2.2连续型随机变量
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若0≤x≤2，由题意得:
F ( x) P{X x}
P{X 0} P{0 X x} kx 2
为确定k，取值x=2则有
P{ X 2} 22 k 1, k 1/ 4
1 2 于是： F ( x) x 4
若x>2，则 有 F ( x) P{X 所以：
x} 1
P{a X b} P{a X b} P{a X b} P{a X b}
f ( x)dx
a b
对于连续型随机变量，还要指出两点： （1）F(x)是连续函数; （2）P{X=a}=0（a为任意实数）. 证 （2）取 x > 0 ，因为
0 P{ X a} P{a x X a} F (a) F (a x)
查附表3可得 即
(1.29) 0.9015 0.9
0.5 0.05 1.29 0.5645
应将调到不小于0.5645的位置.
P41 1. 2. P50 6. 7. 8. 10.
2. 指数分布 若随机变量X的密度函数为
e x , x0 f ( x) x0 0, 其中λ＞0是常数，则称X服从参数为λ的指数分布。 记作X~E(λ).
1 e x , 分布函数为 F ( x) 0, x0 x0
指数分布常用来作各种“寿命”分布的近似，如电 子元件的寿命；动物的寿命；电话问题中的通话时间 都常假定服从指数分布．
例8 某厂生产罐装咖啡，每罐标准重量为0.5kg，长 期生产实践表明自动包装机包装的每罐咖啡的重量X 服从参数 =0.05kg的正态分布. 为了使重量少于0.5kg 的罐头数不超过10%，应把自动包装线所控制的均值 参数调节到什么位置上？
0.05 ) 解 由题设知 X ~ N ( ，
2
假如把自动包装线控制的值调节到0.5kg位置，则有
100 0
0.002e0.002 x dx 1 e0.2 0.1813
（2） {能无故障使用600 h以上} P( X 600} P
600
0.002e0.002 xdx e1.2 0.3012
3. 正态分布 （1） 定义 若X的概率密度为
f（x）
§2.3
连续型随机变量的分布密度
一、连续型随机变量的定义 定义 如果对于随机变量X的分布函数，存在可积函数， 使对任意实数x，有
F ( x) P{ X x} f ( x)dx
x
则称X为连续型随机变量，f(x)称为X的概率密度函数， 简称为概率密度或密度函数或密度。 二、性质 (1) f(x)≥0
解 设乘客到达汽车站时距上一辆离开车站客车 的时间为X，于是有 X∼U [0,5]
1 , 0 x5 f ( x) 5 0, 其它
求乘客候车时间不超过3 min的概率，即求X落在区 间[2，5]内的概率
P 2 X 5
5 2
1 3 dx 0.6 5 5
分布函数为：
0, xa F ( x) b a 1,
d d
xa a xb xb
由P{c x d } f ( x)dx
c
c
1 d c dx ba ba
例3 某公共汽车站每隔5 min有一辆车通过，可将 车站上候车的乘客全部运走. 设乘客在两趟车之间的 任何时刻到站都是等可能的，求乘客候车时间不超 过3 min的概率.
(c) 拐点：(μ±σ，f(μ±σ)); 水平渐近线：ox 轴。 (d) 固定 ，改变 值，曲线 f(x)形状不变，仅沿x轴平移。 可见确定曲线 f(x)的位置 。
(e) 固定, 改变值, 则愈小 时, f(x)图形的形状愈陡峭, X 落在附近的概率越大。
0
f(x)
0
μ1
μ2
x
f(x)
a
a
)
P{ X b} (
b
) P{ X a} 1 (
)
4. 可查标准正态分布表计算概率
（4） 查标准正态分布函数表计算概率 •例5 设X∼N(0,1) ,计算P{X≤2.35} ； P{-1.64 ≤X＜0 .82} ； P{|X| ≤1.54}； P{|X| ≥1.54} 1）P{X≤2.35} =Φ(2.35)= 0.9906
例6 设随机变量 X ~ N (10， 2 ) 求 P8 X 14 2
14 10 8 10 ) ( ) 解 P 8 X 14 F (14) F (8) ( 2 2 (2) (1)
例7（3原则）设X ~ N (, 2)，求 P{|X-|﹤}, P{|X-|﹤2}, P{|X-|﹤3}.
