空间直角坐标系及坐标运算

x2＋y2＋z2＝3，

由题意得－2x－y＋3z＝0， x－3y＋2z＝0.
x＝1，

解得y＝1， z＝1
x＝－1，

或y＝－1， z＝－1.
∴a＝(1,1,1)，或 a＝(－1，－1，－1)．
课堂互动讲练
【思维总结】 由于 a⊥A→B，a⊥A→C，所以 a 即为平面 ABC 的一个法向量．求法向量的方 法是设出一个法向量的坐标，利用法向量与平面 内两个不共线向量的垂直关系，列出关于法向量 坐标的方程组(实际上是不定方程组)，利用赋值 法给出一个法向量即可．由于本题中法向量的长 度已知，故不需赋值便可求出．
A．x＝1，y＝1 B．x＝12，y＝－12 C．x＝16，y＝－32
D．x＝－16，y＝32 答案：C
三基能力强化
3．已知空间四边形 OABC 中，点 M 在 线段 OA 上，且 OM＝2MA，点 N 为 BC 的中
点，设O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，则M→N等于
() A.12a＋12b－23c
∵4＋(－1)＋(－1)＝2≠1， ∴P与A、B、M不共面．
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【名师点评】 在应用法二时，要 注意公式O→P＝xO→A＋yO→B＋zO→C所满足 的条件是从一点出发的四个向量，且系 数和为 1.
课堂互动讲练
考点三 空间向量的坐标运算
空间向量的坐标运算与平面向 量的坐标运算相似，只是多出一个 坐标，与平面向量的坐标运算作一 些对比可以较容易地掌握空间向量 的坐标运算问题．
第6课时 空间直角坐标系、 空间向量及其运算
基础知识梳理
1．空间直角坐标系及有关概念 (1)空间直角坐标系：以空间一点O 为原点，建立三条两两垂直的数轴：x 轴，y轴，z轴．这时建立了空间直角坐 标系Oxyz，其中点O叫做 原点 ．x轴，y 轴，z轴统称 坐标轴 ．由坐标轴确定的 平面叫做坐标平面 ．
→ ABCD－A1B1C1D1 中，设AA1＝a，
→
→
AB＝b，AD＝c，M，N，P 分别
是 AA1，BC，C1D1 的中点，试用 a，b，c 表示以下各向量：
(1)A→P；(2)A→1N；(3)M→P＋N→C1.
课堂互动讲练
【思路点拨】 利用空间向量的 加法法则及基本定理．
【解】 (1)∵P 是 C1D1 的中点， ∴A→P＝A→A1＋A→1D1＋D→1P ＝a＋A→D＋12D→1C1 ＝a＋c＋12A→B ＝a＋c＋12b.
课堂互动讲练
考点四 利用空间向量证明线面平行与垂直
空间中的两个向量的数量积是平面向 量中两向量的数量积的延伸和推广，工具 性特别强，可借助向量的数量积解决两直 线的平行与垂直问题，求解空间角和空间 距离问题．向量的数量积的坐标表示即数 量积的代数化，可以将数量积的运算转化 为代数运算，使运算简化．
【解】 如图所示，以C 为原点建立空间直角坐标系C －xyz.
(1)依题意得B(0,1,0)， N(1,0,1)．
课堂互动讲练
∴|B→N|＝ (1－0)2＋(0－1)2＋(1－0)2
＝ 3.
∴BN 的长为 3
4 分．
(2)依题意得 A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)， B1(0,1,2)，
(4)P→M∥A→B(或P→A∥M→B或P→B∥A→M)．
课堂互动讲练
例2 已知A、B、M三点不共线， 对于平面ABM外的任一点O，确 定在下列各条件下，点P是否与 A、B、M一定共面？
(1)O→B＋O→M＝3O→P－O→A； (2)O→P＝4O→A－O→B－O→M.
课堂互动讲练
【思路点拨】 先化简已知等式， 观察它能否转化为四点共面的条件．
∴B→A1＝(1，－1,2)，C→B1＝(0,1,2). 5 分
∴B→A1·C→B1＝3，|B→A1|＝ 6，|C→B1|＝ 5.
课堂互动讲练
→→
∴cos〈B→A1，C→B1〉＝
BA1·CB1 →→
＝
30 10 .
|BA1||CB1|
∴异面直线 BA1 与 CB1 所成角的余弦值为
30 10 .
