高等数学乙
高等数学常微分方程讲义,试题,答案
高等数学常微分方程讲义,试题,答案常微分方程§4.1 基本概念和一阶微分方程(甲)内容要点一、基本概念1、常微分方程和阶2、解、通解和特解3、初始条件4、齐次线性方程和非齐次线性方程二、变量可分离方程及其推广1、dyp(x)Q(y)dx(Q(y) 0) 2、齐次方程:dy dxy f x三、一阶线性方程及其推广1、dydyP(x)y Q(x) 2、P(x)y Q(x)y dxdx( 0,1)四、全微分方程及其推广(数学一)1、P(x,y)dx Q(x,y)dy 0,满足Q P2、P(x,y)dx Q(x,y)dy 0,五、差分方程(数学三)(乙)典型例题例1、求y x22Q p (RQ) (RP)但存在R(x,y),使x y x ydydyxy的通解。
dxdx解:y (x xy)22dy0dxydyy2 x d__y x2 y1 x2yduu2令u,则u x udx x(1 u)du 0xdxu 11 udxdu u x C1 ln|xu| u C1例2C1 uce, y cedyy的通解d__ y4uyx求微分方程d__ y4dx1解:此题不是一阶线性方程,但把x看作未知函数,y看作自变量,所得微分方程即x y3是一阶dyydyy11dy 14 dy 133yydy C y Cy 线性方程P(y) ,Q(y) y x e yey 3例3设y e是xy p(x)y x的一个解,求此微分方程满足yx ln2 0的特解xx解:将y e代入微分方程求出P(x) xe先求出对应齐次方程x,方程化为dy(e x 1)y 1 dxx xdy(e x 1)y 0的通解y cex e根据解的结构立刻可得非齐次方程通解y ex cex e dx再由yx ln2 0得2 2ec 0,c e例4设1212故所求解y e exx e x12满足以下件F(x) f(x)g(x),其中f(x),g(x)在( , )内f (x) g(x),g (x) f(x),且f(0) 0,f(x) g(x) 2ex(1)求F(x)所满足的一阶微分方程(2)求出F(x)的表达式解:(1)由F (x) f (x)g(x) f(x)g (x) g2(x) f2(x) [f(x) g(x)]2 2f(x)g(x) (2ex)2 2F(x) 可知F(x)所满足的一阶微分方程为F (x) 2F(x) 4e2x (2)F(x) e2dx4e2xe 2dxdx c e 2x 4e4xdx c e2x ce 2x将F(0) f(0)g(0) 0代入,可知c 1 于是例52F(x) e2x e 2xdy2(1 y)的通解求微分方程(y x) xdxsec2udusec3u 解:令y tanu,x tanv, 原方程化为(tanu tanv)secv2secvdv化简为sin(u v)dudzdudz 1 再令z u v,则1,方程化为sinz 1 sinz dvdvdvdv sinz(sinz 1) 1dz dv c, 1 sinz 1 sinzdz v c,1 sinzv c21 sinz1 sinz z v c 2coszz tanz secz v c z最后Z再返回x,y,v也返回x,即可。
高等数学乙种本教材答案
高等数学乙种本教材答案高等数学是大学数学的重要组成部分,也是各个理工科专业的基础课程之一。
随着高等数学的学习深入,许多学生常常遇到问题,就是无法准确地找到乙种本教材的答案。
本文将为大家提供一些解答问题的方法和答案,以帮助大家更好地学习和理解高等数学乙种本教材。
第一章微分学1. 求函数$f(x) = e^x + \ln x$在点$x = 1$处的导数。
解答: 首先,我们需要使用链式法则来求解该题目。
根据链式法则,我们有:$$\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$将$f(x)$和$g(x)$代入上述公式,我们有:$$\frac{d}{dx}[e^x + \ln x] = \frac{d}{dx}(e^x) \cdot \frac{d}{dx}(\ln x)$$对于$e^x$和$\ln x$分别求导,我们有:$$\frac{d}{dx}(e^x) = e^x$$$$\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}$$将上述结果代入原公式,我们得到:$$\frac{d}{dx}[e^x + \ln x] = e^x \cdot \frac{1}{x}$$因此,函数$f(x) = e^x + \ln x$在点$x = 1$处的导数为$\frac{e}{1} = e$。
