高中数学北师大版选修12教案：第4章复数的乘法与除法参考教案2
高中数学北师大版选修12教案：第4章数系的扩充与复数的引入复习参考教案
数系的扩充与复数的引入一、教学目标：1、了解数的概念发展和数系扩充的过程，了解引进虚数单位i的必要性和作用，体会数学发现和创造的过程，以及数学发生、发展的客观需求；2、理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件；3、理解并掌握复数的代数形式四则运算法则与规律二、教学重难点：复数的基本概念以及复数相等的充要条件；复数的代数形式四则运算法则与规律。
三、教学方法：探究归纳，讲练结合四、教学过程（一）、基础梳理1、复数的概念及其表示形式：通常复数z的实部记作Rez；复数z的虚部记作Imz.两个重要命题：（2）复数的几何形式：复数集与平面上的点集之间能建立一一对应关系，故可用平这是解决复数问题时进行虚实转化的工具：在复平面上，互为共轭复数的两个点关于实轴对称：2.、复数的运算：（1）四则运算法则（可类比多项式的运算）简记为“分母实数化”。
特例：利用复数相等的充要条件转化为解实方程组。
（二）、例题探析例1、1、若i-)=2(，其中a、b∈R，i是虚数单位，则ia-bi2b2a+= 。
答案52、已知复数i z i z 21,221+=+=，则12z z z =在复平面内所对应的点位于（ ） (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 答案：A3、已知m R ∈，复数2(2)(21)1m m z m m i m +=++--，当m 为何值时：（1）z R ∈；（2）z 是虚数；（3）z 是纯虚数．解：（1）当2210m m +-=且10m -≠，即1m =-±z 是实数；（2）当2210m m +-≠且10m -≠，即1m ≠-±1m ≠时，z 是虚数；（3）当(2)01m m m +=-且2210m m +-≠，即0m =或2-时，z 为纯虚数．学生练习，教师准对问题讲评。
例2、计算①25(4)(2)i i i ++； ②1281()2i -+；③2i)(1i 1+-+2i)(1i 1-+答案：①138i -；②7-+；③-1学生练习，教师准对问题讲评。
北师大版高中数学选修1-2同步教学：第4章 2 第2课时 复数的乘法与除法
数系的扩充与复数的引入 §2 复数的四则运算
第2课时 复数的乘法与除法
1
自主预习学案
2
互动探究学案
3
课时作业学案
自主预习学案
根据复数的几何意义和平面向量在坐标表示下的加 (减)法运算，我们很容易规定了复数的加(减)法规则，因 为实数是复数的一部分，且实数有其乘法运算，因此我 们有理由且应当规定复数集内的乘法运算，使实数的乘 法作为复数乘法的一种特殊情况，考虑到复数的代数标 准形式及 i2＝－1，并联系多项式的乘法法则，就可建立复数的代数乘法规则。
• 〔跟踪练习1〕
• (1)(2018·全国Ⅱ卷文,2)i(2＋3Di)＝( )
• A．3－2i
B．3＋2i
• C．－3－2i D．－3＋2i • (2)(2018·全国Ⅲ卷理,2)(1＋i)(2－Di)＝( )
• A．－3－i B．－3＋i
• C．3－i D．3＋i
• [解析] (1)i(2＋3i)＝2i＋3i2＝－3＋2i. • 故选D． • (2)(1＋i)(2－i)＝2＋2i－i－i2＝3＋i. • 故选D．
• [解析] (1)(2＋i)(1＋2i)(2－i)－5i • ＝(2＋i)(2－i)(1＋2i)－5i • ＝(4－i2)(1＋2i)－5i • ＝5(1＋2i)－5i • ＝5＋10i－5i＝5＋5i. • (2)(1－i)2(1＋i)2＋4＝[(1－i)(1＋i)]2＋4 • ＝(1－i2)2＋4＝22＋4＝8.
解法二：∵ z＝2＋i，∴ z·z ＝|z|2＝5.故选 D．
• 4．已知复数z＝(2－i)2(i为虚数单位),则复数z的－虚4 部为 _________.
• [解析] z＝(2－i)2＝4－4i＋i2＝4－4i－1＝3－4i.
高中数学 第四章 数系的扩充 复数复数的乘法与除法教案2 北师大版选修1-2
复数复数的乘法与除法一、教学目标：1、知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算。
2、过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题。
3、情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。
二、教学重难点重点：复数的代数形式的乘除运算及共轭复数的概念难点：乘除运算三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）、复习准备1. 复数的加减法的几何意义是什么？2. 计算（1）(14)(72)i i +-+ （2）(52)(14)(23)i i i --+--+ （3）(32)(43)(5)]i i i --+-+-[3. 计算：（1）(1(2⨯ （2）()()a b c d +⨯+ （类比多项式的乘法引入复数的乘法）（二）、探析新课1.复数代数形式的乘法运算①.复数的乘法法则：2()()()()a bi c di ac bci adi bdi ac bd ad bc i ++=+++=-++。
例1．计算（1）(14)(72)i i +⨯- （2）(72)(14)i i -⨯+ （3）[(32)(43)](5)i i i -⨯-+⨯+ （4）(32)(43)(5)]i i i -⨯-+⨯+[探究：观察上述计算，试验证复数的乘法运算是否满足交换、结合、分配律？例2．1、计算（1）(14)(14)i i +⨯- （2）(14)(72)(14)i i i -⨯-⨯+（3）2(32)i +2、已知复数Z ，若，试求Z 的值。
变：若(23)8i Z +≥，试求Z 的值。
②共轭复数：两复数a bi a bi +-与叫做互为共轭复数，当0b ≠时，它们叫做共轭虚数。
注：两复数互为共轭复数，则它们的乘积为实数。
练习：说出下列复数的共轭复数32,43,5,52,7,2i i i i i --++--。
高中数学复数乘除教案
高中数学复数乘除教案一、教学目标：1. 理解复数的乘法和除法的定义和运算法则。
2. 熟练掌握复数的乘法和除法的计算方法。
3. 能够解决相关的实际问题。
二、教学重难点：1. 复数的乘法和除法的运算法则。
2. 复数的乘除混合运算的解题方法。
三、教学准备：1. 准备复数的乘法和除法的相关习题。
2. 准备板书和教学课件。
3. 备有学生讲解和解题的素材。
四、教学过程：1. 复数的乘法：首先复习一下复数的定义和加减法运算法则，然后介绍复数的乘法规则。
学生可以通过展示实例进行练习，以加强理解。
2. 复数的除法：介绍复数的除法规则，并结合实例进行展示和练习。
教师应重点解释复数的除法运算过程和步骤。
3. 复数乘除混合运算：学生通过实例进行习题练习，巩固复数的乘法和除法运算法则。
教师可以提供一些实际问题，让学生应用所学的知识解决问题。
4. 课堂练习：通过课堂练习，学生对复数的乘法和除法进行巩固和提高。
