第六章控制系统参数优化及仿真
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量；f 为 n维系统运动方程结构向量。要求在满足
下列条件下：
6.1 参数优化与函数优化
不等式限制
H()0
q维Baidu Nhomakorabea
等式限制
G() 0
p维
等式终端限制 S(,tf )0 维(是终端时间)
找到一组参数 *，
使指标函数
Q()Q(*)min
(2) 函数优化
函数优化是控制对象已知，要找最优控制作 用u * (t) ，以使某个函数指标达到最小，也包括要寻 找最优控制器的结构、形式和参数。
变量数可达几百个几千个，属于大规模优化问题。变
量用X表示
x[x1x2 xn]T
6.1 参数优化与函数优化
(2) 约束条件 求目标函数极值时的某些限制称为约束。例如，要
求变量为非负或为整数值，这是一种限制；可用的 资源常常是有限的(资源泛指人力，设备，原料，经 费，时间等等)；问题的求解应满足一定技术要求， 这也是一种限制(如产品设计中规定产品性能必须达 到的某些指标)。此外，还应满足物理系统基本方程 和性能方程(如电路设计必须服从电路基本定律KCL 和KVL)。控制系统优化设计则用状态方程和高阶微 分和差分方程来描述其物理性质。
现在的问题就是要寻求使Q()达到极小值的 * ，其
中T[1 2 n]是一个向量。
从数学上讲，参数优化问题是属于普通极值问题。 寻找的最优参数不随时间变化，故也属于静态寻优
问题。其一般问题形式是：
有一个物理系统，它的数学模型为 xf(x,,t)，,
其中 x为 n维状态向量；为m维被寻优参数的向
6.2 单变量寻优技术
图6.2.2 表示了黄 金分割法 程序框图。
6.2 单变量寻优技术
例6.2.1 求目标函数 Q(x)x210 x36的最小值， 区间缩短的精度 0.0000。1
使用符号：A：初始区间的起点， A10 ；
B：初始区间的终点， B10 ；
E：允许的精度， E0.00001
分割法是单变量函数无约束极值较为有效的一种直接 搜索法。这种方法实质上是在搜索过程中不断缩小最 优点存在的区域，即通过搜索区间的逐步随小来确定 最优点。对多变量函数来说，分割法不十分有效，因 为这时消去的不是线段，而是平面、立体或多维空间 的一部分。黄金分割法是分割法中的一种有效方法。
假定目标函数Q(x)，已知它在区间 [a0 ,b0 ]有一极小值
别。因为求 f ( x)的极小值相当于求- f ( x) 的极
大值，即 mfi(x n )ma fx (x)[]
。
两者的最优值均当 x x*
时得到。
6.1 参数优化与函数优化
综上所述，优化问题的数学模型可以表示成如下 形式：
minf (x)
xRn
(6.1.1)
约束条件 gi (x) 0 i1,2,,m
等
x1a0 x2 a0
(6.2.2)
L
x1 a0
故: x2a 0(x 1a 0)2L , b0 La0 2L
LL2L ,
210
因此可以得到：
=
1 2
5
取正值 =0.6180339
(6.2.3)
这样，若计算分割后的函数值，则由计算两个点的函数 值变为计算一个点的函数值，在一定分割次数内，减少 了计算函数的次数。这种分割方法称为黄金分割法。
用C语言编写的计算程序清单如下：
#include “math.h” #include “stdio.h” main( )
6.2 单变量寻优技术
{float x0, x1, x2, x3, x4, e1, e2, q1, q2, q3, q4, q5, m, h0, h, c1, c2;
int n; printf(“intput x0, H0,E1, E2, M”); scanf(“%f, %f, %f, %f, %f ”,&x0, &h0, &e1, &e2,
6.1 参数优化与函数优化
费用和效果都是广义的，如费用可以是经费，也
可以是时间、人力、功率、能量、材料、占地面积或
其他资源。而效果可以是性能指标、利润、效益、精
