人教版A数学选修2-2全册章节测试试题全集(检测卷

第一章 学业质量标准检测
时间120分钟，满分150分．
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．若物体的运动规律是s ＝f (t )，则物体在时刻t 0的瞬时速度可以表示为( B ) (1)lim Δt →0 f (t 0＋Δt )－f (t 0)
Δt ；
(2)lim Δt →0
f (t 0)－f (t 0＋Δt )
Δt
；
(3)f ′(t 0)； (4)f ′(t )． A ．(1)(2) B ．(1)(3) C ．(2)(3)
D ．(2)(4)
2．下列积分等于2的是( C ) A ．2x d x B ．(1
2x ＋1)d x
C ．1d x
D ．12x d x
[解析] 2x d x ＝x 2|20＝4； (12x ＋1)d x ＝(1
4x 2＋x )|20＝3； 1d x ＝x |20＝2； 12x d x ＝12ln x |21＝12
ln2. 3．(2019·全国Ⅱ卷文，8)若x 1＝π4，x 2＝3π4是函数f (x )＝sin ωx (ω>0)两个相邻的极值点，
则ω＝( A )
A ．2
B ．3
2
C ．1
D ．12
[解析] 由题意及函数y ＝sin ωx 的图象与性质可知， 12T ＝3π4－π4，∴ T ＝π，∴ 2π
ω＝π，∴ ω＝2. 故选A ．
4．(2019·青岛高二检测)下列函数中，x ＝0是其极值点的函数是( B ) A ．f (x )＝－x 3
B ．f (x )＝－cos x
C ．f (x )＝sin x －x
D ．f (x )＝1
x
[解析] 对于A ，f ′(x )＝－3x 2≤0恒成立，在R 上单调递减，没有极值点；对于B ，f ′(x )＝sin x ，当x ∈(－π，0)时，f ′(x )<0，当x ∈(0，π)时，f ′(x )>0，故f (x )＝－cos x 在x ＝0的左侧区间(－π，0)内单调递减，在其右侧区间(0，π)内单调递增，所以x ＝0是f (x )的一个极小值点；对于C ，f ′(x )＝cos x －1≤0恒成立，在R 上单调递减，没有极值点；对于D ，f (x )＝1
x
在x ＝0没有定义，所以x ＝0不可能成为极值点，综上可知，答案选B ． 5．函数f (x )＝x 2
x －1( B )
A ．在(0,2)上单调递减
B ．在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增
C ．在(0,2)上单调递增
D ．在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递减 [解析] f ′(x )＝2x (x －1)－x 2(x －1)2＝x 2－2x (x －1)2＝x (x －2)
(x －1)2.
令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝2.
∴x ∈(－∞，0)和x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0， x ∈(0,1)和x ∈(1,2)时，f ′(x )<0，故选B ．
6．(2017·浙江卷)函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( D )
[解析]观察导函数f′(x)的图象可知，f′(x)的函数值从左到右依次为小于0，大于0，小于0，大于0，
∴对应函数f(x)的增减性从左到右依次为减、增、减、增．
观察选项可知，排除A，C．
如图所示，f′(x)有3个零点，从左到右依次设为x1，x2，x3，且x1，x3是极小值点，x2是极大值点，且x2>0，故选项D正确，故选D．
7．已知y＝f(x)是定义在R上的函数，且f(1)＝1，f′(x)>1，则f(x)>x的解集是(C) A．(0,1) B．(－1,0)∪(0,1)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
[解析]不等式f(x)>x可化为f(x)－x>0，
设g(x)＝f(x)－x，则g′(x)＝f′(x)－1，
由题意g′(x)＝f′(x)－1>0，
∴函数g (x )在R 上单调递增，又g (1)＝f (1)－1＝0， ∴原不等式⇔g (x )>0⇔g (x )>g (1)． ∴x >1，故选C ．
8．曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离为( A ) A ． 5 B ．2 5 C ．3 5
D ．2
[解析] 设曲线上的点A (x 0，ln(2x 0－1))到直线2x －y ＋3＝0的距离最短， 则曲线上过点A 的切线与直线2x －y ＋3＝0平行． 因为y ′＝12x －1·(2x －1)′＝2
2x －1，
所以y ′|x ＝x 0＝
2
2x 0－1
＝2，解得x 0＝1. 所以点A 的坐标为(1,0)．
所以点A 到直线2x －y ＋3＝0的距离为d ＝|2×1－0＋3|22＋(－1)2＝5
5＝ 5.
9．(2019·沈阳一模)设函数f (x )＝x e x ＋1，则( D ) A ．x ＝1为f (x )的极大值点 B ．x ＝1为f (x )的极小值点 C ．x ＝－1为f (x )的极大值点 D ．x ＝－1为f (x )的极小值点
[解析] 由于f (x )＝x e x ，可得f ′(x )＝(x ＋1)e x ， 令f ′(x )＝(x ＋1)e x ＝0可得x ＝－1，
令f ′(x )＝(x ＋1)e x ＞0可得x ＞－1，即函数在(－1，＋∞)上是增函数； 令f ′(x )＝(x ＋1)e x ＜0可得x ＜－1，即函数在(－∞，－1)上是减函数， 所以x ＝－1为f (x )的极小值点． 故选D ．
10．(2019·全国Ⅲ卷理，6)已知曲线y ＝a e x ＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则( D )
A ．a ＝e ，b ＝－1
B ．a ＝e ，b ＝1
C ．a ＝e －
1，b ＝1
D ．a ＝e －
1，b ＝－1
[解析] y ′＝a e x ＋ln x ＋1，k ＝y ′|x ＝1＝a e ＋1， ∴ 切线方程为y －a e ＝(a e ＋1)(x －1)， 即y ＝(a e ＋1)x －1.
