微积分试题及答案(5)

微积分试题及答案
一、填空题(每小题2分，共20分)
1. =∞→2
arctan lim
x x
x .
2. 设函数⎪⎩⎪
⎨⎧=<<-=0 , 10 )21()(1
x k x ,x x f x 在0=x 处连续，则=k 。

3. 若x
x f 2e )(-=，则=')(ln x f 。

4. 设2sin x y =，则=)0()
7(y 。

5. 函数2
x y =在点0x 处的函数改变量与微分之差=-∆y y d 。

6. 若)(x f 在[]b a ,上连续, 则=⎰x
a x x f x d )(d d ; =⎰
b x x x f x
2d )(d d . 7.
设函数)3)(2)(1()(---=x x x x f ，则方程0)(='x f 有 个实根。

8. 曲线x
x y -=e 的拐点是 。

9. 曲线)1ln(+=x y 的铅垂渐近线是 。

10. 若
C x x x f x ++=⎰
2d )(，则=)(x f 。

二、单项选择（每小题2分，共10分）
1. 设x x f ln )(=，2)(+=x x g 则)]([x g f 的定义域是（ ）
（A ）()+∞-,2 （B ）[)+∞-,2 （C ）()2,-∞- （D ）(]2,-∞- 2. 当0→x 时，下列变量中与x 相比为高阶无穷小的是（ ）
（A ）x sin （B ）2
x x + （C ）3x （D ）x cos 1-
3. 函数)(x f 在],[b a 上连续是)(x f 在],[b a 上取得最大值和最小值的（ ）
（A ）必要条件 （B ）充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）无关条件
4. 设函数)(x f 在]0[a ，
上二次可微，且0)()(>'-''x f x f x ，则x
x f )
('在区间)0(a ，内是（ ）
（A ）不增的 （B ）不减的 （C ）单调增加的 （D ）单调减少的 5. 若
C x x x f +=⎰2d )(，则=-⎰x x xf d )1(2 。

（A ）C x +-2
2)1(2 （B ）C x +--2
2)1(2
（C ）
C x +-22)1(2
1
（D ）C x +--
22)1(2
1
三、计算题（每小题6分，共48分）
1. 求极限 2
2)sin (1
cos lim x x x x x +-+∞→.
2. 求极限 2
0)(arctan cos ln lim x x
x →.
3. 设)1ln()(+=x x f ，))((x f f y =，求x y d d .
4. 已知方程y
x x y =确定了函数)(x y y =，求x
y d d .
5. 求函数123
4+-=x x y 的对应曲线的凹凸区间及拐点.
6. 求不定积分⎰++)52(d x x x x
.
7. 求不定积分⎰+x x x x
d ln )1
(.
8. 求定积分⎰++102d 1arctan x x
x
x
四、(9分) 求曲线⎩⎨⎧>-≤≤=2
,620,2x x x x y 与直线0=y ，3=y 所围图形的面积，
并求此图形绕y 轴旋转所成旋转体的体积y V 。

五、(9
分) 某商品的需求函数为40003
=+p Q ，其中Q 为需求量(件)，p 为
单价(元)，求：(1)8=p 时的边际需求；(2) 8=p 时的需求弹性；(3)p 为多少时，总收益最大？
六、(4
分) 设函数)(x f 在]10[，
上有连续的导数。