确度、灵敏度等等。也可以将效果与费用函数统一起
来，以单位费用的效果函数或单位效果的费用函数为
目标函数，前者是求极大值，后者是求极小值。
求极大值和极小值问题实际上没有什么原则的区
第六章 控制系统参数优化及仿真
仿真是将已知系统在计算机上进行复现，
它是分析，设计系统的一种重要实验手段。怎样 才能使设计出来的系统在满足一定的约束条件下，
使某个指标函数达到极值，这就需要优化的仿
真实验。所以仿真技术与优化技术两者关系十分 密切。
6.1 参数优化与函数优化
(1) 变量的确定 变量一般指优化问题或系统中待确定的某些量。例如
三、参数优化方法
系统的参数优化问题求解方法，按其求解方式可 分为两类：间接寻优和直接寻优。
(1) 间接寻优 间接寻优就是把一个优化问题用数学方程描述出
来，然后按照优化的充分必要条件用数学分析的方 法求出解析解，故又称其为解析法。
6.1 参数优化与函数优化
数学中的变分法，拉格朗日乘子法和最大值原理， 动态规划等都是解析法，所以也都是间接寻优法。
点，这样一步步搜索逼近，最后接近最优点。
6.2 单变量寻优技术
单变量寻优技术是多变量寻
优技术的基础，多变量参数寻 优的算法中常常要用到它，因 此单变量的寻优方法是解决多 变量优化问题的基本方法。本 节主要介绍常用的两种单变量 寻优方法：分割法和插值法。
6.2 单变量寻优技术
6.2.1 黄金分割法( 0.618 法)
6.1 参数优化与函数优化
由于最优控制作用u * (t )为时间函数，所以这类问题
称为函数优化问题，在数学上称为泛函极值问题，
这类问题的一般形式是：
有一个物理系统，它的数学模型为 xf(x,,t)，
其中 x为 n维状态向量；为 m维被寻优参数的向
量；f 为 n维系统运动方程结构向量。要求在满足
存可它令区间为在以们间缩ba 01 ，在的在小 a如 距 目 距 为0a0 图 标 原aa,1b 01，函 来61,,.b b而数 的201.x各 各经值11 ，(过，倍a(形(b)bn1如(0所成次果a示a新分20)处)。1Q 区割)处(找，为x间后1 找两)若了区 两[点a原找Q 1间点,(。b来到x1为2]x由)区这，1，[,于间a个x则然n2每,极b[后，an次小0]对然, b分。点0这后]割x个比区，新较
6.2 单变量寻优技术
那么 bn an n 。
图6.2.1 黄金分割 图
选多大适合呢？如果要求 x 2 应该是 x 1的对称点，
即
a0x1 ，x2b如0图6.2.1(b)所示，则也可以写成
下面关系式：
x1 x2
a0 b0
(b0 (b0
aa00))
6.2 单变量寻优技术
且希望经过分割后其保留点仍处于留下区间的相应位置 上，即 x 1在 [a0 ,b0 ]中的位置与x 2在[a1,b1]中相仿,且比值相
6.1 参数优化与函数优化
如果列写出来的约束式，越接近实际系统，则所求 得的优化问题的解，也越接近于实际的最优解。
等式约束 ：
gi(x)0 ; x E n
i1,2, ,m mn 不等式约束：
hi (x) 0
或
0
j1,2, ,r
6.1 参数优化与函数优化
(3) 目标函数
优化有一定的标准和评价方法，目标函数 f ( x)是这
x3=x2+h; q3=x3*x3 -10x3+36;
if(q2>q3)
{h=h+h; n=n+1; go to p1;}
else
{if(n>0)
{x4=0.5*(x2+x3); q4=x4*x4 –10*x4+36;
if(q4>q2) {x3=x4; q3=q4;}
else{x1=x2; q1=q2; x2=x4; q2=q4;}
由于在大部分控制系统中目标函数J一般很难写出
解析式，而只能在计算动态相应过程中计算出来， 所以仿真中一般较少采用间接寻优方法。
(2) 直接寻优法
直接寻优法就是直接在变量空间搜索一组最佳
控制变量(又称决策变量，设计变量)。这是一种数
值方法，具体办法是，利用目标函数在一局部区域
初始状态的性质和已知数值，来确定下一步计算的