又∵ 切线方程为y ＝2x ＋b ，
∴ ⎩
⎪⎨⎪⎧
a e ＋1＝2，
b ＝－1，即a ＝e －1，b ＝－1.故选D ． 11．把一个周长为12cm 的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱底面周长与高的比为( C )
A ．1
2
B ．1π
C ．2 1
D ．2
π
[解析] 设圆柱的高为x ，底面半径为r ，则r ＝6－x 2π，圆柱体积V ＝π(6－x 2π)2x ＝14π(x 3－
12x 2＋36x )(0<x <6)，V ′＝3
4π
(x －2)·(x －6)．
当x ＝2时，V 最大，此时底面周长为6－x ＝4,42＝2
1，故选C ．
12．已知函数f (x )＝a
x －1＋ln x ，若存在x 0>0，使得f (x 0)≤0有解，则实数a 的取值范围
是( C )
A ．a >2
B ．a <3
C ．a ≤1
D ．a ≥3
[解析] 函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，不等式a
x －1＋ln x ≤0有解，即a ≤x －x ln x 在(0，
＋∞)上有解，令h (x )＝x －x ln x ，可得h ′(x )＝1－(ln x ＋1)＝－ln x ，令h ′(x )＝0，可得x ＝1，当0<x <1时，h ′(x )>0，当x >1时，h ′(x )<0，可得当x ＝1时，函数h (x )＝x －x ln x 取得最大值1，要使不等式a ≤x －x ln x 在(0，＋∞)上有解，只要a 小于等于h (x )的最大值即可，即a ≤1.所以选C ．
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．若曲线y ＝e －
x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标为(－ln2,2). [解析] 设P (x 0，y 0)，∵y ＝e －
x ，∴y ′＝－e －
x ， ∴点P 处的切线斜率为k ＝－e －x 0＝－2， ∴－x 0＝ln2，∴x 0＝－ln2， ∴y 0＝e ln2＝2，
∴点P 的坐标为(－ln2,2)．
14．(2019·南开区二模)已知f (x )＝x (2016＋ln x )，f ′(x 0)＝2017，则x 0＝1. [解析] f ′(x )＝2016＋ln x ＋1＝2017＋ln x ， 又∵f ′(x 0)＝2017，∴f ′(x 0)＝2017＋ln x 0＝2017， 则ln x 0＝0，x 0＝1.
15．(2019·海淀区校级期末)已知函数f (x )＝x 2－2ln x ，则f (x )的最小值为1. [解析] 函数的定义域(0，＋∞)，
f ′(x )＝2x －2·1x ＝2x 2－2x ＝2(x ＋1)(x －1)
x ，
令f ′(x )≥0⇒x ≥1; f ′(x )≤0⇒0＜x ≤1， 所以函数在(0,1]单调递减，在[1，＋∞)单调递增 所以函数在x ＝1时取得最小值，f (x )min ＝f (1)＝1 故答案为1.
16．已知a <0，函数f (x )＝ax 3＋12
a ln x ，且f ′(1)的最大值为－12，则实数a 的值为－2.
[解析] f ′(x )＝3ax 2＋12ax ，则f ′(1)＝3a ＋12
a .
∵a <0，
∴f ′(1)＝－[(－3a )＋12
－a
]≤－2
(－3a )×12
－a
＝－12.
当－3a ＝12
－a
，即a ＝－2，取“＝”．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)已知函数f (x )＝x 3－2ax 2＋bx ＋c ，
(1)当c ＝0时，f (x )在点P (1,3)处的切线平行于直线y ＝x ＋2，求a ，b 的值； (2)若f (x )在点A (－1,8)，B (3，－24)处有极值，求f (x )的表达式． [解析] (1)当c ＝0时，f (x )＝x 3－2ax 2＋bx . 所以f ′(x )＝3x 2－4ax ＋b . 依题意可得f (1)＝3，f ′(1)＝1，
即⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2a ＋b ＝3，3－4a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝2，
b ＝6.
(2)f (x )＝x 3－2ax 2＋bx ＋c ， 所以f ′(x )＝3x 2－4ax ＋b .
由题意知－1,3是方程3x 2－4ax ＋b ＝0的两根，
所以⎩⎨⎧
－1＋3＝4a
3，－1×3＝b
3
，解得a ＝3
2
，b ＝－9，
由f (－1)＝－1－2a －b ＋c ＝8，a ＝3
2，b ＝－9，
可得c ＝3，所以f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋3. 检验知，合题意．
18．(本题满分12分)设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＋ax (a >0)． (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；
(2)若f (x )在(0,1]上 的最大值为1
2，求a 的值．
[解析] 函数f (x )的定义域为(0,2)， f ′(x )＝1x －1
2－x
＋a ，
(1)当a ＝1时，f ′(x )＝－x 2＋2
x (2－x )，∴当x ∈(0，2)时，f ′(x )>0，当x ∈(2，2)时，f ′(x )<0，
所以f (x )的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，2)；
(2)当x ∈(0,1]时，f ′(x )＝2－2x
x (2－x )
＋a >0，
即f (x )在(0,1]上单调递增，故f (x )在(0,1]上的最大值为f (1)＝a ，因此a ＝1
2
.
19．(本题满分12分)在曲线y ＝x 2(x ≥0)上某一点A 处作一切线，使之与曲线以及x 轴所围成图形的面积为1
12
，试求切点A 的坐标及过切点A 的切线方程．
[解析]
如图所示，设切点A (x 0，y 0)，过切点A 的切线与x 轴的交点为C ．
由y ′＝2x 知A 点处的切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x －x 20.令y ＝0，得x ＝x 0
2，即C (x 0
2
，0)．
设由曲线y ＝x 2(x ≥0)与过A 点的切线及x 轴所围成图形的面积为S ， 则S ＝S 曲边△AOB －S △ABC ． ∵S 曲边△AOB ＝⎠
⎛0
x 0x 2d x ＝1
3x 3
| x 0
＝13x 30
， S △ABC ＝12BC ·AB ＝12(x 0－x 02)·x 20＝14x 3
，
∴S ＝13x 30－14x 30＝112x 30＝112，∴x 0＝1，
∴切点A 的坐标为(1,1)，
即过切点A 的切线方程为2x －y －1＝0.
20．(本题满分12分)当0<x <π2时，试证：sin x >x －x 3
6.
[解析] 设函数f (x )＝sin x －x ＋x 3
6，
显然f (0)＝0，
则f ′(x )＝cos x －1＋x 22＝x 22－2sin 2x
2
＝2[(x 2)2－(sin x
2
)2]．
又因为0<x <π2，x >sin x ，所以x 2>sin x 2>0，(x 2)2－(sin x
2
)2>0.
故f ′(x )>0，函数f (x )在(0，π2)上是增函数，所以f (x )>f (0)＝0，即sin x >x －x 3
6
.
21．(本题满分12分)某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率P 与日产量x (万件)之间大体满足关系：
P ＝⎩⎨⎧
1
6－x
，1≤x ≤c ，2
3，x >c ，
(其中c 为小于6的正常数)
(注：次品率＝次品数/生产量，如P ＝0.1表示每生产10件产品，有1件为次品，其余
为合格品)
已知每生产1万件合格的仪器可盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量．
(1)试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T (万元)表示为日产量x (万件)的函数． (2)当日产量为多少时，可获得最大利润？ [解析] (1)当x >c 时，P ＝23，
所以T ＝13x ·2－2
3x ·1＝0.
