二元一次方程式的图形

解： 3t+3≠3(t)+2 3t+5=3(t+1)+2
3t+5≠3(t-1)+2
3t+7≠3(t+2)+2
答：B
9.若方程式2x+3y-k+3=0的圖形通過原點，則k= (A) 3 (B) -3 (C) 1 (D) 0
解：2(0)+3(0)-k+3=0
k=3
答：A
10.設a、b都是常數，且知x與y的二元一次方程式ax+by=1 所表示的直線通過(1，1)、(2，3)兩點，則下列敘述何 者錯誤？ (A)a=2b (B)ab<0 (C)a2>b2 (D)a、b皆是整數
解：(-2)+b(1)=0 (A) 2(2)-(-1)=5 (B) 2(1)-(2)=0 (C) 2(-1)-(2)=-4
b=2 2x-y=0
(D) 2(2)-(1)=3
答：B
(1) ax+by=c ax+by＜c ax+by＞c
(2)
ax+by=c ax+by＞c
ax+by＜c
4.在直角坐標平面上一直線L，其方程式為x+2y=2，則下列 那一個點與原點之連線段會與L相交？ (A) (1，0) (B) (1，1) 分析：依題意知所求的點必與原點分別 (C) (3，-3) 在直線 x+2y=2的兩側。 (D) (-5，1)
解：將(1，1)、(2，3)代入ax+by=1 ，得
a b 1 2a 3b 1
(1)-(2)得 a=2
答：A
3a 3b 3(1) 2a 3b 1(2)
b= -1
11.(-1，3)是下列那一個方程式的解？ (A)3x-2y=1 (B)2y=5x-7 (C)5x=4-3y (D)3x-4y=1
x
由圖可知 a>0，b<0
答：A
14.在坐標平面上，若(ab，a)在第三象限，則ax+by+ab=0 之圖形不通過第 (A)一 (B)二 (C)三 (D)四 象限
解：(ab，a)在第三象限
ax+by+ab=0
x y 0 -a -b 0
a<0，b>0
y
(0 , -a)
(-b , 0) O
x
答 ：D
15.A(-2，1)、B(1，-2)，則下列那一點在直線AB上？ (A)(-4，3) (B)(4，3) (C)(0，0) (D)(3，4)
第2章
直角坐標與二元一次方 程式的圖形
2-2二元一次方程式的圖形
一、章節內容
1.二元一次方程式的解： 二元一次方程式ax+by=c(或y=mx+b)中，未知數 x、y用一組數代入方程式，使方程式的兩邊相 等，則這組數叫做二元一次方程式的解，可用
數對(x，y)來表示。
例：(-2，-1)、(-1，1)、(0，3) 均為二元一次方程式 y=2x+3 的解。
。
3 0 1 a b
a=3 a+b=7
答 ：7
解：(0)+2(0) ＜2
(1)+2(0) ＜2 (1)+2(1) ＞2 (3)+2(-3) ＜2 (-5)+2(1) ＜2
答：B
5.下列何者是2x-y=0之圖形？ (A)
y x
(B)
y
(C)
y
x
x
(D)
y
x 解：
x
0 0
1 2
y
答：C
6.下列那一個方程式的圖形通過P(1，3)與Q(5，3)兩點？ (A) y=3 (B) x+y=4 (C) x+y=8 (D) x-y=-2
。 。
答 ：(1) y=4
(2) x= -3
17.若a、b、c均為整數且(2，a)、(b，-1)、(a，c)都在 直線y=x-3上，則(a2b，ac)在第 象限
解：a=2-3 -1=b-3 c=a-3
a= -1 b= 2 c=-1-3=-4 (a2b，ac)=(4，4)
答 ：第一象限
18.(1)直線L：2x-3y=k，通過(1，2)，則k= 。 (2)此直線與x軸的交點坐標是 ，與y軸的交點坐標 是 。 (3)此直線不通過第 象限。
x y 1的圖形 a b
不通過第四象限，則(a-b，ab)在第幾象限內？
分析：
y
a＜ 0， b＞ 0
‧ (0，b)
‧ (a，0)
x
a-b＜0，ab＜0