对于]10[，上每一点，均有1)(0<<x f 且1)(≠'x f 。

试证在()1,0内有且仅有一点ξ，使ξξ=)(f .
《微积分(上)》试卷1解答
一、填空题
1. 0
2.210
e )21(lim -→=-
=x
x x k 3. x x f 2e 2)(--='，2
2)(ln --='x x f
4. 7
07)7(2
1)272sin(21)0(-=⋅+=
=x x y π 5. 2
d x y y ∆=-∆
6. )(x f ，)2(2x f -
7. 2
8. 拐点)2,2(2-e
9. 1-=x 10. 12ln 2)(+=x x f
二、单项选择
A D
B
C D
三、计算题
1. 原式1)
sin 1(1
cos 1lim
2
2=+-+
=∞→x x x x x . 2. 原式21
cos 2sin lim cos ln lim 02
0-
=-==→→x x x x x x x . 3. []1)1ln(ln )]([++==x x f f y ，
1
11)1ln(1d d +⋅++=x x x y . 4. 两边取对数，x y y x ln ln =，
两边关于x 求导，x y x
y
y y x y ln ln '+='+，
∴ x xy x y
xy y y ln ln 22--='
5. 2364x x y -='，)1(1212122
-=-=''x x x x y ，
令0=''y ，得0
=x ，1=x ，
6. 原式⎰++=5
2
d 2
x x x ⎰
+++=4
)1()1(d 22x x C x ++=2
1
arctan
.
7. 原式⎰⎰+=)(d ln 2
1)(ln d ln 2
x x x x ⎰⋅-+=x x x x x x d 121ln 21)(ln 21222
C x x x x +-+=222
4
1ln 21)(ln 21
8. 原式1
02102)(arctan 2
1)1ln(21x x ++=322ln 212π+=
四、325.1332
3
2918d )6(23
3
0-=⋅--=--=⎰y y y S
⎰--=3
2
d ])6[(y y y V y π.5.58d )1336(3
2ππ=+-=⎰y y y
五、 (1) 3
4000p Q -=，2
3p Q -='，192)8(-='Q
(2) 3
340003p
p Q Q p --='=η，44.010948
)8(-≈-=η (3) 44000)(p p pQ p R -==，3
44000)(p p R -='，
令0='R ，得10=p ，而0122
<-=''p R ， ∴ 当10=p 时，总收益最大。

六、证：(1) 存在性:
设x x f x F -=)()(，则)(x F 在]10[，上连续，
1)(0<<x f ，∴ []01)1()0()1()0(<-=f f F F ， 由介值定理，)1,0(∈∃ξ，使0)(=ξF ，即ξξ=)(f ；
（2）唯一性。

若还有)1,0(∈η，使0)(=ηF ，由罗尔定理，)1,0(∈∃γ，
使0)(='γF ，即1)(='γf ，与1)(≠'x f 矛盾，故)(x F 的零点唯一。

微积分试题及答案
第一章 函数极限与连续
一、填空题
1、已知
x x
f cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。

2、=-+→∞)
1()34(lim
22
x x x x 。

3、0→x 时，x x sin tan -是x 的 阶无穷小。

4、01
sin
lim
0=→x
x k x 成立的k 为 。

5、=-∞
→x e x
x arctan lim 。

6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0
,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。

7、=+→x
x x 6)13ln(lim 0 。

8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。

9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。

10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→x
x a
x a x 。

11、已知当0→x 时，1)1(3
12-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数
________=a 。

12、函数
x
x
x f +=13arcsin
)(的定义域是__________。

13
、lim ____________x →+∞
=。

14、设8)2(
lim =-+∞→x
x a
x a x ，则=a ________。

15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞
→=____________。

二、选择题
1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数。

（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）
)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）
)()()(x h x g x f 。

2、x
x x +-=11)(α，3
1)(x x -=β，则当1→x 时有 。

（Ａ）α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小； （C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。

3、函数⎪⎩⎪⎨⎧=-≥≠-+-+=0)1(0,1
111)(3x k x x x x x f 在0=x 处连续，则=k 。

（Ａ）23； （Ｂ）3
2
； （C ）1； （D ）0。

4、数列极限=--∞
→]ln )1[ln(lim n n n n 。

（Ａ）1； （Ｂ）1-； （C ）∞； （D ）不存在但非∞。

5、⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧>=<+=0
1cos 00
0sin )(x x x x x x x x x f ，则0=x
是)(x f 的 。