教师可以提供一定量的练习题，让学生熟练掌握相关知识。
五、作业布置：布置相关的练习题，让学生进行巩固和复习。
同时，鼓励学生多进行实际问题的应用练习，加深对复数乘除的理解和掌握。
六、课堂小结：通过本节课的学习，学生应该理解复数的乘法和除法的定义和运算法则，能够熟练进行相关的计算和解题。
同时，掌握并运用复数乘除混合运算的方法，解决实际问题。
以上为高中数学复数乘除教案范本，希望能对您的教学工作有所帮助。
祝教学顺利！。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修1-2 2.2复数的乘法与除法》4
《复数的乘法与除法》教学设计主备人：袁长生审核人：高二数学备课组一、教学目标1掌握复数代数形式的乘法和除法运算2理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律3理解共轭复数的概念教学重点：1．理解共轭复数的概念．2．掌握复数的四则运算法则与运算律．教学难点：掌握复数的四则运算法则与运算律教具准备：多媒体、实物投影仪。
二、重点、难点分析本节的重点和难点是复数乘除法运算法则及复数的有关性质．复数的代数形式相乘，与加减法一样，可以按多项式的乘法进行，但必须在所得的结果中把i2换成一1，并且把实部与虚部分合并．很明显，两个复数的积仍然是一个复数即在复数集内，乘法是永远可以实施的，同时它满足并换律、结合律及乘法对加法的分配律．规定复数的除法是乘法的逆运算，它同多项式除法类件）当两个多三项式相除除，可以写成分式，若分母含有理式时，要进行分母有理化，而两个复数相除时，要使分母实数化，即分式的分子和分母都乘以分母的共轭复数，使分母变成实数。
三、学情分析学生通过复数加法和减法的学习及课前预习复数的乘法和除法，对本节课的内容有了初步了解。
四、教学过程设计、课前预习【自学指导】：（学、思、做）阅读教材124．共轭复数如果两个复数的实部相等，虚部互为相反数，那么这样的两个复数叫作互为共轭复数．复数的共轭复数用\to来表示，即＝a＋b i，则\to＝a－b i5．复数的除法法则设1＝a＋b i，2＝c＋d i c＋d i≠0，则错误!＝错误!＝错误!＋错误!i、引入新课前面学习了复数的代数形式的加减法，其运算法则与两个多项式相加减的法一致。
那么两个复数的乘法运算是否仍可与两个多项式相乘类似的办法进教学中，可建学生先按此办法计算，然后将同学们运算所得结果与教科书的规定对照，从而引入新课。
、学生回答复数的乘法法则指出复数乘法与多项式乘法类似，但注意结果中i2应化为－1、学生回答复数的乘法满足的运算律引导学生证明复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律、学生回答共轭复数的概念引导学生归纳总结共轭复数的性质、学生回答复数的除法法则指出复数的除法与分母有理化的方法类似，复数除法先写成分式的形式，再将分母实数化，即把分子与分母都乘以分母的共轭复数，并进行化简．但注意结果一般写成实部与虚部分开的形式．、例题讲解【展示提升】：（议、展、疑）例1．计算：11＋i1－i＋－1＋i；2错误!错误!1＋i；3－2＋3i÷1＋2i；设计意图：熟悉复数乘法和除法的运算法则例2．计算：1 错误!＋错误!2 010；2 1＋i＋i2＋i3＋…＋i2 010；3错误!6；设计意图：向学生指出：（1）本题主要考查复数的运算法则以及有关性质．复数的运算顺序与实数的运算顺序相同，都是先进行乘方、开方，再进行乘、除，最后进行加、减．有括号应先处括号里面的。
《复数的乘法与除法》示范公开课教案【高中数学必修第二册北师大】
第五章复数5.2.2复数的乘法与除法◆教学目标1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算，能够运用法则求两个复数的积与商．2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．◆教学重难点◆教学重点：复数代数形式的乘、除运算法则及其运算律．教学难点：复数除法的运算法则．◆教学过程一、新课导入情境：我们知道，两个一次式相乘，有(ax+b)(cx+d)=acx2+(bc+ad)x+bd，复数的加减法也可以看作多项式相加减，那么复数的乘除法又该如何定义呢？设计意图：类比多项式的乘法运算，以及复数的加减法运算与多项式加法运算的关系，引导学生思考复数乘除法运算法则．二、新知探究问题1：类比多项式的乘法，我们该如何定义两复数的乘法呢？答案：我们规定，复数的乘法法则为：设z1=a+b i，z2=c+d i(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+b i)(c+d i)=ac+bc i+ad i+bdi2=ac+bc i+ad i−bd=(ac−bd)+(bc+ad)i．追问1：两个复数的积是个什么数？它的的值唯一确定吗？答案：通过观察，我们发现，两个复数的积仍是复数，它的值唯一确定．追问2：当z1z2都是实数时，复数乘法的运算法则与实数乘法法则一致吗？答案：根据法则，我们发现，当b=d=0时，z1z2都是实数，复数的乘法与实数乘法法则一致．追问3：复数的乘法类似于实数的哪种运算方法？答案：两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得结果中把i2换成−1，并且把实部与虚部分别合并即可．结论：两个复数的积仍然是一个复数，且唯一确定，运算中与实数的乘法法则保持一致，类似于两个多项式相乘．设计意图：与实数多项式的乘法进行类比，有利于学生理解复数的乘法法则．同时培养学生类比的核心素养．问题2：类比实数的运算律，你认为复数乘法满足哪些运算律？请证明你的猜想．答案：猜想：对于任意对于任意z1，z2，z3∈C，有：交换律：z1∙z2=z2∙z1；结合律：(z1∙z2)∙z3=z1∙(z2∙z3)；分配律：z1(z2+z3)=z1∙z2+z1∙z3．证明：设z1＝a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i．(1)∵z1∙z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2−b1b2)+(b1a2+a1b2)iz2∙z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1−b2b1)+(b2a1+a2b1)i又a1a2−b1b2=a2a1−b2b1，b1a2+a1b2=b2a1+a2b1，∴z1∙z2=z2∙z1．(2)(z1∙z2)∙z3=[(a1+b1i)(a2+b2i)](a3+b3i)．=[(a1a2−b1b2)+(b1a2+a1b2)i](a3+b3i)=[(a1a2−b1b2)a3+(b1a2+a1b2)b3]+[(b1a2+a1b2)a3+(a1a2−b1b2)b3]i=(a1a2a3−b1b2a3−b1a2b3−a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3−b1b2b3)i，同理可得：z1∙(z2∙z3)=(a1a2a3−b1b2a3−b1a2b3−a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3−b1b2b3)i，∴(z1∙z2)∙z3=z1∙(z2∙z3)．