答 ：第三象限
6.(1)設直線x-2y+2=0交x軸於(a，0)，交y軸於(0，b)，則 點(a+b，a-b)在第幾象限內？
解：a-2(0)+2=0 0-2(b)+2=0
y
‧ B(0，8)
P
O Q(1，0) ‧
A(4，0)
x
答 ：AB直線的方程式為y=-2x+8
解：(2)設P點的坐標為(1，b)，則 b= -2(1)+8 b= 6
y
‧B (0，8)
P (1，b)
y= -2x+8
O Q(1，0)
‧
A(4，0)
x
答 ： P點的坐標為(1，6)
解：(3)求△OPQ之面積= 1 6 3
2.各組解在坐標平面上的意義：
一個二元一次方程式的每一組解，都可在坐標平
面上描出表示它的點，而表示二元一次方程式所 有解的點，就會連成一條直線。所以，二元一次 方程式在坐標平面上的圖形，會形成一條直線。
3. 二元一次方程式圖形的畫法：
二元一次方程式的圖形都是一條直線，因此，只
要找到兩個相異的點，即可畫出二元一次方程式
y
x
‧ (0，-4) (5 ‧ ，-4)
2.(1)一直線通過(3，5)，且與直線y=2平行，求此直線方程式。 (2)設a、b、c為已知數，二元一次方程式(a-1)x+(b+2)y=c-3 的圖形垂直x軸，但不是y軸，求a、b、c之條件。
分析：與直線ax+by=c平行的直線可設為ax+by=k
解：(1)與y=2平行的直線可設為y=k
解： 3(-1)-2(3)≠1 2(3)≠5(-1)-7 5(-1)=4-3(3)
3(-1)-4(3)≠1
答：C
12.若直線L上任一點的坐標為(a，3a-2)，則L的方程式為 (A)3x-y-2=0 (B)x-3y+2=0 (C)3x+y+2=0 (D)x+3y-2=0
x a 解： y 3a 2
解：(1) 設直線AB的方程式為y=ax+b，則
3 ab - 1 a b
2=2b
b=1 a=2 y=2x+1
將C(k+2，k-1) 代入y=2x+1中，得 k-1=2(k+2)+1 k-1=2k+4+1 k= -6 答 ：(1)y=2x+1 (2)k=-6
5.設a、b為已知數，且ab≠0，若方程式
(1)-(2)得 3x-y=2
答：A
3x 3a (1) y 3a 2(2)
3x-y-2=0
13.方程式ax+by+1=0之圖形如右圖，則 (A)a>0 (B)b>0 (C)ab>0 (D)b>a
y
(0 , -1/b)
x
解： y
0
-1/b
-1/a
0 (-1/a , 0) O
(D) (8，3)
答：C
2.通過點(0，7)而平行x軸的直線，必通過 (A) (0，0) (B) (2，0) (C) (-7，7)
(D) (7，-7)
y (0，7) y=7
x
答：C
3.若x+by=0的圖形通過點(-2，1)，則bx-y=0的圖形通過 下列那一個點？ (A) (2，-1) (B) (1，2) (C) (-1，2) (D) (2，1)
a= -2 b= -1 (a+b，a-b)=(-3，-1)
答 ：第三象限
x y (2)方程式 1 的圖形與x軸交於P，與y軸交於Q， 2 3
若O為原點，求△OPQ之面積。 y
x 2 解： y 0
0 3
‧Q(0，3)
2 3 3 △OPQ之面積= 2
‧ P(2，0)
x
答 ：3平方單位
7.如下圖，A、B之坐標分別為(4，0)、(0，8)，點P在 AB
將(3，5)代入y=k可得k=5 即 y=5 (2)垂直x軸，但不是y軸的直線可設為 x=k ，k≠0 因此， a-1 ≠ 0、b+2=0、c-3 ≠0
答： a-1 ≠ 0、b+2=0、c-3 ≠0
3.已知方程式y=ax+b的圖形通過P(2，7)、Q(5，13)兩點。 (1)試求a、b之值。 (2)在下列各點中何者不在方程式y=ax+b的直線上？ A(1，5)、B(3，9)、C(4，10)、D(6，15)。
的圖形。步驟如下：
