江西省景德镇市第一中学2017-2018学年高一上学期期末考试数学试卷

2017-2018学年江西省景德镇一中高一（上）期末
数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.对于全集U的子集M，N，若M是N的真子集，则下列集合中必为空集的是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【】
【分析】
由题意画出韦恩图,由韦恩图可直接分析出答案。

【详解】由题意，可画出韦恩图如下图所示：
由图可知，
所以选B
【点睛】本题考查了集合与集合的基本关系，用韦恩图分析集合间包含关系的应用，属于基础题。

2.设，，，则( )
A. y3 > y1 > y2
B. y2 >y1 >y3
C. y1>y2 > y3
D. y1 > y3 >y2
【答案】D
【】
试题分析：利用指数函数比较大小.，因为在上单增，所以有，故选D.
考点：指数函数的单调性.
3.正三棱锥的主视图如图所示，那么该正三棱锥的侧面积是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【】
【分析】
由主视图可得正三棱锥的底面三角形的边长为2，正三棱锥的高为，再由高和斜高、斜高在底面的射影构成直角三角形，运用勾股定理和侧面积公式，计算可得所求值。

【详解】由正三棱锥的主视图可得空间结构体如图所示
由正视图可知正三棱锥的高为，底面等边三角形的边长为2
即
则
根据三角形AOE为直角三角形可得
所以
所以正三棱锥的侧面积为
所以选D
【点睛】本题考查了三棱锥的三视图，根据三视图还原空间结构体并求侧面积问题，属于基础题。

4.过P（–2，0），倾斜角为120°的直线的方程为
A. B.
C. D.
【答案】A
【】
【分析】
由直线的倾斜角为求出直线的斜率,由此可利用点斜式求出过,倾斜角为的直线的方程.
【详解】倾斜角为120°的直线的斜率为k=tan120°=–，
∴过P（–2，0），倾斜角为120°的直线的方程为：y–0=–（x+2），
整理得：=0．故选A
【点睛】本题主要直线的倾斜角、考查点斜式方程的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，是基础题.
5.已知，，那么⊙c1与⊙c2的位置关系是（）
A. 内含
B. 相切
C. 相交
D. 相离
【答案】C
【】
【分析】
将两个圆的方程化为标准方程，比较圆心距与两个半径的大小关系即可。

【详解】因为
所以即圆心坐标为（-1,3），半径
因为
所以即圆心坐标为（2,-1），半径
两个圆的圆心距为
因为
所以两个圆相交
所以选C
【点睛】本题考查了圆的标准方程与一般方程的转化，圆与圆位置关系的判断方法，属于基础题。

6.在空间直角坐标系中，已知△ABC顶点坐标分别是A（-1，2，3），B（2，-2，3），，
则△ABC是（）三角形
A. 等腰
B. 锐角
C. 直角
D. 钝角
【答案】C
【】
【分析】
根据两点间的距离公式，分别算出AB、AC、BC的长，进而利用勾股定理逆定理判断三角形的形状。

【详解】根据两点间距离公式可知
因为
所以三角形ABC是以C为直角顶点的直角三角形
所以选C
【点睛】本题考查了空间中两点距离公式的简单应用，勾股定理的逆定理判断三角形的形状，属于基础题。

7.设x、y、z均为正数，且，（）y=，（）z=log2z，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【】
【分析】
利用函数与方程的关系，作出对应的函数，利用数形结合进行判断即可。

【详解】在同一个坐标系中画出函数的图象如下图所示
由图可知，
所以选A
【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的图象与性质，通过图像比较函数值的大小，属于中档题。

8.已知平面α⊥平面β，平面α∩平面β=L点A∈α，A∉L，直线AB∥L，直线AC⊥L，直线m∥α，m∥β，则下列结论中①AB∥m，②AC⊥m，③AC⊥β，正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【】
【分析】
根据题意，将各个点、线、面放在正方体中，利用正方体的性质判断各个选项是否正确。

【详解】因为平面α⊥平面β，平面α∩平面β=L点A∈α，A∉L，直线AB∥L，直线AC⊥L，直线m∥α，m∥β
构造一个正方体如下图：
由图可知AB∥m，AC⊥m，正确；
AC⊥β不正确
所以选A
【点睛】本题考查了空间点线面的位置关系及命题真假的判断，关键是根据条件构造合适的
空间几何体，属于基础题。

9.设，若f（a）+f（3a+1）＞0，则a的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【】
【分析】
根据对数函数的真数大于0，求出定义域。

而为奇函数且在定义域内为增函数，进而利用函数单调性与奇偶性解不等式即可求得a的取值范围。

【详解】因为，所以
解不等式得
又因为==
所以函数为奇函数，
根据复合函数单调性判断可知在上为增函数
因为f（a）+f（3a+1）＞0，即f（a）＞- f（3a+1）
所以f（a）＞f（-3a-1）
因为在上为增函数
所以，解不等式组得
所以选C
【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，关键是分析f（x）的奇偶性与单调性，属于中档题。

