成都市选修二第一单元《数列》测试题(有答案解析)

一、选择题
1．对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是2017，则m 的值为（ ）
3331373152,39,4,517
1119
⎧⎧⎪⎧⎪⎪
⎨⎨⎨⎩⎪⎪⎩⎪
⎩
A ．44
B ．45
C ．46
D ．47
2．我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马和驽马发长安至齐，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，九日后二马相逢.问：齐去长安多少里？（ ） A ．1125
B ．1250
C ．2250
D ．2500
3．在函数()y f x =的图像上有点列{},n n x y ，若数列{}n x 是等比数列，数列{}n y 是等差数列，则函数()y f x =的解析式可能是（ ） A ．3(4)f x x =+
B ．2
()4f x x =
C ．3()4x
f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭
D ．4()log f x x =
4．已知数列{}n a 满足25111,,25
a a a ==且*121210,n n n n a a a ++-
+=∈N ，则*n N ∈时，使得不等式100n n a a +≥恒成立的实数a 的最大值是（ ） A ．19
B ．20
C ．21
D ．22
5．数列{}n a 的通项公式为1
2n n a +=，其前n 项和为n T ，若不等式
()2log 4(1)73n n T n n λ+-++对任意*n N ∈恒成立，则实数λ的取值范围为（ ）
A ．3λ
B ．4λ
C ．2
3λ D ．34λ
6．已知正项等比数列{}n a 的公比不为1，n T 为其前n 项积，若20172021T T =，则2020
2021
ln ln a a =
（ ） A ．1:3
B ．3:1
C ．3:5
D ．5:3
7．设数列{}n a 满足122,6,a a ==且2122n n n a a a ++-+=，若[]
x 表示不超过x 的最大整数，则1
2102410241024
1024a a a ⎡⎤
+++
=⎢⎥⎣⎦
（ ） A ．1022 B ．1023 C ．1024 D ．1025
8．已知数列{}n a 满足11a =，24a =，310a =，且{}1n n a a +-是等比数列，则8
1
i
i a
==
∑（ ） A ．376
B ．382
C ．749
D ．766
9．数列{}n a 中，12a =，121n n a a +=-，则10a =（ ） A ．511
B ．513
C ．1025
D ．1024
10．已知等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且675S S S >>，有下面4个结论： ①0d <；②110S >；③120S <；④数列{}n S 中的最大项为11S ， 其中正确结论的序号为（ ） A ．②③
B ．①②
C ．①③
D ．①④
11．已知函数()()633,7,,7.
x a x x f x a x -⎧--≤=⎨
>⎩
令()()n a f n n *
=∈N 得数列{}n a ，若数列{}
n a 为递增数列，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()1,3
B ．()2,3
C ．9,34⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．92,4⎛⎫ ⎪⎝⎭
12．设y ＝f (x )是一次函数，若f (0)＝1，且(1),(4),(13)f f f 成等比数列，则
(2)(4)(2)f f f n ++
+等于（ ）
A ．n (2n ＋3)
B ．n (n ＋4)
C ．2n (2n ＋3)
D ．2n (n ＋4)
二、填空题
13．已知数列{}n a 的前n 项和2
32n S n n =-，则n a ＝________.
14．如图，正方形ABCD 的边长为5cm ，取ABCD 正方形各边中点,,,E F G H ，作第2个正方形EFGH ，然后再取正方形EFGH 各边的中点,,,I J K L ，作第3个正方形
IJKL ，依此方法一直继续下去.则从正方形ABCD 开始，连续10个正方形的面积之和是
___________2cm .
15．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，满足2
12n n n a a S +=，且0n a >，则64S =____．
16．已知数列{}n a 的前n 项和22n S n =，*n N ∈.求数列{}n a 的通项公式为______.设
2(1)n n n n b a a =+-，求数列{}n b 的前2n 项和n T =______.
17．已知{}n a 是等比数列，14a =，41
2
a =
，则12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=______. 18．今年冬天流感盛行，据医务室统计，北校近30天每天因病请假人数依次构成数列
{}n a ，已知11a =，2
2a
=，且()*
21(1)
n
n n a a n N +-=+-∈，则这30天因病请假的人数
共有人______.