当1≤x ≤c 时，P ＝
1
6－x
， 所以T ＝(1－16－x )·x ·2－(1
6－x )·x ·1＝9x －2x 26－x
.
综上，日盈利额T (万元)与日产量x (万件)的函数关系为：T ＝⎩⎪⎨⎪⎧
9x －2x 26－x ，1≤x ≤c ，0，x >c . (2)由(1)知，当x >c 时，每天的盈利额为0，
当1≤x ≤c 时，T ′＝(9－4x )(6－x )＋(9x －2x 2)(6－x )2＝2(x －3)(x －9)
(6－x )2，
令T ′＝0，解得x ＝3或x ＝9. 因为1<x <c ，c <6，
所以(ⅰ)当3≤c <6时，T max ＝3，此时x ＝3. (ⅱ)当1≤c <3时，
由T ′＝2x 2－24x ＋54(6－x )2＝2(x －3)(x －9)
(6－x )2
知函数T ＝9x －2x 2
6－x 在[1,3]上递增，
所以T max ＝9c －2c 2
6－c
，此时x ＝c .
综上，若3≤c <6，则当日产量为3万件时，可获得最大利润； 若1≤c <3，则当日产量为c 万件时，可获得最大利润．
22．(本题满分14分)(2019·全国Ⅱ卷理，20)已知函数f (x )＝ln x －x ＋1
x －1.
(1)讨论f (x )的单调性，并证明f (x )有且仅有两个零点；
(2)设x 0是f (x )的一个零点，证明：曲线y ＝ln x 在点A (x 0，ln x 0 )处的切线也是曲线y ＝e x 的切线．
[解析] (1)f (x )的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)． 因为f ′(x )＝1x ＋2
(x －1)2
>0，
所以f (x )在(0,1)，(1，＋∞)单调递增． 因为f (e)＝1－e ＋1e －1<0，f (e 2
)＝2－e 2＋1e 2－1
＝e 2－3
e 2－1
>0， 所以f (x )在(1，＋∞)有唯一零点x 1(e<x 1<e 2)，即f (x 1)＝0. 又0<1
x 1<1，f ⎝⎛⎭⎫1x 1＝－ln x 1
＋x 1＋1x 1－1＝－f (x 1)＝0， 故f (x )在(0,1)有唯一零点1
x 1.
综上，f (x )有且仅有两个零点．
(2)证明：因为1
x 0
＝e －ln x 0，
所以点B ⎝
⎛⎭⎫－ln x 0，1
x 0
在曲线y ＝e x 上． 由题设知f (x 0)＝0，即ln x 0＝
x 0＋1
x 0－1
， 故直线AB 的斜率k ＝1
x 0
－ln x 0－ln x 0－x 0
＝1x 0－
x 0＋1x 0－1－x 0＋1
x 0－1－x 0
＝1x 0.
曲线y ＝e x 在点B ⎝⎛⎭⎫－ln x 0，1x 0处切线的斜率是1
x 0
，曲线y ＝ln x 在点A (x 0，ln x 0)处切线的斜率也是1
x 0
，
所以曲线y ＝ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线y ＝e x 的切线．
第二章 学业质量标准检测
时间120分钟，满分150分．
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．(2019·运城期中)下列表述正确的是( D ) ①归纳推理是由特殊到一般的推理； ②演绎推理是由一般到特殊的推理； ③类比推理是由特殊到一般的推理； ④分析法是一种间接证明法． A ．①②③④ B ．②③④ C ．①②④
D ．①②
[解析] 根据题意，依次分析4个命题：
对于①、归纳推理是由特殊到一般的推理，符合归纳推理的定义，正确； 对于②、演绎推理是由一般到特殊的推理，符合演绎推理的定义，正确； 对于③、类比推理是由特殊到特殊的推理，错误； 对于④、分析法、综合法是常见的直接证明法，④错误； 则正确的是①②. 故选D ．
2．(2019·全国Ⅱ卷文，5)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为( A )
A ．甲、乙、丙
B ．乙、甲、丙
C ．丙、乙、甲
D ．甲、丙、乙
[解析] 由于三人成绩互不相同且只有一个人预测正确．若甲预测正确，则乙、丙预测错误，于是三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若甲预测错误，则甲、乙按成绩由高到低的次序为乙、甲，又假设丙预测正确，则乙、丙按成绩由高到低的次序为丙、乙，于是甲、乙、丙按成绩由高到低排序为丙、乙、甲，从而乙的预测也正确，与事实矛盾；若甲、丙预测错误，则可推出乙的预测也错误. 综上所述，三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙．
故选A ．
3．设f (x )(x ∈R )为奇函数，f (1)＝1
2，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (5)等于( C )
A ．0
B ．1
C ．52
D ．5
[解析] ∵f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，
∴令x ＝－1，则有f (1)＝f (－1)＋f (2)， ∴f (2)＝2f (1)．
又∵f (1)＝1
2，∴f (2)＝1，
∴f (5)＝f (3＋2)＝f (3)＋f (2) ＝2f (2)＋f (1) ＝2＋12＝52
.
4．已知c ＞1，a ＝c ＋1－c ，b ＝c －c －1，则正确的结论是( B ) A ．a ＞b B ．a ＜b
C ．a ＝b
D ．a 、b 大小不定
[解析] a ＝c ＋1－c ＝1
c ＋1＋c ，
b ＝
c －c －1＝
1c ＋c －1
，
因为c ＋1>c >0，c >c －1>0， 所以c ＋1＋c >c ＋c －1>0，所以a <b .