6.1 参数优化与函数优化
二、优化问题的分类
优化问题可以按下述情况分类： (1)有没有约束？有约束的话是等式约束还是不等
式约束？ (2)所提问题是确定性的还是随机性的？ (3)目标函数和约束式是线性的还是非线性的？ (4)是参数最优还是函数最优，即变量是不是时间
的函数？ (5)问题的模型是用数学解析公式表示还是用网络
数值分别为 Q1,Q2,Q3。可以利用这三个点及相应的函数
值作为二次插值公式，令
条件下：
不等式限制
H()0
q维
等式限制
G() 0
p维
等式终端限制
S(,tf )0
l维
找到m维函数 (t,x)*(t,x)使, 指标函数 Q()Q(*)mi
6.1 参数优化与函数优化
函数优化问题从理论上讲可以用变分或极大值原理 或动态规划求解。但是在仿真研究中，由于采用的 是数值求解，所以通常将其转化为参数优化问题加 以解决。出于以上原因，本章的重点主要讨论参数 优化问题。
&m ); x1=x0, q1=x1 *x1-10x1+36; p2: n=0; h=h0; x2=x1+h;q2=x2*x2-10x2+36; if(q1>q2) {h=h+h; n=n+1;} else {h= -h;x3=x1;q3=q1;
6.2 单变量寻优技术
p1: x1=x2; q1=q2; x2=x3; q2=q3;}
种标准的数学描述。目标函数可以是效果函数或费
用函数，f(x)f(x1,x2, ,xn)。用效果作为目标函
数时，优化问题是要求极大值，而费用函数不得超 过某个上界成为这个优化问题的约束；反之，最优 函数是费用函数时，问题变成了求极小值，而效果 函数不得小于某个下界就成为这个极小值问题的约 束了，这是对偶关系。
if(q2<e2) q5=e2;
else q5=q2;
if(fabs((q4 –q2)/q5)>e1)
{if(q4>q2) {x1=x2; q1=q2;}
else{x1=x4; q1=q4;}
h0=m*h0; go to p2;}
6.2 单变量寻优技术
printf(“OPTIM X=%f\n”,x4); printf(“OBJ.FUNC=%f”,q4); } } }
，在电机的优化设计中，变量可能为电流密度J,磁通
密度 B，轴的长度，直径以及其他几何尺寸等。电路
的优化设计中要确定的变量主要是电路元件(R,L,C)的
数值。对产品设计问题来说，一般变量数较少(例如，
几个到几十个)。变量数的多少以及约束的多少表示一
个优化问题的规模大小。因此，工程上最优设计问题
属于中小规模的优化问题，而生产计划，调度问题中
}
c1=(q3-q1)/(x3-x1)
c2=((q2-q1)/(x2-x1)-c1)/(x2-x3);
6.2 单变量寻优技术
if(fabs(c2)<e1)
{x1=x2; q1=q2;
h0=m*h0; go to p2;}
else{x4=0.5*(x1+x3-c1/c2);
q4=x4*x4 –10*x4+36;
计算结果：
Q=11, x1=5.000 67, A=5.007 5, 63。
B=5.000
6.2 单变量寻优技术
6.2.2 二次插值法
二次插值法是多项式近似法的一种，即用二次的
插值多项式拟合目标函数，并用这个多项式的极小点 作为目标函数极值的近似。
1．二次插值法的计算公式
假设目标函数 Q(x)在三个点 x1,x2,x3(x1x2x3)的函
作作用为下指， 标测 函量 数给 ，定要求与调输整出控量制器y之的间参的数偏，差使E得，该用指标0t f e 2 dt
函数达到最小。
图6.1.1 控制器参数的调整
6.1 参数优化与函数优化
假定控制器有N个可调整参数1,2,,3,显然上述
指标是这些参数的函数，即
Q() tf e2dt 0
(6.1.2)
图表示？在网络上的寻优称为网络优化。 限于本书的内容要求，在此只介绍参数优化和函数
优化。
6.1 参数优化与函数优化
(1) 参数优化 在控制对象已知，控制器的结构、形式已确定的情况