2. 求函数$f(x) = \sin^2 x + \cos^2 x$的导数。
解答: 根据三角恒等式$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$,我们可以将该函数简化为常数函数$f(x) = 1$。
因此,该函数的导数为零。
第二章积分学1. 求曲线$y = x^2$与$x$轴所围成的图形在区间$[0, 1]$上的面积。
解答: 要求曲线$y = x^2$与$x$轴所围成的图形在区间$[0, 1]$上的面积,我们可以使用定积分来求解。
根据定积分的定义,我们有:$$\int_{0}^{1} y \, dx$$将$y = x^2$代入上述公式,我们得到:$$\int_{0}^{1} x^2 \, dx$$对上述定积分进行积分运算,我们有:$$\int_{0}^{1} x^2 \, dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1} =\frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3}$$因此,曲线$y = x^2$与$x$轴所围成的图形在区间$[0, 1]$上的面积为$\frac{1}{3}$。
高等数学第12章 概率论与数理统计
易知:A B, 即事件A与B为互逆事件
高等数学
6. 事件的运算律
1、交换律:A B=B A,AB=BA 2、结合律:(A B) C=A (B C)
(AB)C=A(BC) 3、分配律:(A B)C=(AC) (BC),
(AB) C=(A C)(B C) 4、对偶(De Morgan)律:
A U B A I B, AB A U B
推广:U Ak I Ak , I U Ak Ak .
k
k
k
k
高等数学
例 甲、乙两人各向目标射击一次,设:
A=甲击中目标,B 乙击中目标
试用A、B的运算关系表示下列事件 :
A1 目标被击中: A U B A2 两人恰有一人击中目标: AB U AB A3 目标未被击中: AB A4 两人都击中目标: AB
P(A | B) 1 3
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条件概率计算
P( A | B) P( AB) P(B)
P(B | A) P( AB) P( A)
高等数学
概率的乘法公式
两个事件 : P( AB) P( A)P(B | A) P(B)P( A | B)
三个事件 :
P( A1 A2 A3 ) P( A1 )P( A2 | A1 )P( A3 | A2 A1 )
高等数学
概率的性质
1) 对于任一事件 A,有 0 剟P(A) 1
2) 0P() 1, P() 0
3) 若 0AB, 则Æ
0P(A U B) P(A) P(B)
推论: 对于任一事件 ,A有 0P(A) 1 P(A)
推广: n个事件A1,A2,L ,An是互不相容的事件组,有
高等数学(同济第七版)课后答案解析
(3)相同、因为定义域、对应法则均相同.
(4)不同、因为定义域不同.
际3.设
求。(寻)“仔)・9(-骨)顽-2).并作出函数L)的囲形.
TT
S,,,T i
1(、)的,形如图丨・1所示.
S4.试让F列陥数在指定区间内的单Wi性:
第一章函故与扱限
(2)j = x+In n(0, *8).证(I) y=/(^)=rL-=-丨+宀(-8』).
F(-T)=/|(-X)+/2(F=/|(对+人(x) =F(x),
枚,(大)为偶函数.
设幻(T),&2(愛)均为奇函数.则幻(-工)=-们(*),幻(-X)=-g2(■*)•令。(])=g]())+&《]),于是
G(-X)=X|(-X)+评2(-X)=■•幻(x) -&2(1)=f),
故c(x)为奇函数.
解因为AC= 20= 15,所以,Ali= /^后IF=25.
Ih20 <2-15 <20・25可知,点P、Q在斜边AH上相讷.
令a + 2% = 15+20 + 25J!;x = 20.即当x= 2()时•点七。相遇.因此•所求函數的定义域为(0.20).
(I )当Ov — vIO时,点P在CR上•点Q在CA上(图1-5).
洎6.&卜血所考虑的函救都是定义在区间U)上的.i止明:
(1)两个偶函数的和是偶函数.两个奇函数的和是奇函数;
(2)两个偶函数的乘枳是偶函数,两个奇函数的乘枳是偶函数,偶函数与奇丽数的乗积是奇函数.
