新北师大版高中数学必修一第四单元《函数应用》检测题(有答案解析)

一、选择题
1．设,m n R ∈，定义在区间[],m n 上的函数()()2log 4f x x =-的值域是[]0,2，若关于t
的方程||
1102t m ⎛⎫
++= ⎪⎝⎭
()t R ∈有实数解，则m n +的取值范围是（ ）
A ．[]0,3
B ．(]3,2--
C ．[]3,1--
D ．[)1,2
2．已知函数()223,0
21,0
x x x f x x -+≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，若存在三个实数m n q ≠≠，使得
()()()f m f n f q ==成立，则
111
222m n q
++的取值范围是（ ） A ．[]0,1
B ．51,2222⎛⎫+
⎪⎝⎭
C ．()
2,22
D ．()0,1
3．函数2cos ()x x
x x
f x e e
-=-的图象大致是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
4．对任意实数a ，b 定义运算“”：,1,1
b a b a
b a a b -≥⎧=⎨-<⎩，设
()()
()214f x x x k =-++，若函数()f x 的图象与x 轴恰有三个交点，则k 的取值范
围是（ ） A ．[
)2,1-
B ．[]0,1
C ．(]0,1
D ．()2,1-
5．对于函数()f x ，若在定义域内存在实数0x 满足()()00f x f x -=-，则称函数()f x 为“倒戈函数”．设()31x
f x m =+-（m ∈R ，0m ≠）是定义在[]1,1-上的“倒戈函数”，
则实数m 的取值范围是（ ） A ．2,03⎡⎫-⎪⎢⎣⎭
B ．21,33⎡⎤
-
-⎢⎥⎣
⎦ C ．2,03
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
D ．(),0-∞
6．对于定义域为R 的函数()f x ，若存在非零实数0x ，使函数()f x 在()0,x -∞和
()0,x +∞上与 x 轴都有交点，则称0
x 为函数()f x 的一个“界点”.则下列四个函数中，不存
在“界点”的是( ) A ．()2
2x
f x x =-
B ．()()2
2f x x bx b R =+-∈
C ．()12f x x =--
D ．()sin x x x f -=
7．有一组数据，如表所示：
下列函数模型中，最接近地表示这组数据满足的规律的一个是（ ）． A ．指数函数
B ．反比例函数
C ．一次函数
D ．二次函数
8．已知函数()21x
f x x =++，()2lo
g 1g x x x =++，()2log 1
h x x =-的零点依次为
,,a b c ，则（ ）
A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．b c a <<
D ．b a c <<
9．函数()f x 对于任意实数x ，都()()f x f x -=与(1)(1)f x f x -
=+成立，并且当
01x ≤≤时，()2
f x x =.则方程()02019
x
f x -
=的根的个数是（ ） A ．2020 B ．2019
C ．1010
D ．1009
10．一个放射性物质不断衰变为其他物质，每经过一年就有3
4
的质量发生衰变.若该物质余下质量不超过原有的1%，则至少需要的年数是（ ） A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
11．已知函数23
()log f x x x
=-，(0,)x ∈+∞，则()f x 的零点所在的区间是 A ．(0,1) B ．(1,2)
C ．(2,3)
D ．(3,4)
12．已知()f x 是奇函数且是R 上的单调函数，若函数()
()2
21y f x f x λ=++-只有一
个零点，则实数λ的值是（ ） A ．
14
B ．
18
C ．78
-
D ．38
-
二、填空题
13．已知函数2
2122,0
()2log ,0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨⎪>⎩
，若关于x 的方程()f x a =有四个不同的解
1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则2
12
344
x x x x x ++
的取值范围是____________.
14．已知函数()2,0lg ,0x x f x x x
-⎧≤⎪
=⎨>⎪⎩
，则方程()()22520f x f x -+=⎡⎤⎣⎦实根的个数是__________．
15．已知函数()22,0,0
x x x f x x x ⎧--≤=⎨>⎩，若函数()()g x f x m =-与x 轴有3个交点，则
实数m 的取值范围是_________．
16．已知函数()()223,ln 1,x x x f x x x λ
λ⎧--≤⎪=⎨->⎪⎩
恰有两个零点，则λ的取值范围为______.
17．已知函数()33
3x
x
f x -=+-，若函数()()()lo
g 2a g x f x x =-+ （0a >且
1a ≠）在区间[]1,1-上有4个不同的零点，则实数a 的取值范围是__________.
18．已知函数254,0
()22,0
x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨->⎪⎩，若函数()y f x a x =-恰有4个零点，则实数
a 的取值范围是________．
19．已知2()2f x x x a =++，若函数[()]()y f f x f x =-有且只有三个零点，则实数a 的取值集合为________.
