4.2015年中科大自主选拔物理试题解析

．
（1）从上面看，小木棒成什么形状？ （2）木棒端点的视像离上层液面多深？ 解析 （1）从上面看，木棒成折线形，在各界面处好像折断了一样． （2）木棒端点发出的近轴光线在各个界面所成像的位置可采用逐次成像法和视深公式 处理．
图 如图 所示，从上层液体内看，木棒端点距上层液体下表面
，距上层液体上
表面 h2′′ = h2′
（1）设在离地面 h = 104 m 的高处产生一个带基本正电荷的 µ+ 子，则它具有多大的能
量 E 才能在地面上被探测到？ （2）由于地磁场的影响， µ+ 子的轨道会偏转．设在地球赤道平面上方 h = 104 m 处产
生的 µ+ 子竖直入射，则到达地面时偏离原来方向多远？假定地磁场能延伸到104 m 的高空，
2
U= q −， d 2ε0S U= q +． d 2ε0S
则 A 、 B 板在 C 板处产生的场强为
E = EAC + ECB = U ． 2 2d
所以薄片 C 受到的库仑力为
F = qE q U= ． d
4．（ 20 分）两个带电小球，所带电量相同，符号相反，质量分别是 m 和 2m ，初始时
刻，它们间距为 d ，小球 2m 静止，小球 m 沿着与两者连线相垂直的方向以速度 v 运动．随
图
解析 在
循环过程中，
段处在 段的下方，故 、 乘积的最大值出
现在 段．根据图 中的数据，可得 段的直线方程为
．（ 以 根据理想气体状态方程，有
为单位， 以
为单位）
．
当
时，
．
6．（ 分）容器中有两层液体．上层厚为 ，折射率为 ，下层液体足够厚，折射率
为 ，已知
，一木棒与液面法线成小角度插入容器中，其端点离液面深度为
大小为 B = 1Gs （高斯），沿地轴方向．
பைடு நூலகம்
（ e = 1.6 10×−19 C ，1MeV = 1.6 10×−13 J ）
解析 （1）以地面为参考系， µ 子的寿命为
τ = τ0 ．
①
1− (v)2
c
要使 µ 子能在地面上被探测到，则有
vτ ≥ h ．
②
µ 子具有的动能为
E=
m0 1− (v)2
．设电压表内阻为 ，根据串联分压
，
①
．
②
联立①②式，得
，
．
所以电阻 和 两端的实际电压是
，
．
3．（ 分）一平行板电容器两极板的面积都是 ，相距为 ，分别维持电势
和
不变．现将一块带有电荷量 的导体薄片（其厚度可略去不计）放在两极板的正中 间，薄片的面积也是 ，如图 所示，略去边缘效应，求：
（1）薄片的电势； （2）导体薄片受到的库仑力．
tanα = 3 tan β ．
所以α = 60o ．
2．（10 分）如图 2 所示电路，包含一个理想电源和两个电阻 R1 和 R2 ，用一个学生实验 用电压表对该电路进行测量，测得电阻 R1 、 R2 和电源上的电压分别为 2.0V 、 3.0V 和
，试问电阻 和 两端的实际电压是多少？
图 解析 由理想电源可知，电源电动势 定律，有
23 2 3
d29 2 9
3d
因末状态两球连线方向上可能有速度，右端未计入此部分动能，所以取“ ≥ ”号．解得
q≤
4mv2d
．
9k
所以小球所带的电荷量满足
mv2d < q ≤
4mv2d
．
3k
9k
5．（10 分）0.1mol 的理想气体，经历如图 6 所示的 BCAB 循环过程．问在此过程中气
体所能达到的最高温度 T = ？（ R = 8.31J⋅ Mol−1⋅ K−1 ）
1 m(2 v)2 + 1 ⋅ 2m(1 v)2 − k q2 < 0 ．
23 2 3
d
式中 0 表示两球恰好相距无穷远时的能量．解得
q>
mv2d
．
3k
当带电量 q 过大时，两球相距将小于 3d ．根据角动量守恒定律和能量守恒定律，有
1 m(2 v)2 + 1 ⋅ 2m(1 v)2 − k q2 ≥ 1 m( 2 v)2 + 1 ⋅ 2m(1 v)2 − k q2 ．
c
5.3=5 104 m ．×
所以 µ+ 子到达地面时偏转的水平距离为
d = R− R2− h2= 943m ．
图1
解析 设 A 端、 B 端的张力分别为 TA 、 TB ，铜线总重为 mg ．对 ABC 整体在水平方
向受力分析，有
TA sinα = TB sin β ．
①
对 AC 段在竖直方向受力分析，有
TA
cosα
=
1 4
mg
．
②
对 BC 段在竖直方向受力分析，有
TB
cos
β
=
3 4
mg
．
③
联立①②③式，得
+ h1
= n1 n2
h2
+h1 ，从空气中看，木棒端点距上层液体上表面 h1′ =
h2′′ n1
h1= h2 ．+ n1 n2
7 ．（ 20 分 ） µ 子 是 第 二 代 轻 子 ， 静 止 质 量 为 m0 = 106 MeV c2 ， 固 体 寿 命 为
τ 0 = 2.20 10−6×s ．
后，它们多次处于相距 3d 的位置上．求小球所带的电荷量．
v
m
2m
d
图4
2v 3 m
C 图5
2m 1v 3
解析
两个小球组成的系统不受外力，故质心做匀速直线运动，质心速度为 vC
=
1 3
v
．如
图 5 所示，以质心为惯性参考系，两个质点的初速度分别为 2 v 和 1 v ，方向相反．当带电 33
量 q 过小时，两球将相距无穷远．根据能量守恒定律，有
2015 年中国科学技术大学自主选拔学业能力测试
物理探究
本试卷共七大题，满分100 分．解答应写出必要的文字说明、方程式和主要演算步骤． 1．（10 分）如图1所示，山坡上两相邻高压塔 A 、 B 之间架有匀质粗铜线，平衡时铜 线弧形下垂，最低点在 C ，已知弧线 BC 的长度是 AC 的 3 倍，而左塔 B 处铜线切线与竖直 方向成 β = 30o 角．问右塔 A 处铜线切线与竖直方向成角α = ？
c2
− m0c2 ．
③
c
联立①②③式，得
E ≥ 1504MeV ． 所以 µ+ 子至少具有1504MeV 的能量才能在地面上被探测到．
d
h R
B
图8 （2） µ+ 子在地磁场中做匀速圆周运动，其偏转轨迹如图 8 所示．偏转半径为
R = mv eB
=m0
v = m0h
1− (v )2 eB eBτ 0
U AC + UCB = U ．
故有 解得
所以薄片 C 的电势为
Q +Q+q =U ． CC Q = CU − q ．
2
ϕC = UCB=
Q +=q C
+U 2
=q + U 2C 2
qd
．
4ε 0 S
（2） A 、 C 板间的场强与 C 、 B 板间的场强分别为
EAC
=
U AC d
2
ECB
=
U CB d
A
U
d
2
C
q
d
2
B
0
图3 解析 （1）A 、C 板与 C 、B 板构成的两个平行板电容器的电容为 C = 2ε0S ．设 A 板
d 下表面所带电荷量为 Q ，则 C 板上表面所带电荷量为 −Q ，C 板下表面所带电荷量为 Q + q ，
B 板上表面所带电荷量为 −(Q + q) ．各板间电势差关系为