19．已知函数()1e
e
x f x x
=+（e 是自然对数的底数），设(),
2020,1,2020,
4041n f n n a f n n ≤⎧⎪=⎨⎛⎫
> ⎪⎪-⎝
⎭⎩，*n N ∈，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则4039S 的值是______.
20．正项数列{}n a 满足222
112n n n a a a -+=+，若11a =，22a =，则数列{}n a 的通项公式为
______.
三、解答题
21．在等比数列{}n a 中，24a =，532a =． （1）求n a
（2）设23log n n b a =，n n n c b a =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 22．已知公比q 大于1的等比数列{}n a 满足1310a a +=，24a =. （1）求{}n a 的通项公式；
（2）设n b = ，求数列{}n b 的前n 项和n S .
请在①n n a ⋅；②22log 9n a -；③()()12121n
n
n a +++这三个条件中选择一个，补充在上
面的横线上，并完成解答.
23．设数列{}n a 的前n 项和2*
,n S n n N =∈.
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若不等式11223
18
111
log n n a a a a a a λ++++
≥对任意*n N ∈恒成立，求实数λ的取值范围.
24．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n +1－t ，求证：数列{a n }是等比数列的充要条件为t ＝3． 25．已知公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 10=110，且a 2，a 4，a 8成等比数列. （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设1
(1)(1)
n n n b a a =
-+，求数列{b n }的前n 项和T n .
26．在数列{}n a 中，已知11a =，121n n a a n +=++． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设141
n n b a =
-，求数列{}n b 的前20项和20T ．
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一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
由题意，从32到3m ，正好用去从3开始的连续奇数，共1
23(2)(1)2
m m m +++=
+-个，再由2017是从3开始的第1008个奇数，可得选项． 【详解】
由题意，从32到3m ，正好用去从3开始的连续奇数，共1
23(2)(1)2
m m m ++
+=
+-个，
212017n += ，得1008n =， 所以2017是从3开始的第1008个奇数，
当45m =时，从32到345，用去从3开始的连续奇数共4744
10342⨯=个， 当44m =时，从32到344，用去从3开始的连续奇数共4643
9892
⨯=个， 所以45m =， 故选：B ． 【点睛】
方法点睛：对于新定义的数列问题，关键在于找出相应的规律，再运用等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，得以解决．
2．A
解析：A 【分析】
由题意可知，良马每日行的距离{}n a 以及驽马每日行的距离{}n b 均为等差数列，确定这两个数列的首项和公差，利用等差数列的求和公式可求得结果. 【详解】
由题意可知，良马每日行的距离成等差数列，记为{}n a ，其中1103a =，公差113d =. 驽马每日行的距离成等差数列，记为{}n b ，其中197b =，公差20.5d =-. 设长安至齐为x 里，则1291292a a a b b b x +++++++=，
即9813980.5
21039979225022
x ⨯⨯⨯⨯=⨯++⨯-=，解得1125x =. 故选：A. 【点睛】
关键点点睛：解本题的关键在于得出长安至齐的距离等于良马和驽马九日所行的距离之和的 2倍，并结合题意得知两匹马所行的距离成等差数列，解题时要充分抓住题中信息进行分析，将实际问题转化为数学问题来求解.
3．D
解析：D 【分析】
把点列代入函数解析式，根据{x n }是等比数列，可知1
n n
x x +为常数进而可求得1n n y y +-的结
果为一个与n 无关的常数，可判断出{y n }是等差数列． 【详解】
对于A ，函数3(4)f x x =+上的点列{x n ，y n }，有y n ＝43n x +，由于{x n }是等比数列，所以
1
n n
x x +为常数， 因此1n n y y +-＝()()()()114343441n n n n n x x x x x q +++-+=-=-这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；
对于B ，函数2
()4f x x =上的点列{x n ，y n }，有y n ＝2
4n x ，由于{x n }是等比数列，所以1
n n
x x +为
常数，
因此1n n y y +-＝()
2222
14441n n n x x x q +-=-这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；
对于C ，函数3()4x
f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭上的点列{x n ，y n }，有y n ＝3()4n x ，由于{x n }是等比数列，所以1
n n
x x +为常数， 因此1n n y y +-＝133()()44n n x x
+-＝3
3
()()144n q
x
⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等
差数列；
对于D ，函数4()log f x x =上的点列{x n ，y n }，有y n ＝4log n x
，由于{x n }是等比数列，所以
1
n n
x x +为常数， 因此1n n y y +-＝11
444
4log log log log n n n n
x x x x q ++-==为常数，故{y n }是等差数列；
故选：D ． 【点睛】 方法点睛：
判断数列是不是等差数列的方法：定义法，等差中项法.