20．若函数|1|
12x y m -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是__________．
三、解答题
21．已知函数()f x 为偶函数，当0x ≥时，()1
1
x x e f x e -=+.
（1）求当0x <时，函数()f x 的解析式； （2）判断函数()f x 在(),0-∞上的单调性并证明；
（3）设函数()()()2g x f ax f x a =--+，使函数()g x 有唯一零点的所有a 构成的集合记为M ，求集合M .
22．有A 、B 两城相距120km ，某天然气公司计划修建一条管道为两城供气，并在两城之间设立供气站点D （如图），为保证城市安全，规定站点D 距两城市的距离均不得少于
15km ．又已知A 城一边有段10km 长的旧管道AC ，准备改造利用，改造费用为5万元//km ，其余地段都要新建，新建的费用（含站点D ）与站点D 到A 、B 两城方向上新修建的长度的平方和成正比．．．．．．．．．
，并且当站点D 距A 城距离为40km 时，新建的费用为1825万元．设站点D 距A 城的距离为km x ，A ，B 两城之间天然气管道的建设总费用为y 万元．
（1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出其定义域；
（2）天然气站点D 距A 城多远时，建设总费用最小？最小总费用多少？ 23．已知函数()()1f x x x a x R =--+∈. （1）当2a =时，求函数()()g x f x x =-的零点；
（2）对于给定的正数,a 有一个最大的正数()M a ，使()0,x M a ∈⎡⎤⎣⎦时，都有
()2f x ≤，试求出这个正数()M a ，并求它的取值范围.
24．已知函数f (x )=x +
1
1
x +，g (x )=ax +5-2a (a >0). （1）判断函数f (x )在[0，1]上的单调性，并用定义加以证明；
（2）若对任意m ∈[0，1]，总存在m 0∈[0，1]，使得g (m 0)=f (m )成立，求实数a 的取值范围.
25．对于定义域为D 的函数()f x ，若同时满足下列两个条件：①()f x 在D 上具有单调性；②存在区间[]
,a b D ⊆，使()f x 在区间,a b 上的值域也为,a b ，则称()f x 为D 上的“精彩函数”，区间,a b 为函数()f x 的“精彩区间”．
（1）判断0,1是否为函数3
y x =的“精彩区间”，并说明理由；
（2）判断函数()()4
0f x x x x
=+>是否为“精彩函数”，并说明理由； （3）若函数(
)g x m =
是“精彩函数”，求实数m 的取值范围．
26．某服装厂品牌服装的年固定成本100万元，每生产1万件需另投入27万元，设服装厂一年内共生产该品牌服装x 万件并全部销售完，每万件的销售收入为R （x ）万元.且
()()()2211080103
108010000103x x R x x x
x ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩
（1）写出年利润y （万元）关于年产量x （万件）的函数关系式；
（2）年产量为多少万件时，服装厂在这一品牌的生产中所获年利润最大？（注：年利润=年销售收入－年总成本）
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一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
首先利用函数值域确定自变量范围，再初步确定m ，n 的关系，然后结合指数函数的性质
整理计算即可求得最终结果． 【详解】
函数2()log (4||)f x x =-的值域是[0，2]，
14||4x ∴-， 0||3x ∴，
3m ∴=-，03n ，或30m -，3n =；
又
关于t 的方程||
1()10()2
t m t R ++=∈ 有实数解，
∴||1()12
t m =--有解，
||1
1()12
2
t <+，
21m ∴-<-，
则3n =， 则12m n +<， 故选：D 【点睛】
已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解
2．B
解析：B 【分析】
作出函数()f x 的示意图，令()()()f m f n f q t ===，m n q <<，由图象及指数运算得到12
22n
q --+=
和3
(,1)2
m ∈--，再利用不等式的性质即可得到答案. 【详解】
令()()()f m f n f q t ===，不妨设m n q <<，作出函数()f x 的图象如图所示，
则(0,1)t ∈，23m t +=，所以33
(,1)22
t m -=∈--，2m -∈ 又22|21||21|n
q ---=-，所以222112n q ---=-，即1
222
n q --+=
所以
1111512(,222222m
m n q -++=+∈+ 故选：B
【点睛】
关键点睛：本题解题关键是准确作出函数图象，令()()()f m f n f q t ===，m n q <<得到1
2
22
n
q --+=
以及m 及2m -的范围，从而使问题得到解决. 3．A
解析：A 【分析】
利用函数的奇偶性，排除选项，再根据1
02
x <<，时()0f x >即可得到正确的图像. 【详解】
2cos ()x x x x f x e e -=-，()()2
2
cos cos ()()x x x x x x x x f x f x e e e e
-----==-=---∴， 因此函数()f x 为奇函数，图像关于原点对称，排除,C D ， 又当102
x <<时，cos 0,0x x
x e e ->->，()0f x ∴>，排除B . 故选：A . 【点睛】
本题主要考查的是函数图像，考查利用函数的奇偶性看图形，排除法的应用，考查学生的分析问题的能力，是中档题.