10.如图，在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，A1B1=B1B=2，AB=4，则异面直线BB1与CD1所成的角的余弦值为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【】
【分析】
取BC中点M，链接A1C1，A1M，MC1从而∠A1MC1是异面直线BB1与CD1所成的角，由此利用余弦定理能求出异面直线BB1与CD1所成的角的余弦值。

【详解】取BC中点M，链接A1C1，A1M，MC1
∵在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，A1B1=B1B=2，AB=4
∴BC=AB=4，MC=2，A1D1=2
∴A1D1MC为平行四边形
∴A1M∥D1C，
同理，B1C1∥BM，B1C1=BM=2，
∴BB1C1C为平行四边形，
∴BB1∥C1M，
∴∠A1MC1是异面直线BB1与CD1所成的角，
∵C1D1DC为等腰梯形，CC1=C1D1=D1D=2，DC=4，
∴∠CC1D1=120°，
∴
又∵
∴即为异面直线BB1与CD1所成的角的余弦值为
所以选A
【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，空间
中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，注意运算，属于中档题。

11.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，，AA1=1，则二面角C-B1D-C1的大小的余弦值为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【】
【分析】
根据题意建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，利用坐标表示向量，求出平面CB1D、平面C1B1D的法向量，再计算法向量的夹角，即可得出二面角C-B1D-C1的余弦值。

【详解】由题意，建立如图所示的空间直角坐标系
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，，AA1=1
所以
所以
设平面CB1D的法向量为
所以，代入坐标
令y=1，代入可求得法向量为
同理可设平面C1B1D的法向量为
所以，代入坐标
令i=1，代入可求得法向量为
所以
由图可知，二面角C-B1D-C1为锐二面角，所以
所以选A
【点睛】
本题考查了向量法求平面与平面形成的二面角，空间直角坐标系的应用，属于中档题。

12.已知函数，则方程|f（x）+g（x）|=1实根个数为（）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
【答案】C
【】
【分析】
由|f（x）+g（x）|=1可得g（x）=-f（x）±1，分别作出函数的图象，即可得出解。

【详解】由|f（x）+g（x）|=1可得g（x）=-f（x）±1
令h（x）=-f（x）+1，g（x）与h（x）=-f（x）+1的图象如下图所示，两个函数图象有3个交点
令φ（x）=-f（x）-1，则g（x）与φ（x）=-f（x）-1的图象如下图所示，两个函数图象有两个交点；
所以方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为5．
所以选C．
【点睛】本题考查了函数与方程的综合应用，数形结合的数学思想在解决问题中的应用，对分析、解决问题的能力要求较高，属于难题。

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.方程log3（1-2•3x）=2x+1的解x=______．
【答案】
【】
【分析】
由log3（1-2•3x）=2x+1，知1-2•3x=32x+1，故3•（3x）2+2•3x-1=0，进而求出方程的解．
【详解】∵log3（1-2•3x）=2x+1，
∴1-2•3x=32x+1，
∴3•（3x）2+2•3x-1=0，
∴（3•3x-1）（3x+1）=0，
所以或
解得x=-1
所以方程的解为x=-1
【点睛】本题考查指数，对数的运算性质和应用，解题时要认真审题，仔细计算，属于基础题。

14.若圆C：x2+y2-2x-2y+m=0被直线L：（2m+1）x-（m+1）y-m=0截得的弦长为2，则m的值等于______．
【答案】
【】
【分析】
将x2+y2-2x-2y+m=0化为标准方程，得到圆心为和半径，由于直线过定点M（1，1），当圆被直线截得的弦长为2时，可知此弦长为直径，即可求出m的值。

【详解】圆C：x2+y2-2x-2y+m=0可化为（x-1）2+（y-1）2=2-m．
圆心为（1，1），半径为
∵直线过定点M（1，1），圆被直线截得的弦长为2，
∴圆的直径为2，
即
又∵2-m≥0，
∴m≤2，
∴m的值为1．
【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，直线过定点问题，属于基础题。

15.当x=______时，函数y=x4-2x3+x+2018取得最小值．
【答案】
【】
【分析】
根据函数求得导函数，进而得导函数的零点。

根据导函数的符号判断单调区间，可判断使函数取得极小值的x值。

【详解】由y=x4-2x3+x+2018，得y′=4x3-6x2+1，
由y′=4x3-6x2+1=0，得4x3-6x2+1=（2x2-2x-1）（2x-1）=0
解方程可得或
当或时，y′<0
当或时，y′>0
所以函数的单调递减区间为或
单调递增区间为或
所以当时函数取得极小值
而当时，函数值
当时，函数值
所以当时函数取得最小值
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的极值与最值，化简求值过程较为复杂，属于难题。