(3) z1(z2+z3)=(a1+b1i)[(a2+b2i)+(a3+b3i)]=(a1+b1i)[(a2+a3)+(b2+b3)i]=[a1(a2+a3)−b1(b2+b3)]+[b1(a2+a3)−a1(b2+b3)]i=(a1a2+a1a3−b1b2−b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)iz1∙z2+z1∙z3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i)=(a1a2−b1b2)+(b1a2+a1b2)i+(a1a3−b1b3)+(b1a3+a1b3)i=(a1a2−b1b2+a1a3−b1b3)+(b1a2+a1b2+b1a3+a1b3)i=(a 1a 2+a 1a 3−b 1b 2−b 1b 3)+(b 1a 2+b 1a 3+a 1b 2+a 1b 3)i∴z 1(z 2+z 3)=z 1∙z 2+z 1∙z 3．设计意图：引导学生根据复数的加法满足实数加法的运算律，大胆尝试推导复数乘法的运算律．培养学生的学习兴趣和勇于探索的精深．想一想：计算：(1)(−2−i )(3+i )； (2)(1−2i )(3+4i )(−2+i )． 分析：本例可以用复数的乘法法则计算，也可以用乘法公式计算． 解：(1) (−2−i )(3+i )=−6−2i −3i −i 2=−5−5i ； (2)(1−2i )(3+4i )(−2+i )=(11−2i )(−2+i )=−20+15i ．总结：按照复数的乘法法则，三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一致，在计算时，若符合乘法公式，则可直接运用公式计算．问题3：如何定义复数的乘方运算呢？答案：对于复数z ，定义它的乘方z n =z ∙z ∙ … ∙z ．根据乘法的运算律，实数范围内正整数指数幂的运算性质在复数范围内仍然成立，即对复数z ，z 1，z 2和正整数m ，n ，有：z m ∙z n =z m+n ，(z m )n =z mn ，(z 1∙z 2)n =z 1n ∙z 2n ．追问：i 0=1，i 1=i ，i 2=−1，i 3=−i ，…以此类推，你发现了什么规律？ 答案：i 4n =1，i 4n+1=i ，i 4n+2=−1，i 4n+3=−i (n ∈N )．思考：计算下列各式，你发现其中有什么规律吗？请将你概括出的规律与同学交流，并证明. (1)(3+2i )(3−2i )；(2)(2+i )(2−i )；(3)(−2√2−i)(−2√2+i)；(4)(√3+√2i)(√3−√2i)．答案：(1)(3+2i )(3−2i )=32−6i +6i −(2i )2=9−(−4)=13； (2)(2+i )(2−i )=22−2i +2i −i 2=4−(−1)=5；(3)(−2√2−i)(−2√2+i)=(−2√2)2−2√2i +2√2i −i 2=8−(−1)=9； (4)(√3+√2i)(√3−√2i)=(√3)2−√6i +√6i −(√2i)2=3−(−2)=5．规律：互为共轭复数的两个复数的乘积是实数，等于这个复数（或其共轭复数）模的平方．即若z =a +b i (a ，b ∈R)，则z ∙z̅=|z |2=|z̅|2=a 2+b 2．问题4：我们利用复数的减法是复数加法的逆运算，由复数的加法法则，推导出了复数的减法法则．同样，复数的除法是乘法的逆运算，尝试利用复数的乘法法则，去推导复数的除法法则．答案：我们通过引入倒数来定义复数的除法．给定复数z2，若存在复数z，使得z2∙z=1，则称z是z2的倒数，记作z=1z2．设z2=c+di≠0和z= x+yi(c，d，x，y∈R)，则z2∙z=(c+di)( x+yi)=cx−dy+ (cy+dx)i=1，所以{cx−dy=1，cy+dx=0，解得{x=cc2+d2，y=−dc2+d2．所以z2=c+di的倒数1z2=cc2+d2−dc2+d2i．（这里要求c，d不能同时为0，即z2≠0．）对任意的复数z1=a+b i(a，b∈R)和非零复数z2=c+di(c，d∈R)，规定复数的除法：z1z2=z1∙1z2，即除以一个复数，等于乘这个复数的倒数．因此z1 z2=a+bic+di=(a+bi)(cc2+d2−dc2+d2i)=ac+bdc2+d2−ad−bcc2+d2i．说明：在实际计算a+bic+di时，通常把分子和分母同乘分母c+di的共轭复数c−di，化简后就得到上面的结果：a+bi c+di =(a+bi)(c−di)(c+di)(c−di)=ac+bdc2+d2−ad−bcc2+d2i．由此可见，在进行复数除法运算是，实际上是将分母“实数化”．设计意图：通过引入复数的倒数，将复数的除法转化成乘法，再类比实数中的分母有理化，对分母进行实数化，通过该化简的过程，帮助学生理解复数的除法法则．渗透类比和转化的数学思想方法，体会数学知识的紧密联系．解：原式=[(−2−3i)(−1+3i)](√6+i)=(2−6i+3i−9i2)(√6+i)=(11−3i)(√6+i)=11√6+11i−3√6i−3i2=(11√6+3)+(11−3√6)i．例2 计算：(1)(1+i)4；(2)(2−i)2(2+i)2．解：(1)(1+i)4=[(1+i)2]2=(1+2i+i2)2=(2i)2=−4；(2)(2−i)2(2+i)2=[(2−i)(2+i)]2=(4+1)2=25．例3 求一元二次方程ax2+bx+c=0(a，b，c，d∈R，且a≠0)在复数范围内的根x1，x2，并验证x1+x2=−ba ，x1x2=ca．解：使用配方法容易得到：(x +b2a )2=b 2−4ac 4a 2．(1)若b 2−4ac ≥0，则x 1=−b+√b 2−4ac2a ，x 2=−b−√b 2−4ac2a．因此x 1+x 2=−b+√b 2−4ac2a+−b−√b 2−4ac2a=−b a，x 1x 2=−b+√b 2−4ac2a ·−b−√b 2−4ac2a=b 2−(b 2−4ac )4a 2=ca．(2)若b 2−4ac<0，则x +b 2a=±√4ac−b 24a 2i ，即x 1=−b+√4ac−b 2i2a，x 2=−b−√4ac−b 2i2a．因此x 1+x 2=−b+√4ac−b 2i2a+−b−√4ac−b 2i2a=−ba ，x 1x 2=−b+√4ac−b 2i 2a·−b−√4ac−b 2i2a=b 2+(4ac−b 2)4a 2=ca ．综上所述，一元二次方程x 2+bx +c =0(a ≠0)在复数范围内的根x 1，x 2都满足x 1+x 2=−ba，x 1x 2=ca．例4 证明：对任意的两个复数z 1，z 2，若z 1·z 2=0，则z 1，z 2至少有一个为0． 解：设z 1≠0，则|z 1|≠0，z 1的共轭复数z̅1≠0．将z 1·z 2=0的左右两边同时乘z̅1，得z 1·z 2·z̅1=0·z̅1，即|z̅1|2·z 2=0． 因为|z̅1|2≠0，所以z 2=0． 例5 计算：(1)−12i；(2)1+2i 2−3i ；(3)(1+i1−i )6． 解：(1)−12i=−1×(−i )2i×(−i )=i2；(2)1+2i2−3i=(1+2i )×(2+3i )(2−3i )×(2+3i )=−4+7i 13=−413+713i ； (3)(1+i 1−i)6=[(1+i )2(1−i )(1+i )]6=(2i 2)6=i 6=−1． 设计意图：在熟练应用复数的乘法除法运算法则之余，进行提升练习。