5．已知x 1>0，x 1≠1且x n ＋1＝x n (x 2n ＋3)
3x 2n ＋1(n ＝1,2，…)，试证“数列{x n }对任意正整数n 都
满足x n <x n ＋1，或者对任意正整数n 都满足x n >x n ＋1”，当此题用反证法否定结论时，应为( D )
A ．对任意的正整数n ，都有x n ＝x n ＋1
B ．存在正整数n ，使x n ＝x n ＋1
C ．存在正整数n ，使x n ≥x n ＋1且x n ≤x n －1
D ．存在正整数n ，使(x n －x n －1)(x n －x n ＋1)≥0
[解析] 命题的结论是“数列{x n }是递增数列或是递减数列”，其反设是“数列{x n }既不是递增数列，也不是递减数列”，即“存在正整数n ，使(x n －x n －1)(x n －x n ＋1)≥0.”故应选D ．
6．如果p (n )对n ＝k (k ∈N *)成立，则它对n ＝k ＋2也成立．已知p (n )对n ＝2成立，则下列结论正确的是( B )
A ．p (n )对所有正整数n 都成立
B ．p (n )对所有正偶数n 都成立
C ．p (n )对大于或等于2的正整数n 都成立
D．p(n)对所有自然数n都成立
[解析]∵p(n)对n＝2成立，2为偶函数，∴根据题意知p(n)对所有正偶数n都成立．故选B．
7．将自然数0,1,2，…按照如下形式进行摆列：
根据以上规律判定，从2016到2018的箭头方向是(A)
[解析]从所给的图形中观察得到规律：每隔四个单位，箭头的走向是一样的，比如说，0→1，箭头垂直指下，4→5，箭头也是垂直指下，8→9也是如此，而2016＝4×504，所以2016→2017也是箭头垂直指下，之后2017→2018的箭头是水平向右，故选A．8．(2017·全国Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则(D) A．乙可以知道四人的成绩
B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩
D．乙、丁可以知道自己的成绩
[解析]由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀，1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．故选D．
9．用数学归纳法证明“1＋12＋13＋…＋1
2n －1<n (n ∈N *，n >1)”时，由n ＝k (k >1)不等式
成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项数是( C )
A ．2k －
1 B ．2k －1 C ．2k
D ．2k ＋1
[解析] 左边的特点是分母逐渐增加1，末项为1
2n －1
；
由n ＝k 时，末项为12k －1到n ＝k ＋1时末项为12k ＋1－1＝1
2k －1＋2k
，∴应增加的项数为
2k .
故选C ．
10．如图，在所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性，应为( A )
[解析] 每一行三个图形的变化规律：第一个图形逆时针旋转90°得到第二个图形，第二个图形上下翻折得到第三个图形，所以选A ．
11．已知a ，b >0，且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则( D ) A ．(a －1)(b －1)<0 B ．(a －1)(a －b )>0 C ．(b －1)(b －a )<0
D ．(b －1)(b －a )>0
[解析] 根据题意，log a b >1⇔log a b －log a a >0⇔log a b
a >0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <10<
b a <1或⎩⎪⎨⎪⎧
a >1
b a
>1，
即⎩⎨⎧ 0<a <10<b <a 或⎩⎨⎧
a >1
b >a . 当⎩⎨⎧
0<a <10<b <a
时，0<b <a <1， ∴b －1<0，b －a <0；
当⎩⎨⎧
a >1
b >a
时，b >a >1，∴b －1>0，b －a >0. ∴(b －1)(b －a )>0，故选D ．
12．某人在上楼梯时，一步上一个台阶或两个台阶，设他从平面上到第一级台阶时有f (1)种走法，从平地上到第二级台阶时有f (2)种走法，……则他从平地上到第n (n ≥3)级台阶时的走法f (n )等于( D )
A ．f (n －1)＋1
B ．f (n －2)＋2
C ．f (n －2)＋1
D ．f (n －1)＋f (n －2)
[解析] 到第n 级台阶可分两类：从第n －2级一步到第n 级有f (n －2)种走法，从第n －1级到第n 级有f (n －1)种走法，共有f (n －1)＋f (n －2)种走法．
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．(2019·大武口区校级一模)甲、乙、丙、丁四人分别从一个装有编号为1,2,3,4的四个完全相同的小球的袋中依次取出一个小球．现知道：①甲取出的小球编号为偶数；②乙取出的小球编号比甲大；③乙、丙取出的小球编号差的绝对值比甲大．则丁取出的小球编号是3.
[解析] 由①②可知，甲取出的小球编号为2，乙取出的小球编号可能是3或4.又|1－4|＝3＞2，|1－3|＝2，
所以由③可知，乙取出的小球编号是4，丙取出的小球编号是1， 故丁取出的小球编号是3. 故答案为3.
14．在等差数列{a n }中，若公差为d ，且a 1＝d ，那么有a m ＋a n ＝a m ＋n ，类比上述性质，写出在等比数列{a n }中类似的性质：在等比数列{a n }中，若公比为q ，且a 1＝q ，则a m ·a n ＝
a m ＋n .
[解析] 等差数列中两项之和类比等比数列中两项之积，故在等比数列中，类似的性质是“在等比数列{a n }中，若公比为q ，且a 1＝q ，则a m ·a n ＝a m ＋n .”
15．观察分析下表中的数据：
F ＋V －E ＝2. [解析] 本题考查归纳推理． 5＋6－9＝2， 6＋6－10＝2， 6＋8－12＝2， ∴F ＋V －E ＝2.
16．一个二元码是由0和1组成的数字串x 1x 2…x n (n ∈N *)，其中x k (k ＝1，2，…，n )称为第k 位码元．二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0)．
已知某种二元码x 1x 2…x 7的码元满足如下校验方程组： ⎩⎪⎨⎪
⎧
x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7＝0，x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7＝0，x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7＝0，
其中运算⊕定义为：0⊕0＝0,0⊕1＝1,1⊕0＝1,1⊕1＝0.
现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1 101 101，那么利用上述校验方程组可判定k 等于5.
[解析] 根据题意，列出检验方程组， ⎩⎪⎨⎪
⎧
1⊕1⊕0⊕1＝1，1⊕0⊕0⊕1＝0，1⊕0⊕1⊕1＝1，
显然第一个式子和第三个式子错误，第二个式子没有影响，所以
错误的应该出现在第一个式子和第三个式子都有而第二个式子没有的码元，只有x 5，验证一下把x 5换成0，上式检验方程组都成立，所以x 5出错了，即k ＝5.
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)已知n ≥0，试用分析法证明：n ＋2－n ＋1<n ＋1－n . [解析] 要证n ＋2－n ＋1<n ＋1－n 成立， 需证明n ＋2＋n <2n ＋1.
只需证明(n ＋2＋n )2<(2n ＋1)2， 只需证明n ＋1>n 2＋2n ， 只需证明(n ＋1)2>n 2＋2n ， 只需证明n 2＋2n ＋1>n 2＋2n ， 只需证明1>0.