16.已知空间四边形ABCD的四个顶点都在球O的面上，E、F分别是AB、CD的中点，且EF⊥AB，EF⊥CD，若AB=8，CD=EF=4，则球O的表面积为______．
【答案】
【】
【分析】
由题意，球心O必在EF上，则OF2+22=R2=（4-OF）2+42，即可求得球的半径，进而求得球的表面积。

【详解】由题意可知，球心O必在EF上，则OF2+22=R2=（4-OF）2+42
所以，
由球的表面积公式可得
S=4πR2=65π
【点睛】本题考查了空间结构体的外接球的半径、表面积求法，主要是通过分析得出各量之间的关系，属于中档题。

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.已知直线L1：（3-a）x+（2a-1）y+10=0，直线L2：（2a+1）x+（a+5）y-6=0．
（1）若L1⊥L2，求a的值；
（2）若L1∥L2，求a的值．
【答案】（1）；（2）.
【】
【分析】
（1）两直线垂直，则A1A2+B1B2=0，代入两条直线方程中的A、B即可求得a的值。

（2）两条直线平行，则A1 B2 =B1 A2，且截距不等，代入即可求得a的值。

【详解】解：（1）L1⊥L2则（2a+1）+（2a-1）（a+5）=0，解得a=，
（2）L1∥L2则（3-a）（a+5）=（2a-1）（2a+1），解得a=或a=-2，、
当a=-2时，l1与l2重合，不满足题意，
故a=．
【点睛】本题考查了两条直线平行、垂直时一般方程中系数的的相互关系，注意平行时对截距也有要求，属于基础题。

18.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，E、F、G、H分别是所在棱A1D1，B1C1，C1C和AB的中点．（1）求证EG∥平面A1BC1；
（2）求证：E、F、G、H四点共面．
【答案】（1）详见；（2）详见.
【】
【分析】
（1）根据题意可得FG∥CD1，CD1∥A1B，从而FG∥A1B，进而FG∥平面A1BC1，再求出EF∥平面A1BC1，从而平面EFG∥平面A1BC1，由此能证明EG∥平面A1BC1。

（2）延长FG，交DC于M，连结MH，交BC于N，可得出NH∥EF，进而可证明E、F、G、H四点共面．
【详解】证明：（1）∵正方体ABCD-A1B1C1D1，E、F、G、H分别是所在棱A1D1，B1C1，C1C和AB 的中点，
∴FG∥CD1，CD1∥A1B，∴FG∥A1B，
∵FG⊄平面A1BC1，A1B⊂平面A1BC1，
∴FG∥平面A1BC1，
同理，EF∥平面A1BC1，EF∩EG=E，
∴平面EFG∥平面A1BC1，
EG⊂平面EFG，
∴EG∥平面A1BC1．
（2）延长FG，交DC于M，连结MH，交BC于N，
则N是BC的中点，
∴NH∥AC∥A1C1，
∴NH∥EF，
∴E、F、G、H四点共面．
【点睛】本题考查线面平行、四点共面的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题。

19.已知．
（1）判断函数f（x）的奇偶性并说明理由；
（2）设g（x）=f（x）-a，若函数g（x）没有零点，求实数a的取值范围．
【答案】（1）奇函数，理由见；（2）.
【】
【分析】
（1）根据题意，先求出函数的定义域，分析可得f（-x）+f（x）=0，由函数奇偶性的定义分析即可；
（2）根据题意，分析可得函数g（x）=f（x）-a没有零点，则方程f（x）=a没有实根，求出函数f（x）的值域，即可得a的取值范围。

【详解】解：（1）根据题意，，其定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），
则f（-x）=+=+，
则f（x）+f（-x）=+++=1-1=0，
则函数f（x）为奇函数；
（2）函数g（x）=f（x）-a没有零点，则方程f（x）=a没有实根，
对于f（x）=+，
当x＞0时，2x＞1，则2x-1＞0，
则有+＞，
则在（0，+∞）上，f（x）＞，
又由函数f（x）为奇函数，则当x＜0时，f（x）＜-，
故函数f（x）的值域为（-∞，-）∪（，+∞）；
则当-≤a≤时，f（x）=a无实根，
此时函数g（x）没有零点．
【点睛】本题考查函数的奇偶性的判断以及函数零点的判断，关键是分析函数的奇偶性，属于中档题。