证(1)设J|(X)./2(X)均为偶函数,则乂(-X)”('),(-X)=6(x).今/⑴=/|(^)+/i(x),于是
高等数学乙考试大纲
高等数学乙考试大纲一、考试目的与要求本考试旨在测试学生对高等数学基础知识的掌握程度以及运用这些知识解决实际问题的能力。
考试要求学生能够熟练掌握高等数学的基本理论、概念、性质和计算方法,能够运用数学工具进行逻辑推理和证明,以及解决工程和科学问题。
二、考试内容1. 函数、极限与连续性- 函数的概念、性质和分类- 极限的定义、性质和运算法则- 无穷小量的比较- 函数的连续性及其判断2. 导数与微分- 导数的定义、几何意义和物理意义- 基本初等函数的导数公式- 高阶导数- 隐函数和参数方程的导数- 微分的概念和运算3. 微分中值定理与导数的应用- 罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理- 泰勒公式- 导数在几何上的应用:切线、法线、弧长等- 导数在物理上的应用:速度、加速度等4. 不定积分- 不定积分的概念和性质- 基本积分公式- 换元积分法和分部积分法- 有理函数和三角函数的积分5. 定积分- 定积分的定义和性质- 微积分基本定理- 定积分的计算方法:数值积分法、换元法和分部积分法 - 定积分在几何和物理上的应用:面积、体积、功等6. 多元函数微分学- 多元函数的概念和极限- 偏导数和全微分- 多元函数的极值问题- 多元函数的泰勒展开7. 重积分- 二重积分和三重积分的概念- 重积分的性质和计算方法- 重积分在几何和物理上的应用8. 曲线积分与曲面积分- 曲线积分的概念和计算方法- 曲面积分的概念和计算方法- 格林公式、高斯公式和斯托克斯公式9. 无穷级数- 级数的概念和性质- 正项级数的收敛性判别- 幂级数、泰勒级数和傅里叶级数- 级数在函数逼近中的应用10. 常微分方程- 一阶微分方程的解法:分离变量法、变量替换法等- 高阶微分方程的解法:常数变易法、降阶法等- 线性微分方程组的解法- 微分方程在物理和工程上的应用三、考试形式与题型本考试采用闭卷形式,题型包括选择题、填空题、计算题、证明题和应用题。
高等数学(乙))
中国科学院大学硕士研究生入学考试高等数学(乙)考试大纲考试性质中国科学院大学硕士研究生入学高等数学(乙)考试是为招收理学非数学专业硕士研究生而设置的选拔考试。
它的主要目的是测试考生的数学素质,包括对高等数学各项内容的掌握程度和应用相关知识解决问题的能力。
考试对象为参加全国硕士研究生入学考试、并报考大气物理学与大气环境、气象学、天文技术与方法、地球流体力学、固体地球物理学、矿物学、岩石学、矿床学、构造地质学、第四纪地质学、地图学与地理信息系统、自然地理学、人文地理学、古生物学与地层学、生物物理学、生物化学与分子生物学、物理化学、无机化学、分析化学、高分子化学与物理、地球化学、海洋化学、海洋生物学、植物学、生态学、环境科学、环境工程、土壤学等专业的考生。
二、考试的基本要求要求考生比较系统地理解高等数学的基本概念和基本理论,掌握高等数学的基本方法。
要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、数学运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。
三、考试方式和考试时间高等数学(乙)考试采用闭卷笔试形式,试卷满分为150分,考试时间为180分钟。
四、考试内容和考试要求(一)函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形数列极限与函数极限的概念无穷小和无穷大的概念及其关系无穷小的性质及无穷小的比较极限的四则运算极限存在的单调有界准则和夹逼准则两个重要极限:,函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质函数的一致连续性概念考试要求1. 理解函数的概念,掌握函数的表示法,并会建立简单应用问题中的函数关系式。
2. 理解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。
掌握判断函数这些性质的方法。
3. 理解复合函数的概念,了解反函数及隐函数的概念。
会求给定函数的复合函数和反函数。
4. 掌握基本初等函数的性质及其图形。
高等数学乙 32 页