4．A
解析：A 【分析】
利用新定义化简()f x 解析式，做出()g x 的函数图象，根据图象即可得出k 的范围. 【详解】
解：有题意：2
1(4)1x x --+，解得：2x -或3x ，
所以()24,(,2][3,)1,(2,3)x k x f x x k x ++∈-∞-⋃+∞⎧=⎨-+∈-⎩
，
令()24,(,2][3,)1,(2,3)x x g x x x +∈-∞-⋃+∞⎧=⎨-∈-⎩
画出()g x 的函数图象，如图：
因为函数()f x 的图象与x 轴恰有三个交点， 所以()y g x k =+有三个零点， 由图可得：21k -<． 故选：A ． 【点睛】
本题考查根据零点个数求参数的范围，求解一元二次不等式，是中档题．
5．A
解析：A 【分析】
()31x f x m =+-是定义在[1,1]-上的“倒戈函数，即存在0[1,1]x ∈-,满足
00()()f x f x -=-，即0
2332x x m -=--+有根，即可求出答案．
【详解】
()31x f x m =+-是定义在[1,1]-上的“倒戈函数，
∴存在0[1,1]x ∈-满足00()()f x f x -=-，
003131x x m m -∴+-=--+，
002332x x m -∴=--+，
构造函数0
03
32x x y -=--+，0[1,1]x ∈-，
令03x t =，1[,3]3
t ∈，
11
22()y t t t t
=--+=-+在1[,1]3单调递增，
在(1,3]单调递减，所以1t =取得最大值0，
13
t =
或3t =取得最小值43-，4
[,0]3y ∴∈-，
4203m ∴-
<，03
2
m ∴-<，
故选：A ． 【点睛】
本题考查的知识点是指数函数的性质、函数的值域，新定义“倒戈函数”，正确理解新定义“倒戈函数”的含义，是解答的关键．
6．D
解析：D 【分析】
由“界点”定义可知，存在“界点”要求函数至少有2个零点．通过对四个函数零点个数的判断，得到最终结果． 【详解】
A 选项：令3n
a n n
b a =，即22x x =，根据2x y =与2
y x =图像如图所示：
可知当0x >时，有2x =与4x =两个交点 当0x <时，有1个交点
因此两函数共有3个交点，故()f x 必有“界点”；
B 选项：令220x bx +-=，可知280b ∆=+>，方程恒有2个不等式根，即()f x 必有
2个零点，故()f x 必有“界点”；
C 选项：令120x --=，解得3x =或1x =，即()f x 有2个零点，故()f x 必有“界
点”；
D 选项：令sin 0x x -=，令()sin g x x x =-，则()1cos g x x =-'
又cos 1≤x ，所以()0g x '≥
()g x ∴在(),-∞+∞上单调递增
又()00g =，即()g x 只有0x =一个零点，故()f x 不存在“界点”． 本题正确选项：D 【点睛】
本题属于新定义问题，考查转化化归的数学思想．解题关键在于明确“界点”的定义，从而转化为零点个数问题．
7．C
解析：C 【解析】
随着自变量每增加1函数值大约增加2， 函数值的增量几乎是均匀的，
故一次函数最接近地表示这组数据满足的规律． 故选C ．
8．A
解析：A 【解析】
令函数()210x
f x x =++=，可得0x <，即0a <，
令()2log 10g x x x =++=，则01x <<，即01b <<，
令()2log 10h x x =-=，可知2x =，即2c =，显然a b c <<，故选A.
