2016-2017学年山西省太原市高二下学期期中数学试卷(理科)

2016-2017学年山西省太原市高二下学期期中数学试卷（理科）
一、选择题 (共12题；共24分)
1．（2分）复数2﹣i的共轭复数是（）
A．2+i B．1+2i C．﹣2﹣i D．﹣2+i
2．（2分）下列说法正确的是（）
A．类比推理、归纳推理、演绎推理都是合情推理
B．合情推理得到的结论一定是正确的
C．合情推理得到的结论不一定正确
D．归纳推理得到的结论一定是正确的
3．（2分）已知函数f（x）=2e x，则（）
A．f′（x）=f（x）+2B．f′（x）=f（x）
C．f′（x）=3f（x）D．f′（x）=2f（x）
4．（2分）已知复数z在复平面内对应的点为（3，4），复数z的共轭复数为z̅，那么z• z̅等于（）
A．5B．﹣7C．12D．25
5．（2分）已知函数f（x）=x2+bx+c在x=﹣1处取得极值﹣1，那么f（x）=（）A．x2﹣2x﹣4B．x2+x﹣1C．x2+2x D．x2﹣2
6．（2分）利用反证法证明：“若x2+y2=0，则x=y=0”时，假设为（）
A．x，y都不为0B．x≠y且x，y都不为0
C．x≠y且x，y不都为0D．x，y不都为0
7．（2分）曲线y=﹣ln（2x+1）+2在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=2x围成的三角形的面积为（）
A．1
3B．1
2
C．2
3
D．1
8．（2分）给出如下“三段论”的推理过程：
因为对数函数y=log a x（a＞0且a≠1）是增函数，…大前提
而y= log1
2
x是对数函数，…小前提
所以y= log1
2
x是增函数，…结论
则下列说法正确的是（）
A．推理形式错误B．大前提错误
C．小前提错误D．大前提和小前提都错误
9．（2分）∫1
−1
√1−x2dx等于（）
A．π4B．π2C．πD．2π
10．（2分）已知复数2i﹣3是方程2x2+px+q=0的一个根，则实数p，q的值分别是（）A．12，0B．24，26C．12，26D．6，8
11．（2分）已知函数f0（x）=sinx+cosx，f1（x）=f′0（x），f2（x）=f′1（x），…f n+1（x）=f′n（x），
n∈N，那么f2017=（）
A．cosx﹣sinx B．sinx﹣cosx C．sinx+cosx D．﹣sinx﹣cosx 12．（2分）设函数f（x）=（e x﹣1）（x﹣1）k，k∈N*，若函数y=f（x）在x=1处取到极小值，则k 的最小值为（）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题 (共4题；共8分)
13．（2分）复数z=（1+i）+（﹣2+2i）在复平面内对应的点位于第象限．
14．（2分）已知f（x）=x+ln（x+1），那么f′（0）=．
15．（2分）我们知道：在长方形ABCD中，如果设AB=a，BC=b，那么长方形ABCD的外接圆的半径R满足：4R2=a2+b2，类比上述结论回答：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，如果设AB=a，AD=b，AA1=c，那么长方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球的半径R满足的关系式是．16．（2分）若函数f（x）=x3+（k﹣1）x2+（k+5）x﹣1在区间（0，2）上不单调，则实数k的取值范围为．
三、解答题 (共7题；共70分)
17．（10分）已知z1=1﹣i，z2=2+2i．
（1）（5分）求z1•z2；
（2）（5分）若1
z = 1z
1
+ 1z
2
，求z．
18．（10分）已知函数f（x）=x3﹣2x2﹣4x．
（1）（5分）求函数y=f（x）的单调区间；
（2）（5分）求函数f（x）在区间[﹣1，4]上的最大值和最小值．
