高考数学二轮复习 专题一 集合 常用逻辑用语 函数与导数 不等式第5讲 不等式配套课件
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4．应用基本不等式解决实际问题 用基本不等式解决实际问题时，一般都是求某个量的 最值，这时，先把要求最值的量表示为某个变量的函 数，再利用基本不等式求该函数的最值，求最值时， 仍要满足前面所说的三个求最值的要求．其思路如图 所示．
知能提升演练
一、选择题
1．(2010·江西)对于实数 a，b，c，“a＞b”是“ac2＞
变式训练 5 (2010·山东)设变量 x，y 满足约束条件
x－y＋2≥0， x－5y＋10≤0， x＋y－8≤0，
则目标函数 z＝3x－4y 的最大值
和最小值分别为 A．3，－11 C．11，－3
(A ) B．－3，－11
D．11,3
解析 作出可行域如图阴影部分所示，由图可知 z＝3x
－4y 经过点 A 时 z 有最小值，经过点 B 时 z 有最大值．易
返回
解析 设对项目甲投资 x 万元，对项目乙投资 y 万元， 总利润为 z 万元．
x＋y≤90， 由题意得xx≥≥120y，，
y≥10，
z＝0.6x＋0.4y.
如图所示，作出以上不等式组的可行域． 令直线 l 为 0.6x＋0.4y＝0. 平移直线 l，当过 C 点时 z 取最大值， 最大值为 0.6×80＋0.4×10＝52(万元)．
答案 C
7．已知 b>0，直线 b2x＋y＋1＝0 与 ax－(b2＋4)y＋2 ＝0 互相垂直，则 ab 的最小值为____4____．
解析 ∵k1＝－b2，k2＝b2＋a 4， ∴k1·k2＝－ba2＋b24＝－1， ∴ab2＝b2＋4， ∴ab＝b＋4b≥2 4＝4(b＝2 时取等号)．
三、解答题 9．如图所示，动物园要围成相同面积的长方
3．设函数 f(x)＝xx2＋－64，x＋6，
x≥0 ，则不等式 x<0
f(x)>f(1)的解集是
( A)
A．(－3,1)∪(3，＋∞) B．(－3,1)∪(2，＋∞)
பைடு நூலகம்
C．(－1,1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1,3)
解析 原不等式可化为xx≥2－04x＋6>3 或xx＋<06>3 ，所 以原不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)，故选 A.
bc2”的
( B)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析 a＞b⇒ac2＞bc2，原因是 c 可能为 0，而若 ac2 ＞bc2，则可以推出 a＞b，故“a＞b”是“ac2＞bc2” 的必要不充分条件，故选 B.
2．已知 0<a<b，且 a＋b＝1，则下列不等式中，正确
4．(2010·四川)设 a＞b＞0，则 a2＋a1b＋a(a1－b)的最小
值是
(D )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析 a2＋a1b＋a(a1－b)＝a2－ab＋ab＋a1b＋a(a1－b)＝ a(a－b)＋a(a1－b)＋ab＋a1b≥2＋2＝4.
当且仅当 a(a－b)＝1 且 ab＝1，即 a＝ 2，b＝ 22时取 等号．
是它的两个顶点，直线 y＝kx (k>0)与 AB 相交于点 D，
与椭圆相交于 E、F 两点．
(1)若 ED 6DF, 求 k 的值；
(2)求四边形 AEBF 面积的最大值． 解 (1)依题设得椭圆的方程为x42＋y2＝1， 直线 AB、EF 的方程分别为 x＋2y＝2，y＝kx (k>0)． 如图所示，设 D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)， 其中 x1<x2，且 x1、x2 满足方程(1＋4k2)x2＝4， 故 x2＝－x1＝ 1＋2 4k2.① 由 ED6DF 知，x0－x1＝6(x2－x0)，
形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他 各面用钢筋网围成． (1)现有可围 36 m 长的钢筋网材料，每间虎笼的长、 宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)若使每间虎笼面积为 24 m2，则每间虎笼的长、 宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总 长最小？ 解 设每间虎笼的长、宽分别为 x m、y m. 则 s＝xy. (1)由题意知：4x＋6y＝36， ∴2x＋3y＝18.
解 设投资人分别用 x 万元、y 万元投资甲、乙两个项 目，
x＋y≤10， 由题意知0x≥.3x0＋，0.1y≤1.8，
y≥0.