9．A
解析：A 【分析】
由题意明确函数的周期性，数形结合即可得到方程()02019
x
f x -=的根的个数. 【详解】 对任意实数x 都有
f （x +2）＝f [1+（1+x ）]＝f [1﹣（1+x ）]＝f （﹣x ）， 由于f （x ）为偶函数，f （﹣x ）＝f （x ） ∴f （x +2）＝f （x ）
∴函数f （x ）是以2为周期的周期函数，且值域为[]
0,1． 方程()02019x f x -
=的根的个数即函数()f x 图象与直线y 2019
x
=的交点个数， 当2019x =时，y 12019x ==，当x 2019>时，函数()f x 图象与直线y 2019
x
=无交点，
由图像可得二者的交点个数为2020个 故选A 【点睛】
本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的周期性，函数的图象，方程根与函数零点的关系，难度中档．
10．C
解析：C
【分析】
设这种放射性物质最初的质量为1，经过x ()x N ∈年后，剩留量是y ，则有1()4
x
y =，
然后根据物质的剩留量不超过原来的1%，建立不等关系，利用对数运算性质进行求解即可. 【详解】
设这种放射性物质最初的质量为1，经过x ()x N ∈年后，剩留量是y ， 则有1()4
x
y =， 依题意得11
()4
100
x
≤，整理得22100x ≥， 解得4x ≥，
所以至少需要的年数是4， 故选C. 【点睛】
该题考查的是有关放射性物质的剩留量的求解问题，在解题的过程中，注意根据条件，列出相应的关系式，之后将其转化为指数不等式，结合指数函数的性质，求得结果，属于简单题目.
11．C
解析：C 【分析】
由题意结合零点存在定理确定()f x 的零点所在的区间即可. 【详解】
由题意可知函数()23
f x lo
g x x
=
-在()0,+∞上单调递减，且函数为连续函数， 注意到()130f =>，()1202f =
>，()231log 30f =-<，()3
4204
f =-<， 结合函数零点存在定理可得()f x 的零点所在的区间是()2,3. 本题选择C 选项. 【点睛】
应用函数零点存在定理需要注意： 一是严格把握零点存在性定理的条件；
二是连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，而不是必要条件；
三是函数f (x )在(a ，b )上单调且f (a )f (b )＜0，则f (x )在(a ，b )上只有一个零点.
12．C
解析：C 【分析】
令()()2
210y f x f x λ=++-=，结合()f x 为奇函数进行化简，利用一元二次方程判别式列
方程，解方程求得λ的值. 【详解】
令()()2
210y f x f x λ=++-=，则()
()()221f x f x f x λλ+=--=-，因为()f x 是R 上
的单调函数，所以221x x λ+=-，即2210x x λ++=-.依题意可知2210x x λ++=-有且只有一个实数根，所以()1810λ∆=-+=，解得78
λ=-
. 故选：C 【点睛】
本小题主要考查函数的奇偶性、单调性、零点，属于中档题.
二、填空题
13．【分析】作出函数的图象及直线它们的交点的横坐标即为由图象可得出它们的性质：范围关系然后现求的范围【详解】解：作出函数的图象如图所示（1）由解得或（2）关于直线对称则综上由函数在上单调递增可得故答案为 解析：(3,3]-
【分析】
作出函数()f x 的图象及直线y a =，它们的交点的横坐标即为1234,,,x x x x ，由图象可得出它们的性质：范围，关系．然后现求2
12
344
x x x x x ++的范围． 【详解】
解：作出函数2
2122,0
()2log ,0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨⎪>⎩
的图象如图所示
（1）由2|log |2x =解得14
x =
或4x =，12341
0144x x x x ∴<≤<≤<<≤，
3422|log ||log |x x =，2324log log x x ∴-=，341x x ∴=，
（2）
12,x x 关于直线2x =-对称，则124x x +=-，
综上，2
123444444
(14)x x x x x x x x ++
=-<≤.由函数4y x x
-=+在(1,4]上单调递增，可得212
344
(3,3]x x x x x ++
∈-. 故答案为：(3,3]-． 【点睛】
方法点睛：本题考查方程根的分布问题，解题关键是作出函数图象与直线，把方程的根转化为函数图象与直线交点横坐标，从图象易得它们的性质．从而求得结论．
14．【分析】解方程可得或然后分和解方程或由此可得出结论【详解】解方程可得或当时由可得解得由可得解得（舍）；当时由可得则解得或由可得则解得或综上所述方程实根的个数是故答案为：【点睛】方法点睛：判定函数的零 解析：5
【分析】
解方程()()2
2520f x f x -+=⎡⎤⎣⎦可得()2f x =或()1
2f x =，然后分0x ≤和0x >解方程()2f x =或()1
2
f x =，由此可得出结论. 【详解】
解方程()()22520f x f x -+=⎡⎤⎣⎦可得()2f x =或()1
2f x =. 当0x ≤时，由()2f x =可得22x -=，解得1x =-，由()12f x =
可得122
x
-=，解得1x =（舍）；
当0x >时，由()2f x =可得lg 2x =，则lg 2x =±，解得100x =或1
100
x =， 由()12f x =
可得1lg 2x =，则1lg 2x =±
，解得x =
或x =
综上所述，方程()()2
2520f x f x -+=⎡⎤⎣⎦实根的个数是5. 故答案为：5. 【点睛】
方法点睛：判定函数()f x 的零点个数的常用方法：
（1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果；
（2）数形结合法：先令()0f x =，将函数()f x 的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可得出结果.