2022年 高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修1-2 2.2复数的乘法与除法》
复数的乘法与除法
一、教学目标
〔1〕掌握复数乘法与除法的运算法那么，并能熟练地进行乘、除法的运算；〔2〕能应用i和的周期性、共轭复数性质、模的性质熟练地进行解题；〔3〕让学生领悟到“转化〞这一重要,n∈N有:
m·n=mn,
mn=mn,
1·2n=1n·2n
【总结提升】
复数的乘法运算法那么的记忆：
1，复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行，
2，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简．
回忆本节课你有什么收获？
1复数乘法的法那么及运算律
2共轭复数的概念以及应用
3复数的乘法法那么及应用的原理。
【教案】高中数学北师大版选修12教案第4章复数复数的乘法与除法参考教案1
【关键字】教案单数的乘法与除法教学目的：1、掌握单数的加、减、乘、除四则运算及其运算律；理解单数加、减法的几何意义。
2、培养类比思想和逆向思维。
3、培养学生探索精神和良好的学习习惯。
教学重点：单数的加、减、乘、除四则运算及其运算律。
教学难点：运用类比思想由实数运算法则探究单数运算法则。
教学方法：类比法。
教学过程：一、复习引入单数的加法：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a,b,c,d∈R)是任意两个单数，则它们和为z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i单数的和仍然为一个单数，其实部为z1、z2的实部和，虚部为z1、z2的虚部和。
单数加法满足(1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1；(2)结合律(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)单数的减法：(加法的逆运算)单数a＋bi减去单数c＋di的差是指满足(c＋di)＋(x＋yi)＝a＋bi的单数x＋yi，记作(a＋bi)－(c＋di)根据单数相等的定义：(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i单数的差仍然是一个单数，其实部为两个单数实部的差，虚部为两个单数虚部的差。
显然，减法不满足交换律和结合律。
单数加法的几何意义：单数可以用向量表示，单数加法的几何意义即为平行四边形法则。
证明思路1：设z1＝a＋bi、z2＝c＋di分别对应复平面上的点Z1(a，b)和Z2(c，d)，z ＝(a＋c)＋(b＋d) i对应复平面上Z (a＋c，b＋d)，证明OZ1ZZ2为平行四边形。
证明思路2：根据平行四边形法则求得点Z，证明其坐标为(a＋c，b＋d)。
＋＝＜＝＞z1＋z2＝z单数减法的几何意义：单数减法的几何意义即为三角形法则。
－＝＜＝＞z1－z2＝z二、新课讲解1.单数的乘法：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个单数，则它们积为z1•z2＝(a＋bi) (c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i单数的积仍然为一个单数，单数的乘法与多项式的乘法相似。
北师大版高中数学选修复数的四则运算教案(2)
复数代数形式的四则运算复数代数形式的乘除运算教学目标：知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。
教学重点：复数代数形式的除法运算。
教学难点：对复数除法法则的运用。
教具准备：多媒体、实物投影仪。
教学设想：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di⇔a=c，b=d，只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小教学过程：学生探究过程：1.虚数单位i:(1)它的平方等于-1，即i2=-1;(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立2.i与－1的关系:i就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－i3.i的周期性：i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=14.复数的定义：形如a+bi(a,b∈R)的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示*3.复数的代数形式:复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R)，把复数表示成a+bi 的形式，叫做复数的代数形式4.复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数a+bi(a,b∈R)，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0.5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C.6.两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di⇔a=c，b=d一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小7.复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数2 2131 2； 2. 2 =3 2 2 是 z=0+0 i=0 表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数8．复数 z 1 与 z 2 的和的定义：z 1+z 2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.9. 复数 z 1 与 z 2 的差的定义：z 1-z 2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 10. 复数的加法运算满足交换律:z 1+z 2=z 2+z 1.11. 