高等数学(乙)考研资料资料包含:1.数乙2000-2009年真题缺2003,含其中2000-2002年有答案。
2.数甲2001,2006-2008年真题3.高等数学B:2000-2005年,2008。
其中2003,2004有答案4.中科大高等数学2003-2010年真题含官方答案名校考研之家整理中国科学院研究生院2007年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称:高等数学(乙)考生须知:1.本试卷满分为150分,全部考试时间总计180分钟。
2.所有答案必须写在答题纸上,写在试题纸上或草稿纸上一律无效。
一、填空题 (本题满分30分,每个空格6分。
请将你的答案标清题号写在考场发的答题纸上,直接填在试题空格内无效。
) 1. 220arctan lim sin 2(3)x x x x x →⋅+=( )。
2. 设是由所确定的函数,()y y x =210y x t x e dt +−−∫=(0)1y =,则0x dy dx ==( )。
3. 设(,,)u v w ϕ有一阶连续偏导数,(,)z z x y =是由(,,)bz cy cx az ay bx 0ϕ−−−=确定的函数,则z z a b x y ∂∂+∂∂=( )。
4. 已知()f x 在点的某个邻域内可展成泰勒级数,且0x =211f n n⎛⎞=⎜⎟⎝⎠,,则( )。
1,2,n =L (0)f ′′=5. 微分方程的通解是( )。
23tan (1)sec 0x x e ydx e ydy +−=二、选择题 (本题满分30分,每小题6分。
请从题目所列的选项中选择一个正确项填充空格。
每题的四个备选项中只有一个是正确的,不选、错选或多选均不得分。
请将你的选择标清题号写在考场发的答题纸上,直接填写在试题上无效。
)1. 设,2,1(),1x x f x a x <⎧=⎨≥⎩,0()3,0b x g x x x <⎧=⎨+≥⎩,()()f x g x +在(,)−∞+∞内连续,则a , b 的值为 。
长春应化所
长春应化所专业名称(代码) 研究方向070301无机化学 指导教师考试科目01 稀土光功能材料的研发 苏锵* 一组:①101政治②201英语一③619物理化学(甲)或611生物化学(甲)④819无机化学或820有机化学或821分析化学 二组:①101政治②201英语一③602高等数学(乙)或617普通物理(甲)④809固体物理或811量子力学或825物理化学(乙)02 稀土有机/无机杂化材料发光性能的研究;新型纳米材料的构筑及性能的研究;稀土荧光免疫分析张洪杰03 稀土纳米发光材料及其在生物医学领域的应用 林君 04 光、电、磁功能材料合成与结构;新型稀土镁合金材料研究孟健 05 超高强铝合金的制备、性质与应用研究 马贤锋 06 生物无机化学、分子生物学,纳米材料在生物上的应用倪嘉缵* 刘琼◇07 生物分子构像与功能、生物纳米材料、生物电化学、药物合成曲晓刚 08 纳米生物化学,化学生物学,药物筛选,无机、有机化学任劲松 09 离子液体;绿色分离材料;稀土绿色分离化学与清洁工艺陈继 10 新型纳米涂料的研制 王成11 L ED 等用高效发光材料的合成与应用;纳米光信息功能材料的合成与应用尤洪鹏12 稀土分离化学与低碳清洁冶金;金属-杯芳烃配位化合物与超分子化学 廖伍平 13 功能分子材料、分子纳米磁性材料 唐金魁 14 铜基薄膜太阳能电池材料与器件 潘道成 15 清洁能源材料和高能化学电源 张新波 16 稀土光功能材料的研发 李成宇 17 稀土配位化学及材料化学;稀土金属有机化学及稀土催化 孙忠明 18 光电功能无机新材料 薛冬峰 19 微/纳米结构材料及其生物医学、环保领域等应用 张吉林专业名称(代码) 研究方向070302分析化学 指导教师 考试科目01 电分析化学 汪尔康*# 一组:①101政治②201英语一③619物理化学(甲)02 电分析化学 董绍俊# 03 化学物理;物理化学;生物物理和化学 汪劲◇ 04 电分析化学及电化学传感 牛利05 D NA 与蛋白质相互作用可视化研究;脑中化学信息物质分析;高灵敏、快速水污染物分析;纳米加工及电化学 李壮 或611生物化学(甲)④819无机化学或820有机化学或821分析化学二组:①101政治②201英语一③602高等数学(乙)或617普通物理(甲)④809固体物理或811量子力学或825物理化学(乙)06 