（Ａ）连续点；（Ｂ）可去间断点；（C ）跳跃间断点；（D ）振荡间断点。

6、以下各项中)(x f 和)(x g 相同的是（ ） （Ａ）2
lg )(x x f =，x x g lg 2)(=； （Ｂ）x x f =)(，2)(x x g =；
（C ）
334)(x x x f -=，31)(-=x x x g ；（D ）1)(=x f ，x x x g 22tan sec )(-=。

7、 |
|sin lim 0x x
x →= （ ）
（Ａ） 1； （Ｂ） -1； （C ） 0； （D ） 不存在。

8、 =-→x
x x 10
)
1(lim （ ）
（Ａ） 1； （Ｂ） -1； （Ｃ） e ； （Ｄ） 1
-e 。

9、
)(x f 在0x 的某一去心邻域内有界是)(lim 0
x f x x →存在的（ ）
（Ａ）充分必要条件；（Ｂ） 充分条件；（C ）必要条件；（D ）既不充分也不必要条件.
10、 =-+∞
→)1(lim 2
x x x x （ ）
（Ａ） 1； （Ｂ） 2； （C ）
2
1
； （D ） 0。

11、设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且∞===∞
→∞
→∞
→n n n n n n c b a lim ,1lim ,0lim ，则必有
（ ）
（A ）n n b a <对任意n 成立； （B ）n n c b <对任意n 成立； （C ）极限n n n c a ∞
→lim 不存在 ； （D ）极限n n n c b ∞
→lim 不存在。

12、当1→x 时，函数
1
1
21
1---x e x x 的极限（ ） （Ａ）等于２； （Ｂ）等于０； （Ｃ）为∞； （Ｄ）不存在但不为∞。

三、计算解答 1、计算下列极限 （1）1
2sin
2
lim -∞
→n n
n x ； （2）x
x
x x cot csc lim
0-→ ；
（3）)1(lim 1
-→∞x
x e x ； （4）x
x x x 31212lim ⎪⎭
⎫
⎝⎛-+∞→ ；
（5）1cos cos 21
cos 2cos 8lim 223
-+--→
x x x x x π； （6）x x x x x x tan cos sin 1lim 0-+→；
（7）⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛+++⨯+⨯∞→)1(1321211lim n n n ； （8）32324arctan )21ln(lim x x x --+→。

３、试确定b a ,之值，使21
11lim 2=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--+++∞→b ax x x x 。

４、利用极限存在准则求极限
(1)n
n n n 1
3121111
131211lim ++++++++++
∞→ 。

（2）设01>>a x ，且),2,1(1 ==+n ax x n n ，证明n n x →∞
lim 存在，并求此极限
值。

5、讨论函数x
x x
x n n n n n x f --∞→+-=lim )(的连续性，若有间断点，指出其类型。

6、设)(x f 在],[b a 上连续，且b x f a <<)(，证明在),(b a 内至少有一点ξ，使ξξ=)(f 。

第一单元 函数极限与连续习题解答
一、填空题 1、x 2
sin
2 。

2
sin 22)2sin 21(1)2(sin 22x
x x f -=-+=，
222)(x x f -=∴ x x x f 22sin 2cos 22)(cos =-=∴。

2、0 。

016
249lim )1()34(lim
3222=+-++=-+∞→∞→x
x x x x x x x x 。

3、高阶 。

0)cos 1(lim )
cos 1(tan lim sin tan lim 000=-=-=-→→→x x x x x x x x x x ，
x x sin tan -∴是x 的高阶无穷小。

4、0>k 。

x 1sin 为有界函数，所以要使01
sin lim 0=→x
x k x ，只要0lim 0=→k x x ，即0>k 。

5、 0 。

0arctan lim =-∞
→x e x x ))2
,2(arctan ,0lim (π
π-
∈=-∞
→x e x x 。

6、2=b 。

b b x x f x x =+=--
→→)(lim )(lim 0
0 ，
2)1(lim )(lim 0
=+=++→→x
x x e x f ，
,)0(b f = 2=∴b 。