19．（10分）已知函数f（x）=x3+ 1
x+1
，x∈[0，1]．
（1）（5分）用分析法证明：f（x）≥1﹣x+x2；
（2）（5分）证明：f（x）＞3
4
．
20．（10分）已知数列{b n}满足b n=| a n+2
a n−1|，其中a1=2，a n+1= 2
a n+1
．
（1）（5分）求b1，b2，b3，并猜想b n的表达式（不必写出证明过程）；
（2）（5分）由（1）写出数列{b n}的前n项和S n，并用数学归纳法证明．
21．（10分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1= 1
2
，2S n﹣S n S n﹣1=1（n≥2）．（1）（5分）猜想S n的表达式，并用数学归纳法证明；
（2）（5分）设b n=
na n
1+30a n，n∈N*，求b n的最大值．
22．（10分）设函数f（x）=x2e ax，a＞0．
（1）（5分）证明：函数y=f（x）在（0，+∞）上为增函数；
（2）（5分）若方程f（x）﹣1=0有且只有两个不同的实数根，求实数a的值．
23．（10分）已知函数f（x）=（x2﹣x﹣1
a
）e ax（a＞0）．
（1）（5分）求函数y=f（x）的最小值；
（2）（5分）若存在唯一实数x0，使得f（x0）+ 3
a
=0成立，求实数a的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：复数2﹣i 的共轭复数为2+i ．
故选：A ．
【分析】利用共轭复数的定义即可得出．
2．【答案】C
【解析】【解答】解：合情推理包含归纳推理和类推理，所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般
性结论的推理．其得出的结论不一定正确， 故选：C
【分析】根据演绎推理和合情推理的定义判断即可．
3．【答案】B
【解析】【解答】解：根据题意，f （x ）=2e x ，则f′（x ）=2（e x ）′=2e x ，
即有f′（x ）=f （x ）， 故选：B ．
【分析】根据题意，由函数f （x ），对其求导可得f′（x ），分析f （x ）与f′（x ）的关系，计算可得答案．
4．【答案】D
【解析】【解答】解：由题意，z=3+4i ， 则z• z
̅ = |z|2=(√32+42)2
=25 ． 故选：D ．
【分析】由已知可得z ，结合 z ⋅z̅=|z|2 求解．
5．【答案】C
【解析】【解答】解：∵函数f （x ）=x 2+bx+c ，
∴f′（x ）=2x+b ，
∵函数f （x ）=x 2+bx+c 在x=﹣1处取得极值﹣1， ∴{f(−1)=1−b +c =−1
f ′
(−1)=−2+b =0 ， 解得b=2，c=0， ∴f （x ）=x 2+2x ． 故选：C ．
【分析】求出f′（x）=2x+b，由函数f（x）=x2+bx+c在x=﹣1处取得极值﹣1，利用导数性质列出方程组，能求出f（x）．
6．【答案】D
【解析】【解答】解：根据用反证法证明数学命题的方法，应先假设要证命题的否定成立，
而要证命题的否定为“x，y不都为0”，
故选D．
【分析】根据用反证法证明数学命题的方法，应先假设要证命题的否定成立，求得要证命题的否定，可得答案．
7．【答案】B
【解析】【解答】解：∵y=﹣ln（2x+1）+2，∴y'=﹣
2 2x+1
∴y'|x=0=﹣2
∴曲线y=﹣ln（2x+1）+2在点（0，2）处的切线方程为y﹣2=﹣2（x﹣0）即2x+y﹣2=0
令y=0解得x=1，令y=2x解得x= 1
2
，y=1
∴切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为1
2×1×1= 1
2
，
故选B．
【分析】根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成一般式，然后求出与y轴和直线y=2x的交点，根据三角形的面积公式求出所求即可．