界面分子相互作用及识别成像 张柏林 07 现代仪器分析 徐经伟 08 新型碳基复合材料纳米电化学、毛细管电泳-电化学/电化学发光 由天艳09 微纳米材料合成及其在电化学和电化学发光生化分析应用研究 徐国宝 10 新型三维微阵列芯片的研制及在酶功能研究中的应用 王振新 11 荧光探针开发 杨卫 12 基于谱学技术的纳米探针设计及应用 逯乐慧 13 生物分析、生物传感、功能材料 于聪 14 单分子、单细胞分析 王宏达 15 生物分析、生物分子识别、生物纳米材料 唐纪琳 16 功能材料合成及表征、生物电化学 孙旭平 17 燃料电池电催化剂设计和应用,纳米电化学,表面电化学 陈卫 18 光谱电化学;纳米生物相互作用;蛋白质结构功能研究 姜秀娥 19 纳米孔分析化学;Plasmonic 杂化纳米结构/能源-纳米界面;Plasmonic 杂化纳米结构/纳米医学 金永东 20 电分析化学 郏建波 21 电极反应动力学,光谱电化学;离子和电子在正负级材料中的传导;氧气电化学 彭章泉 22 介孔催化材料、纳米材料电化学、能源电化学、生物电化学 王亮 23 生物分析、基于分子器件及分子逻辑体系构筑新型生物传感平台 刘亚青专业名称(代码) 研究方向070303有机化学指导教师考试科目01 有机合成方法学及不对称合成、聚酰亚胺合成化学 高连勋一组:①101政治②201英语一③619物理化学(甲)或611生物化学(甲)④820有机化学或822高分子化02 有机合成化学,高分子化学,分离膜材料 张所波 03 有机合成方法学董德文 04过渡金属催化的偶联反应方法;天然物合成;药物合成 韩福社 05 天然产物合成;有机合成方法;药物化学 王博 06 富勒烯有机官能化及应用研究高翔学与物理 二组:①101政治②201英语一③602高等数学(乙)④823普通化学(乙)或825物理化学(乙)专业名称(代码) 研究方向070304物理化学指导教师考试科目01药物质谱及生物质谱,中药活性筛选及作用机制研究 刘志强 一组:①101政治②201英语一③619物理化学(甲)或611生物化学(甲)④819无机化学或820有机化学或821分析化学二组:①101政治②201英语一③602高等数学(乙)或617普通物理(甲)④809固体物理或811量子力学或825物理化学(乙) 02 直接甲醇燃料电池,电催化 邢巍 03 催化剂新材料的设计,催化加氢绿色工艺 赵凤玉 04 生物质谱,药物质谱、环境化学崔勐 05药物分析及质谱技术应用,中药质量控制及活性研究宋凤瑞 06锂离子电池,超级电容器,钠离子电容器,锂空气电池,储能材料,电化学界面,离子导体. 王宏宇 07 能源材料 武志坚 08 核磁共振技术的应用研究 李晓晶09 S PE 水电解、电催化、直接甲酸燃料电池 刘长鹏10 单分子催化与能源催化过程研究 徐维林11 蛋白质复合物的物理化学、生物信息学、分子和结构生物学等多学科交叉研究李云琦专业名称(代码) 研究方向070305高分子化学与物理 指导教师考试科目01 可控聚合与新材料制备;聚合物纳米复合材料的基本问题 唐涛高分子化学部分(研究方向为01-23)02 金属有机化学与烯烃配位聚合;结构可控聚合李悦生03 过渡金属化合物、配合物的合成;催化烯烃、双烯烃聚合长链支化烯烃、双烯烃聚合物的合成与性能研究张学全考试科目:一组:①101政治②201英语一③619物理化学(甲)或611生物化学(甲)④820有机化学或822高分子化学与物理二组:①101政治②201英语一③602高等数学(乙)④823普通化学(乙)或825物理化学(乙)04 导电高分子、二氧化碳共聚物王佛松*#王献红05 导电高分子的应用研究李季△06 有机光电材料;光电功能高分子王利祥07 有机/高分子半导体材料及其在太阳能电池和薄膜晶体管中的应用;共轭高分子合成方法学;纳米共轭齐聚物/高分子及其超分子化学耿延候08 水溶性高分子的合成方法研究与应用;耐高温钻井助剂的结构设计与合成;工业废水处理方法研究王丕新09 生物降解高分子的结构设计与合成;医用高分子的合成与应用评价;基因和药物缓释高分子陈学思10 金属有机合成;合成橡胶,聚烯烃、生物降解材料崔冬梅11 聚合物红外光子材料的合成、表征及器件应用王植源12 过渡金属芳烃化合物合成及偶联聚合;共轭聚合物应用程延祥13 生物质资源聚合物的合成与性能研究;结构可控聚合周光远14 