九年级数学第4章 相似三角形单元测试(A卷基础篇)(浙教版)(解析版)

第4章相似三角形单元测试(A卷基础篇）
【浙教版】
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）（2019秋•杭州期末）若3x＝4y（y≠0），则（）
A．3x+4y＝0 B．8x﹣6y＝0 C．3x+y＝4y+x D．
【思路点拨】根据比例的性质两内项之积等于两外项之积即可得出答案．
【答案】解：A、∵3x＝4y（y≠0），∴3x﹣4y＝0，故本选项错误；
B、∵3x＝4y（y≠0），∴6x﹣8y＝0，故本选项错误；
C、∵3x＝4y（y≠0），∴3x+y＝4y+y，故本选项错误；
D、∵3x＝4y（y≠0），∴＝，故本选项正确；
故选：D．
【点睛】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质即两内项之积等于两外项之积是解题的关键．2．（3分）（2020•鹿城区校级二模）如图，直线l1，l2被一组平行线所截，交点分别为点A，B，C，及点D，E，F，如果DE＝2，DF＝5，BC＝4，则AB的长为（）
A．B．C．2 D．6
【思路点拨】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案．
【答案】解：∵AD∥BE∥CF，
∴＝，即＝，
解得AB＝．
故选：B．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
3．（3分）（2019秋•嘉兴期末）下列说法正确的是（）
A．所有菱形都相似B．所有矩形都相似
C．所有正方形都相似D．所有平行四边形都相似
【思路点拨】根据相似多边形的定义一一判断即可．
【答案】解：∵相似多边形的对应边成比例，对应角相等，
∴所有正方形都是相似多边形，
故选：C．
【点睛】本题考查相似多边形的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．4．（3分）（2019秋•鄞州区期中）如图，△ABC中∠A＝60°，AB＝4，AC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的三角形与△ABC不相似的是（）
A．B．
C．D．
【思路点拨】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
【答案】解：A、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，
故本选项不符合题意；
B、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，
故本选项不符合题意；
C、两三角形的对应边成比例，但夹角不相等，故两三角形不相似，
故本选项符合题意；
D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，
故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
5．（3分）（2018秋•吴兴区期末）已知两个相似三角形的对应边之比为1：3，则它们的周长比为（）
A．1：9 B．9：1 C．1：6 D．1：3
【思路点拨】根据相似三角形周长的比等于相似比进行解答即可．
【答案】解：∵两个相似三角形的相似比为1：3，
∴它们对应周长的比为1：3．
故选：D．
【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形周长的比等于相似比．
6．（3分）（2019秋•吴兴区期末）如图，矩形ABCD∽矩形BCFE，且AD＝AE．则AB：AD的值是（）
A．：1 B．：1 C．D．
【思路点拨】根据相似多边形的性质列出比例式，计算得到答案．
【答案】解：∵矩形ABCD∽矩形BCFE，
∴＝，即＝，
整理得，AB2﹣AD•AB﹣AD2＝0，
AB＝AD，
∴AB：AD＝，
故选：C．
【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键．
7．（3分）（2019秋•嘉兴期末）如图，小明在打乒乓球时，为使球恰好能过网（设网高AB＝15cm），且落在对方区域桌子底线C处，已知小明在自己桌子底线上方击球，则他击球点距离桌面的高度DE为（）
A．15cm B．20cm C．25cm D．30cm
【思路点拨】证明△CAB∽△CDE，然后利用相似比得到DE的长．
【答案】解：∵AB∥DE，
∴△CAB∽△CDE，
∴＝，
而BC＝BE，
∴DE＝2AB＝2×15＝30（cm）．
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用：利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
8．（3分）（2018秋•滨江区期末）如图，在△ABC中，点D，F是AB的三等分点，E，G是AC的三等分点，四边形DFGE和四边FBCG的面积分别是S1和S2，则S1：S2为（）
A．3：5 B．4：9 C．3：4 D．2：3
【思路点拨】由题意可知：DE∥FG∥BC，推出△ADE∽△AFG∽△ABC，设△ADE的面积为m．求出S1，S2即可．
【答案】解：∵点D，F是AB的三等分点，E，G是AC的三等分点，
∴DE∥FG∥BC，
∴△ADE∽△AFG∽△ABC，设△ADE的面积为m．
∴＝（）2＝，