4．B
解析：B
【分析】
由等差数列的性质可得数列1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
为等差数列，再由等差数列的通项公式可得
1n
n a ，进
而可得1
n a n
=，再结合基本不等式即可得解. 【详解】
因为*
121210,n n n n a a a ++-+=∈N ，所以12
211n n n a a a ++=+， 所以数列1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
为等差数列，设其公差为d ，
由25111,25
a a a ==可得25112,115a a a ==⋅， 所以11
11
2
1145d a d a a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⋅⎪⎩，解得1111
a d ⎧=⎪⎨⎪=⎩，
所以
()1111n n d n a a =+-=，所以1n a n
=， 所以不等式100n n a a +≥即100
n a n
+≥对任意的*n N ∈恒成立，
又10020n n +
≥=，当且仅当10n =时，等号成立， 所以20a ≤即实数a 的最大值是20. 故选：B. 【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是构造新数列求数列通项及基本不等式的应用.
5．A
解析：A 【分析】
将不等式()2log 4(1)73n n T n n λ+-++对任意*
n N ∈恒成立，转化为271
n n n λ
-++对任意*
n N ∈恒成立，由2min
71n n n λ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭求解.
【详解】 依题意得，()24122412
n n n
T +-==--，
∴不等式()2log 4(1)73n n T n n λ+-++可化为2
2log 2
(1)73n n n n λ+-++，
即2
7
(1)n n n λ-++.又*n N ∈，
∴271
n n n λ-++对任意*n N ∈恒成立.
只需满足2min
71n n n λ⎛⎫
-+ ⎪+⎝⎭即可.
设1n t +=，则*t N ∈，2t ，
∴27931n n t n t
λ-+=+-+.
∵99
3233t t t t
+
-⋅-=，当且仅当3t =，即2n =时等号成立， ∴2min
731n n n ⎛⎫-+= ⎪+⎝⎭. ∴
3λ，
故选：A. 【点睛】
方法点睛：恒（能）成立问题的解法：
若()f x 在区间D 上有最值，则()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；
()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<；
若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则
()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<. 6．A
解析：A 【分析】
由20172021T T =得20182019202020211a a a a =，由等比数列性质得20182021201920201a a a a ==，这样可把2020a 和2021a 用q 表示出来后，可求得2020
2021
ln ln a a ． 【详解】
{}n a 是正项等比数列，0n a >，0n T ≠，*n N ∈，
所以由2017202120172018201920202021T T T a a a a ==⋅，得20182019202020211a a a a =， 所以20182021201920201a a a a ==，设{}n a 公比为q ，1q ≠，
22021201820213()1a a a q ==，2
202020192020()1a a a q
==，即322021a q =，122020a q =，
所以
12
20203
2021
2
1ln ln ln 123ln 3ln ln 2
q
a q a q q ===． 故选：A ． 【点睛】
本题考查等比数列的性质，解题关键是利用等比数列性质化简已知条件，然后用公比q 表示出相应的项后可得结论．
7．B
解析：B 【分析】
由2122n n n a a a ++-+=变形得()2112n n n n a a a a +++---=，令1n n n b a a +=-，可得n b 为
等差数列，求得{}n b 通项进而求得{}n a 通项， 结合裂项公式求1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
前n 项和，再由最大
整数定义即可求解 【详解】
由()12121222n n n n n n n a a a a a a a +++++--=-+⇒=-，设1n n n b a a +=-，则
12n n
b b ，{}n b 为等差数列，1214b a a =-=，公差为2d =，故22=+n b n ，
112n n n b n a a --==-，
()1221n n a a n ---=-，