生物可降解材料;靶向药物;纳米自组装黄宇彬15 高分子合成化学,嵌段共聚物引导组装,纤维素化学和复合材料,生物基材料,自修复材料季生象16 嵌段聚合物的自组装;生物仿生膜功能研究;多孔聚合物谢志刚17 有机红外光电材料与器件李茂18 多功能高分子基因载体和缓释体系设计,基因/药物共传递载体制备,基于干细胞的基因治疗载体开发田华雨19 生物医用高分子;生物复合材料;组织/器官支架的仿生设计与制备;哺乳动物细胞生物反应器与专用微载体;组织工程与再生医学章培标20 高分子太阳能电池材料,石墨烯材料刘俊21 高分子化学,金属有机程建华22 功能化聚(ε-己内酯)的制备庄秀丽23 有机发光显示器件,有机太阳能电池陶冶◇植物来源单体的精密聚合,绿色高分子陶友华24 高分子凝聚态物理;高分子非线性流变学安立佳25 共轭聚合物的凝聚态结构;有机太阳能电池的纳韩艳春米异质结;有机光电器件的微加工技术 高分子物理部分(研究方向为24-45)考试科目:一组:①101政治②201英语一③619物理化学(甲)或611生物化学(甲)④820有机化学或822高分子化学与物理二组:①101政治②201英语一③602高等数学(乙)或617普通物理(甲)④809固体物理或811量子力学或825物理化学(乙) 26 新型高分子的溶液行为;多孔高分子材料 姬相玲 27 生物降解高分子薄膜制备技术;生物降解高分子泡沫材料与成型 董丽松 28 软有序:利用高分子的软物质特征构建有序结构 何天白29 高分子化学与物理 闫东航 30 有机光电子学:有机发光器件、有机光探测器件、有机激光器件、有机自旋器件及有机半导体理论 马东阁 31 高级有序高分子组装体的构筑及其功能和行为;聚合物表面功能化及其与生物大分子的相互作用 姜伟 32 生物高分子材料结构与性能 李杲 33 功能高分子薄膜;高分子形态结构及光谱研究 苏朝晖 34 生物纳米材料的可控组装;功能型蛋白的设计及组装王倩◇35 高分子复合材料研究 杨宇明36高分子薄膜光伏电池器件及物理;高分子薄膜电致发光二极管谢志元37 凝聚态高分子物理 门永锋 38 高分子形态与微结构;光电信息功能高分子薄膜 杨小牛 39 染料敏化太阳电池;软物质激光光谱学 王鹏 40 高分子胶体和界面的实验、理论和模拟 石彤非 41 高分子复杂体系结构转变与调控的多尺度模拟;高分子胶体玻璃及胶体晶体的设计与性质研究 孙昭艳 42 高分子材料的辐射改性技术研究;含氟聚合物功能材料结构与性能研究;特种压电材料的结构与性能 冉祥海 43 高分子材料的反应加工 姚占海 44软物质理论与模拟 Nakamura Issei45 高分子复杂流体相转变的统计力学 王振纲专业名称(代码) 研究方向081704应用化学 指导教师考试科目01 环境催化 杨向光 ①101政治②201英语一③302数学二④806普通物理(乙)或818化工原理或823普通化学02 储氢材料/电池材料;轻金属多孔复合材料 王立民 03 电化学科学仪器与软件;太阳能电池测试技术 董献堆 04 功能性聚酰亚胺纤维;高性能高分子多孔材料 邱雪鹏 05 功能高分子材料王震06过渡金属化合物、配合物的合成;双烯烃聚合及聚合过程的控制和跟踪;聚合反应动力学研究白晨曦07 功能性聚酰亚胺先进材料 杨正华△ (乙)专业名称(代码) 研究方向081704应用化学 指导教师 考试科目01 环境催化 杨向光 ①101政治②201英语一③302数学二④806普通物理(乙)或818化工原理或823普通化学(乙)02 储氢材料/电池材料;轻金属多孔复合材料 王立民 03 电化学科学仪器与软件;太阳能电池测试技术 董献堆 04 功能性聚酰亚胺纤维;高性能高分子多孔材料 邱雪鹏 05 功能高分子材料 王震 06 过渡金属化合物、配合物的合成;双烯烃聚合及聚合过程的控制和跟踪;聚合反应动力学研究 白晨曦 07 功能性聚酰亚胺先进材料 杨正华△2012年中南大学化学化工考研考试科目中南大学属于34所自主招生院校之一,中南大学化学化工很不错,选择报考中南大学化学化工的考生要注意他们院校的招生专业考试科目。
高等数学(经管类专业适用)-6.1.2A教学课件-PPT精选文档
《高等数学》 (经济类专业适用) 高等教育出版社
2019/2/23
问题
从 n 个不同元素中取出 mm ( n ) 个不同元素,一
m n (1 n ) (2 n ) [( n m 1 ) ] 排列数公式:P n
共有多少种排列?