因为1>0显然成立，所以原命题成立．
18．(本题满分12分)已知函数f (x )满足下列条件：
(1)f (12)＝1，(2)f (xy )＝f (x )＋f (y )，(3)f (x )的值域为[－1,1]．试证明：1
4不在f (x )的定义域内．
[证明] 假设14在f (x )的定义域内，因为f (xy )＝f (x )＋f (y )，所以f (14)＝f (12×12)＝f (12)＋f (12)
＝2.
又f (x )的值域为[－1,1]，2∉[－1,1]， 所以1
4
不在函数f (x )的定义域内．
19．(本题满分12分)先解答(1)，再通过结构类比解答(2)． (1)求证：tan(x ＋π4)＝1＋tan x
1－tan x
；
(2)设x ∈R ，a 为非零常数，且f (x ＋a )＝1＋f (x )
1－f (x )，试问：f (x )是周期函数吗？证明你的结
论．
[解析] (1)证明：根据两角和的正切公式得 tan(x ＋π
4)＝tan x ＋tan
π
41－tan x tan
π4＝tan x ＋11－tan x ＝1＋tan x 1－tan x
，
即tan(x ＋π4)＝1＋tan x
1－tan x ，命题得证．
(2)猜想f (x )是以4a 为周期的周期函数．
因为f (x ＋2a )＝f [(x ＋a )＋a ]＝1＋f (x ＋a )1－f (x ＋a )＝1＋
1＋f (x )1－f (x )1－
1＋f (x )1－f (x )＝－1
f (x )
.
所以f (x ＋4a )＝f [(x ＋2a )＋2a ]＝－1
f (x ＋2a )＝f (x )．
所以f (x )是以4a 为周期的周期函数．
20．(本题满分12分)我们知道，在△ABC 中，若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是直角三角形．现在请你研究：若c n ＝a n ＋b n (n ＞2)，问△ABC 为何种三角形？为什么？
[解析] 锐角三角形 ∵c n ＝a n ＋b n (n ＞2)，∴c ＞a, c ＞b ，由c 是△ABC 的最大边，所以要证△ABC 是锐角三角形，只需证角C 为锐角，即证cos C ＞0.
∵cos C ＝a 2＋b 2－c 2
2ab
，
∴要证cos C ＞0，只要证a 2＋b 2＞c 2， ①
注意到条件：a n ＋b n ＝c n ，
于是将①等价变形为：(a 2＋b 2)c n －
2＞c n .
②
∵c ＞a ，c ＞b ，n ＞2，∴c n －
2＞a n －
2，c n －
2＞b n －
2， 即c n －
2－a n －
2＞0，c n －
2－b n －2＞0， 从而(a 2＋b 2)c n －
2－c n ＝(a 2＋b 2)c n －
2－a n －b n ＝a 2(c n －
2－a n －
2)＋b 2(c n －
2－b n －
2)＞0， 这说明②式成立，从而①式也成立．
故cos C ＞0，C 是锐角，△ABC 为锐角三角形．
21．(本题满分12分)椭圆与双曲线有许多优美的对称性质．对于椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞
0)有如下命题：AB 是椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为AB
的中点，则k OM ·k AB ＝－b 2a 2为定值．那么对于双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则有命题：AB
是双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为AB 的中点，猜想
k OM ·k AB 的值，并证明．
[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则有 ⎩⎨⎧
x 0
＝x 1
＋x
2
2
，y 0
＝y 1
＋y 2
2.
k OM ＝y 0x 0＝y 1＋y 2
x 1＋x 2，k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2
，
即k OM ·k AB ＝(y 1－y 2)(y 1＋y 2)(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝y 21－y 22
x 21－x 22
. 将A 、B 坐标代入双曲线方程x 2a 2－y 2
b 2＝1中可得：
x 21a 2
－y 21
b 2＝1 ① x 22a 2
－y 22
b
2＝1
②
①－②得：x 21－x 22a 2＝y 21－y 22
b
2，
∴y 21－y 22
x 21－x 22＝b 2a
2，即k OM ·k AB ＝b 2a 2.
22．(本题满分12分)(2019·马鞍山高二检测)已知数列{x n }满足x 1＝12，x n ＋1＝1
1＋x n
，n
∈N * .猜想数列{x 2n }的单调性，并证明你的结论．
[解析] 由x 1＝12及x n ＋1＝11＋x n ，得x 2＝23，x 4＝58，x 6＝13
21，
由x 2>x 4>x 6猜想：数列{x 2n }是递减数列． 下面用数学归纳法证明： (1)当n ＝1时，已证命题成立．
(2)假设当n ＝k 时命题成立，即x 2k >x 2k ＋2，那么x 2k ＋2－x 2k ＋4＝11＋x 2k ＋1－1
1＋x 2k ＋3
＝
x 2k ＋3－x 2k ＋1
(1＋x 2k ＋1)(1＋x 2k ＋3)
＝11＋x 2k ＋2－
1
1＋x 2k (1＋x 2k ＋1)(1＋x 2k ＋3)
＝ x 2k －x 2k ＋2
(1＋x 2k )(1＋x 2k ＋1)(1＋x 2k ＋2)(1＋x 2k ＋3)>0，
即x 2(k ＋1)>x 2(k ＋1)＋2，
也就是说，当n ＝k ＋1时命题也成立．结合(1)和(2)知命题成立．
第三章 学业质量标准检测
时间120分钟，满分150分．
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．(2017·全国卷Ⅱ)3＋i
1＋i ＝( D )
A ．1＋2i
B ．1－2i
C ．2＋i
D ．2－i
[解析] 3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )
＝3－3i ＋i ＋1
2
＝2－i. 故选D ．
2．已知i 是虚数单位，则3＋i
1－i ＝( D )
A ．1－2i
B ．2－i
C ．2＋i
D ．1＋2i
[解析]
3＋i 1－i ＝(3＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i )
＝2＋4i
2＝1＋2i.