，2122a a -=⨯，叠加得()()121n a a n n -=+-，化简得
2
n a n n =+，故()111111
n a n n n n ==-++，所以 1
2102410241024
1024111
1111024110241223
102410251025a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛
⎫+++
=⨯-+-++
-=⨯-⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦
⎣⎦ 1024102410231025⎡
⎤=-=⎢⎥⎣⎦
故选：B 【点睛】
方法点睛：本题考查构造数列的使用，等差通项的求解，叠加法求前n 项和，裂项公式求前n 项和，新定义的理解，综合性强，常用以下方法： （1）形如()1n n a a f n --=的数列，常采用叠加法求解；
（2）常见裂项公式有：()11111n n n n =-++，()1111n n k k n n k ⎛⎫
=- ⎪++⎝⎭
，()()1
111212122121n n n n ⎛⎫
=- ⎪-+-+⎝⎭
8．C
解析：C 【分析】
利用累加法求出通项n a ，然后利用等比数列的求和公式，求解8
1
i i a =∑即可
【详解】
由已知得，213a a -=，326a a -=，而{}1n n a a +-是等比数列，故2q
，
∴11221()()()n n n n a a a a a a ----+-+
-=2
3632
n -++
+⨯11332323
12
n n ---⨯==⨯--，
1n a a ∴-=1323n -⨯-，化简得1322n n a -=⨯-，
8
7
128
1
8123(122)2831612
i i
a
a a a =-=++=⨯++
+-⨯=⨯--∑83219749=⨯-=
故选：C 【点睛】
关键点睛：解题关键在于利用累加法求出通项，难度属于中档题
9．B
解析：B 【分析】
根据递推公式构造等比数列{}1n a -，求解出{}n a 的通项公式即可求解出10a 的值. 【详解】
因为121n n a a +=-，所以121n n a a +=-，所以()1121n n a a +-=-，
所以
11
21
n n a a +-=-且1110a -=≠， 所以{}1n a -是首项为1，公比为2的等比数列，
所以112n n a --=，所以121n n a -=+，所以9
1021513a =+=，
故选：B. 【点睛】
本题考查利用递推公式求解数列通项公式，难度一般.对于求解满足
()11,0,0n n a pa q p p q +=+≠≠≠的数列{}n a 的通项公式，可以采用构造等比数列的方
法进行求解.
10．B
解析：B 【分析】
利用等差数列的前n 项和的性质可得正确的选项． 【详解】
由675S S S >>得760S S -<，750S S ->，则70a <，670a a +>，
所以60a >，所以0d <，①正确； 111
116111102a a S a +=
⨯=>，故②正确； 1126712
126()02
a a S a a +=
⨯=+>，故③错误； 因为60a >，70a <，故数列{}n S 中的最大项为6S ，故④错误． 故选：B. 【点睛】
本题考查等差数列的性质， 考查等差数列前n 项和的性质.
11．B
解析：B 【分析】
由()()6
33,7,,7.x a x x f x a x -⎧--≤=⎨>⎩
，()()n a f n n N *
=∈得数列{}n a ，根据数列{}n a 为递增数列，联立方程组，即可求得答案. 【详解】
()()6
33,7,,7.x a x x f x a x -⎧--≤=⎨>⎩
令()()n a f n n N *
=∈得数列{}n a
∴()6
33,7,7
n n a n n a a
n -⎧--≤=⎨
>⎩
()n N *
∈且数列{}n
a 为递增数列，
得()230,
1,733,a a a a ⎧->⎪
>⎨⎪--<⎩
解得23a <<. 即：()2,3a ∈ 故选：B. 【点睛】
本题主要考查了根据递增数列求参数范围问题，解题关键是掌握递增数列的定义，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
12．A
解析：A 【分析】
由已知可以假设一次函数为1y kx =+，在根据(1),(4),(13)f f f 成等比数列，得出
3k =，利用等差数列的求和公式求解即可． 【详解】
由已知，假设()f x kx b =+，(0)k ≠ (0)10f k b ==⨯+，1b ∴=．
(1),(4),(13)f f f 成等比数列，
且41,(13(1)1,(4)1)13k f f k f k =+=+=+．
1k ∴+，41k +，131k +成等比数列，即2(41)(1)(131)k k k +=++，
22161813141k k k k ++=++，从而解得0k =（舍去），2k =，
(2)(4)(2)f f f n +++
(221)(421)(221)n =⨯++⨯++⋯+⨯+ (242)2n n =++⋯+⨯+
(1)
42
n n n +=⨯
+2(1)n n n =++ ()22332n n n n ==++.