问题
从 n 个不同元素中取出 n 个元素,共有多少种排列?
n n ( nn 1 ) (2 ) 2 1 n ! 全排列公式: P n
问题
从n 个不同元素中任取可以重复的 m 个元素,一共的排
列数 N 有多少种?
重复排列数:
《高等数学》 (经济类专业适用) 高等教育出版社
N nm
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2019/2/23
概念
一般地,从 n 个不同元素中取出 mm ( n ) 个元
n ( n 1 ) ( n 2 )( n m 1 ) 组合数公式: C m !
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《高等数学》 (经济类专业适用) 高等教育出版社
2019/2/23
现有1,3,5,9三个数字,求: 例1 (1)可以组成多少个没有重复数字的二位数? (2)任取两数字相加,可以得到多少个不同的和数? 问题引导 (3)可以组成多少个可重复数字的二位数? 在实际问题中如何 解 这三个问题不仅与2个数字有关,还要考虑与它们的 求解种数呢? 顺序是否无关,以及数字是否可重复. (1) (2) (3)
m 2 1 A PA ( ) n 6 3 m 3 1 B PB ( ) n 6 2
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例4
课程名称中英文对照参考表
外国文学作选读Selected Reading of Foreign Literature现代企业管理概论Introduction to Modern Enterprise Managerment电力电子技术课设计Power Electronics Technology Design计算机动画设计3D Animation Design中国革命史China’s Revolutionary History中国社会主义建设China Socialist Construction集散控制DCS Distributed Control计算机控制实现技术Computer Control Realization Technology计算机网络与通讯Computer Network and CommunicationERP/WEB应用开发Application & Development of ERP/WEB数据仓库与挖掘Data Warehouse and Data Mining物流及供应链管理Substance and Supply Chain Management成功心理与潜能开发Success Psychology & Potential Development信息安全技术Technology of Information Security图像通信Image Communication金属材料及热加工Engineering Materials & Thermo-processing机械原理课程设计Course Design for Principles of Machine机械设计课程设计Course Design for Mechanical Design机电系统课程设计Course Design for Mechanical and Electrical System 创新成果Creative Achievements课外教育Extracurricular education。
高等数学习题-第78章_
(1) ;(2) .
32、设 ,则 _________。
33. 偏导数fx(x0,y0),fy(x0,y0)存在是函数z=f(x,y)在点(x0,y0)连续的( )
A充分条件B必要条件
C充要条件D即非充分也非必要条件
34. 函数 在点(0,0)处的偏导数存在的情况是( ).
41. 计算函数z=xy在点(3,1)处的全微分.
42. 求函数z=xy在点(2,3)处,关于Δx=0.1,Δy=0.2的全增量与全微分.
43. 计算 (1.04)2.02的近似值.
44. 设有一个无盖圆柱形玻璃容器,容器的内高为20cm,内半径为4cm,容器的壁与底的厚度均为0.1cm,求容器外壳体积的近似值.
13、指出下列方程在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么几何图形?
(1)x-2y=1;(2)x2+y2=1;
(3) 2x2+3y2=1;(4)y=x2.
14、求下列旋转曲面的方程.
(1)将 面上的抛物线 绕 轴旋转一周;
(2)将 面上的椭圆 绕 轴旋转一周;
(3)将 面上的双曲线 分别绕 轴及 轴旋转一周;
求当x=4,y=3时,两种标号水泥的边际成本,并解释其经济含义.
64. 设某商品需求量Q与价格为p和收入y的关系为
Q=400-2p+0.03y.
求当p=25,y=5000时,需求Q对价格p和收入y的偏弹性,并解释其经济含义.
65. 求函数f(x,y)=x2(2+y2)+ylny的极值.