(1)先求出方程式的兩組解。
(2)在坐標平面上描出這兩組解的對應點。
(3)過此兩點作一直線，就是此方程式的圖形。
例：畫出二元一次方程式y=2x–6的圖形。 解： x
y
0 6 3
0
y
y=2x–6
通過(0，-6)、(3，0)兩點的圖形如右。
x
(3，0)
(0，- 6)
4.求直線方程式：坐標平面上相異兩點即可決定一直 線，所以，若已知兩點A(x1，y1) 、 B(x2，y2)，則可設過A、B兩點的直 線方程式為y=ax+b，再將A、B兩點 的坐標代入直線方程式中，解出a、 b，即可得此直線方程式。
2
y
‧B (0，8)
P (1，6)
O Q(1，0)
‧
A(4，0)
x
答 ： 3平方單位
三、自我測驗
1.下列那一個點不在直線3x-4y=12上？ (A) (0，-3) (B) (4，0) (C) (-4，0)
3(0)–4(–3)=12 3(4)–4(0)=12 3(–4)–4(0)= –12 3(8)–4(3)=12
解：設AB直線的方程式為y=ax+b ，則
1 2a b - 2 a b
3= -(-4) -1 3≠-(4) -1 0≠-(0) -1 4≠-(3) -1
-3=3a a= -1 b= -1 y= -x-1
答 ：A
16.通過點(-3，4)，求： (1)垂直於y軸的直線方程式為 (2)平行於y軸的直線方程式為
解：2(1)-3(2)=k 2x-3y=-4
x 0 -2 0 y 4/3
k= -4
y
(0 , 4/3) (-2 , 0) O x
答 ：(1) –4 (2) (-2，0)，(0，4/3) (3) 第四象限
x y 19.直線 1 通過(0，4)、(3，0)二點，則a+b= a b 0 4 b=4 解： 1 a b
解：(1) 將P(2，7) 、Q(5，13)的坐標代入y=ax+b中
7 2a b 得 13 5a b
6=3a
a=2 7=2(2)+b b=3 y=2x+3
(2) A(1，5) 、B(3，9) 、D(6、15) 在y=2x+3上
4.若A(1，3)、B(-1，-1)、C(k+2，k-1)三點共線，求： (1)直線AB的方程式。 (2) k的值。
上且 PQ AO 。
(1)求直線AB的方程式。 (2)若Q點坐標為(1，0)，求P點坐標。 (3)求△OPQ之面積。
y
‧ B(0，8)
P
Q(1，0)
‧
A(4，0)
x
解：(1)設AB直線的方程式為y=ax+b ，則
0 4a b 8 0a b
b=8 a= -2 y= -2x+8
例：試求出過A(1，2)、B(2，5)兩點的直線方程式。 解：設過A、B兩點的直線方程式為y=ax+b，則
2 a b(1) 5 2a b(2)
將(2)式－(1)式得3=a，再代入(1)式得b= –1。 所以，直線方程式為 y=3x –1 。
Hale Waihona Puke 5.兩個二元一次方程式的圖形在坐標平面上若有一 個交點，這個交點就稱為這個二元一次聯立方程 式的解。
答：A
7.A(1，4)、B(4，1)、C(-2，4)、D(4，-2)、E(3，3)、F(4，0) 六點中，共有幾點在方程式y=4的直線上？ (A) 1 點 (B) 2 點 (C) 3 點 (D) 4 點
解：A(1，4)、C(-2，4)兩點在直線y=4上
答：B
8.設t為常數，下列何者是y=3x+2的解？ (A) (t，3t+3) (B) (t+1，3t+5) (C) (t-1，3t+5) (D) (t+2，3t+7)
二、範例講解
1.(1)請畫出2x+3y=12的圖形。 解： x y 0 4 6 0
(0，4)
y
x
(6，0)
2x+3y=12
(2)請畫出2x=12的圖形。 解： x y 6 0 6 2 y 2x=12
‧ (6，2) x ‧
(6，0)
(3)請畫出3y+12=0的圖形。 解：
x y
0 5 -4 -4