8分
课堂互动讲练
例3 已知空间三点 A(0,2,3)，B(－2,1,6)，
C(1，－1,5)． (1)求以A→B，A→C为边的平行四边形
的面积； (2)若|a|＝ 3，且 a 分别与A→B、A→C垂
直，求向量 a 的坐标．
课堂互动讲练
【解】 (1)由题意可得：
A→B＝(－2，－1,3)，A→C＝(1，－3,2)，
基础知识梳理
(2)空间一点M的坐标为有序实 数组(x，y，z)，记作M(x，y，z)， 其中x叫做点M的横坐标 ，y叫做点 M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标 ．
基础知识梳理
2．空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：对空间任意两 个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是 存在实数λ，使得a＝λb. (2)共面向量定理：如果两个向量 a，b不共线，那么向量c与向量a，b共 面的充要条件是存在唯一的有序实数 对(x，y)，使c＝xa＋yb.
答案：－1
课堂互动讲练
考点一 空间向量的线性运算
用已知向量表示未知向量，以及进行 向量表达式的化简时，一定要注意结合实 际图形，以图形为指导是解题的关键，同 时注意首尾相接的向量的和向量的化简方 法，以及从同一个点出发的两个向量的差 向量的运算法则，避免出现方向错误．
课堂互动讲练
例1 如 图 所 示 ， 在 平 行 六 面 体
(2)通过求向量B→A1与C→B1的夹角来求异 面直线 BA1 与 CB1 所成的角；
(3)利用A→1B·C→1M＝0，证明 A1B⊥C1M.
课堂互动讲练
高考检阅 (本题满分 12 分)如图，四棱锥 P－ABCD
＋
M→A1＋
A→1B1＋
→ B1C1
＝
b＋
c＋
b＋
c
＝2(b＋c)．
ห้องสมุดไป่ตู้
课堂互动讲练
考点二 共线向量定理、共面向量定理的应用
应用共线向量定理、共面向量定理， 可以证明点共线、点共面、线共面．
1．证明空间任意三点共线的方法 对空间三点P，A，B可通过证明下列 结论成立来证明三点共线
课堂互动讲练
(1)P→A＝λP→B； (2)对空间任一点 O，O→P＝O→A＋tA→B； (3)对空间任一点 O，O→P＝xO→A＋yO→B(x ＋y＝1)．
基础知识梳理
4．空间向量坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算 则a·b若＝aa＝1b(1a＋1，a2ab22，＋aa33)b，3 .b＝(b1，b2，b3)， (2)共线与垂直的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝ λb3，a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝ 0(a，b均为非零向量)．
基础知识梳理
②两向量的数量积 已知空间两个非零向量a，b，则 |a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积， 记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)数量积的运算律 ①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)； ②交换律：a·b＝b·a； ③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
→→
∴cos〈A→B，A→C〉＝
AB·AC →→
|AB|·|AC|
＝－124＋×3＋146＝174＝12，
课堂互动讲练
∴sin〈A→B，A→C〉＝
3， 2
所以以A→B，A→C为边的平行四边形
的面积
S＝2×12|A→B|·|A→C|·sin〈A→B，A→C〉
＝14× 23＝7 3.
课堂互动讲练
(2)设 a＝(x，y，z)，
课堂互动讲练
2．证明空间四点共面的方法 对空间四点P，M，A，B可通过 证明下列结论成立来证明四点共面 (1)M→P＝xM→A＋yM→B； (2)对空间任一点 O，O→P＝O→M＋xM→A ＋yM→B；
课堂互动讲练
(3)对空间任一点 O，O→P＝xO→M＋yO→A ＋zO→B(x＋y＋z＝1)；
B．－23a＋12b＋12c
C.12a－23b＋12c
D.23a＋23b－12c
答案：B
三基能力强化
4．已知向量a＝(1,1,0)，b＝ (－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相 垂直，则k的值是__________．
答案：75
三基能力强化
5．已知 O 是空间任意一点，A、B、 C、D 四点满足任意三点均不共线，但四 点共面，且O→A＝2xB→O＋3yC→O＋4zD→O， 则 2x＋3y＋4z＝________.