8．【答案】B
【解析】【解答】解：因为大前提是：对数函数y=log a x（a＞0且a≠1）是增函数，不正确，导致结论错误，
所以错误的原因是大前提错误，
故选：B．
【分析】要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提，小前提和结论及推理形式是否都正确，根据这几个方面都正确，才能得到这个演绎推理正确
9．【答案】B
【解析】【解答】解：∫1
−1
√1−x2dx的几何意义是以（0，0）为圆心，1为半径的单位圆在x 轴上方部分（半圆）的面积
∴∫1
−1√1−x2dx= 12×π×12=
π
2
故选B．
【分析】利用积分的几何意义，再利用面积公式可得结论．10．【答案】C
【解析】【解答】解：∵2i﹣3是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根，由实系数一元二次方程虚根成对定理，可得方程另一根为﹣2i﹣3，
则q
2
=（﹣3+2i）（﹣3﹣2i）=13，即q=26，
﹣p
2
=﹣3+2i﹣3﹣2i=﹣6，即p=12
故选：C
【分析】由实系数一元二次方程虚根成对定理可得方程另一根为﹣2i﹣3，再由韦达定理得答案．11．【答案】A
【解析】【解答】解：根据题意，∵f0（x）=sinx+cosx，
∴f1（x）=f0′（x）=cosx﹣sinx，
f2（x）=f1′（x）=﹣sinx﹣cosx，
f3（x）=﹣cosx+sinx，
f4（x）=sinx+cosx，
以此类推，可得出f n（x）=f n+4（x）
∴f2017（x）=f504×4+1（x）=f1（x）=cosx﹣sinx；
故选：A
【分析】根据题意，利用导数的运算法则依次计算f1（x）、f2（x）、f2（x）…的值，分析可得f n+4（x）=f n（x），即可得f2017（x）=f504×4+1（x）=f1（x），即可得答案．
12．【答案】B
【解析】【解答】解：f′（x）=e x（x﹣1）k+k（e x﹣1）（x﹣1）k﹣1=（x﹣1）k﹣1[e x（x﹣1）+k（e x﹣1）]，
若函数y=f（x）在x=1处取到极小值，
则x＞1时，f′（x）＞0，x＜1时，f′（x）＜0，
故k﹣1＞0，k＞1，而k∈N*，
故k的最小值是2，
故选：B．
【分析】求出函数的导数，根据函数的极值点，得到k﹣1＞0，结合k∈N*，求出k的最小值即可．13．【答案】二
【解析】【解答】解：∵z=（1+i）+（﹣2+2i）=﹣1+3i，
∴z在复平面内对应的点的坐标为（﹣1，3），位于第二象限．
故答案为：二．
【分析】利用复数代数形式的加减运算化简，求出z的坐标得答案．
14．【答案】2
【解析】【解答】解：根据题意，f（x）=x+ln（x+1），
，
则其导数f′（x）=1+ 1
x+1
则f′（0）=1+1=2；
故答案为：2．
【分析】根据题意，对函数f（x）求导可得f′（x）的解析式，将x=0代入即可得答案．
15．【答案】4R2=a2+b2+c2
【解析】【解答】解：从平面图形类比空间图形，模型不变．可得如下结论：在长方体ABCD﹣
A1B1C1D1中，如果设AB=a，AD=b，AA1=c，那么长方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球的半径R满足的关系式是4R2=a2+b2+c2，
故答案为：4R2=a2+b2+c2．
【分析】从平面图形类比空间图形，从二维类比到三维模型不变．
16．【答案】（﹣5，﹣2）
【解析】【解答】解：f′（x）=3x2+2（k﹣1）x+k+5，
若函数f（x）=x3+（k﹣1）x2+（k+5）x﹣1在区间（0，2）上单调，
则4（k﹣1）2﹣12（k+5）≤0 ①
或②
或③
或④．
解①得﹣2≤k≤7；解②得k≥1；解③得k∈∅；解④得k≤﹣5．