故选：A ． 【点睛】
本题考查了等比数列、等差数列和函数的综合应用，考查了学生的计算能力，解题时要认真审题，仔细解答，避免错误，属于中档题．
二、填空题
13．【分析】利用可求得数列的通项公式【详解】由于数列的前项和当时；当时满足因此对任意的故答案为：【点睛】易错点点睛：本题考查利用求一般利用来求解在求出通项时要注意对是否满足通项进行检验 解析：65n -
【分析】
利用11,1,2
n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩可求得数列{}n a 的通项公式.
【详解】
由于数列{}n a 的前n 项和2
32n S n n =-.
当1n =时，111a S ==；
当2n ≥时，()
()()2
2
132312165n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦
.
11a =满足65n a n =-.
因此，对任意的n *∈N ，65n a n =-. 故答案为：65n -. 【点睛】
易错点点睛：本题考查利用n S 求n a ，一般利用11,1
,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩来求解，在求出通项
时，要注意对1a 是否满足通项进行检验.
14．【分析】根据题意正方形边长成等比数列正方形的面积等于边长的平方也为等比数列利用等比数列求和公式即可得解【详解】记第个正方形的边长为面积由每个正方形都是由上一个正方形各边中点连接得到可知第个正方形的边 解析：
25575
512
【分析】
根据题意，正方形边长成等比数列，正方形的面积等于边长的平方，也为等比数列，利用等比数列求和公式即可得解. 【详解】
记第n 个正方形的边长为2a ，面积()2
224n S a a ==，由每个正方形都是由上一个正方形各边中点连接得到，可知第1n +
，面积)
2
212n S a +=
=，计
算可得2
12422n n S a S a
+==， 所以正方形面积构成的数列{}n S 是首项为125S =，公比为1
2
的等比数列， 故从正方形ABCD 开始，连续10个正方形的面积之和
10112010125112557525011251212
S S S ⎛
⎫- ⎪
⎛
⎫⎝⎭++⋯+==⨯-=
⎪⎝⎭-， 故答案为：25575
512
【点睛】
关键点睛：本题考查等比数列求和，解题的关键是要理解题意，从已知条件明确下一个正方形与上个正方形的面积关系，转化为等比数列求和，考查学生的逻辑推理与运算能力，属于基础题.
15．8【分析】由与的关系化简结合等差数列的定义得出数列是等差数列进而求出【详解】当时当时由题意可知整理得所以数列是以为首项为公差的等差数列则故答案为：【点睛】解决本题的关键是由与的关系对化简结合等差数列
解析：8 【分析】
由n S 与n a 的关系化简2
12n n n a a S +=，结合等差数列的定义得出数列{}
2
n S 是等差数列，
进而求出2
n S n =，
【详解】
当1n =时，111S a ==
当2n ≥时，由题意可知()()2
1112n n n n n S S S S S ---+=-，整理得22
11n n S S --=
所以数列{}
2
n S 是以1为首项，1为公差的等差数列，则2
n S n =
64264S ∴=，0n a >，648S ∴=
故答案为：8 【点睛】
解决本题的关键是由n S 与n a 的关系对2
12n n n a a S +=化简，结合等差数列的定义进行求
解.
16．【分析】根据写式子两式子相减整理得再验证时是否成立即可写出通项公式由已知可得运用分组求和即可得到答案【详解】∵①∴②由②﹣①可得：即又当时有满足∴；由已知可得：∴所以故答案为：；【点睛】本题考查已知 解析：42n a n =-2164n +n
【分析】 根据()2
*
2n S n
n N =∈写式子()2
1
21n S
n++=，两式子相减整理得42n a n =-，再验证1n =时是否成立，即可写出通项公式.由已知可得()()422)24(1n
n b n n =-+-⨯-，运用
分组求和即可得到答案. 【详解】 ∵()2
*
2n S n
n N =∈①，∴()2
121n S
n+
+=②，由②﹣①可得：14+2n a n +=，即42n a n =-，
又当1n =时，有2
112111S a ==⨯⇒=满足42n a n =-，∴42n a n =-；
由已知可得：()()422)
24(1n
n b n n =-+-⨯-，
∴12322342112333n n n n b b b b +++
+a T a a a a +a -==+++⋅+⋅⋅+
()()32122143n n a a a a +++a +++a -=+
()()
28484316242
n n n n+n +n -=
+⨯=， 所以2
641n T n +n =，
故答案为：42n a n =-；2
641n T n +n =.