复数的加法运算满足结合律: (z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3)讲解新课：１．乘法运算规则：规定复数的乘法按照以下的法则进行：设 z 1=a+bi ，z 2=c+di(a 、b 、c 、d ∈R )是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac － bd)+(bc+ad)i.其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把 i 换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.2.乘法运算律： (1)z(z z 3)=(zz 2)z证明：设 z 1=a 1+b 1i ，z 2=a 2+b 2i ，z 3=a 3+b 3i(a 1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3∈R ).∵z 1z 2=(a 1+b 1i)(a 2+b 2i)=(a 1a 2-b 1b 2)+(b 1a 2+a 1b 2)i ， z 2z 1=(a 2+b 2i)(a 1+b 1i)=(a 2a 1-b 2b 1)+(b 2a 1+a 2b 1)i. 又 a 1a 2-b 1b 2=a 2a 1-b 2b 1，b 1a 2+a 1b 2=b 2a 1+a 2b 1. ∴z 1z 2=z 2z 1.(2)z(z +z 3)=z 1z 2+z 1z 3证明：设 z 1=a 1+b 1i ，z 2=a 2+b 2i ，z 3=a 3+b 3i(a 1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3∈R ).∵(z 1z 2)z 3= ［(a 1+b 1i)(a 2+b 2i )］(a 3+b 3i)=［(a 1a 2-b 1b 2)+(b 1b 2+a 1b 2)i ］(a 3+b 3i )= ［(a 1a 2-b 1b 2)a 3-(b 1a 2+a 1b 2)b 3］+［(b 1a 2+a 1b 2)a 3+(a 1a 2-b 1b 2)b 3］i =(a 1a 2a 3-b 1b 2a 3-b 1a 2b 3-a 1b 2b 3)+(b 1a 2a 3+a 1b 2b 3+a 1a 2b 3-b 1b 2b 3)i ， 同理可证：z 1(z 2z 3)=(a 1a 2a 3-b 1b 2a 3-b 1a 2b 3-a 1b 2b 3)+(b 1a 2a 3+a 1b 2a 3+a 1a 2b 3-b 1b 2b 3)i ， ∴(z 1z 2)z 3=z 1(z 2z 3). (3)z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3.证明：设 z 1=a 1+b 1i ，z 2=a 2+b 2i ，z 3=a 3+b 3i(a 1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3∈R ). ∵z 1(z 2+z 3)=(a 1+b 1i )［(a 2+b 2i)+(a 3+b 3i)］=(a 1+b 1i )［(a 2+a 3)+(b 2+b 3)i ］= ［a 1(a 2+a 3)-b 1(b 2+b 3)］+［b 1(a 2+a 3)+a 1(b 2+b 3)］i =(a 1a 2+a 1a 3-b 1b 2-b 1b 3)+(b 1a 2+b 1a 3+a 1b 2+a 1b 3)i.z 1z 2+z 1z 3=(a 1+b 1i)(a 2+b 2i)+(a 1+b 1i)(a 3+b 3i )=(a 1a 2-b 1b 2)+(b 1a 2+a 1b 2)i+(a 1a 3-b 1b 3)+(b 1a 3+a 1b 3)i =(a 1a 2-b 1b 2+a 1a 3-b 1b 3)+(b 1a 2+a 1b 2+b 1a 3+a 1b 3)i =(a 1a 2+a 1a 3-b 1b 2-b 1b 3)+(b 1a 2+b 1a 3+a 1b 2+a 1b 3)i∴z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3.例 1 计算(1-2i)(3+4i)(-2+i)解：(1-2i)(3+4i)(-2+i)＝(11-2i) (-2+i)= -20+15i. 例 2 计算：（1）(3+4i) (3-4i) （2）（1+ i) 解：（1）(3+4i) (3-4i) -（4i ）2=9-(-16)=25;(2) （1+ i)=1+2 i+i=1+2 i-1=2 i.3.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复⎩dx + cy = b .⎪⎪ c 2 + d 2⎪ y = bc - ad .于是有:(a +bi)÷(c +di)= ac + bd ⎩原式= a + bi ( 数虚部不等于 0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数通常记复数 z 的共轭复数为 z 。
北师大版数学高二4.2复数的乘除法 学案 (北师大选修1-2)
4.2复数的乘除法一、【学习目标】理解复数乘法的运算法则，了解乘方的规则，掌握一些常见结果。
【重点、难点】乘方的对比学习、常见结果的理解与运用。
二、【过程】（一）复习回顾：1、复数加减法的运算法则；（二）新授课：1、自主学习：（1）课本乘法运算及法则，做以下练习（学生板演）（1）(23)(42)i i -+；（2）(12)(34)(2)i i i ++-+；（3）()()a bi a bi +-探求新知：由（3）可以知道：设：z a bi =+，z a bi =-， 则22z z a b ⋅=+，而222||z a b =+，于是：2||z z z ⋅==2||z ；特别是：||1z =，则1z z ⋅=；（2）、复数的乘方：对任意的复数123,,z z z 和正整数：有：（1）m n m n z z z +⋅=、（2）()n m mn z z =、（3）1212()m m m z z z z ⋅=⋅练习； 计算：4(12)i +2、思考探究： 1i =____，2i =___，3i =____，4i =____，5i =_____，6i =_____,7i =_____，8i =______，…，一般的：*n N ∈，则4n i =_____；41n i +=_____；42n i +=_____；43n i +=_____；练习： （1）计算：2(1)i +（2） （21)i -（3）求所有的正整数n 的值，使2(1)n i +是实数；（4）求所有的正整数n 的值，使(1)n i -是实数；小结：1、复数乘法法则2、复数的乘方3、i 的周期性4、2||z z z =⋅三、【达标练习】1、计算：511252670i i i i i ++++；2、计算：（1） 2(47)i i -- （2） 1()22i - （3） 5(1)i + （4） 123100i ++++ （5）210001i i i ++++3、已知35z i =-，求zz z z ++7、指出下列命题正确的是那几个命题：（1）12||||0z z +=，则10z =且20z =；（2）22120z z +=，则10z =且20z =；（3）22||z z =；（4）12||||z z =，则12z z =±；（5） 22||||z z =；（6）2212z z >，则 2212z z >4、 计算（1） 31()22-+ （2） 31()22--（2） 设112ω=-+，212ω=-， 计算：2111ωω++；2221ωω++； 复数代数形式的除法运算一、学习目标：1：理解并掌握复数的代数形式与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算2：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题学习重点：复数代数形式的除法运算。