目标函数 z＝x＋0.5y. 上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含 边界)即可行域． 作直线 l0：x＋0.5y＝0，并作平行于直线 l0 的一组直线 x＋0.5y＝z，z∈R，与可行域相交，其中有一条直线经 过可行域上的 M 点，且与直线 x＋0.5y＝0 的距离最大， 这里 M 点是直线 x＋y＝10 和 0.3x＋0.1y＝1.8 的交点．
答案 （1）C（2）|a＋b|＋|a－b|≤2
解析 (1)当 a>0 且 b>0 时，一定有 a＋b>0 且 ab>0.反 之，当 a＋b>0 且 ab>0 时，一定有 a>0，b>0.故“a>0 且 b>0”是“a＋b>0 且 ab>0”的充要条件． (2)取 a＝1，b＝－2 检验，A 正确；B、C、D 均不正 确，故选 A.
2．一元二次不等式的解法 解一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0(a≠0)或 ax2＋bx ＋c<0(a≠0)，可利用一元二次方程，一元二次不等 式和二次函数间的关系．一元二次不等式的解集如
下表所示：
判别式 Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a>0)的图象
解析 (1)方法一 ∵a2b2>0 且 a<b， ∴a2ab2<a2bb2，即a1b2<a12b，故选 C. 方法二 令 a＝－2，b＝1，符合 a<b，但 a2>b2，故 A 不正确；令 a＝1，b＝2，符合 a<b，但 ab2>ba2，ba>ab， 故 B、D 不正确，故选 C. (2)由绝对值不等式的性质： 若(a＋b)(a－b)≥0， 则|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|≤2. 若(a＋b)(a－b)<0， 则|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)－(a－b)|＝2|b|≤2. 综上，得|a＋b|＋|a－b|≤2.
②当－1≤m<1 时，m≤2m＋1<m＋2，函数 g(x)在区间[m,2m ＋1]上是递减的，而在区间[2m＋1，m＋2]上是递增的， ∴g(2m＋1)＝－5. 即14(2m＋1)2－(12＋m)(2m＋1)＋14＝－5， 解得 m＝－12－12 21或 m＝－12＋12 21，均应舍去． ③当 m≥1 时，2m＋1≥m＋2，函数 g(x)在区间[m，m＋2] 上递减， ∴g(m＋2)＝－5， 即14(m＋2)2－(12＋m)(m＋2)＋14＝－5. 解得 m＝－1－2 2或 m＝－1＋2 2. 其中 m＝－1－2 2应舍去，故 m＝－1＋2 2. 综上可得，当 m＝－3 或 m＝－1＋2 2时，函数 g(x)＝f′(x) －mx 在区间[m，m＋2]上有最小值－5.
∴32aa－－32≥<bb<>a0＋，1， ∴aa><13，， ∴1<a<3.
题型三 利用基本不等式求最值 例3 求函数 y＝x4＋x23＋x21＋3的最小值．
思维启迪 利用基本不等式求最值，设 t＝x2＋1，化
简原不等式为基本不等式的结构形式，这是解本题的
关键．
变式训练 3 设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)、B(0,1)
答案 （1） C （2）A
变式训练 2 (2009·天津)设 0<b<1＋a，若关于 x 的不等
式(x－b)2>(ax)2 的解集中的整数恰有 3 个，则( C )
A．－1<a<0
B．0<a<1
C．1<a<3
D．3<a<6
解析 ∵(x－b)2>(ax)2，∴(a2－1)x2＋2bx－b2<0，要使 x 的解集中恰有 3 个整数，必须有 a2－1>0.又 a＋1>0， ∴a>1.不等式变形为[(a－1)x＋b][(a＋1)x－b]<0. ∵a>1，b>0，∴a－b 1>0,0<a＋b 1<1，∴1－b a<x<a＋b 1， ∴2<a－b 1≤3，即 2a－2<b≤3a－3.
求 A(3,5)，B(5,3)．∴z 最大＝3×5－4×3＝3，z 最小＝3×3
－4×5＝－11.
3．建立函数关系，利用基本不等式求最值 根据题设条件建立函数的关系式，并创设基本不等式 的应用背景，如通过“代换”，“拆项”，“凑项” 等技巧，改变原式的结构使其具备基本不等式的应用 条件．利用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、 三相等”的条件，三个条件缺一不可．
的是
(C )
A．log2a>0 C．log2a＋log2b<－2
B．2a－b<12
a
D．2 b
b a
1
2
解析 log2a＋log2b＝log2ab<log2(a＋2 b)2 ＝log241＝－2.
