m R 解得 N＝ 34 N.。