北师大版数学高二4.2复数的乘除法二 学案 (北师大选修1-2)
4.2复数代数形式的四则运算一、学习目标1.理解复数的加减运算及其运算律,并了解复数加减的几何意义.2.在复数代数形式的四则计算中,体会复数与向量的共同之处, ,激发学生学数学用数学的.二、复习回顾1、复数的概念：形如______________的数叫做复数，a ，b 分别叫做它的_____________。
____________时为纯虚数___________时实数_____________时非纯虚数2复数1z =a+bi,2z =c+di 相等的充要条件是_____________。
3.复数的几何意义是什么？复数 Z=a+bi 与平面向量______________________________一一对应类比实数的运算法则能否得到复数的运算法则？三、学习过程1、自主学习：复数的加法法则：设1z =a+bi,2z =c+di (a 、b 、c 、d ∈R)是任意两个复数，那么它们的和：（a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i点评:（1）复数的加法运算法则是一种规定。
当b=0，d=0时与实数加法法则保持一致（2）很明显，两个复数的和仍然是一个复数。
对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形。
练习：计算(1)(２＋３i)+(-3+7i)=_______________________________(2)-4+(-2+6i)+(-1-0.9i)=__________________________(3)已知1z =a+bi,2z =c+di ，若1z +2z 是纯虚数，则有（ ）A.a-c=0且b-d ≠0B. a-c=0且b+d ≠0C. a+c=0且b-d ≠0D.a+c=0且b+d ≠02.运算律合作探究：复数的加法满足交换律，结合律吗？点评：实数加法运算的交换律、结合律在复数集C 中依然成立。
3.探究？复数与复平面内的向量有一一的对应关系。
我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？复数的加法可按照向量的加法来进行，这就是复数加法的几何意义4.思考？复数是否有减法？)设1z =a+bi,2z =c+di (a 、b 、c 、d ∈R)是任意两个复数，那么它们的差：()()()()a bi c di a c b d i两个复数相减就是把实部与实部、虚部与虚部分别相减。
高中数学 4.2 第2课时复数的乘法与除法课件 北师大版选修12
第二十八页，共42页。
[方法规律总结] 除数(chúshù)是虚数的复数的除法是将分 子、分母同乘以分母的共轭复数，再按复数的乘法进行运算， 最后化简．
第二十九页，共42页。
(2014·天津文，1)i 是虚数单位，复数37＋＋4ii＝(
)
A．1－i
B．－1＋i
C．1275＋3215i
成才之路 ·数学 (shùxué)
北师大版 ·选修(xuǎnxiū)1-2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第一页，共42页。
数系的扩充(kuòchōng)与复数的引入
第四章
第二页，共42页。
§2 复数(fùshù)的四则运算 第2课时 复数的乘法(chéngfǎ)与除法
第四章
第三页，共42页。
1 自主预习学案 2 典例探究学案 3 巩固提高学案
第十九页，共42页。
牛刀小试
5．(2014·全国大纲理，1)设 z＝31＋0ii，则 z 的共轭复数为(
)
A．－1＋3i C．1＋3i
B．－1－3i D．1－3i
[答案(dáàn)] D
[解析] 本题考查了复数的运算以及共轭复数的概念，Z＝ 31＋0ii3－3－ii＝3i＋1，所以复数 Z 的共轭复数是 1－3i.
第四页，共42页。
自主预习学案
第五页，共42页。
掌握复数代数形式的乘法和除法(chúfǎ)运算． 理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律． 理解共轭复数的概念．
第六页，共42页。
重点：复数的乘除运算及共轭复数的概念． 难点(nádiǎn)：复数的除法运算．
第七页，共42页。
复数代数(dàishù)形式的乘法 思维导航 1．两个实数的积、商是一个实数，那么两个复数的积、 商是怎样的？怎样规定两个复数的乘、除运算，才能使在复数 集中的乘法、除法与原实数集中的有关规定相容(xiānɡ rónɡ)？ 复数的加减运算把i看作一个字母，相当于多项式的合并同类 项，那么复数乘法可否像多项式乘法那样进行呢？
【条件】高中数学北师大版选修12教案第4章数系的扩充与复数的概念参考教案
【关键字】条件数系的扩充与复数的概念一、教学目标：1、知识与技能：了解引进单数的必要性；理解并掌握虚数的单位i；2、过程与方法：理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律；3、情感、态度与价值观：理解并掌握单数的有关概念(单数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部) 理解并掌握单数相等的有关概念。
二、教学重点，难点：单数的基本概念以及单数相等的充要条件。
三、教学方法：阅读理解，探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）、问题情境1、情境：数的概念的发展：从正整数扩充到整数，从整数扩充到有理数，从有理数扩充到实数，数的概念是不断发展的，其发展的动力来自两个方面．①解决实际问题的需要．由于计数的需要产生了自然数；为了刻画具有相反意义的量的需要产生了负数；由于测量等需要产生了分数；为了解决度量正方形对角线长的问题产生了无理数(即无限不循环小数)．②解方程的需要．为了使方程有解，就引进了负数，数系扩充到了整数集；为了使方程有解，就要引进分数，数系扩充到了有理数集；为了使方程有解，就要引进无理数，数系扩充到了实数集．引进无理数以后，我们已经能使方程永远有解．但是，这并没有彻底解决问题，当时，方程在实数范围内无解．为了使方程有解，就必须把实数概念进一步扩大，这就必须引进新的数．（可以以分解因式：为例）2、问题：实数集应怎样扩充呢？（二）、新课探析1、为了使方程有解，使实数的开方运算总可以实施，实数集的扩充就从引入平方等于的“新数”开始．为此，我们引入一个新数，叫做虚数单位（）．并作如下规定：①；②实数可以与进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立．在这种规定下，可以与实数相乘，再同实数相加得．由于满足乘法交换律和加法交换律，上述结果可以写成()的形式．2、单数概念及单数集形如()的数叫做单数。