综上，满足函数f（x）=x3+（k﹣1）x2+（k+5）x﹣1在区间（0，2）上单调的k的范围为k≤﹣5或k≥﹣2．
于是满足条件的实数k的范围为（﹣5，﹣2）．
故答案为：（﹣5，﹣2）．
【分析】求出原函数的导函数，由导函数在区间（0，2）上恒大于等于0或恒小于等于0求出k的取值范围，再取补集得答案．
17．【答案】（1）解：∵z1=1﹣i，z2=2+2i．
∴z1•z2=（1﹣i）（2+2i）=4
（2）解：由1
z = 1z
1
+ 1z
2
，得z=
z1⋅z2
z1+z2
=
4
(1−i)+(2+2i)
=
4
3+i
=
6
5
−
2
5
i
【解析】【分析】（1）直接利用复数代数形式的乘法运算化简得答案；（2）把已知等式通分变形求得z，代入z1、z2，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
18．【答案】（1）解：∵函数f（x）=x3﹣2x2﹣4x，
∴f′（x）=3x2﹣4x﹣4，
由f′（x）＞0，得x＜﹣2
3
或x＞2，
由f′（x）＜0，得﹣2
3
＜x＜2，
∴函数y=f（x）的单调增区间是（﹣∞，﹣2
3），[2，+∞）；单调减区间是[﹣2
3
，2]．
（2）解：由f′（x）=3x2﹣4x﹣4=0，
得x1=−2
3
，x2=2，
列表，得：
∴f（x）在[﹣1，4]上的最大值为f（x）max=f（4）=16，最小值为f（x）min=f（2）=﹣8．
【解析】【分析】（1）求出f′（x）=3x2﹣4x﹣4，利用导数性质能求出函数y=f（x）的单调增区间和
单调减区间．（2）由f′（x）=3x2﹣4x﹣4=0，得x1=−2
3
，x2=2，列表讨论能求出f（x）在[﹣1，4]上的最大值和最小值．
19．【答案】（1）证明：∵x∈[0，1]，∴x+1∈[1，2]．
要证明：f（x）≥1﹣x+x2，
只要证明：x3（x+1）+1≥（x+1）（1﹣x+x2），
只要证明：x4≥0，
显然成立，
∴f（x）≥1﹣x+x2
（2）证明：∵1﹣x+x2=（x﹣1
2）2+ 3
4
≥ 3
4
，当且仅当x= 1
2
时取等号，
∵f（1
2）= 19
24
＞3
4
，f（x）≥1﹣x+x2，
∴f（x）＞3
4
【解析】【分析】（1）利用分析法的证明步骤，即可得出结论．（2）利用配方法，结合（1），即可得出结论．
20．【答案】（1）解：∵a1=2，a n+1= 2
a n+1，∴a2=2
3
，a3=6
5
，
又b n=| a n+2
a n−1
|，得b1=4，b2=8，b3=16，
猜想：b n=2n+1
（2）解：由（1）可得，数列{b n}是以4为首项，2为公比的等比数列，
则有S
n =4×(1−2
n)
1−2=2
n+1−4．
证明：当n=1时，S1=21+2−4=4成立；
假设当n=k时，有S k=2k+2−4，
则当n=k+1时，S k+1=S k+b k+1=2k+2−4+2k+2=2k+3﹣4=2（k+1）+2﹣4．
综上，S n=2n+2−4成立
【解析】【分析】（1）由已知结合数列递推式求得b1，b2，b3，并猜想b n的表达式；（2）由等比数列的前n项和公式求得数列{b n}的前n项和S n，并用数学归纳法证明．
21．【答案】（1）解：∵S1=a1= 1
2
，2S n=S n S n﹣1+1（n≥2），
∴2S2=S2S1+1= 1
2
S2+1，
∴S2= 2
3
；
∴2S3=S3S2+1= 2
3
S3+1，
∴S3= 3
4
；
由S1= 1
2，S2= 2
3
，S3= 3
4
，可猜想S n= n
n+1；
证明：①当n=1时，S1= 1
2
，等式成立；
②假设n=k时，S k= k
k+1
，
则n=k+1时，∵2S k+1=S k+1•S k+1= k
k+1
•S k+1+1，
∴（2﹣k
k+1
）S k+1=1，
∴S k+1= k+1
k+2= k+1
(k+1)+1
，