下，通过调整控制器的某些参数，使得某个目标函数 最优，这就是参数优化问题。
例如，图6.1.1所示的控制系统，在某个给定函数的
下列条件下：
6.1 参数优化与函数优化
不等式限制
H()0
q维Baidu Nhomakorabea
等式限制
G() 0
p维
等式终端限制 S(,tf )0 维(是终端时间)
找到一组参数 *，
使指标函数
Q()Q(*)min
(2) 函数优化
函数优化是控制对象已知，要找最优控制作 用u * (t) ，以使某个函数指标达到最小，也包括要寻 找最优控制器的结构、形式和参数。
变量数可达几百个几千个，属于大规模优化问题。变
量用X表示
x[x1x2 xn]T
6.1 参数优化与函数优化
(2) 约束条件 求目标函数极值时的某些限制称为约束。例如，要
求变量为非负或为整数值，这是一种限制；可用的 资源常常是有限的(资源泛指人力，设备，原料，经 费，时间等等)；问题的求解应满足一定技术要求， 这也是一种限制(如产品设计中规定产品性能必须达 到的某些指标)。此外，还应满足物理系统基本方程 和性能方程(如电路设计必须服从电路基本定律KCL 和KVL)。控制系统优化设计则用状态方程和高阶微 分和差分方程来描述其物理性质。
现在的问题就是要寻求使Q()达到极小值的 * ，其
中T[1 2 n]是一个向量。
从数学上讲，参数优化问题是属于普通极值问题。 寻找的最优参数不随时间变化，故也属于静态寻优
问题。其一般问题形式是：
有一个物理系统，它的数学模型为 xf(x,,t)，,
其中 x为 n维状态向量；为m维被寻优参数的向
6.2 单变量寻优技术
图6.2.2 表示了黄 金分割法 程序框图。
6.2 单变量寻优技术
例6.2.1 求目标函数 Q(x)x210 x36的最小值， 区间缩短的精度 0.0000。1
使用符号：A：初始区间的起点， A10 ；
B：初始区间的终点， B10 ；
E：允许的精度， E0.00001
分割法是单变量函数无约束极值较为有效的一种直接 搜索法。这种方法实质上是在搜索过程中不断缩小最 优点存在的区域，即通过搜索区间的逐步随小来确定 最优点。对多变量函数来说，分割法不十分有效，因 为这时消去的不是线段，而是平面、立体或多维空间 的一部分。黄金分割法是分割法中的一种有效方法。
假定目标函数Q(x)，已知它在区间 [a0 ,b0 ]有一极小值
别。因为求 f ( x)的极小值相当于求- f ( x) 的极
大值，即 mfi(x n )ma fx (x)[]
。
两者的最优值均当 x x*
时得到。
6.1 参数优化与函数优化
综上所述，优化问题的数学模型可以表示成如下 形式：
minf (x)
xRn
(6.1.1)
约束条件 gi (x) 0 i1,2,,m
等
x1a0 x2 a0
(6.2.2)
L
x1 a0
故: x2a 0(x 1a 0)2L , b0 La0 2L
LL2L ,
210
因此可以得到：
=
1 2
5
取正值 =0.6180339
(6.2.3)
这样，若计算分割后的函数值，则由计算两个点的函数 值变为计算一个点的函数值，在一定分割次数内，减少 了计算函数的次数。这种分割方法称为黄金分割法。
用C语言编写的计算程序清单如下：
#include “math.h” #include “stdio.h” main( )
6.2 单变量寻优技术
{float x0, x1, x2, x3, x4, e1, e2, q1, q2, q3, q4, q5, m, h0, h, c1, c2;
int n; printf(“intput x0, H0,E1, E2, M”); scanf(“%f, %f, %f, %f, %f ”,&x0, &h0, &e1, &e2,
6.1 参数优化与函数优化
费用和效果都是广义的，如费用可以是经费，也
可以是时间、人力、功率、能量、材料、占地面积或
其他资源。而效果可以是性能指标、利润、效益、精
确度、灵敏度等等。也可以将效果与费用函数统一起
来，以单位费用的效果函数或单位效果的费用函数为