3．若复数z ＝i(3－2i)(i 是虚数单位)，则z ＝( A ) A ．2－3i B ．2＋3i C ．3＋2i
D ．3－2i
[解析] 因为z ＝i(3－2i)＝3i －2i 2＝2＋3i ，所以z ＝2－3i. 4．若a 为实数，且(2＋a i)·(a －2i)＝－4i ，则a ＝( B ) A ．－1 B ．0 C ．1
D ．2
[解析] ∵(2＋a i)(a －2i)＝4a ＋(a 2－4)i ＝－4i ，
∴⎩
⎪⎨⎪
⎧
4a ＝0，a 2－4＝－4，解之得a ＝0. 5．如果复数z ＝2
－1＋i
，则( C ) A ．|z |＝2
B ．z 的实部为1
C ．z 的虚部为－1
D ．z 的共轭复数为1＋i
[解析] 因为z ＝2
－1＋i ＝2(－1－i )2＝－1－i ，所以|z |＝2，z 的实部为－1，虚部为－1，
共轭复数为－1＋i ，因此选C ．
6．若复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z ＝z 1·z 2在复平面内的对应点位于( D ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象限
[解析] ∵z 1·z 2＝(3＋i)(1－i)＝3－3i ＋i －i 2＝4－2i ， ∴z ＝z 1·z 2在复平面内的对应点位于第四象限． 7．对于下列四个命题：
①任何复数的绝对值都是非负数；
②如果复数z 1＝5i ，z 2＝2－3i ，z 3＝－5i ，z 4＝2－i ，那么这些复数的对应点共圆； ③|cos θ＋isin θ|的最大值是2，最小值为0；
④x 轴是复平面的实数，y 轴是虚轴． 其中正确的有( D ) A ．0个 B ．1个 C ．2个
D ．3个
[解析] ①正确．因为若z ∈R ，则|z |≥0，若z ＝a ＋b i(b ≠0，a ，b ∈R )，|z |＝a 2＋b 2>0.②正确．因为|z 1|＝5，|z 2|＝(2)2＋(3)2＝5，|z 3|＝5，|z 4|＝5，这些复数的对应点均在以原点为圆心，5为半径的圆上．③错．因为|cos θ＋isin θ|＝cos 2θ＋sin 2θ＝1为定值，最大、最小值相等都是1.④正确．故选D ．
8．复数z 1＝(1－i 1＋i )2，z 2＝2－i 3分别对应复平面内的点P ，Q ，则向量PQ →
对应的复数是
( D )
A ．10
B ．－3－i
C ．1＋i
D ．3＋i
[解析] ∵z 1＝(－i)2＝－1，z 2＝2＋i ，
∴PQ →
对应的复数是z 2－z 1＝2＋i －(－1)＝3＋i.故选D ．
9．(2019·全国Ⅰ卷理，2)设复数z 满足|z －i|＝1，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则( C ) A ．(x ＋1)2＋y 2＝1 B ．(x －1)2＋y 2＝1 C ．x 2＋(y －1)2＝1
D ．x 2＋(y ＋1)2＝1
[解析] 由已知条件，可得z ＝x ＋y i.∵ |z －i|＝1， ∴ |x ＋y i －i|＝1，∴ x 2＋(y －1)2＝1.故选C ．
10．若θ∈⎝⎛⎭⎫3π4，5π4，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应的点在( B ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象限
[解析] θ∈⎝⎛⎭⎫3π4，5π4时， sin θ＋cos θ<0，sin θ－cos θ>0，
故对应点(cos θ＋sin θ，sin θ－cos θ)在第二象限．
11．(2019·成都高二检测)若A ，B 为锐角三角形的两个内角，则复数z ＝(cos B －sin A )＋i(sin B －cos A )对应的点位于复平面内的( B )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 [解析] ∵A 、B 为锐角三角形的内角， ∴π
2
<A ＋B <π，
∴A >π2－B ，B >π
2－A ，
∴sin A >sin(π
2－B )＝cos B ，
sin B >sin(π
2
－A )＝cos A ，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
cos B －sin A <0sin B －cos A >0， ∴对应点在第二象限，故选B ．
12．若复数z 1z 2≠0，则z 1z 2＝|z 1z 2|是z 2＝z 1成立的( D ) A ．充要条件 B ．既不充分又不必要条件 C ．充分不必要条件
D ．必要不充分条件
[解析] z 1，z 2都是复数，复数z 1z 2≠0成立，则z 1，z 2是非零复数，此时当z 2＝z 1时，表明两复数z 1，z 2是一对共轭复数，故z 1z 2＝|z 1|2，|z 1z 2|＝|z 2|2, 能得出z 1z 2＝|z 1z 2|成立；反之，若z 1z 2＝|z 1z 2|成立，则z 1z 2是正实数，故不一定得出z 2＝z 1.
故可得出z 1z 2＝|z 1z 2|是z 2＝z 1成立的必要不充分条件，故选D ．
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知z 、ω为复数，(1＋3i)z 为纯虚数，ω＝z 2＋i ，且|ω|＝52，则ω＝±(7－i).
[解析] 解法1：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则 (1＋3i)z ＝a －3b ＋(3a ＋b )i. 由题意，得a ＝3b ≠0.
∵|ω|＝⎪⎪⎪
⎪z
2＋i ＝52，∴|z |＝a 2＋b 2＝510.
将a ＝3b 代入，解得a ＝±15，b ＝±5. 故ω＝±15＋5i 2＋i
＝±(7－i)．
解法2：由题意，设(1＋3i)z ＝k i ，k ≠0，且k ∈R ，则ω＝k i
(2＋i )(1＋3i ).
∵|ω|＝5 2.∴k ＝±50.故ω＝±(7－i)．
14．下面四个命题：①0比－i 大；②两个复数当且仅当其和为实数时，互为共轭复数；③x ＋y i ＝1＋i 的充要条件为x ＝y ＝1；④任何纯虚数的平方都是负实数．其中错误命题的序号是①②③.
[解析] ①实数与虚数不能比较大小；②两个复数互为共轭复数时其和为实数，但是两个复数的和为实数时，这两个复数不一定是共轭复数；③x ＋y i ＝1＋i 的充要条件为x ＝y ＝1
是错误的，因为没有表明x ，y 是否是实数；④若z ＝b i(b ≠0)为纯虚数，则z 2＝－b 2<0，①②③均是错误命题，④是正确的．
15．设a ∈R ，若复数(1＋i)(a ＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a ＝－1. [解析] (1＋i)(a ＋i)＝(a －1)＋(a ＋1)i ，由已知得a ＋1＝0，解得a ＝－1. 16．已知复数z 1＝cos α＋isin α，z 2＝cos β＋isin β，则复数z 1·z 2的实部是cos(α＋β). [解析] z 1·z 2＝(cos α＋isin α)(cos β＋isin β) cos αcos β－sin αsin β＋(cos αsin β＋sin αcos β)i ＝cos(α＋β)＋sin(α＋β)i 故z 1·z 2的实部为cos(α＋β)．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)已知z ＝1＋i ，a ，b ∈R ，若z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝1－i ，求a ，b 的值．
[解析] ∵z ＝1＋i ，∴z 2＝2i ，
∴z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝2i ＋a ＋a i ＋b 2i －1－i ＋1
＝(a ＋2)i ＋(a ＋b )i ＝a ＋2－(a ＋b )i ＝1－i ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2＝1a ＋b ＝1，∴⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝－1，
b ＝2. 18．(本题满分12分)已知m ∈R ，复数z ＝m (m －2)m －1＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时，(1)z
∈R .(2)z 对应的点在直线x ＋y ＋3＝0上．
[解析] (1)当z 为实数时，则有m 2＋2m －3＝0且m －1≠0， 得m ＝－3，故当m ＝－3时，z ∈R .