15．【分析】先将函数与轴有个交点转化成与的交点问题再作出分段函数的图像利用数形结合求得范围即可【详解】依题意函数与轴有个交点即与有3个交点作分段函数的图像如下由图可知的取值范围为故答案为：【点睛】方法点 解析：()0,1
【分析】
先将函数()()g x f x m =-与x 轴有3个交点，转化成()y f x =与y m =的交点问题，再作出分段函数()y f x =的图像，利用数形结合求得m 范围即可. 【详解】
依题意，函数()()g x f x m =-与x 轴有3个交点， 即()y f x =与y m =有3个交点，
作分段函数()22,0
,0x x x f x x x ⎧--≤=⎨>⎩
的图像如下，
由图可知，m 的取值范围为()0,1. 故答案为：()0,1. 【点睛】
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利用数形结合的方法求解.
16．或【分析】当时求出函数的两个零点是和当时求出函数的零点为然后分三类讨论零点可解得结果【详解】当时令得或；当时令得若的两个零点是和则解得若的两个零点是和则解得若的两个零点是和则此不等式组无解综上所述：
解析：12λ-≤<或3λ≥ 【分析】
当x λ≤时，求出函数()f x 的两个零点是1-和3，当x λ>时，求出函数()f x 的零点为
2，然后分三类讨论零点可解得结果.
【详解】
当x λ≤时，令2230x x --=，得1x =-或3x =； 当x λ>时，令()ln 10x -=，得2x =，
若()f x 的两个零点是1-和3，则132λλλ-≤⎧⎪
≤⎨⎪≤⎩，解得3λ≥，
若()f x 的两个零点是1-和2，则132λλλ-≤⎧⎪
>⎨⎪>⎩，解得12λ-≤<，
若()f x 的两个零点是2和3，则132λλλ->⎧⎪
≤⎨⎪>⎩
，此不等式组无解，
综上所述：λ的取值范围为12λ-≤<或3λ≥. 故答案为：12λ-≤<或3λ≥. 【点睛】
关键点点睛：利用方程求出三个实根后，按照三种情况讨论函数()f x 的零点是哪两个进行求解是解题关键.
17．【分析】将函数（且）在区间上有4个不同的零点转化为函数与函数的图象在区间上有4个不同的交点再根据函数的奇偶性和单调性作出函数的图象与函数的图象利用图象【详解】所以为偶函数设则因为所以即因为所以所以所 解析：27a ≥
【分析】
将函数()()()log 2a g x f x x =-+ （0a >且1a ≠）在区间[]1,1-上有4个不同的零点转化为函数|()|y f x =与函数log (2)a y x =+的图象在区间[]1,1-上有4个不同的交点，再根据函数()f x 的奇偶性和单调性作出函数|()|f x 的图象与函数log (2)a y x =+的图象，利用图象 【详解】
()333()x x f x f x --=+-=，所以()f x 为偶函数，
设120x x ≤<，则112212()()333333x x x x
f x f x ---=+---+
1212
1(33)(1)3
x x x x +=--
，
因为12,x x <所以1233x x <，即12330x x -<，
因为120x x ≤<，所以120x x +>，所以1231x x +>，所以12
1103x x +->，
所以12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <， 所以()f x 在[0,)+∞上递增，
因为()f x 为偶函数，所以()f x 在(,0)-∞上递减， 所以当0x =时，()f x 取得最小值(0)1f =-，
因为函数()()
()log 2a g x f x x =-+ （0a >且1a ≠）在区间[]1,1-上有4个不同的零点，所以函数|()|y f x =与函数log (2)a y x =+的图象在区间[]1,1-上有4个不同的交点， 作出两个函数的图象如图：
由图可知，log (02)(0)log (12)(1)1a a f f a ⎧+<⎪+≤⎨⎪>⎩，即log 21
1log 331
a a a <⎧⎪⎪
≤⎨⎪
>⎪⎩，解得27a ≥.