目标函数，前者是求极大值，后者是求极小值。
求极大值和极小值问题实际上没有什么原则的区
第六章 控制系统参数优化及仿真
仿真是将已知系统在计算机上进行复现，
它是分析，设计系统的一种重要实验手段。怎样 才能使设计出来的系统在满足一定的约束条件下，
使某个指标函数达到极值，这就需要优化的仿
真实验。所以仿真技术与优化技术两者关系十分 密切。
6.1 参数优化与函数优化
(1) 变量的确定 变量一般指优化问题或系统中待确定的某些量。例如
三、参数优化方法
系统的参数优化问题求解方法，按其求解方式可 分为两类：间接寻优和直接寻优。
(1) 间接寻优 间接寻优就是把一个优化问题用数学方程描述出
来，然后按照优化的充分必要条件用数学分析的方 法求出解析解，故又称其为解析法。
6.1 参数优化与函数优化
数学中的变分法，拉格朗日乘子法和最大值原理， 动态规划等都是解析法，所以也都是间接寻优法。
点，这样一步步搜索逼近，最后接近最优点。
6.2 单变量寻优技术
单变量寻优技术是多变量寻
优技术的基础，多变量参数寻 优的算法中常常要用到它，因 此单变量的寻优方法是解决多 变量优化问题的基本方法。本 节主要介绍常用的两种单变量 寻优方法：分割法和插值法。
6.2 单变量寻优技术
6.2.1 黄金分割法( 0.618 法)
6.1 参数优化与函数优化
由于最优控制作用u * (t )为时间函数，所以这类问题
称为函数优化问题，在数学上称为泛函极值问题，
这类问题的一般形式是：
有一个物理系统，它的数学模型为 xf(x,,t)，
其中 x为 n维状态向量；为 m维被寻优参数的向
量；f 为 n维系统运动方程结构向量。要求在满足
存可它令区间为在以们间缩ba 01 ，在的在小 a如 距 目 距 为0a0 图 标 原aa,1b 01，函 来61,,.b b而数 的201.x各 各经值11 ，(过，倍a(形(b)bn1如(0所成次果a示a新分20)处)。1Q 区割)处(找，为x间后1 找两)若了区 两[点a原找Q 1间点,(。b来到x1为2]x由)区这，1，[,于间a个x则然n2每,极b[后，an次小0]对然, b分。点0这后]割x个比区，新较
6.2 单变量寻优技术
那么 bn an n 。
图6.2.1 黄金分割 图
选多大适合呢？如果要求 x 2 应该是 x 1的对称点，
即
a0x1 ，x2b如0图6.2.1(b)所示，则也可以写成
下面关系式：
x1 x2
a0 b0
(b0 (b0
aa00))
6.2 单变量寻优技术
且希望经过分割后其保留点仍处于留下区间的相应位置 上，即 x 1在 [a0 ,b0 ]中的位置与x 2在[a1,b1]中相仿,且比值相
6.1 参数优化与函数优化
如果列写出来的约束式，越接近实际系统，则所求 得的优化问题的解，也越接近于实际的最优解。
等式约束 ：
gi(x)0 ; x E n
i1,2, ,m mn 不等式约束：
hi (x) 0
或
0
j1,2, ,r
6.1 参数优化与函数优化
(3) 目标函数
优化有一定的标准和评价方法，目标函数 f ( x)是这
x3=x2+h; q3=x3*x3 -10x3+36;
if(q2>q3)
{h=h+h; n=n+1; go to p1;}
else
{if(n>0)
{x4=0.5*(x2+x3); q4=x4*x4 –10*x4+36;
if(q4>q2) {x3=x4; q3=q4;}
else{x1=x2; q1=q2; x2=x4; q2=q4;}
由于在大部分控制系统中目标函数J一般很难写出
解析式，而只能在计算动态相应过程中计算出来， 所以仿真中一般较少采用间接寻优方法。
(2) 直接寻优法
直接寻优法就是直接在变量空间搜索一组最佳
控制变量(又称决策变量，设计变量)。这是一种数
值方法，具体办法是，利用目标函数在一局部区域
初始状态的性质和已知数值，来确定下一步计算的
6.1 参数优化与函数优化
二、优化问题的分类
优化问题可以按下述情况分类： (1)有没有约束？有约束的话是等式约束还是不等