•1、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •2、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。 •3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 •4、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。 •5、诚实比一切智谋更好，而且它是智谋的基本条件。 •6、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。2022年1月2022/1/302022/1/302022/1/301/30/2022 •7、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。2022/1/302022/1/30January 30, 2022 •8、教育者，非为已往，非为现在，而专为将来。2022/1/302022/1/302022/1/302022/1/30
知能提升演练
一、选择题
1．(2010·江西)对于实数 a，b，c，“a＞b”是“ac2＞
变式训练 5 (2010·山东)设变量 x，y 满足约束条件
x－y＋2≥0， x－5y＋10≤0， x＋y－8≤0，
则目标函数 z＝3x－4y 的最大值
和最小值分别为 A．3，－11 C．11，－3
(A ) B．－3，－11
D．11,3
解析 作出可行域如图阴影部分所示，由图可知 z＝3x
－4y 经过点 A 时 z 有最小值，经过点 B 时 z 有最大值．易
返回
解析 设对项目甲投资 x 万元，对项目乙投资 y 万元， 总利润为 z 万元．
x＋y≤90， 由题意得xx≥≥120y，，
y≥10，
z＝0.6x＋0.4y.
如图所示，作出以上不等式组的可行域． 令直线 l 为 0.6x＋0.4y＝0. 平移直线 l，当过 C 点时 z 取最大值， 最大值为 0.6×80＋0.4×10＝52(万元)．
答案 C
7．已知 b>0，直线 b2x＋y＋1＝0 与 ax－(b2＋4)y＋2 ＝0 互相垂直，则 ab 的最小值为____4____．
解析 ∵k1＝－b2，k2＝b2＋a 4， ∴k1·k2＝－ba2＋b24＝－1， ∴ab2＝b2＋4， ∴ab＝b＋4b≥2 4＝4(b＝2 时取等号)．
三、解答题 9．如图所示，动物园要围成相同面积的长方
3．设函数 f(x)＝xx2＋－64，x＋6，
x≥0 ，则不等式 x<0
f(x)>f(1)的解集是
( A)
A．(－3,1)∪(3，＋∞) B．(－3,1)∪(2，＋∞)
பைடு நூலகம்
C．(－1,1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1,3)
解析 原不等式可化为xx≥2－04x＋6>3 或xx＋<06>3 ，所 以原不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)，故选 A.
bc2”的
( B)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析 a＞b⇒ac2＞bc2，原因是 c 可能为 0，而若 ac2 ＞bc2，则可以推出 a＞b，故“a＞b”是“ac2＞bc2” 的必要不充分条件，故选 B.
2．已知 0<a<b，且 a＋b＝1，则下列不等式中，正确
4．(2010·四川)设 a＞b＞0，则 a2＋a1b＋a(a1－b)的最小
值是
(D )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析 a2＋a1b＋a(a1－b)＝a2－ab＋ab＋a1b＋a(a1－b)＝ a(a－b)＋a(a1－b)＋ab＋a1b≥2＋2＝4.
当且仅当 a(a－b)＝1 且 ab＝1，即 a＝ 2，b＝ 22时取 等号．
是它的两个顶点，直线 y＝kx (k>0)与 AB 相交于点 D，
与椭圆相交于 E、F 两点．
(1)若 ED 6DF, 求 k 的值；
(2)求四边形 AEBF 面积的最大值． 解 (1)依题设得椭圆的方程为x42＋y2＝1， 直线 AB、EF 的方程分别为 x＋2y＝2，y＝kx (k>0)． 如图所示，设 D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)， 其中 x1<x2，且 x1、x2 满足方程(1＋4k2)x2＝4， 故 x2＝－x1＝ 1＋2 4k2.① 由 ED6DF 知，x0－x1＝6(x2－x0)，
形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他 各面用钢筋网围成． (1)现有可围 36 m 长的钢筋网材料，每间虎笼的长、 宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)若使每间虎笼面积为 24 m2，则每间虎笼的长、 宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总 长最小？ 解 设每间虎笼的长、宽分别为 x m、y m. 则 s＝xy. (1)由题意知：4x＋6y＝36， ∴2x＋3y＝18.
解 设投资人分别用 x 万元、y 万元投资甲、乙两个项 目，
x＋y≤10， 由题意知0x≥.3x0＋，0.1y≤1.8，
y≥0.