7、 21
2
163lim 6)13ln(lim 00==+→→x x x x x x 。

8、 e x ≤≤1 根据题意 要求1ln 0≤≤x ，所以 e x ≤≤1。

9、21
-=-x e
y )2ln()1(),2ln(1+=-∴++=x y x y ，12-=+y e x ，
21-=∴-y e x ，)2ln(1++=∴x y 的反函数为
21-=-x e y 。

10、a
e 2 原式=a a
a x x
a a x x e a
x a 222)21(lim =-+
⋅-⋅-∞→。

11、2
3-=a 由231
231~1)1(ax ax -+（利用教材P58(1)1a
x ax +-）与
221~1cos x x --，以及132
2
131lim 1cos 1)1(lim 2
203
1
20=-=-=--+→→a x ax x ax x x ，
可得 2
3
-=a 。

12、21
41≤≤-
x 由反三角函数的定义域要求可得 ⎪⎩⎪⎨⎧≠+≤+≤-0
11
131x x x 解不等式组可得 ⎪⎩⎪⎨⎧-≠≤≤-12141x x ，⇒)(x f 的定义域为
2141≤≤-x 。

13、0
lim lim
x x =
22lim
0x ==。

14、2ln 23lim()lim(1)x x x x x a a x a x a →∞→∞+=+--,令t=
3x a
a -，所以x=3at a + 即：3211
lim()lim[(1)](1)x t a a x t x a x a t t
→∞→∞+=++-=38a e =
2ln 3
2ln 8ln 318ln 33
===⇒=a a 。

15、2 )
2(2
)1(lim )2)(1(lim n n n n n n n n n n ++⨯++=-++++∞→+∞→
212
1)
1
11(2lim =++++=+∞→n
n n 。

二、选择题
1、选（Ｄ） 令)()()()(x h x g x f x F =
，由)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)
(x h 是],[l l - 上的奇函数，
)()()()()()()()(x F x h x g x f x h x g x f x F -=-=---=-∴。

2、选（Ｃ） ])1(11)[1(1lim )1)(1(1lim )()(lim 31311x x x
x x x x x x x x ---+-=-+-=→→→βα
2
3
)1(3
1
)1(1lim 1=-⋅+-=→x x x x （利用教材P58(1)1a x ax +-）
3、选（A ） 233
1
21lim
1111lim )(lim 0300==-+-+=→→→x x
x x x f x x x （利用教材P58(1)1a
x ax +-）
4、选（Ｂ） 1lim [ln(1)ln ]lim ln(1)1n
n n n n n n -→∞→∞--=--=-
5、选（Ｃ） 1)0(=-f ， 0)0(=+
f ， 0)0(=f
6、选（Ｃ） 在（A ）中2
ln )(x x f = 的定义域为0≠x ，而x x g ln 2)(=的定义
域为0>x ，)()(x g x f ≠∴故不正确
在（B ）x x f =)(
的值域为),(+∞-∞，2)(x x g =的值域为0>x ，故错
在（D ）中1)(=x f 的定义域为R ，x x x g tan sec )(2
-=的定义域为
}2
,{π
π+≠∈k x R x ，)()(x g x f ≠∴，故错
7、选（Ｄ） 1sin lim ||sin lim 00==++
→→x x x x x x ，1sin lim ||sin lim 00-=-=--→→x
x
x x x x |
|sin lim 0x x x →∴不存在 8、选（Ｄ） 1)1(1
10
)]
(1[lim )
1(lim --⋅-→→=-+=-e x x x
x x
x ，
9、选（Ｃ） 由函数极限的局部有界性定理知，)(lim 0
x f x x →存在，则必有0x 的某一
去心邻域使
)(x f 有界，而)(x f 在0x 的某一去心邻域有界不一定有)(lim 0
x f x x →存
在，例如x x 1sin
lim 0
→，函数11
sin 1≤≤-x
有界，但在0=x 点极限不存在 10、选（Ｃ）
（
lim ()lim x x x x x x →∞
→∞
==
2
11111lim
2=
++
=∞
→x
x 11、选（D ） （A ）、（Ｂ）显然不对，因为有数列极限的不等式性质只能得出数列
“当n 充分大时”的情况，不可能得出“对任意n 成立”的性质。