即n=k+1时，等式也成立；
综合①②知，对任意n∈N*，均有S n=
n n+1
（2）解：由（1）可知，n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=
n
n+1﹣
n−1
n
= 1
n(n+1)
，
当n=1时，a1= 1
1×2= 1
2
满足上式，
∴a n=
1
n(n+1)
，
∴b n=
na n
1+30a n=
n
n2+n+30
=
1
n+30n+1
，n∈N*，
设f（n）=x+ 30
x
，则有f（x）在（0，√30）上为减函数，在（√30，+∞）为增函数，
∵n∈N*，且f（5）=f（6）=11，
∴当n=5或n=6时，b n有最大值1
12
【解析】【分析】（1）由S1=a1= 1
2
，2S n=S n S n﹣1+1（n≥2），通过计算可求得S1，S2，S3；可猜想S n=
n
n+1，再利用数学归纳法证明即可．（2）求出b n=
1
n+30n+1
，n∈N*，构造函数f（n）=x+ 30
x
，
则利用函数的单调性即可求出．
22．【答案】（1）证明：f（x）的定义域R，求导，f′（x）=2xe ax+ax2e ax=xe ax（ax+2），当x∈（0，+∞）时，a＞0，则e ax＞0，则xe ax（ax+2）＞0，
则f′（x）＞0，
∴函数y=f（x）在（0，+∞）上为增函数
（2）令f′（x）=0，记得x=﹣v或x=0，
则当x=﹣2
a 时，函数有极大值f（﹣2
a
）= 4
a2e2
，
当x=0时，函数有极小值f（0）=0，
当x＜0时，f（x）＞0，x→﹣∞时，f（x）→0，x→+∞时，f（x）→+∞，由f（x）﹣1=0，即f（x）=1有且只有两个不同的实数根，
即
4
a2e2
=1，解得：a= 2
e
，（负根舍去）
实数a的值2
e
【解析】【分析】（1）求导，由x∈（0，+∞）则f′（x）＞0，则函数y=f（x）在（0，+∞）上为增函数；（2）求导，f′（x）=0，根据函数的单调性即可求得f（x）极大值，由f（x）=1有且只有两个不
同的实数根，即
4
a2e2
=1，即可求得实数a的值．
23．【答案】（1）解：函数y=f（x）的定义域为R，f′（x）=[ax2+（2﹣a）x﹣2]e ax．
令f′（x）=0，得x=1，x=﹣2
a
＜0，
当x∈（﹣∞，﹣2
a
），（1，+∞）时，f′（x）＞0，当x∈（﹣v，1）时，f′（x）＜0．
∴函数f（x）在（﹣∞，﹣2
a ），（1，+∞）上递增，在∈（﹣2
a
，1）递减．
注意到x＜﹣2
a ，x2﹣x﹣1
a
＞0，f（1）=﹣e
a
a
＜0．
∴函数y=f（x）的最小值为f（1）=﹣e a
a
（2）解：存在唯一实数x0，使得f（x0）+ 3
a =0成立⇔函数y=f（x）图象与y=﹣3
a
＜（﹣3
a
0）
有唯一交点，
结合（1）可得函数f（x）在（﹣∞，﹣2
a ），（1，+∞）上递增，在∈（﹣2
a
，1）递减．
注意到x＜﹣2
a ，x2﹣x﹣1
a
＞0，f（1）=﹣e
a
a
＜0．
∴当且仅当﹣1
a e a=−3
a
时，存在唯一实数x0，使得f（x0）+ 3
a
=0成立，
即a=ln3时，存在唯一实数x0，使得f（x0）+ 3
a
=0成立
【解析】【分析】（1）函数y=f（x）的定义域为R，f′（x）=[ax2+（2﹣a）x﹣2]e ax．
利用导数可得函数f（x）在（﹣∞，﹣2
a ），（1，+∞）上递增，在∈（﹣2
a
，1）递减．注意到x
＜﹣2
a ，x2﹣x﹣1
a
＞0，f（1）=﹣e
a
a
＜0．即函数y=f（x）的最小值为f（1）（2）存在唯一实
数x0，使得f（x0）+ 3
a =0成立⇔函数y=f（x）图象与y=﹣3
a
＜（﹣3
a
0）有唯一交点，结合图
象且仅当﹣1
a e a=−3
a
时，存在唯一实数x0，使得f（x0）+ 3
a
=0成立，
即可求得实数a的值．
11/ 11。