故答案为：27a ≥. 【点睛】
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解
18．【分析】函数恰有4个零点等价于函数与函数的图象有四个不同的交点画出函数图象利用数形结合思想进行求解即可【详解】函数恰有4个零点等价于函数与函数的图象有四个不同的交点画出函数图象如下图所示：由图象可知 解析：(1,3)
【分析】
函数()y f x a x =-恰有4个零点，等价于函数()f x 与函数y a x =的图象有四个不同的交点，画出函数图象，利用数形结合思想进行求解即可. 【详解】
函数()y f x a x =-恰有4个零点，等价于函数()f x 与函数y a x =的图象有四个不同的交点，画出函数图象如下图所示：
由图象可知：实数a 的取值范围是13a <<. 故答案为：(1,3) 【点睛】
本题考查了已知函数零点个数求参数取值范围问题，考查了数形结合思想和转化思想.
19．【分析】最小值为函数有三个零点即有三个解设即方程最多有两解因此也必须有两解才可满足题意设的两解为当可保证有三个解【详解】设显然最多有2个不等实解也可能是2个相等实根或无解为函数有且只有三个零点则方程 解析：0
【分析】
2()(1)1f x x a =++-最小值为1a -，函数[()]()y f f x f x =-有三个零点，即
[()]()f f x f x =有三个解．设()f x t =，即()f t t =，方程()f x t =最多有两解，因此
()f t t =也必须有两解才可满足题意，设()f t t =的两解为12,t t ，当121,1t a t a =->-可
保证[()]()f f x f x =有三个解． 【详解】
2()2f x x x a =++2(1)1x a =++-，
设()f x t =，显然()f x t =最多有2个不等实解，也可能是2个相等实根或无解．
[()]()0f f x f x -=为()0f t t -=，
函数[()]()y f f x f x =-有且只有三个零点，则方程()0f t t -=一定有两实根12,t t ，其中一根11t a =-，另一根21t a >-．
由2
(1)(1)2(1)1f a a a a a -=-+-+=-，得0a =，此时2
()2f x x x =+，
2()2f x x x x =+=的两根为1-和0，满足题意．
∴0a =．
故答案为：{0}． 【点睛】
本题考查函数的零点的概念，解题时由零点定义转化为方程的根，通过二次方程根的分布知识求解．
20．【分析】由可得出设函数将问题转化为函数与函数的图象有交点利用数形结合思想可求出实数的取值范围【详解】由可得出设函数则直线与函数的图象有交点作出函数与函数的图象如下图所示由图象可知则解得因此实数的取值 解析：[)1,0-
【分析】
由|1|
102x y m -⎛⎫=+= ⎪
⎝⎭
可得出112x
m -⎛⎫
-= ⎪
⎝⎭，设函数()112x
g x -⎛⎫= ⎪⎝⎭
，将问题转化为函数
y m =-与函数()y g x =的图象有交点，利用数形结合思想可求出实数m 的取值范围.
【详解】
由|1|
102x y m -⎛⎫=+= ⎪⎝⎭
可得出112x
m -⎛⎫
-= ⎪
⎝⎭
，设函数()112x
g x -⎛⎫= ⎪⎝⎭
，
则直线y m =-与函数()y g x =的图象有交点，
作出函数()1
11,1
22,1x x x g x x --⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪<⎩
与函数y m =-的图象如下图所示，
由图象可知()01g x <≤，则01m <-≤，解得10m -≤<. 因此，实数m 的取值范围是[)1,0-. 故答案为：[)1,0-. 【点睛】
本题考查利用函数有零点求参数的取值范围，在含单参数的函数零点问题的求解中，一般转化为参数直线与函数图象有交点来处理，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
三、解答题
21．（1）()11x
x
e f x e
-=+；（2）函数()f x 在(),0-∞上单调递减，证明见详解；（3）
{}1,0,1,2M =-.