又F(x)是连续函数，所以
x 0
lim F (a x) F (a ) 故 P{X = a} = 0
因此，对于连续型随机变量，有
P{a X b} P{a X b} P{a X b}
P{a X b} f ( x)dx
a b
例2 设随机变量的概率密度函数为 (x)=Ae-|x|（ -<x<+ ） 试求: (1) 常数A ；(2) P{0<X<2}；(3) 分布函数F(x).
0.2 0.15 0.1 0.05 0 -3
-2
-1
0
1
2
3
1. ( x) ( x) ( x) 1 ( x) 2. F ( x) (
x
± ×¼ Õý¬· ¼ Í ê Ì Ö² ¼
) 令
t
0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 -3
1 f ( x) e 2
( x )2 2 2
, x
其中μ,σ(σ>0)为常数，则称X服 从参数为μ,σ2的正态分布或高 斯（Gauss）分布。记作 X∼N （μ,σ2） 分布函数为：
( x )2 2 2
0
x
F(x)
F ( x)
x
x0
0, 1 2 F ( x) x , 4 1,
0 x2 x2
易证，F(x)是一个连续 函数，可表示为
F ( x)
x
f (t )dt
其中 t ,0 x2 (t ) 2 0, 其它
例中随机变量X具有 下列特点：一是X可在 某个区间内连续取值， 二是X的分布函数可用 非负函数的积分来表示， 具有这些特点的随机变 量，即为连续型随机变 量。
1 2
e
dt
0
x
（2）正态分布的密度函数f(x)的图形的性质
（a）曲线关于x =μ对称。即对于任意的h >0有
P{μ-h＜X ≤μ} = P{μ＜X≤μ+h} （b）当 x =μ时，函数f(x)达到最大值
f ( ) 1 2
显然， x离μ越远，f(x)的值越小。即对于同样长度的 区间，X 落在离μ越远的区间，概率越小。
解 (1) 由
x
f ( x)dx 1 得：
0
Ae dx 2 A
e x dx 2 A 1
故：A = 0.5；
1 2 x 1 e2 (2) P{0 X 2} e dx 0.4323 2 0 2 x 1 x (3) F ( x) e dx 2 1 x x 1 x 当x<0时， F ( x) e dx e 2 2 当x≥0时, 1 x x 1 0 x 1 x x 1 x F ( x) e dx e dx e dx 1 e 2 2dx 1
1
x
§2.3
连续型随机变量的分布密度
b
二、性质
(3) P{a X b} f ( x)dx
a
(4) 在f(x)的连续点处有：
f ( x) F ' ( x)
(5) 连续型随机变量的分布函数F(x)不仅右连续，而 且是连续函数。 (6) 连续型随机变量取任何实数值a的概率等于0. 由性质(6)可得：
例4 假设某种热水器首次发生故障的时间X（单位： h）服从参数λ=0.002的指数分布，求： （1）该热水器在100 h内需要维修的概率是多少？ （2）该热水器能正常使用600 h以上的概率是多少？
0.002e0.002 x， x 0 解 X的密度函数为：f ( x) ， x0 0 100 （1） {在100 h以内需要维修} P( X 100} f ( x)dx P
σ=0.5
σ=1
σ=2
x
（ 3） 标准正态分布 密度函数：
X~N(0,1) 分布函数：
( x)
1 2
e
x2 2
( x)
0.4 0.35 0.3 0.25
x
1 2
e dt
t2 2
即当= 0，=1时的正
± ×¼ Õý¬· ¼ Ãܶ ¼ ê Ì Ö² ÈÍ