目标函数 z＝x＋0.5y. 上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含 边界)即可行域． 作直线 l0：x＋0.5y＝0，并作平行于直线 l0 的一组直线 x＋0.5y＝z，z∈R，与可行域相交，其中有一条直线经 过可行域上的 M 点，且与直线 x＋0.5y＝0 的距离最大， 这里 M 点是直线 x＋y＝10 和 0.3x＋0.1y＝1.8 的交点．
答案 （1）C（2）|a＋b|＋|a－b|≤2
解析 (1)当 a>0 且 b>0 时，一定有 a＋b>0 且 ab>0.反 之，当 a＋b>0 且 ab>0 时，一定有 a>0，b>0.故“a>0 且 b>0”是“a＋b>0 且 ab>0”的充要条件． (2)取 a＝1，b＝－2 检验，A 正确；B、C、D 均不正 确，故选 A.
2．一元二次不等式的解法 解一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0(a≠0)或 ax2＋bx ＋c<0(a≠0)，可利用一元二次方程，一元二次不等 式和二次函数间的关系．一元二次不等式的解集如
下表所示：
判别式 Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a>0)的图象
解析 (1)方法一 ∵a2b2>0 且 a<b， ∴a2ab2<a2bb2，即a1b2<a12b，故选 C. 方法二 令 a＝－2，b＝1，符合 a<b，但 a2>b2，故 A 不正确；令 a＝1，b＝2，符合 a<b，但 ab2>ba2，ba>ab， 故 B、D 不正确，故选 C. (2)由绝对值不等式的性质： 若(a＋b)(a－b)≥0， 则|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|≤2. 若(a＋b)(a－b)<0， 则|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)－(a－b)|＝2|b|≤2. 综上，得|a＋b|＋|a－b|≤2.
②当－1≤m<1 时，m≤2m＋1<m＋2，函数 g(x)在区间[m,2m ＋1]上是递减的，而在区间[2m＋1，m＋2]上是递增的， ∴g(2m＋1)＝－5. 即14(2m＋1)2－(12＋m)(2m＋1)＋14＝－5， 解得 m＝－12－12 21或 m＝－12＋12 21，均应舍去． ③当 m≥1 时，2m＋1≥m＋2，函数 g(x)在区间[m，m＋2] 上递减， ∴g(m＋2)＝－5， 即14(m＋2)2－(12＋m)(m＋2)＋14＝－5. 解得 m＝－1－2 2或 m＝－1＋2 2. 其中 m＝－1－2 2应舍去，故 m＝－1＋2 2. 综上可得，当 m＝－3 或 m＝－1＋2 2时，函数 g(x)＝f′(x) －mx 在区间[m，m＋2]上有最小值－5.
∴32aa－－32≥<bb<>a0＋，1， ∴aa><13，， ∴1<a<3.
题型三 利用基本不等式求最值 例3 求函数 y＝x4＋x23＋x21＋3的最小值．
思维启迪 利用基本不等式求最值，设 t＝x2＋1，化
简原不等式为基本不等式的结构形式，这是解本题的
关键．
变式训练 3 设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)、B(0,1)
答案 （1） C （2）A
变式训练 2 (2009·天津)设 0<b<1＋a，若关于 x 的不等
式(x－b)2>(ax)2 的解集中的整数恰有 3 个，则( C )
A．－1<a<0
B．0<a<1
C．1<a<3
D．3<a<6
解析 ∵(x－b)2>(ax)2，∴(a2－1)x2＋2bx－b2<0，要使 x 的解集中恰有 3 个整数，必须有 a2－1>0.又 a＋1>0， ∴a>1.不等式变形为[(a－1)x＋b][(a＋1)x－b]<0. ∵a>1，b>0，∴a－b 1>0,0<a＋b 1<1，∴1－b a<x<a＋b 1， ∴2<a－b 1≤3，即 2a－2<b≤3a－3.
求 A(3,5)，B(5,3)．∴z 最大＝3×5－4×3＝3，z 最小＝3×3
－4×5＝－11.
3．建立函数关系，利用基本不等式求最值 根据题设条件建立函数的关系式，并创设基本不等式 的应用背景，如通过“代换”，“拆项”，“凑项” 等技巧，改变原式的结构使其具备基本不等式的应用 条件．利用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、 三相等”的条件，三个条件缺一不可．
的是
(C )
A．log2a>0 C．log2a＋log2b<－2
B．2a－b<12
a
D．2 b
b a
1
2
解析 log2a＋log2b＝log2ab<log2(a＋2 b)2 ＝log241＝－2.
•1、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •2、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。 •3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 •4、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。 •5、诚实比一切智谋更好，而且它是智谋的基本条件。 •6、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。2022年1月2022/1/302022/1/302022/1/301/30/2022 •7、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。2022/1/302022/1/30January 30, 2022 •8、教育者，非为已往，非为现在，而专为将来。2022/1/302022/1/302022/1/302022/1/30