【点睛】
本题考查已知数列前n 项和为n S 与n a 的关系求通项，注意验证1n =是否满足，考查分组求和，属于中档题.
17．【分析】由等比数列的通项公式求得进而得到数列表示首项为公比为的等比数列结合等比数列的求和公式即可求解【详解】由题意等比数列中可得解得又由且即数列表示首项为公比为的等比数列所以故答案为：【点睛】本题主
解析：321134n
⎡⎤
⎛⎫
-⎢⎥ ⎪
⎝⎭
⎢⎥⎣⎦
【分析】
由等比数列的通项公式，求得12q =
，进而得到数列{}1n n a a +表示首项为8，公比为1
4
的等比数列，结合等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】
由题意，等比数列{}n a 中，14a =，412a =，可得
3
4218a q a ==，解得12
q =， 又由
211111
4
n n n n n n a a a q a a a ++--===，且21218a a a q ==， 即数列{}1n n a a +表示首项为8，公比为
1
4
的等比数列， 所以122311
8[1()]3214113414
n n n n a a a a a a +⨯-⎡⎤⎛⎫++⋅⋅⋅+=
=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-. 故答案为：321134n
⎡⎤
⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥
⎣⎦.
【点睛】
本题主要考查了等比数列的定义及通项公式，以及等比数列的前n 项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式，以及等比数列的求和公式的应用，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.
18．255【分析】根据题目所给递推关系找到数列的规律由此求得前天的请假人数之和【详解】依题意且所以以此类推数列的奇数项均为偶数项是首项为公差为的等差数列所以前项的和故答案为：【点睛】本小题主要考查分组求
解析：255 【分析】
根据题目所给递推关系找到数列{}n a 的规律，由此求得前30天的请假人数之和30S . 【详解】
依题意11a =，22a =，且()
*
21(1)n n n a a n N +-=+-∈，
所以31311101a a a a -=-=⇒==，
4241124a a a -=+=⇒=， 53531101a a a a -=-=⇒==， 6461126a a a -=+=⇒=，
以此类推，数列{}n a 的奇数项均为1，偶数项是首项为2、公差为2的等差数列，
所以前30项的和()()301112430S =++
+++++
230
15151516152552
+=+
⨯=+⨯=. 故答案为：255 【点睛】
本小题主要考查分组求和法，考查等差数列前n 项和公式，属于中档题.
19．【分析】由题意可得且进而可得结合数列的通项公式可得从而可得答案【详解】根据题意因为所以所以因为所以故答案为：【点睛】此题考查数列的求和以及数列与函数的关系关键是分析属于中档题 解析：
4039
2
【分析】
由题意可得， 1()11()111()e
e e x
f x x x
==++，且11(1)112
f ==+，进而可得1
()()1f x f x
+=，结合数列的通项公式可得
4039111(1)(2)(2020)(
)()()202020192
f f f f f S f =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+ 111
(1)[(2)()][(3)()](2020)()232020
f f f f f f f =+++++⋅⋅⋅++，
从而可得答案. 【详解】 根据题意，
因为()1e e x f x x
=+，所以1()11()111()e e e x f x x x
==++，11(1)112f ==+， 所以1
()()1f x f x +=，
因为(),
2020,1,2020,4041n f n n a f n n ≤⎧⎪
=⎨⎛⎫
> ⎪
⎪-⎝
⎭⎩ 所以4039111
(1)(2)(2020)(
)()()202020192
f f f f f S f =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+ 111
(1)[(2)()][(3)()](2020)()232020
f f f f f f f =+++++⋅⋅⋅++
14039201922
=
+= 故答案为：4039
2
【点睛】
此题考查数列的求和以及数列与函数的关系，关键是分析1()()1f x f x
+=，属于中档题.
20．【分析】由得出为等差数列进而求出首项和公差得出的通项公式即可得的通项公式【详解】由题得得为等差数列又因为则有所以是以首项为1公差的等差数列得又因为所以故答案为：【点睛】本题考查利用等差数列的定义法证
解析：n a 【分析】
由222
112n n n a a a -+=+得出{}
2n a 为等差数列，进而求出首项和公差，得出{}
2
n a 的通项公式，
即可得{}n a 的通项公式. 【详解】
由题得222
112n n n a a a -+=+，得{}
2
n a 为等差数列，
又因为11a =，22a =
则211a =，2
24a =，有22213a a -=
所以{}
2
n a 是以首项为1，公差3d =的等差数列 得()2
11332n a n n =+-⨯=-
又因为0n a >，所以n a =
故答案为：n a =【点睛】
本题考查利用等差数列的定义法证明等差数列，以及考查等差数列的通项公式.