态分布。
2）P{-1.64 ≤X＜0 .82} = Φ(0.82)- Φ(-1.64) = Φ(0.82)- [1-Φ(1.64)] = 0.7434
3) P{|X| ≤1.54}= Φ(1.54)- Φ(-1.54) =2Φ(1.54)-1= 0.8764 4) P{|X| ≥1.54} = 1- P{|X| ≤1.54} =1- 0.8764=0.1236
则 t , d t d
F ( x)
y
(-x)
1-(x)
-1 0 x
-2
e 2
1
x
(t )2 2 2
dt
b
2
1
x
e
)
2
-x
2
d (
x x
1 2
3
3. P{a X b} (
) (
●
讲授
孙学峰
连续型随机变量的分布
§2.2 连续型随机变量的分布
靶子是半径2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点 的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以X表示弹 着点与圆心的距离，求X的分布函数。
例1
解
若x<0，则{X≤x}是一个不可能事件，于是
F ( x) P{X x} 0
解 P{|X―μ|＜σ}= P{μ―σ＜X＜μ+σ}
( ) ( )
(1) (1) 2(1) 1 0.6826
类似可得 P{| X | 2 } 2 (2) 1 0.9546
P{| X | 3 } 2 (3) 1 0.9974
一是x可在某个区间内连续取值二是x的分布函数可用非负函数的积分来表示具有这些特点的随机变量即为连续型随机变23连续型随机变量的分布密度定义如果对于随机变量x的分布函数存在可积函数使对任意实数x有则称x为连续型随机变量fx称为x的概率密度函数简称为概率密度或密度函数或密度
高校理科通识教育平台数学课程
概率论与数理统计
1 x x0 2 e , 即X的分布函数为 F ( x) 1 1 e x , x 0 2
三 、常见的连续型随机变量的分布 1 、均匀分布
如果随机变量X的概率密度为
1 , a xb f ( x) b a 0, 其它
则称X在区间[a,b]上服从均匀分布。记为X∼U[a,b]
0.5 0.5 P{ X 0.5} (0) 0.5 0.05
即重量少于0.5kg的罐头占全部罐头数的50%，这显然 不符合要求. 所以应该把自动包装线控制的值调到比 0.5kg大一些的位置，使得
0.5 0.5 P{ X 0.5} ( ) 0.1 或 ( ) 0.9 0.05 0.05
F ( x) P{X x}
P{X 0} P{0 X x} kx 2
为确定k，取值x=2则有
P{ X 2} 22 k 1, k 1/ 4
1 2 于是： F ( x) x 4
若x>2，则 有 F ( x) P{X 所以：
x} 1
P{a X b} P{a X b} P{a X b} P{a X b}
f ( x)dx
a b
对于连续型随机变量，还要指出两点： （1）F(x)是连续函数; （2）P{X=a}=0（a为任意实数）. 证 （2）取 x > 0 ，因为
0 P{ X a} P{a x X a} F (a) F (a x)
查附表3可得 即
(1.29) 0.9015 0.9
0.5 0.05 1.29 0.5645
应将调到不小于0.5645的位置.
P41 1. 2. P50 6. 7. 8. 10.
2. 指数分布 若随机变量X的密度函数为
e x , x0 f ( x) x0 0, 其中λ＞0是常数，则称X服从参数为λ的指数分布。 记作X~E(λ).