(3)证明：依题意得 C1(0,0,2)，M(12，12，2)，
A→1B＝(－1,1，－2)，C→1M＝(12，12，0). 10 分
课堂互动讲练
∴A→1B·C→1M＝－12＋12＋0＝0， ∴A→1B⊥C→1M，∴A1B⊥C1M. 12 分
【名师点评】 (1)利用空间两点 间的距离公式求BN的长；
基础知识梳理
3．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角
已知两个非零向量 a，b，在空间任取
一点
→
→
O，作OA＝a，OB＝b，则
∠AOB
叫
做向量 a 与 b 的夹角，记作〈a，b〉，其范
围是 0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝π2，则
称 a 与 b 互相垂直，记为 a⊥b.
基础知识梳理
若a与b确定平面为α，则表示c 的有向线段与α的关系是怎样的？
【思考·提示】 可能与α平 行，也可能在α内．
基础知识梳理
(3)空间向量基本定理：如果三个 向量a，b，c不共面，那么对空间任一 向量p，存在有序实数组{x，y，z}， 使得p＝xa＋yb＋zc.其中，{a，b，c} 叫做空间的一个 基底 ．
课堂互动讲练
例4 (解题示范)(本题满分12分) 如图所示，直三棱柱ABC－
A1B1C1，底面△ABC中，CA＝CB ＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2， M，N分别是A1B1，A1A的中点．
(1)求BN的长； (2)求异面直线BA1与CB1所成 角的余弦值； (3)求证：A1B⊥C1M.
课堂互动讲练
课堂互动讲练
∴
M→P＋
→ NC1
＝
(12a
＋
1 2
b＋
c)＋
(a＋12c)＝32a＋12b＋32c.
【名师点评】 (2)中误把A→1A＝
－a 写作 a，(3)表示不出M→P和N→C1.
课堂互动讲练
互动探究
题目条件不变，试用 a、b、c 表示
M→C＋M→C1.
解：M→C＋M→C1＝M→A＋A→B＋B→C
【解】 法一：(1)原式可变形为 O→P＝O→M＋(O→A－O→P)＋(O→B－O→P) ＝O→M＋P→A＋P→B. ∴O→M＝O→P－P→A－P→B. 由共面向量定理的推论知 M 与 P、A、 B 共面．
课堂互动讲练
(2)
原
式
可
变
形
为
→ OP
＝
2
→ OA
＋
→ OA
－
O→B＋O→A－O→M＝2O→A＋B→A＋M→A.
课堂互动讲练
(2)∵N 是 BC 的中点， ∴A→1N＝A→1A＋A→B＋B→N ＝－a＋b＋12B→C ＝－a＋b＋12A→D ＝－a＋b＋12c.
课堂互动讲练
(3)∵M 是 AA1 的中点， ∴M→P＝M→A＋A→P＝12A→1A＋A→P ＝－12a＋(a＋c＋12b)＝12a＋12b＋c， 又N→C1＝N→C＋C→C1＝12B→C＋A→A1 ＝12A→D＋A→A1＝12c＋a，
＝ (a1－b1)2＋(a2－b2)2＋(a3－b3)2 .
三基能力强化
1．在空间直角坐标系中，点 P(1， 2， 3)，
过 P 作平面 xOy 的垂线 PQ，则垂足 Q 的坐
标为( )
A．(0， 2，0)
B．(0， 2， 3)
C．(1,0， 3)
D．(1， 2，0)
答案：D
三基能力强化
2．(教材习题改编)若a＝(2x,1,3)， b＝(1，－2y,9)，如果a与b为共线向 量，则( )
由共面向量定理的推论可得 P 位于平
面 ABM 内的充要条件可写成O→P＝O→A＋
xB→A＋yM→A.
而此题推得O→P＝2O→A＋B→A＋M→A，
∴P 与 A、B、M 不共面．
课堂互动讲练
法二：(1)原式可变形为O→B＝3O→P
－O→A－O→M， ∴3＋(－1)＋(－1)＝1， ∴B与P、A、M共面， 即P与A、B、M共面． (2)O→P＝4O→A－O→B－O→M，
基础知识梳理
(3)模、夹角和距离公式 设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
则|a|＝ a·a＝ a12＋a22＋a32 ， a1b1＋a2b2＋a3b3
cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝ a12＋a22＋a32 b12＋b22＋b32. →
若 A(a1，a2，a3)，B(b1，b2，b3)，则 dAB＝|AB|