20.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=1，，DC=2，E是棱DC的中点；侧面PAD是正三角形，侧面PAD⊥底面ABCD．
（1）求证：PE⊥BD；
（2）求点A到平面PBD的距离．
【答案】（1）详见；（2）.
【】
【分析】
（1）连结AC，交BD于点O，取AD中点F，连结EF，交BD于点G，连结PG，推导出AC⊥BD，EF⊥BD，PF⊥AD，从而PF⊥平面ABCD，进而PF⊥BD，又EF⊥BD，从而BD⊥平面PEF，由此能证明BD⊥PE。

（2）根据题意易得BD⊥PG，由等体积法V P-ABD=V A-PBD，可求出点A到平面PBD的距离。

【详解】证明：（1）连结AC，交BD于点O，取AD中点F，连结EF，
交BD于点G，连结PG，
在梯形ABCD中，AB=1，BC=，CD=2，
∠ABC=∠DCB=90°，
∴tan∠ACB=，tan∠BDC=，
∴∠ACB=∠BDC，∴AC⊥BD，EF∥AC，
∴EF⊥BD．
又平面PAD⊥平面ABCD，PF⊥AD，
∴PF⊥平面ABCD，
∴PF⊥BD，又EF⊥BD，PE∩EF=E，
∴BD⊥平面PEF，∴BD⊥PE．
解：（2）由（1）可知，，
又BD⊥平面PEF，∴BD⊥PG，
∴，
∵FG==，
∴PF=，∴PG=，
∴=，
V P-ABD=V A-PBD，
∴，
∴点A到平面PBD的距离h=．
【点睛】本题考查线线垂直的证明，点到平面的距离的求法，空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，属于中档题。

21.已知二次函数．
（1）求f（x）在[0，1]上的最小值g（a）的式；
（2）时，比较g（a）与g（1-a）的大小并说明理由．
【答案】（1）；（2）详见.
【】
【分析】
（1）二次函数f(x)＝x2−2(2a−1)x+5a2−4a+2的图象是开口向上，且以直线x=2a-1为对称轴的抛物线。

分类讨论对称轴与区间的关系，分析出函数的单调性，可得f（x）在[0，1]上的最小值g（a）的式；
（2）时，结合①中结论，利用作差法，可比较g（a）与g（1-a）的大小。

【详解】解：（1）二次函数的图象是开口朝上，
且以直线x=2a-1为对称轴的抛物线，
当2a-1≤0时，函数在[0，1]上为增函数，
此时g（a）=f（0）=；
当0＜2a-1＜1时，函数在[0，2a-1]上为减函数，在[2a-1，1]上为增函数，
此时g（a）=f（2a-1）=；
当2a-1≥1时，函数在[0，1]上为减函数，
g（a）=f（1）=；
综上可得：g（a）=；
（2）时，1-a＜，
故g（1-a）==，
当时，g（a）=；
g（a）-g（1-a）=-2（2a-1）（a-1）＞0，
此时g（a）＞g（1-a）
当a≥1时，g（a）=；
g（a）-g（1-a）=-2（a-1），
a=1时，g（a）-g（1-a）=0，即g（a）=g（1-a）
a＞1时，g（a）-g（1-a）＜0，即g（a）＜g（1-a）
综上可得：当时，g（a）＞g（1-a）
当a=1时，g（a）=g（1-a）
当a＞1时，g（a）＜g（1-a）
【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，作差法比较代数式的大小，分类讨论思想，属于中档题。

22.已知，．
（1）若直线L与⊙C1相切，且截⊙C2的弦长等于，求直线L的方程．
（2）动圆M与⊙C1外切，与⊙C2内切，求动圆M的圆心M轨迹方程．
【答案】（1）；（2）.
【】
【分析】
（1）设所求直线l的方程为y=kx+b，由直线l与⊙C1相切、直线l截⊙C2的弦长，列方程组即可求出直线L的方程。

（2）由题意得：|MC1|+|MC2|=6，设动点M（x，y），列方程能求出动圆M的圆心M轨迹方程。

【详解】解：（1）设所求直线L的方程为y=kx+b，
∵直线L与⊙C1相切，∴=1，（i）
又直线L截⊙C2的弦长等于2，
∴=2，（ii）
2=2，解得d2=r2-21=4，
∴|k-b|=2，∴|k-b|=2|k+b|，
∴k+3b=0，（iii）或3k+b=0，（iiii）
（iii）代入（i），得：||=，，无解，
（iiii）代入（i），得：|-2k|=，解得k=，
当k=时，b=-，直线方程为y=，
当k=-时，b=，直线方程为y=-x+．
经检验得斜率不存在的直线均不适合题意．
故直线L的方程为y=，或y=-x+．
（2）由题意得：|MC1|+|MC2|=6，
设动点M（x，y），则+=6，
解得=1，
∴动圆M的圆心M轨迹方程为．
【点睛】本题考查直线方程的求法，动圆的圆心的轨迹方程的求法，直线与圆相切、弦长公式、直线方程、圆、两点间距离公式等基础知识，属于难题。