1 e x , 分布函数为 F ( x) 0, x0 x0
指数分布常用来作各种“寿命”分布的近似，如电 子元件的寿命；动物的寿命；电话问题中的通话时间 都常假定服从指数分布．
例8 某厂生产罐装咖啡，每罐标准重量为0.5kg，长 期生产实践表明自动包装机包装的每罐咖啡的重量X 服从参数 =0.05kg的正态分布. 为了使重量少于0.5kg 的罐头数不超过10%，应把自动包装线所控制的均值 参数调节到什么位置上？
0.05 ) 解 由题设知 X ~ N ( ，
2
假如把自动包装线控制的值调节到0.5kg位置，则有
100 0
0.002e0.002 x dx 1 e0.2 0.1813
（2） {能无故障使用600 h以上} P( X 600} P
600
0.002e0.002 xdx e1.2 0.3012
3. 正态分布 （1） 定义 若X的概率密度为
f（x）
§2.3
连续型随机变量的分布密度
一、连续型随机变量的定义 定义 如果对于随机变量X的分布函数，存在可积函数， 使对任意实数x，有
F ( x) P{ X x} f ( x)dx
x
则称X为连续型随机变量，f(x)称为X的概率密度函数， 简称为概率密度或密度函数或密度。 二、性质 (1) f(x)≥0
解 设乘客到达汽车站时距上一辆离开车站客车 的时间为X，于是有 X∼U [0,5]
1 , 0 x5 f ( x) 5 0, 其它
求乘客候车时间不超过3 min的概率，即求X落在区 间[2，5]内的概率
P 2 X 5
5 2
1 3 dx 0.6 5 5
分布函数为：
0, xa F ( x) b a 1,
d d
xa a xb xb
由P{c x d } f ( x)dx
c
c
1 d c dx ba ba
例3 某公共汽车站每隔5 min有一辆车通过，可将 车站上候车的乘客全部运走. 设乘客在两趟车之间的 任何时刻到站都是等可能的，求乘客候车时间不超 过3 min的概率.
(c) 拐点：(μ±σ，f(μ±σ)); 水平渐近线：ox 轴。 (d) 固定 ，改变 值，曲线 f(x)形状不变，仅沿x轴平移。 可见确定曲线 f(x)的位置 。
(e) 固定, 改变值, 则愈小 时, f(x)图形的形状愈陡峭, X 落在附近的概率越大。
0
f(x)
0
μ1
μ2
x
f(x)
a
a
)
P{ X b} (
b
) P{ X a} 1 (
)
4. 可查标准正态分布表计算概率
（4） 查标准正态分布函数表计算概率 •例5 设X∼N(0,1) ,计算P{X≤2.35} ； P{-1.64 ≤X＜0 .82} ； P{|X| ≤1.54}； P{|X| ≥1.54} 1）P{X≤2.35} =Φ(2.35)= 0.9906
例6 设随机变量 X ~ N (10， 2 ) 求 P8 X 14 2
14 10 8 10 ) ( ) 解 P 8 X 14 F (14) F (8) ( 2 2 (2) (1)
例7（3原则）设X ~ N (, 2)，求 P{|X-|﹤}, P{|X-|﹤2}, P{|X-|﹤3}.
又F(x)是连续函数，所以
x 0
lim F (a x) F (a ) 故 P{X = a} = 0
因此，对于连续型随机变量，有
P{a X b} P{a X b} P{a X b}
P{a X b} f ( x)dx
a b
例2 设随机变量的概率密度函数为 (x)=Ae-|x|（ -<x<+ ） 试求: (1) 常数A ；(2) P{0<X<2}；(3) 分布函数F(x).
0.2 0.15 0.1 0.05 0 -3
-2
-1
0
1
2
3
1. ( x) ( x) ( x) 1 ( x) 2. F ( x) (
x
± ×¼ Õý¬· ¼ Í ê Ì Ö² ¼
) 令
t
0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 -3
1 f ( x) e 2
( x )2 2 2
, x
其中μ,σ(σ>0)为常数，则称X服 从参数为μ,σ2的正态分布或高 斯（Gauss）分布。记作 X∼N （μ,σ2） 分布函数为：
( x )2 2 2
0
x
F(x)
F ( x)
x
x0
0, 1 2 F ( x) x , 4 1,
0 x2 x2
易证，F(x)是一个连续 函数，可表示为
F ( x)
x
f (t )dt
其中 t ,0 x2 (t ) 2 0, 其它
例中随机变量X具有 下列特点：一是X可在 某个区间内连续取值， 二是X的分布函数可用 非负函数的积分来表示， 具有这些特点的随机变 量，即为连续型随机变 量。
1 2
e
dt
0
x
（2）正态分布的密度函数f(x)的图形的性质