全体单数构成的集合叫做单数集，一般用字母来表示，即．显然有N*NZQRC．3、单数的有关概念：1) 单数的表示：通常用字母表示，即()，其中分别叫做单数的实部与虚部；2）虚数和纯虚数：①单数()，当时，就是实数．②单数()，当时，叫做虚数。
北师大版高中数学选修高二复数的四则运算教学设计
m + 2m + 2 m + 2 / / /5.2 复数的四则运算一、教学目标：1、掌握复数的加法运算及意义；2.理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算。
二、教学重点：1.复数的代数形式的加、减运算及其几何意义2.复数的代数形式的乘除运算及共轭复数的概念教学难点：1.加、减运算的几何意义2.乘除运算三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）、复习准备：1. 与复数一一对应的有？2. 试判断下列复数 1 + 4i,7 - 2i,6, i, -2 - 0i,7 i ,0,0 - 3i 在复平面中落在哪象限？并画出其对应的向量。
3. 同时用坐标和几何形式表示复数 z 1 = 1 + 4i 与Z 2 = 7 - 2i 所对应的向量，并计算 OZ 1 + OZ 2 。
向量的加减运算满足何种法则？4. 类比向量坐标形式的加减运算，复数的加减运算如何？（二）、探析新课：1.复数的加法运算及几何意义①.复数的加法法则： z = a + bi 与Z = c + di ，则 Z + Z = (a + c) + (b + d )i 。
1212例 1．设 m ∈ R ，复数 z = 1 m 2 + m m + 2+ (m - 15)i, z = -2 + m (m - 3)i ，若 z + z 是虚数，求2 1 2m 的取值范围．m 2 + m 解：因为 z =+ (m - 15)i, z = -2 + m (m - 3)i, 所以1 2m 2 + m m 2 - m - 4z + z = ( - 2) + [(m - 15) + m (m - 3)]i = + (m 2 - 2m - 15)i 1 2因 为 z + z 是 虚 数 ， 所 以 m 2 - 2m - 15 = 0, 且 m = -2. 所 以 m =/ 5 , m = -3 且12m =/ -2(m ∈ R).、 3 /②复数加法的几何意义：复数的加法可以按照向量的加法来进行（满足平行四边形、三角形法则）例 2、如图在复平面上复数 i ，1，4+2i 所应对的点分别是 A 、B 、C ，求平行四边形 ABCD 的顶 点 D 所对应的复数．解：由已知OA, O B, O C 分别对应复数 i ，1，4+2i ，且 BA = OA - OB, BC = OC - OB ，所以向量 BA BC 所对应的复数分别为 - 1 + i 、+ 2i ，因为 B D = BA + BC ，所以向量 B D 对应的 复数为 (-1 + i) + (3 + 2i) = 2 + 3i.又因为 OD = OB + BD ，所以 OD ，所对应的复数为1 + (2 + 3i) = 3 + 3i.即点 D 对应的复数为 3 + 3i.2 、复数的减法及几何意义 ：类比实数，规定复数的减法运算是加法运算的逆运算,即若Z + Z = Z ，则 Z 叫做 Z 减去Z 的差, 记作Z = Z - Z 。
高中数学北师大版精品学案《复数的乘法与除法》
复数的乘法与除法【学习过程】一、初试身手1．复数21i-（i 为虚数单位）的共轭复数是（ ） A ．1i + B ．1i - C ．1i -+D ．1i --2．已知复数()113122z i i ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（i 为虚数单位），复数2z 的虚部为2，且12z z ⋅是实数，则2z =________3．若复数满足12i z i ⋅=+，其中i 是虚数单位，则的实部为________． 二、合作探究1复数代数形式的乘法运算【例1】（1）已知,a b R ∈，i 是虚数单位．若a i -与2bi +互为共轭复数，则()2a bi +=（ ） A ．54i -B ．54i +C ．34i -D ．34i +（2）复数()32z i i =-的共轭复数z 等于（ ） A ．23i --B ．23i -+C ．23i -D ．23i +（3）i 是虚数单位，复数()()312i i +-=__________ 2复数代数形式的除法运算【例2】（1）()()2211i i +=-（ ）A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --（2）i 是虚数单位，复数734ii+=+（ ） A ．1i - B ．1i -+ C17312525i + D ．172577i -+ 3n i 的周期性及应用[探究问题]（1）5i 与i 是否相等？（2）234i i i i +++的值为多少？【例3】计算1232020i i i i ++++【学习小结】（一）复数的乘法及其运算律 1．定义()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++2．运算律对任意1,z 3．两个共轭复数的乘积等于这个复数（或其共轭复数）模的平方．4．41n i i +=；421n i +=-；43n i i +=-；41n i =． （二）复数的除法法则1．已知z a bi =+，如果存在一个复数z '，使1z z '⋅=，则z '叫做的倒数，记作1z，则22221a bi z a b a b =-++且21z z z= 2．复数的除法法则设1z a bi =+，()20z c di c di =++≠，122222z a bi ac bd bc ad i z c di c d c d ++-==++++ 【精炼反馈】1．已知i 是虚数单位，则()()12i i -+-=（ ） A ．3i -+ B ．13i -+ C ．33i -+D ．1i -+2．在复平面内，复数21iz i=+（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．若21a bi i=+-（i 为虚数单位，,a b R ∈），则a b +=________ 4．设12z a i =+，234z i -，且12zz 为纯虚数，则实数a 的值为________．5．计算： （1）()()1112i i ⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭；（2； （3）()22i -。
