高中数学2.3圆的方程2.3.1圆的标准方程2.3.2圆的一般方程例题与探究新人教B版必修22017

2.3.1 圆的标准方程

2.3.2 圆的一般方程

典题精讲

例1求过三点A(1,12)、B(7,10)、C(-9,2)的圆的方程,并求出圆的圆心与半径,作出图形. 思路分析:因为圆过三个定点,故可以设圆的一般式方程来求圆的方程.

解：设所求的圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,依题意有

⎪⎩

⎪⎨⎧=++-+=++++=++++.029481,010710049,0121441F E D F E D F E D

图2-3-(1,2)-1

解得D=-2,E=-4,F=-95.

于是所求圆的方程为x 2+y 2-2x-4y-95=0.

将上述方程配方得(x-1)2+(y-2)2=100.

于是,圆的圆心D 的坐标为(1,2),半径为10,图形如图2-3-(1,2)-1所示.

绿色通道：求过三个定点的圆的方程往往采用待定系数法求解.利用圆经过不在同一直线上的三点的条件,由待定系数法求出圆的一般式方程,并由此讨论圆的几何性质.

对于由一般式给出的圆的方程,研究其几何性质(圆心与半径等)时,常可用配方法或公式法加以求解.

变式训练1已知圆C 与圆(x-1)2+y 2=1关于直线y=-x 对称，则圆C 的方程为( )

A.(x+1)2+y 2=1

B.x 2+y 2=1

C.x 2+(y+1)2=1

D.x 2+(y-1)2=1

思路解析:求出圆心(1,0)关于直线y=-x 的对称点为(0,-1),得到圆C 的圆心.故选C. 答案：C

例2求下列圆的方程:

(1)圆心在直线y=-2x 上,且与直线y=1-x 相切于点(2,-1)；

(2)圆心为C(0,3),且截直线y=x+1所得弦长为4.

思路分析:利用圆的标准方程,把条件转化为关于圆心和半径的方程组来求解.

解：(1)设圆心(a,-2a),圆的方程为(x-a)2+(y-2a)2=r 2. 由⎪⎩

⎪⎨⎧+-+-=-=-∙-+-,)12()2(,1)1(21222a a r a a 解得⎩⎨⎧==,2,1r a ∴所求圆的方程为(x-1)2+(y+2)2=2.

(2)设圆的方程为(x-3)2+y 2=r 2,利用点到直线的距离公式可以求得d=|110

13+-+=22,再根据

垂径定理可知r=322)22(2

2=+.

∴所求圆的方程为(x-3)2+y 2

=12.

绿色通道：在解决与圆相关的问题时,如果涉及到圆心和半径,或者截得的弦长等问题,一般选用圆的标准方程来解题.

变式训练2已知圆的半径为10,圆心在直线y=2x 上,圆被直线x-y=0截得的弦长为24,求圆的方程.

解：设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2,由圆心在直线y=2x 上,得b=2a.①

由圆被直线x-y=0截得的弦长为24,将y=x 代入(x-a)2+(y-b)2=10,整理得 2x 2-2(a+b)x+a 2+b 2-10=0.由弦长公式得24)10(2)(2222=-+-+∙b a b a .

化简得a-b=±2.②

解①②得a=2,b=4或a=-2,b=-4,

∴所求圆的方程为(x-2)2+(y-4)2=10或(x+2)2+(y+4)2=10.

例3如图2-3-(1,2)-2所示,已知圆的内接四边形ABCD 中两对角线AC 、BD 互相垂直,垂足为E,又F 是BC 的中点,试用坐标法证明EF⊥AD.

图2-3-(1,2)-2

思路分析:题中两对角线互相垂直,不妨就选它们为坐标轴,此时四个顶点的坐标表示较为简捷.

证明：建立如图 2.3(1.2)2所示的直角坐标系xOy,并设A 、B 、C 、D 的坐标分别为(0,-a),(b,0),(0,c),(-d,0)(a 、b 、c 、d ＞0).

于是BC 中点F 的坐标为(

2b ,2c ),故k EF =b

c . 又k AD =

d a -,故k EF ·k AD =bd ca -. 由圆的相交弦定理得AE·EC=DE·EB,即ac=bd.

∴k EF ·k AD =-1.∴EF⊥AD.

黑色陷阱：用坐标法处理平面几何问题的关键是建立好坐标系,此题若不以两对角线为坐标轴,处理起来相当麻烦.在建立坐标系时,要使尽量多的点落在坐标轴上,或利用图中现有的垂直关系.

变式训练3在△AOB 中,|OB|=3,|OA|=4,|AB|=5,点P 是△AOB 内切圆上的点,求

|PA|2+|PB|2+|PC|2的最大值与最小值.

图2-3-(1,2)-3

解：如图2-3-(1,2)-3建立直角坐标系,使A 、B 、O 三点坐标分别为(4,0)、(0,3)、(0,0). 设内切圆半径为r,则有2r+|AB|=|OA|+|OB|,∴r=1.

故内切圆方程为(x-1)2+(y-1)2=1.化为x 2+y 2-2x-2y+1=0,①

设点P(x,y),又∵|PA|2+|PB|2+|PC|2=3x 2+3y 2-8x-6y+25,②

由①知x 2+y 2-2y=2x-1,代入②得

|PA|2+|PB|2+|PC|2=3(2x-1)-8x+25

=-2x+22.

∵x∈[0,2],

∴|PA|2+|PB|2+|PC|2最大值为22,最小值为18.

例4判断下列方程是否表示圆，如果是,求出圆心和半径；如果不是,请说明理由.

(1)x 2+y 2+4x-2y+12=0；

(2)x 2+y 2-11x+3y-30=0；

(3)3x 2+2y 2+3x-3y+5=0.

思路解析:本题首先要观察各题目二次项系数是否相等,判定方程是否满足表示圆的条件,再依据公式得出圆心和半径.

答案：(1)x 2+y 2+4x-2y+12=0可以转化为(x+2)2+(y-1)2=-7,所以该方程不是圆的方程.

(2)在x 2+y 2-11x+3y-30=0中,-2D =211,-2E =-2

3,D 2+E 2-4F=250＞0,所以该方程表示圆心为(211,-2

3),半径为105的圆. (3)在3x 2+2y 2+3x-3y+5=0中,因二次项系数不相等,所以该方程不是圆的方程.

绿色通道：

对于这类问题,首先看题中所给方程是否能化为圆的方程的一般式形式：x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,在

D 2+

E 2-4

F ＞0的情况下,则有(-2D ,-2E )为圆心,214F 22-+E D 为半径.不必死记这个公式,要掌握通过配方将圆的一般式转化为圆的标准式的方法.

变式训练4方程ax 2+ay 2-4(a-1)x+4y=0表示圆,求实数a 的取值范围,并求出其中半径最小的圆

的方程.

解：原方程可化为［x-a a )1(2-］2+(y+a 2)2=2

222(4a a a +-, ∵a 2

-2a+2＞0,

∴当a≠0且a∈R 时,原方程表示圆. 又∵2222(4a a a +-=22

22)2(22)44(2a

a a a a -=++-+2≥2, 当且仅当a=2时等号成立.

∴a=2时圆的半径最小,此时圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.

问题探究

问题1探究圆的标准方程和圆的一般方程的异同点.

导思：求圆的方程一般采用待定系数法，探究求圆的标准方程和圆的一般方程的异同点就是确