（a）曲线关于x =μ对称。即对于任意的h >0有
P{μ-h＜X ≤μ} = P{μ＜X≤μ+h} （b）当 x =μ时，函数f(x)达到最大值
f ( ) 1 2
显然， x离μ越远，f(x)的值越小。即对于同样长度的 区间，X 落在离μ越远的区间，概率越小。
解 (1) 由
x
f ( x)dx 1 得：
0
Ae dx 2 A
e x dx 2 A 1
故：A = 0.5；
1 2 x 1 e2 (2) P{0 X 2} e dx 0.4323 2 0 2 x 1 x (3) F ( x) e dx 2 1 x x 1 x 当x<0时， F ( x) e dx e 2 2 当x≥0时, 1 x x 1 0 x 1 x x 1 x F ( x) e dx e dx e dx 1 e 2 2dx 1
1
x
§2.3
连续型随机变量的分布密度
b
二、性质
(3) P{a X b} f ( x)dx
a
(4) 在f(x)的连续点处有：
f ( x) F ' ( x)
(5) 连续型随机变量的分布函数F(x)不仅右连续，而 且是连续函数。 (6) 连续型随机变量取任何实数值a的概率等于0. 由性质(6)可得：
例4 假设某种热水器首次发生故障的时间X（单位： h）服从参数λ=0.002的指数分布，求： （1）该热水器在100 h内需要维修的概率是多少？ （2）该热水器能正常使用600 h以上的概率是多少？
0.002e0.002 x， x 0 解 X的密度函数为：f ( x) ， x0 0 100 （1） {在100 h以内需要维修} P( X 100} f ( x)dx P
σ=0.5
σ=1
σ=2
x
（ 3） 标准正态分布 密度函数：
X~N(0,1) 分布函数：
( x)
1 2
e
x2 2
( x)
0.4 0.35 0.3 0.25
x
1 2
e dt
t2 2
即当= 0，=1时的正
± ×¼ Õý¬· ¼ Ãܶ ¼ ê Ì Ö² ÈÍ
态分布。
2）P{-1.64 ≤X＜0 .82} = Φ(0.82)- Φ(-1.64) = Φ(0.82)- [1-Φ(1.64)] = 0.7434
3) P{|X| ≤1.54}= Φ(1.54)- Φ(-1.54) =2Φ(1.54)-1= 0.8764 4) P{|X| ≥1.54} = 1- P{|X| ≤1.54} =1- 0.8764=0.1236
则 t , d t d
F ( x)
y
(-x)
1-(x)
-1 0 x
-2
e 2
1
x
(t )2 2 2
dt
b
2
1
x
e
)
2
-x
2
d (
x x
1 2
3
3. P{a X b} (
) (
●
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连续型随机变量的分布
§2.2 连续型随机变量的分布
靶子是半径2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点 的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以X表示弹 着点与圆心的距离，求X的分布函数。
例1
解
若x<0，则{X≤x}是一个不可能事件，于是
F ( x) P{X x} 0
解 P{|X―μ|＜σ}= P{μ―σ＜X＜μ+σ}
( ) ( )
(1) (1) 2(1) 1 0.6826
类似可得 P{| X | 2 } 2 (2) 1 0.9546
P{| X | 3 } 2 (3) 1 0.9974
一是x可在某个区间内连续取值二是x的分布函数可用非负函数的积分来表示具有这些特点的随机变量即为连续型随机变23连续型随机变量的分布密度定义如果对于随机变量x的分布函数存在可积函数使对任意实数x有则称x为连续型随机变量fx称为x的概率密度函数简称为概率密度或密度函数或密度
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概率论与数理统计
1 x x0 2 e , 即X的分布函数为 F ( x) 1 1 e x , x 0 2
三 、常见的连续型随机变量的分布 1 、均匀分布
如果随机变量X的概率密度为
1 , a xb f ( x) b a 0, 其它
则称X在区间[a,b]上服从均匀分布。记为X∼U[a,b]
0.5 0.5 P{ X 0.5} (0) 0.5 0.05
即重量少于0.5kg的罐头占全部罐头数的50%，这显然 不符合要求. 所以应该把自动包装线控制的值调到比 0.5kg大一些的位置，使得
0.5 0.5 P{ X 0.5} ( ) 0.1 或 ( ) 0.9 0.05 0.05