三、解答题
21．（1）2n n a =；（2）1
3(1)26n n T n +=-⋅+
【分析】
（1）利用等比数列的通项公式，结合已知条件24a =，532a =，可得1,a q ，即可求得
n a ；
（2）由（1）知3n b n =，23n
n c n =⋅，利用错位相减法即可求数列{}n c 的前n 项和.
【详解】
（1）设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，由已知24a =，532a =，可得
141432
a q a q =⎧⎨=⎩，解得122a q =⎧⎨
=⎩， 所以112n n
n a a q -== （2）由（1）知223log 3log 23n
n n b a n ===，23n n c n =⋅
12336222293n n T n =+++⨯+∴⨯⋅⨯ ①
2341236922223n n T n +=++++⋅⨯⨯⨯ ②
①-②得：12312223333232n n n T n +=+++
+-⨯⨯⋅-⨯⨯
()11
1
2
31
12222222
3331232
n n
n n n n +++-=+++
+-⋅=-⋅⨯⨯-
()11122332n n n ++=--⋅⨯()13126n n +=⨯-⋅-
13(1)26n n T n +∴=-⋅+
【点睛】
方法点睛：本题考查求等比数列的通项公式及数列求和，求数列和常用的方法： （1）等差+等比数列：分组求和法；（2）倒序相加法； （3）1
1
n n n b a a +=
（数列{}n a 为等差数列）：裂项相消法； （4）等差⨯等比数列：错位相减法. 22．答案见解析 【分析】
(1）由题设求得等比数列{}n a 的公比q 与首项1a ，即可求得其通项公式;
(2）当选条件①时；先由(1）求得n b ，再利用错位相减法求得其前n 项和即可；当选条件②时：先由(1）求得n b ，再对n 分n ≤4与n ≥5两种情况分别求得其前n 项和即可；当选条件③时：先由（1）求得n b ，再利用裂项相消法求得其前n 项和即可. 【详解】
（1）2111104a a q a q ⎧+=⎨=⎩，解得122a q =⎧⎨=⎩或1
8
12a q =⎧⎪⎨=⎪⎩
1q >，
12
2a q =⎧∴⎨=⎩
2n n a ∴=．
（2）若选①2n n b n =⋅
231122232(1)22n n n S n n -=⨯+⨯+⨯+
+-+①
23121222(1)22n n n S n n +=⨯+⨯+-+②
①-②得：23
122222n n n S n +-=++++-⋅
()()11121222212(1)2212
n n n n n n S n n n +++--=
-⋅=--⋅=---
∴1
(1)22n n S n +=-+
选②：22log 29|29|n
n b n =⋅-=-
1n =时，117S b ==
2n =时，2127512S b b =+=+=
3n =时，312375315S b b b =++=++=
4n =时，4123416S b b b b =+++=
即2(792)8(4,)2
n n n
S n n n n N *+-⋅=
=-+≤∈
5n ≥时，2(4)(129)
16132916(4)162
n n n S n n -+-=+++
+-=+
=-+．
选③11211
(21)(21)2121
n n n n n n b ++==-++++
2231111111111
122121212121321
n n n n S ++=
-+-++
-=-+++++++． 【点睛】 关键点点睛：本题主要考查等比数列基本量的计算及错位相减法与裂项相消法在数列求和中的应用，对运算能力要求较高，属于中档题.
23．（1）*
21,n a n n N =-∈；（2）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
.