（Ｃ）也明显不对，因为“无穷小·无穷大”是未定型，极限可能存在也可能不存在。

12、选（D ） 002)1(lim 11lim 11
1
1
121=⋅=+=---→-→--
x x x x e x e x x ∞=+=---→-→++11
1
1121)1(lim 11lim x x x x e x e x x 当1→x 时函数没有极限，也不是∞。

三、计算解答
1、计算下列极限： （1）解：x x
x
n n n n n
n 222lim 2sin
2
lim 11
=⋅
=-∞
→-∞
→。

（2）解：2
200001cos csc cot 1cos 1sin sin 2lim lim lim lim sin 2
x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→-
--====。

（3）解：11
lim )1(lim 1
=⋅=-∞→∞→x
x e x x x x 。

（4）解：3
21
2133])2
111[(lim )1221(lim )1212(
lim +-∞→∞→∞→-
+=-+=-+x x x x x x x x x x 。

1
1
3332211[lim(1)][lim(1)]1122
x x x e x x -→∞→∞
=+⋅+=-- （5）解：)1)(cos 1cos 2()
1cos 4)(1cos 2(lim 1cos cos 21cos 2cos 8lim 3
223
+-+-=-+--→
→x x x x x x x x x x ππ
212
11
21
41cos 1cos 4lim 3
=++⨯=++=→
x x x π。

（6）解：)cos sin 1(tan cos sin 1lim
tan cos sin 1lim 00x x x x x x
x x x x x x x x x ++-+=-+→→ 2020202cos 1lim 2sin lim 2cos 1sin lim x x x x x x x x x x x x -+=-+=→→→434121=+=。

lim(12x →+=
（7）解：])
1(1321211[
lim +++⨯+⨯∞→n n x
)]1
1
1()3121()211[(lim +-++-+-=∞→n n x
1)1
1
1(lim =+-
=∞
→n x 。

（8）解：331
2323
2323241
)21(lim 42lim 4arctan )
21ln(lim =
+=--=--+→→→x x
x
x x x x x 。

３、解：1)(1lim )11(lim 222+-+--+=--+++∞→+∞→x b
x b a ax x b ax x x x x
211)1()()1(lim 2=+-++--=+∞→x b x b a x a x ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-∴21)(01b a a ⇒⎪⎩
⎪⎨⎧-==231b a
４、（1） 1111211111312111++<+++++++++<
n n
n n 而 1111lim =+++∞→n x 11
3121111131211lim =++++++
++++∴+∞→n
n n x 。

（2）先证有界（数学归纳法）
1=n 时，a a a ax x =⋅>=12
设k n =时，a x k >， 则 a a ax x k k =>=+21
数列}{n x 有下界， 再证}{n x 单调减，
11<==+n
n
n n n x a
x ax x x
且 0>n x n n x x <∴+1即}{n x 单调减，n n x ∞
→∴lim 存在，设A x n n =∞
→lim ，
则有 aA A =
⇒0=A （舍）或a A =，a x n n =∴∞
→lim
５、解：先求极限 得 0
001
01
11lim )(22<=>⎪
⎩⎪
⎨⎧-=+-=∞→x x x n n x f x
x
n 而 1)(lim 0
=+
→x f x 1)(lim 0
-=-→x f x 0)0(=f
)(x f ∴的连续区间为),0()0,(+∞-∞ 0=x 为跳跃间断点.。

６、解：令x x f x F -=
)()(， 则 )(x F 在 ],[b a 上连续
而0)()(>-=a a f a F 0)()(<-=b b f b F
由零点定理，),(b a ∈∃ξ使0)(=ξF 即 0)(=-ξξf ，亦即 ξξ=)(f 。