式约束？ (2)所提问题是确定性的还是随机性的？ (3)目标函数和约束式是线性的还是非线性的？ (4)是参数最优还是函数最优，即变量是不是时间
的函数？ (5)问题的模型是用数学解析公式表示还是用网络
数值分别为 Q1,Q2,Q3。可以利用这三个点及相应的函数
值作为二次插值公式，令
条件下：
不等式限制
H()0
q维
等式限制
G() 0
p维
等式终端限制
S(,tf )0
l维
找到m维函数 (t,x)*(t,x)使, 指标函数 Q()Q(*)mi
6.1 参数优化与函数优化
函数优化问题从理论上讲可以用变分或极大值原理 或动态规划求解。但是在仿真研究中，由于采用的 是数值求解，所以通常将其转化为参数优化问题加 以解决。出于以上原因，本章的重点主要讨论参数 优化问题。
&m ); x1=x0, q1=x1 *x1-10x1+36; p2: n=0; h=h0; x2=x1+h;q2=x2*x2-10x2+36; if(q1>q2) {h=h+h; n=n+1;} else {h= -h;x3=x1;q3=q1;
6.2 单变量寻优技术
p1: x1=x2; q1=q2; x2=x3; q2=q3;}
种标准的数学描述。目标函数可以是效果函数或费
用函数，f(x)f(x1,x2, ,xn)。用效果作为目标函
数时，优化问题是要求极大值，而费用函数不得超 过某个上界成为这个优化问题的约束；反之，最优 函数是费用函数时，问题变成了求极小值，而效果 函数不得小于某个下界就成为这个极小值问题的约 束了，这是对偶关系。
if(q2<e2) q5=e2;
else q5=q2;
if(fabs((q4 –q2)/q5)>e1)
{if(q4>q2) {x1=x2; q1=q2;}
else{x1=x4; q1=q4;}
h0=m*h0; go to p2;}
6.2 单变量寻优技术
printf(“OPTIM X=%f\n”,x4); printf(“OBJ.FUNC=%f”,q4); } } }
，在电机的优化设计中，变量可能为电流密度J,磁通
密度 B，轴的长度，直径以及其他几何尺寸等。电路
的优化设计中要确定的变量主要是电路元件(R,L,C)的
数值。对产品设计问题来说，一般变量数较少(例如，
几个到几十个)。变量数的多少以及约束的多少表示一
个优化问题的规模大小。因此，工程上最优设计问题
属于中小规模的优化问题，而生产计划，调度问题中
}
c1=(q3-q1)/(x3-x1)
c2=((q2-q1)/(x2-x1)-c1)/(x2-x3);
6.2 单变量寻优技术
if(fabs(c2)<e1)
{x1=x2; q1=q2;
h0=m*h0; go to p2;}
else{x4=0.5*(x1+x3-c1/c2);
q4=x4*x4 –10*x4+36;
计算结果：
Q=11, x1=5.000 67, A=5.007 5, 63。
B=5.000
6.2 单变量寻优技术
6.2.2 二次插值法
二次插值法是多项式近似法的一种，即用二次的
插值多项式拟合目标函数，并用这个多项式的极小点 作为目标函数极值的近似。
1．二次插值法的计算公式
假设目标函数 Q(x)在三个点 x1,x2,x3(x1x2x3)的函
作作用为下指， 标测 函量 数给 ，定要求与调输整出控量制器y之的间参的数偏，差使E得，该用指标0t f e 2 dt
函数达到最小。
图6.1.1 控制器参数的调整
6.1 参数优化与函数优化
假定控制器有N个可调整参数1,2,,3,显然上述
指标是这些参数的函数，即
Q() tf e2dt 0
(6.1.2)
图表示？在网络上的寻优称为网络优化。 限于本书的内容要求，在此只介绍参数优化和函数
优化。
6.1 参数优化与函数优化
(1) 参数优化 在控制对象已知，控制器的结构、形式已确定的情况
下，通过调整控制器的某些参数，使得某个目标函数 最优，这就是参数优化问题。
例如，图6.1.1所示的控制系统，在某个给定函数的