∴S△AFG＝4m，同法可得：S△ABC＝9m，
∴S1＝3m，S2＝5m，
∴S1：S2＝3：5，
故选：A．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．9．（3分）（2019秋•萧山区期末）如图，∠ACB＝∠BDC＝90°．要使△ABC∽△BCD，给出下列需要添加的条件：①AB∥CD；②BC2＝AC•CD；③，其中正确的是（）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【思路点拨】利用相似三角形的判定依次判断即可求解．
【答案】解：①若AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD，且∠ACB＝∠BDC＝90°，
∴△ABC∽△BCD，故①符合题意；
②若BC2＝AC•CD，
∴，且∠ACB＝∠BDC＝90°，
无法判定△ABC∽△BCD，故②不符合题意；
③若，且∠ACB＝∠BDC＝90°，
∴△ABC∽△BCD，故③符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，灵活掌握相似三角形的判定方法是本题的关键．
10．（3分）（2020•德城区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC=16，点D是边BC上一动点（不与B，C重合），∠ADE＝∠B，DE交AC于点E，下列给出的结论中，正确的有（）
①△ADE∽△ACD；②当BD＝6时，△ABD与△DCE全等；
③△DCE为直角三角形时，BD为8或12.5；④0＜CE≤6.4．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【思路点拨】①根据有两组对应角相等的三角形相似即可证明．
②由BD＝6，则DC＝10，然后根据有两组对应角相等且夹边也相等的三角形全等，即可证得．
③分两种情况讨论，通过三角形相似即可求得．
④依据相似三角形对应边成比例即可求得．
【答案】解：①∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
又∵∠ADE＝∠B
∴∠ADE＝∠C，
∴△ADE∽△ACD；
故①正确，
②作AG⊥BC于G，
∵BC＝16，BD＝6，
∴DC＝10，
∴AB＝DC，
在△ABD与△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（ASA）．
故②正确，
③当∠AED＝90°时，由①可知：△ADE∽△ACD，∴∠ADC＝∠AED，
∵∠AED＝90°，
∴∠ADC＝90°，
即AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
∴BC＝10，
∴BD＝8．
当∠CDE＝90°时，易△CDE∽△BAD，
∴＝，
∴BD＝12.5．
故③正确．
④易证得△CDE∽△BAD，设BD＝y，CE＝x，
∴＝，
∴＝，
整理得：y2﹣16y+64＝64﹣10x，
即（y﹣8）2＝64﹣10x，
∴0＜x≤6.4．
故④正确．
正确的有①②③④．
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及利用三角函数求边长等．二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）（2019秋•镇海区期末）如果在比例尺1：100000的滨海区地图上，招宝山风景区与郑氏十七房的距离约是19cm，则它们之间的实际距离约为19千米．
【思路点拨】根据比例尺＝图上距离：实际距离，列比例式即可求得它们之间的实际距离．要注意统一单位．
【答案】解：设它们之间的实际距离为xcm，
1：100000＝19：x，
解得x＝1900000．
1900000cm＝19千米．
所以它们之间的实际距离为19千米．
故答案为19．
【点睛】考查了比例线段，熟练运用比例尺进行计算，注意单位的转换．
12．（4分）（2019秋•嘉兴期末）已知线段a＝2，b＝3，则a，b的比例中项是．【思路点拨】根据比例中项的定义得到a，b的比例中项的平方＝ab，然后利用算术平方根的定义求a，b的比例中项的值．
【答案】解：∵线段a＝2，b＝3，
∴a，b的比例中项是＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）
与另两条线段的比相等，如a：b＝c：d（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
13．（4分）（2020•宁波模拟）如图，在△ABC中，∠ABC＞90°，∠ABC＝2∠C，BD是∠ABC的平分线，AB＝，BD＝2，则AD为3．
【思路点拨】根据角平分线的定义结合∠ABC＝2∠C，可得出∠ABD＝∠CBD＝∠C，利用等角对等边可得出CD＝BD＝2，结合∠A＝∠A可证出△ABC∽△ADB，再利用相似三角形的性质即可求出AD的长．【答案】解：∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝∠C，
∴CD＝BD＝2．
又∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ADB，
∴＝，即＝，