(2)当z 对应的点在直线x ＋y ＋3＝0上时，则有m (m －2)
m －1
＋(m 2＋2m －3)＋3＝0，得m (m 2＋2m －4)
m －1
＝0，
解得m ＝0或m ＝－1±5.
所以当m ＝0或m ＝－1±5时，z 对应的点在直线x ＋y ＋3＝0上． 19．(本题满分12分)已知z ＝
a －i
1－i
，其中i 为虚数单位，a >0，复数ω＝z (z ＋i)的虚部减去它的实部所得的差等于3
2
，求复数ω的模．
[解析] ∵z ＝a －i
1－i ，代入ω＝z (z ＋i)，得
ω＝a －i 1－i (a －i 1－i ＋i)＝(a －i )(a ＋1)(1－i )2
＝(a －i )(a ＋1)－2i ＝(1＋a i )(a ＋1)
2
＝
a ＋12＋a (a ＋1)
2
i ， ∴ω的实部为a ＋12，虚部为a (a ＋1)2，
由已知得a (a ＋1)2－a ＋12＝3
2，
解得a 2＝4，∴a ＝±2. 又a >0，故a ＝2. |ω|＝|
a ＋12＋a (a ＋1)2i|＝|2＋12＋2(2＋1)2
i| ＝|32＋3i|＝35
2
. 20．(本题满分12分)已知复数z ＝
(－1＋3i )(1－i )－(1＋3i )i ，ω＝z ＋a i(a ∈R )，当|ω
z |≤2时，求a 的取值范围．
[解析] ∵z ＝(－1＋3i )(1－i )－(1＋3i )i ＝1＋i
i
＝1－i ，
∴|z |＝ 2.又⎪⎪⎪⎪ωz ＝|ω|
|z |≤2，∴|ω|≤2.
而ω＝z ＋a i ＝(1－i)＋a i ＝1＋(a －1)i ，(a ∈R )， 则12＋(a －1)2≤2⇒(a －1)2≤3，
∴－3≤a －1≤3，1－3≤a ≤1＋ 3.即a 的取值范围为[1－3，1＋3]． 21．(本题满分12分)设O 为坐标原点，已知向量OZ 1→，OZ 2→
分别对应复数z 1，z 2，且z 1
＝
3a ＋5－(10－a 2)i ，z 2＝21－a
＋(2a －5)i ，a ∈R ，若z 1＋z 2可以与任意实数比较大小，求OZ 1→·OZ 2→的值．
[解析] 依题意得z 1＋z 2为实数，
因为z 1＋z 2＝3a ＋5＋21－a ＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i ，
所以⎩⎪⎨⎪
⎧
a 2＋2a －15＝0，a ＋5≠0，
1－a ≠0.
所以a ＝3.
此时z 1＝3
8
－i ，z 2＝－1＋i ，
即OZ 1→＝(38，－1)，OZ 2→
＝(－1,1)．
所以OZ 1→·OZ 2→＝3
8×(－1)＋(－1)×1＝－118
.
22．(本题满分12分)将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1、2、3、4、5、6)先后抛掷两次，记第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b .
(1)设复数z ＝a ＋b i(i 为虚数单位)，求事件“z －3i 为实数”的概率； (2)求点P (a ，b )落在不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
a －
b ＋2≥0，0≤a ≤4，
b ≥0.
表示的平面区域内(含边界)的概率．
[解析] (1)z ＝a ＋b i(i 为虚数单位)，z －3i 为实数，则a ＋b i －3i ＝a ＋(b －3)i 为实数，则b ＝3.
依题意得b 的可能取值为1、2、3、4、5、6， 故b ＝3的概率为1
6
.
即事件“z －3i 为实数”的概率为1
6.
(2)连续抛掷两次骰子所得结果如下表：
不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界)．
由图知，点P (a ，b )落在四边形ABCD 内的结果有：(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(3,5)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4)、(4,5)、(4,6)，共18种．
所以点P (a ，b )落在四边形ABCD 内(含边界)的概率为P ＝1836＝12.
第一、二章 学业质量标准检测
本检测仅供教师备用，学生书中没有 时间120分钟，满分150分．
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．设1a <1
b <0，则在①a 2>b 2；②a ＋b >2ab ；③ab <b 2；④a 2＋b 2>|a |＋|b |.这4个不等式中
恒成立的有( B )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
[解析] ∵1a <1
b
<0，∴0>a >b ，∴a 2<b 2，ab <b 2，②④显然不正确．
2．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－x －1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a 的取值范围是( D )
A ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
B ．(－3，3)
C ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)
D ．[－3，3]
[解析] f ′(x )＝－3x 2＋2ax －1，∵f (x )在(－∞，＋∞)上是单调函数，且f ′(x )的图象是开口向下的抛物线，
∴f ′(x )≤0恒成立，∴Δ＝4a 2－12≤0，∴－3≤a ≤3，故选D ．
3．观察下列各等式：22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，10
10－4＋
－2－2－4＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( A )
A ．n
n －4＋8－n (8－n )－4＝2
B ．n ＋1(n ＋1)－4＋(n ＋1)＋5(n ＋1)－4＝2
C ．n
n －4＋n ＋4(n ＋4)－4＝2
D ．n ＋1(n ＋1)－4＋n ＋5(n ＋5)－4
＝2
[解析] 观察分子中2＋6＝5＋3＝7＋1＝10＋(－2)＝8.