【分析】
（1）当0x <时，0x ->，()1111x x
x x
e e
f x e e -----==
++，利用函数的奇偶性求解即可；（2）函数()f x 在(),0-∞上单调递减，利用定义证明函数的单调性即可；（3）把函数
()g x 有唯一零点的问题转化为方程()()20f ax f x a --+=有唯一的解的问题，利用函
数的奇偶性和单调性得到2ax x a =-+，两边平方，利用方程有唯一的解即可得出结果. 【详解】
（1）当0x <时，0x ->， 又函数()f x 为偶函数，
则()()1111x x
x x
e e
f x f x e e
-----===++， 所以函数()f x 的解析式为()11x
x
e f x e
-=+； （2）函数()f x 在(),0-∞上单调递减， 设任意120x x <<，
则()()()()()
1221
2112
212111111x x x x x x x x e e e e f x f x e e e e ----=-=++++， 因为x
y e =在R 上单调递增， 所以12x x e e <，即120x x e e -<， 所以()()21f x f x <，
所以函数()f x 在(),0-∞上单调递减； （3）因为函数()f x 为偶函数， 所以函数()f x 在()0,∞+上单调递减，
函数()()()2g x f ax f x a =--+的零点就是方程()()20f ax f x a --+=的解， 因为函数()g x 有唯一零点，
所以方程()()20f ax f x a --+=有唯一的解， 因为函数()f x 为偶函数， 所以方程变形为：()()2f
ax f x a =-+，
因为函数()f x 在()0,∞+上单调递减， 所以2ax x a =-+，
平方得：
()()()2
2
2
12220a x
a x a -+-+-=，
当210a -=时，即1a =±，经检验方程有唯一解； 当210a -≠时，()(
)()
2
2
2
424120a a a ∆=----=，
得()2
2200a a a -=⇒=或2a =， 综上可得：集合{}1,0,1,2M =-. 【点睛】
关键点睛：把函数()g x 有唯一零点的问题转化为方程()()20f ax f x a --+=有唯一的解的问题是解决本题的关键. 22．（1）y 2
1(1307350)2
x x =
-+，定义域为[15,105]（2）天然气站点D 距A 城65km 时，建设总费用最小,最小总费用为1562.5万元.
【分析】
（1）根据站点D 距两城市的距离均不得少于15km ．可求得15105x ≤≤，设
22[(10)(120)]510y k x x =-+-+⨯，根据当40x =时，1825501875y =+=，求出
k ，从而可得y 与x 之间的函数关系式； （2）根据二次函数知识可求得最值. 【详解】
（1）因为站点D 距两城市的距离均不得少于15km ． 所以15
12015x x ≥⎧⎨
-≥⎩
，解得15105x ≤≤，
设2
2
[(10)(120)]510y k x x =-+-+⨯，15105x ≤≤，
当40x =时，1825501875y =+=，所以2
2
(3080)501875k ++=，解得1
4
k =， 所以221[(10)(120)]5104y x x =
-+-+⨯21
(1307350)2
x x =-+，15105x ≤≤. （2）y 21(1307350)2x x =
-+21
(65)1562.52
x =-+， 所以当65x =时，min 1562.5y =万元.
所以当天然气站点D 距A 城65km 时，建设总费用最小,最小总费用为1562.5万元. 【点睛】
关键点点睛：理解题意，建立正确的数学模型是解决函数应用题的关键. 23．（135
；（2）答案见解析.
【分析】
（1）可令()0g x =，解含有绝对值的方程，对x 进行讨论，最后得出符合条件的x 的值. （2）因为()0,x ∈+∞时，()max 1f x =，故问题只需在给定的区间内()2f x ≥-恒成立，再按照22a f ⎛⎫
<- ⎪⎝⎭和22a f ⎛⎫
≥- ⎪⎝⎭
两种情况分类讨论，即可得到结论. 【详解】
（1）令()()0g x f x x =-=,得()21f x x x x =--+=, 当2x ≥时，方程化简为：210x x --=，
解得：12x +=
（舍）或12x -=（舍）， 当2x <时，方程化简为：2310x x -+=，
解得：x =
x
，32
x ∴=
. （2）当()0,x ∈+∞时，()max 1f x =，故问题只需要在给定的区间内()2f x ≥-恒成立，
由2
124a a f ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
分两种情况讨论：
当2
124
a -<-
时，即a >()M a 是方程212x ax -+=-的较小根
(
)2a M a =
由于a >
a >，所以(
)(M a ∈
当2
124
a -≥-
时，即0a <≤时，()M a 是方程212x ax -++=-的较大根，
(
)2
a M a =
由于0a <≤
(
a
所以(
)M a ∈
综上(
) 2
0<2
a a M a a a ⎧>⎪⎪
=⎨
⎪≤⎪⎩
，且(
)(
M a ∈⋃
.
【点睛】
分类讨论方法，关键点在于运算时由于不确定性，需要对某个参数进行讨论，进而分类运算.
恒成立问题，关键点在对于任意x D ∈，()f x a ≥恒成立，可转化为()min f x a ≥. 24．（1）函数f (x )在[0，1]上单调递增，证明见解析；（2）72,2
⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【分析】
（1）任取1201x x ≤<≤，计算()()12f x f x -并判断正负即可判断单调性；
（2）可得出f (m )∈31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，g (m 0)∈[5-2a ，5-a ]，由题得31,2
⎡⎤⎢⎥⎣⎦⊆[5-2a ，5-a ]，即可建立不等式求出.