【分析】
（1）直接利用11,1
,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨
-≥⎩，求出数列的通项公式；
（2）利用（1）的结论和裂项相消法求和得到
12231
111
+++⋯+n n a a a a a a ，再根据不等式恒成立，得到关于λ的方程，然后求出参数λ的取值范围． 【详解】
解：（1）当2n ≥时，()2
21121n n n a S S n n n -=-=--=-，
在2
n S n =中，令1n =，则111a S ==，满足21n a n =-， 故数列{}n a 的通项公式是*
21,n a n n N =-∈；
（2）因为一般项()()111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫
==- ⎪-+-+⎝⎭
，
所以
1223
1111111111
111233557
212121
n n n
a a a a a a n n n +⎛⎫+++
=-+-+-++
-= ⎪
-++⎝⎭ 11223
18
111
log n n a a a a a a λ++++
≥对任意*n N ∈恒成立， 也就是18
log 21n n λ≤
+对任意*n N ∈恒成立，1min 8
log 21n n λ⎛⎫≤ ⎪+⎝⎭， 因为
121111*********n n n n n +-⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭是增函数，其最小值是11112213
⎛⎫-= ⎪+⎝⎭， 于是1
8
1log 3λ≤，12λ≥.故实数λ的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】
数列求和的方法技巧
(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和． 24．证明见解析. 【分析】
由定义法分别结合n a 和n S 的关系分别证明充分性和必要性成立即可. 【详解】
当n ＝1时，S 1＝32－t ＝9－t ， 当n ≥2时，由S n ＝3n +1－t 得S n -1＝3n －t ， 两式相减得a n ＝3n +1－3n ＝2·3n （n ≥2）， （1）充分性
已知t ＝3，此时S 1＝32－t ＝9－3＝6，
令n ＝1，得a 1＝2·
31＝6＝S 1，所以a n ＝2·3n （n ∈N *） 所以1
3n n
a a +=，所以数列{a n }是等比数列． （2）必要性
因为数列{a n }是等比数列，所以a 1＝2·31＝6， 又因为S 1＝9－t ，所以9－t ＝6，所以t ＝3， 综上所述：数列{a n }是等比数列的充要条件为t ＝3． 【点睛】
关键点睛：本题考查等比数列的判断和证明，解题的关键是利用n a 和n S 的关系得出
()232n n a n =⋅≥，再根据充分必要的定义证明.
25．（1）2n a n =；（2）21
n n + 【分析】
（1）根据题中条件求出数列{}n a 的首项和公差，即可得出通项公式； （2）利用裂项相消法即可求出. 【详解】
（1）设{}n a 的公差为()0d d ≠， 则101109
10+
1102
S a d ⨯==，即12+922a d = ①， a 2，a 4，a 8成等比数列，
2428a a a ∴=，即()()()2
111+3++7a d a d a d =，即1a d =②，
联立①②，解得12a d ==，
()2+122n a n n ∴=-⨯=；
（2）()()11111(1)(1)212122121n n n b a a n n n n ⎛⎫
=
==- ⎪-+-+-+⎝⎭
，
1112121111111++
+
12335
22121
n n
T n n n n ⎛⎫⎛⎫∴=--== ⎪ ⎪
+⎝---+⎭⎝+⎭. 【点睛】
方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；
（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于{}+n n a b 结构，利用分组求和法； （4）对于11n n a a +⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
结构，其中{}n a 是等差数列，公差为d ，则
111111n n n n a a d a a ++⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，利用裂项相消法求和. 26．（1）()2
*
n a n n =∈N ；（2）20
2041
=
T
． 【分析】
（1）由累加法结合等差数列的前n 项和公式即可得解； （2）转化条件为11122121n b n n ⎛⎫
=- ⎪-+⎝⎭
，利用裂项相消法运算即可得解. 【详解】
（1）因为121n n a a n +=++，所以121n n a a n +-=+， 所以213a a -=，325a a -=，⋅⋅⋅，()1212n n a a n n --=-≥， 以上各式相加可得()()211321352112
n n n a a n n -+--=++⋅⋅⋅+-=
=-，
又11a =，所以()22n a n n =≥，
显然11a =符合上式，
所以()2*
n a n n =∈N ； （2）由（1）知2n a n =， 所以()()21
111141212122121n b n n n n n ⎛⎫===- ⎪--+-+⎝⎭
． 所以12111111123352121n n T b b b n n ⎛⎫=++⋅⋅⋅+=
⨯-+-+⋅⋅⋅+- ⎪-+⎝⎭ 11122121
n n n ⎛⎫=⨯-= ⎪++⎝⎭， 所以202020220141T =
=⨯+． 【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是要注意裂项相消法的适用条件及用法.。