高三数学教案：复数的乘法与除法
高三数学教案：复数的乘法与除法这篇《高三数学教案：复数的乘法与除法》是为大家整理的，希望对大家有所帮助。
以下信息仅供参考！！！教学目标（1）掌握复数乘法与除法的运算法则，并能熟练地进行乘、除法的运算；（2）能应用i和的周期性、共轭复数性质、模的性质熟练地进行解题；（3）让学生领悟到“转化”这一重要数学思想方法；（4）通过学习复数乘法与除法的运算法则，培养学生探索问题、分析问题、解决问题的能力。
教学建议一、知识结构二、重点、难点分析本节的重点和难点是复数乘除法运算法则及复数的有关性质．复数的代数形式相乘，与加减法一样，可以按多项式的乘法进行，但必须在所得的结果中把换成－1，并且把实部与虚部分合并．很明显，两个复数的积仍然是一个复数，即在复数集内，乘法是永远可以实施的，同时它满足并换律、结合律及乘法对加法的分配律．规定复数的除法是乘法的逆运算，它同多项式除法类似，当两个多项式相除，可以写成分式，若分母含有理式时，要进行分母有理化，而两个复数相除时，要使分母实数化，即分式的分子和分母都乘以分母的共轭复数，使分母变成实数．三、教学建议1．在学习复数的代数形式相乘时，复数的乘法法则规定按照如下法则进行．设是任意两个复数，那么它们的积：也就是说．复数的乘法与多项式乘法是类似的，注意有一点不同即必须在所得结果中把换成一1，再把实部，虚部分别合并，而不必去记公式．2．复数的乘法不仅满足交换律与结合律，实数集R中整数指数幂的运算律，在复数集C中仍然成立，即对任何，，及，有：，，；对于复数只有在整数指数幂的范围内才能成立．由于我们尚未对复数的分数指数幂进行定义，因此如果把上述法则扩展到分数指数幂内运用，就会得到荒谬的结果。
如，若由，就会得到的错误结论，对此一定要重视。
3．讲解复数的除法，可以按照教材规定它是乘法的逆运算，即求一个复数，使它满足（这里，是已知的复数）．列出上式后，由乘法法则及两个复数相等的条件得：由此，于是得出商以后，还应当着重向学生指出：如果根据除法的定义，每次都按上述做来法逆运算的办法来求商，这将是很麻烦的．分析一下商的结构，从形式上可以得出两个复数相除的较为简捷的求商方法，就是先把它们的商写成分式的形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简即可．4．这道例题的目的之一是训练我们对于复数乘法运算、乘方运算及乘法公式的操作，要求我们做到熟练和准确。
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复数复数的乘法与除法
一、教学目标：
1、知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算。
2、过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题。
3、情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。
二、教学重难点
重点：复数的代数形式的乘除运算及共轭复数的概念
难点：乘除运算
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、复习准备
1. 复数的加减法的几何意义是什么？
2. 计算（1）(14)(72)i i +-+ （2）(52)(14)(23)i i i --+--+ （3）
(32)(43)(5)]i i i --+-+-[
3. 计算：（1）(1(2+⨯- （2）()()a b c d +⨯+ （类比多项式的乘法引入复数的乘法）
（二）、探析新课
1.复数代数形式的乘法运算
①.复数的乘法法则：2()()()()a bi c di ac bci adi bdi ac bd ad bc i ++=+++=-++。
例1．计算（1）(14)(72)i i +⨯- （2）(72)(14)i i -⨯+ （3）
[(32)(43)](5)i i i -⨯-+⨯+ （4）(32)(43)(5)]i i i -⨯-+⨯+[
探究：观察上述计算，试验证复数的乘法运算是否满足交换、结合、分配律？
例2．1、计算（1）(14)(14)i i +⨯- （2）(14)(72)(14)i i i -⨯-⨯+（3）2(32)i +
2、已知复数Z ，若，试求Z 的值。
变：若(23)8i Z +≥，试求Z 的值。
②共轭复数：两复数a bi a bi +-与叫做互为共轭复数，当0b ≠时，它们叫做
共轭虚数。
注：两复数互为共轭复数，则它们的乘积为实数。
练习：说出下列复数的共轭复数32,43,5,52,7,2i i i i i --++--。
=，试写出复数的除法法则。
2．复数的除法法则：
2222()()()()()()a bi a bi c di ac bd bc ad a bi c di i c di c di c di c d c d ++-+-+÷+===+++-++
其中c di -叫做实数化因子
除法运算规则：①设复数a +bi (a ，b ∈R )，除以c +di (c ，d ∈R )，其商为x +yi (x ，y ∈R )，即(a +bi )÷(c +di )=x +yi ∵(x +yi )(c +di )=(cx －dy )+(dx +cy )i .
∴(cx －dy )+(dx +cy )i =a +bi .由复数相等定义可知⎩⎨⎧=+=-.
,b cy dx a dy cx 解这个方程组，得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-=++=.,2222d c ad bc y d c bd ac x 于是有:(a +bi )÷(c +di )=2222d c ad bc d c bd ac +-+++ i . ②利用(c +di )(c －di )=c 2+d 2.于是将di
c bi a ++的分母有理化得： 原式=
22()()[()]()()()a bi a bi c di ac bi di bc ad i c di c di c di c d ++-+⋅-+-==++-+ 222222()()ac bd bc ad i ac bd bc ad i c d c d c d
++-+-==++++.∴(a +bi )÷(c +di )=i d
c a
d bc d c bd ac 2222+-+++. 例3．计算(32)(23)i i -÷+，(12)(32)i i +÷-+（师生共同板演一道，再学生练习） 练习：计算232(12)i i -+，23(1)1i i -+-
（三）．小结：两复数的乘除法，共轭复数，共轭虚数。
（四）、巩固练习：
1．计算（1）()()312i i i -++ （2）2345i i i i i ++++ （3
3 2．若122,34z a i z i =+=-，且
12z z 为纯虚数，求实数a 的取值。
变：12
z z 在复平面的下方，求a
（五）、课外练习： （六）、课后作业：
五、教后反思。