∴AD＝3或AD＝﹣5（不合题意，舍去）．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了角平分线的定义、相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，利用相似三角形的性质，找出关于AD长的方程是解题的关键．
14．（4分）（2020•浙江自主招生）如图，△ABC是等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积是△ABC的面积的．
【思路点拨】根据题意，易证△AEH∽△AFG∽△ABC，利用相似比，可求出S△AEH、S△AFG面积比，再求出S△ABC．
【答案】解：∵AB被截成三等分，
∴△AEH∽△AFG∽△ABC，
∴，，
∴S△AFG：S△ABC＝4：9，
S△AEH：S△ABC＝1：9，
∴S阴影部分的面积＝S△ABC﹣S△ABC＝S△ABC．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了利用三等分点求得各相似三角形的相似比，从而求出面积比计算阴影部分的面积，难度适中．
15．（4分）（2011秋•虹口区期中）如图，点G是△ABC重心，GE∥BC，如果BC＝6，那么线段GE的长为2．
【思路点拨】由点G是△ABC重心，BC＝6，易得CD＝3，AG：AD＝2：3，又由GE∥BC，可证得△AEG∽△ACD，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得线段GE的长．
【答案】解：∵点G是△ABC重心，BC＝6，
∴CD＝BC＝3，
∵GE∥BC，
∴△AEG∽△ACD，
∴，
∴GE＝2．
故答案为：2．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形重心的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
16．（4分）（2020•鹿城区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，E为AB的中点，点F在BC上，且BF＝2FC，
AF与DE，DB分别相交于点G，H，则的值为．
【思路点拨】如图，延长DE交CB的延长线于T．证明△AED≌△BET（AAS），推出AD＝BT＝BC，设CF＝m，则BF＝2m，AD＝BT＝BC＝3m，TF＝5m，设AF＝a，利用平行线分线段成比例定理求出则AG ＝a，FH＝a，求出GH即可解决问题．
【答案】解：如图，延长DE交CB的延长线于T．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥CT，
∴∠ADE＝∠T，
∵∠AED＝∠BET，AE＝EB，
∴△AED≌△BET（AAS），
∴AD＝BT＝BC，设CF＝m，则BF＝2m，AD＝BT＝BC＝3m，TF＝5m，
∵AD∥TF，
∴＝＝＝，
∴AG＝AF，
∵AD∥BF，
∴＝＝，
∴FH＝AF，设AF＝a，则AG＝a，FH＝a，
∴GH＝a﹣a﹣a＝a，
∴＝，
故答案为．
【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．三．解答题（共7小题，共66分）
17．（6分）（2018秋•西湖区期末）已知．
（1）求．
（2）若2a+b+2c＝﹣30，求a，b，c的值．
【思路点拨】（1）设＝k，得出a＝2k，b＝3k，c＝4k，再代入计算即可；
（2）根据（1）先求出k的值，再代入a＝2k，b＝3k，c＝4k，求出a，b，c的值即可．
【答案】解：（1）设＝k，
则a＝2k，b＝3k，c＝4k，
所以＝＝＝3；
（2）∵由（1）得：2×2k+3k+2×4k＝﹣30，
解得：k＝﹣2，
∴a＝﹣4，b＝﹣6，c＝﹣8．
【点睛】本题主要考查的是比例的性质，设出a、b、c的值是解题的关键．
18．（8分）（2019秋•镇海区校级期中）如图，在所给的方格纸中，每个小正方形边长都是1．△ABC是格点三角形（原点在方格顶点处）
（1）在图2两格点△A1B1C1使△A1B1C1与△ABC相似，相似比为2：1
（2）在图3画格点△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC相似，面积比为2：1
【思路点拨】（1）根据相似比进而得出各边扩大2倍得出答案；
（2）根据相似比进而得出各边扩大倍得出答案．
【答案】解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求：
（2）如图所示：△A2B2C2即为所求：
【点睛】此题主要考查了相似变换，根据题意得出对应边的长是解题关键．
19．（8分）（2019•滨江区一模）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠ACD＝∠B，DE∥BC．
（1）求证：△ADE∽△ACD；
（2）若DE＝6，BC＝10，求线段CD的长．
【思路点拨】（1）由DE∥BC可得∠ADE＝∠B，∠ACD＝∠B，则∠ADE＝∠ACD，结论得证；
（2）可证△CDE∽△BCD，由比例线段可求出线段CD的长．
【答案】（1）证明：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，
∵∠ACD＝∠B，
∴∠ADE＝∠ACD，
∵∠DAE＝∠CAD，
∴△ADE∽△ACD；
（2）解：∵DE∥BC，
∴∠BCD＝∠EDC，
∵∠B＝∠DCE，
∴△CDE∽△BCD，
∴，
∴，