【详解】
（1）函数f (x )在[0，1]上单调递增，
证明如下：设1201x x ≤<≤，
则()()12f x f x -12121111
x x x x =+--++ ()()()21121211x x x x x x -=-+++()()()()
1212121211x x x x x x x x -++=++， 因为120x x -<，()()12110x x ++>，12120x x x x ++>，
所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，
所以函数f (x )在[0，1]上单调递增；
（2）由（1）知，当m ∈[0，1]时，f (m )∈31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
. 因为0a >，()52g x ax a =+-在[0，1]上单调递增，
所以m 0∈[0，1]时，g (m 0)∈[5-2a ，5-a ]. 依题意，只需31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
⊆[5-2a ，5-a ]， 所以521352a a -≤⎧⎪⎨-≥⎪⎩
解得2≤a ≤72， 即实数a 的取值范围为72,2
⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】
关键点睛：本题考查与函数相关的方程的有解性问题，解题的关键是求出()0g m 和()f m 的取值范围，由()f m 的范围是()0g m 范围的子集建立不等式求解.
25．（1）是“精彩区间”，理由见解析；（2）不是“精彩函数”，理由见解析；（3）1744
m -<≤-
【分析】
（1）先判断函数3y x =是否满足“精彩函数”的条件，从而可判断0,1是否为函数3y x
=的“精彩区间”；
（2）判断函数()()40f x x x x
=+>是否满足“精彩函数”的条件即可； （3）由()g x 是“精彩函数”，可知()g x x =至少存在两个不等的实数解，可转化为()222140x m x m -++-=有两个不等的实数根，两实根都不小于4-和m ，结合二次函数的性质，求出m 的取值范围.
【详解】
（1）由题意，3y x =是R 上的增函数，
易知3y x =在0,1上的值域为0,1，
所以函数3y x =是“精彩区间”，0,1是该函数的“精彩区间”.
（2）不是精彩函数，证明如下：
因为函数()()40f x x x x =+
>在区间()0,2上单调递减，在区间2,上单调递增， 所以函数()4f x x x =+
在定义域0,上不单调，不满足“精彩函数”的第一个条件， 所以函数()()40f x x x x
=+>不是“精彩函数”. （3）由题意，函数(
)g x m =
的定义域为[)4,-+∞，且()g x 在定义域上为单调递增函数，
因为函数(
)g x m 是“精彩函数”
m x =至少存在两个不等
的实数解， 方程整理得()2
22140x m x m -++-=， 所以该方程有两个不等的实数根，设为12,x x ，不妨设21x x >，则214x x >≥-，21 x x m >≥，
令()()22
214h x x m x m =-++-， 由题意得，()()
()()()()22222214402140416421402142m m h m m m m m h m m m ⎧∆=+-->⎪⎪=-++-≥⎪⎨-=+++-≥⎪⎪+>-⎪⎩，
即()2417040402142
m m m m +>⎧⎪+≤⎪⎪⎨+≥⎪+⎪>-⎪⎩，解得1744m -<≤-. 所以实数m 的取值范围是1744
m -
<≤-. 【点睛】
本题考查新定义，考查函数与方程的综合应用，考查了函数基本性质的运用，考查了学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题. 26．（1）()()318110001031000098027103x x x y x x x ⎧--<≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+> ⎪⎪⎝⎭⎩
；（2）当年产量为9万件时，服装厂在这一品牌服装的生产中获年利润最大
【分析】
（1）由已知条件分类即可写出年利润y （万元）关于年产量x （万件）的函数关系式. （2）分别求分段函数在各段内的最大值，对比即可得到服装厂在这一品牌的生产中所获年利润最大值，由此得到年产量．
【详解】
（1）当010x <≤时，2310111088110020337x x x y x x ⎛⎫=---=⎪⎭- ⎝-
. 当10x >时，210000100108027980271000033y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎝-⎭⎭
所以年利润y （万元）关于年产量x （万件）的函数关系式为：
()()318110001031000098027103x x x y x x x ⎧--<≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+> ⎪⎪⎝⎭⎩
（2）当010x <≤时，31811003x y x -
-=， 所以281y x '=-，由0y '=得：9x =，
∴当9x =时，3max 181991003863y =⨯-⨯-=.
当10x >
时，10000980279803803x y x ⎛⎫-+≤-=
⎪⎝⎭=， 当且仅当1009
x =时，等号成立.
当年产量为9万件时，服装厂在这一品牌服装的生产中获年利润最大.
【点睛】
本题主要考查了分段函数的应用，还考查了利用导数求函数的最值、利用基本不等式求函数的最值，考查了分类思想及计算能力，属于中档题．。