4．观察下面图形的规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( A )
A ．■ C ．□
D ．○
[解析] 由每一行中图形的形状及黑色图形的个数，则知A 正确．
5．(2019·淄博三模)在平面几何里有射影定理：设三角形ABC 的两边AB ⊥AC ，D 是A 点在BC 上的射影，则AB 2＝BD ·BC ．拓展到空间，在四面体A －BCD 中，AD ⊥面ABC ，点O 是A 在面BCD 内的射影，且O 在△BCD 内，类比平面三角形射影定理，得出正确的结论是( A )
A ．(S △ABC )2＝S △BCO ·S △BCD
B ．(S △ABD )2＝S △BOD ·S △BO
C C ．(S △ADC )2＝S △DOC ·S △BOC
D ．(S △BDC )2＝S △ABD ·S △ABC [解析] 由已知在平面几何中，
若△ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，D 是垂足， 则AB 2＝BD ·BC ，
我们可以类比这一性质，推理出：
若三棱锥A －BCD 中，AD ⊥面ABC ，AO ⊥面BCD ，O 为垂足， 则(S △ABC )2＝S △BOC ·S △BDC ． 故选A ．
6．已知a n ＝(1
3
)n ，把数列{a n }的各项排成如下的三角形：
a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9
…
记A (s ，t )表示第s 行的第t 个数，则A (11,12)等于( D ) A ．(13)67
B ．(13)68
C ．(1
3
)111
D ．(13
)112
[解析] 该三角形每行所对应元素的个数分别为1,3,5，…那么第10行的最后一个数为a 100，第11行的第12个数为a 112，即A (11,12)＝(1
3
)112.故选D ．
7．函数f (x )在其定义域内可导，其图象如图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图象可能为( C )
[解析] 由图象知，f (x )在x <0时，图象增→减→增，x >0时，单调递增，故f ′(x )在x <0时，其值为＋→－→＋，在x >0时为＋，故选C ．
8．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )等于( D )
A ．f (x )
B ．－f (x )
C ．g (x )
D ．－g (x )
[解析] 观察可知偶函数的导函数是奇函数，由f (－x )＝f (x )知f (x )为偶函数，故g (x )为奇函数，从而g (－x )＝－g (x )．
9．已知函数f (x )＝ln x ，则函数g (x )＝f (x )－f ′(x )的零点所在的区间是( B ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)
D ．(3,4)
[解析] 由题可知g (x )＝ln x －1x ，∵g (1)＝－1<0，g (2)＝ln2－1
2＝ln2－ln e>0，∴选B ．
10．定义一种运算“*”；对于自然数n 满足以下运算性质：(i)1]( A ) A ．n B ．n ＋1 C ．n －1
D ．n 2
[解析] 令a n ＝n *1，则由(ii)得，a n ＋1＝a n ＋1，由(i)得，a 1＝1，
∴{a n }是首项a 1＝1，公差为1的等差数列，∴a n ＝n ，即n *1＝n ，故选A ．
11．已知函数f (x )＝13x 3＋1
2mx 2＋m ＋n 2x 的两个极值点分别为x 1、x 2，且0<x 1<1<x 2，点
P (m ，n )表示的平面区域内存在点(x 0，y 0)满足y 0＝log a (x 0＋4)，则实数a 的取值范围是( B )
A ．(0，1
2)∪(1,3)
B ．(0,1)∪(1,3)
C ．(1
2
，1)∪(1,3]
D ．(0,1)∪[3，＋∞)
[解析] f ′(x )＝x 2＋mx ＋m ＋n
2
，由条件知，方程f ′(x )＝0的两实根为x 1、x 2且0<x 1<1<x 2，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
f ′(0)>0，f ′(1)<0，∴⎩⎨⎧
m ＋n
2
>0，1＋m ＋m ＋n
2
<0，∴⎩
⎪⎨⎪⎧
m ＋n >0，
3m ＋n <－2， 由⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝0，3m ＋n ＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－1，n ＝1，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x 0<－1，
y 0>1.
由y 0＝log a (x 0＋4)知，当a >1时，1<y 0<log a 3，
∴1<a <3；当0<a <1时，y 0＝log a (x 0＋4)>log a 3，由于y 0>1，log a 3<0，∴对∀a ∈(0,1)，此式都成立，从而0<a <1，综上知0<a <1或1<a <3，故选B ．
12．设函数f (x )定义如下表，数列{x n }满足x 0＝5，且对任意的自然数均有x n ＋1＝f (x n )，则x 2017＝( B )
A ．1 C ．4
D ．5
[解析] x 1＝f (x 0)＝f (5)＝2，
x 2＝f (2)＝1，x 3＝f (1)＝4，x 4＝f (4)＝5，x 5＝f (5)＝2，…，数列{x n }是周期为4的数列，所以x 2017＝x 1＝2，故应选B ．
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知1＋2×3＋3×32＋4×32＋…＋n ×3n －
1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，则a ＝12，b ＝14，c ＝1
4
.
[解析] 令n ＝1,2,3，得⎩⎪⎨⎪
⎧
3(a －b )＋c ＝1，9(2a －b )＋c ＝7，
27(3a －b )＋c ＝34.
所以a ＝12，b ＝c ＝1
4
.
14．已知f (x )＝x 3＋3x 2＋a (a 为常数)，在[－3,3]上有最小值3，那么在[－3,3]上f (x )的最大值是57.
[解析] f ′(x )＝3x 2＋6x ＝3x (x ＋2)，当x ∈[－3，－2)和x ∈(0,3]时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈(－2,0)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，∴极大值为f (－2)＝a ＋4，极小值为f (0)＝a ，又f (－3)＝a ，f (3)＝54＋a ，由条件知a ＝3，∴最大值为f (3)＝54＋3＝57.
15．现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是a 的正方
形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a 2
4.类比到空
间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为a 3
8
.
[解析] 平面内⎝⎛⎭⎫a 22类比到空间⎝⎛⎭⎫a 23＝a 3
8
. 16．若下列两个方程x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围是{a |a ≤－2或a ≥－1}.
[解析] 假设两个一元二次方程均无实根，则有
⎩⎪⎨⎪⎧ Δ1＝(a －1)2－4a 2<0，Δ2＝(2a )2－4(－2a )<0，即⎩⎪⎨⎪⎧
3a 2＋2a －1>0，
a 2＋2a <0，
解得{a |－2<a <－1}，
所以其补集{a |a ≤－2或a ≥－1}即为所求的a 的取值范围．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)已知a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac a < 3.
[解析] 因为a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0， 所以a >0，c <0.
要证明原不等式成立，只需证明b 2－ac <3a ， 即证b 2－ac <3a 2，从而只需证明(a ＋c )2－ac <3a 2， 即(a －c )(2a ＋c )>0，
因为a －c >0,2a ＋c ＝a ＋c ＋a ＝a －b >0， 所以(a －c )(2a ＋c )>0成立，故原不等式成立．。