∴CD＝2．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，找准对应边是解题的关键．
20．（10分）（2018秋•德清县期末）如图，点C，D在线段AB上，CD2＝AC•DB，且△PCD是等边三角形．（1）证明：△ACP∽△PDB；
（2）求∠APB的度数．
【思路点拨】（1）根据PC＝PD＝CD，以及CD2＝AC•DB，可得，又∠ACP＝∠PDB，则△ACP ∽△PDB；
（2）根据（1）的结论求出∠APC+∠BPD度数，最后加上∠CPD度数即可．
【答案】（本小题8分）
解：（1）∵△PCD是等边三角形，
∴∠PCD＝∠PDC＝60°，
∴∠ACP＝∠PDB＝120°，
∵CD2＝AC•DB，由PC＝PD＝CD可得：PC•PD＝AC•DB，
即，
∴△ACP∽△PDB；
（2）∵△ACP∽△PDB，
∴∠APC＝∠PBD．
∵∠PDB＝120°，
∴∠DPB+∠DBP＝60°，
∴∠APC+∠BPD＝60°．
∴∠APB＝∠CPD+∠APC+∠BPD＝120°．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
21．（10分）（2019秋•余杭区期末）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上且AE•AB＝AD•AC，连结DE，BD．
（1）求证：△ADE∽△ABC．
（2）若点E为AB中点，AD：AE＝6：5，△ABC的面积为50，求△BCD的面积．
【思路点拨】（1）由已知得出AE：AC＝AD：AB，由∠A＝∠A，即可得出：△ADE∽△ABC．
（2）设AD＝6x，则AE＝5x，AB＝10x，由已知求出AC＝＝x，得出CD＝AC﹣AD＝x，得出＝，由三角形面积关系即可得出答案．
【答案】（1）证明：∵AE•AB＝AD•AC，
∴AE：AC＝AD：AB，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC．
（2）解：∵点E为AB中点，
∴AE＝BE，
∵AD：AE＝6：5，
∴设AD＝6x，则AE＝5x，AB＝10x，
∵AE•AB＝AD•AC，
∴AC＝＝＝x，
∴CD＝AC﹣AD＝x，
∴＝，
∵△ABC的面积为50，
∴△BCD的面积＝×50＝14．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形面积关系等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
22．（10分）（2019秋•余姚市期末）如图1，△ABC内接于⊙O，点D是的中点，且与点C位于AB的异侧，CD交AB于点E．
（1）求证：△ADE∽△CDA．
（2）如图2，若⊙O的直径AB＝4，CE＝2，求AD和CD的长．
【思路点拨】（1）点D是的中点，所以∠ACD＝∠BAD，从而可证△ADE∽△CDA．
（2）连结BD，先证明∠ADB＝90°，，由（1）得△ADE∽△CDA，列出方程即可求出CD的长度．
【答案】解：（1）∵点D是的中点，
∴
∴∠ACD＝∠BAD，
∵∠ADE＝∠CDA
∴△ADE∽△CDA
（2）连结BD，
∵点D时的中点，
∴AD＝BD
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴△ADB为等腰直角三角形，
∴，
由（1）得△ADE∽△CDA，
∴，即AD2＝CD•ED，
∴，
∴CD2﹣2CD﹣48＝0，解得CD＝8或﹣6．
∴CD＝8．
【点睛】本题考查圆的综合问题，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定以及圆的相关性质，本题属于中等题型．
23．（12分）（2018秋•江干区期末）如图，在菱形ABCD中，点E在BC边上（不与点B、C重合），连接AE、BD交于点G．
（1）若AG＝BG，AB＝4，BD＝6，求线段DG的长；
（2）设BC＝kBE，△BGE的面积为S，△AGD和四边形CDGE的面积分别为S1和S2，把S1和S2分别用k、S的代数式表示；
（3）求的最大值．
【思路点拨】（1）证明△BAG∽△BDA，利用相似比可计算出BG＝，从而得到DG的长；
（2）先证明△ADG∽△EBG，利用相似三角形的性质得＝（）2＝k2，＝＝k，所以S1＝k2S，根据三角形面积公式得到S△ABG＝，再利用菱形的性质得到S2＝S1+﹣S＝k2S+kS﹣S＝（k2+k﹣1）S；
（3）由于＝＝1+﹣，然后根据二次函数的性质解决问题．
【答案】解：（1）∵AG＝BG，
∴∠BAG＝∠ABG，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴∠BAG＝∠ADB，
∴△BAG∽△BDA，
∴＝，即＝，
∴BG＝，
∴DG＝BD﹣BG＝6﹣＝；
（2）∵四边形ABCD为菱形，
∴BC＝AD＝kBE，AD∥BC，
∵AD∥BE，
∴∠DAE＝∠BEA，∠ADG＝∠BEG
∴△ADG∽△EBG，
∴＝（）2＝k2，＝＝k，
∴S1＝k2S，
∵＝＝k，
∴S△ABG＝，
∵△ABD的面积＝△BDC的面积，
∴S2＝S1+﹣S＝k2S+kS﹣S＝（k2+k﹣1）S；
（3）∵＝＝1+﹣＝﹣（﹣）2+，
∴的最大值为．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．注意相似三角形面积的比等于相似比的平方．也考查了菱形的性质．。