66、某工厂生产两种产品甲和乙,出售单价分别为10元与9元,生产 单位的产品甲与生产 单位的产品乙的总费用是
R(x,y)=15+14x+32y-8xy-2x2-10y2,
2023_年高考数学全国乙卷理科第20_题的6_种证法及推广
㊀㊀㊀㊀㊀㊀2023年高考数学全国乙卷理科第20题的种证法及推广2023年高考数学全国乙卷理科第20题的6种证法及推广Һ贾方正㊀(安徽省颍上第一中学,安徽㊀阜阳㊀236200)㊀㊀ʌ摘要ɔ对高考试题的研究既有利于教师明确考试重点和命题方向,也有利于学生总结解题技巧与方法,对高考备考具有非常积极的影响.2023年高考数学全国乙卷理科第20题 解析几何综合题考查了直线与圆锥曲线的位置关系及其运算,具有很好的区分度.笔者对其进行了深入探究,给出该题的6种证明方法,并对试题进行推广,希望借此帮助相关教师总结教法,帮助学生提高解题效率.ʌ关键词ɔ2023年高考;全国乙卷;解析几何;推广试题承担着对较高水平考生的鉴别任务,通过增加思维强度来选拔拔尖创新人才.2023年高考试题对考生的能力要求较高,呈现出 反刷题 的现象,要求考生从 机械刷题 和 题海战术 中跳出来.其中的全国乙卷理科第20题,以高等几何中的极点与极线为命题背景,注重对数学本质及其应用性的考查,具有很好的选拔功能.一㊁真题再现2023年高考数学全国乙卷理科第20题如下:已知椭圆C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的离心率是53,点A(-2,0)在C上.(1)求C的方程;(2)过点(-2,3)的直线交C于P,Q两点,直线AP,AQ与y轴的交点分别为M,N,证明:MN的中点为定点.二㊁证法探究(1)由题意得b=2,a2-b2a=53,解得a2=9.所以C的方程为y29+x24=1.下面重点探究第(2)问.证法1㊀如图所示,设P(x1,y1),M(0,yM),则直线AP:y=y1x1+2(x+2),yM=2y1x1+2.设Q(x2,y2),N(0,yN),同理可得yN=2y2x2+2.设直线PQ:y=k(x+2)+3,MN的中点D(0,yD),则yD=yM+yN2=k(x1+2)+3x1+2+k(x2+2)+3x2+2=2k+3(x1+2+x2+2)(x1+2)(x2+2).由y=k(x+2)+3,y29+x24=1ìîíïïï得(4k2+9)㊃(x+2)2+12(2k-3)(x+2)+36=0,所以(x1+2)+(x2+2)=12(3-2k)4k2+9,(x1+2)(x2+2)=364k2+9,所以yD=2k+3(x1+2+x2+2)(x1+2)(x2+2)=3.因此线段MN的中点为定点(0,3).证法2㊀设P(x1,y1),Q(x2,y2),显然k存在,故设直线PQ:y=k(x+2)+3.由y=kx+2k+3,y29+x24=1ìîíïïï得(4k2+9)x2+(16k2+24k)x+16k2+48k=0.因为Δ=-1728k>0,所以k<0.不妨令x1>x2,故x1=-8k2-12k+12-3k4k2+9,x2=-8k2-12k-12-3k4k2+9.㊀㊀㊀㊀㊀所以y1=-8k3-12k2+12k-3k4k2+9+2k+3=18k+27+12k-3k4k2+9,同理y2=18k+27-12k-3k4k2+9.于是直线AP:y=18k+27+12k-3k4k2+9-8k2-12k+12-3k4k2+9+2(x+2),化简,得y=18k+27+12k-3k18-12k+12-3k(x+2).令x=0,则点M的纵坐标为36k+54+24k-3k18-12k+12-3k.同理得点N的纵坐标为36k+54-24k-3k18-12k-12-3k.所以36k+54+24k-3k18-12k+12-3k+36k+54-24k-3k18-12k-12-3k=2ˑ(36k+54)(18-12k)+6ˑ288k2(18-12k)2+432k=6(4k2+9)4k2+9=6.因此线段MN的中点为定点(0,3).证法3㊀设P(x1,y1),M(0,yM),Q(x2,y2),N(0,yN),直线AP:y=k1(x+2),直线AQ:y=k2(x+2),显然k1,k2存在且k1ʂk2,则yM=2k1,yN=2k2.由y=k1(x+2),y29+x24=1,ìîíïïï得(4k21+9)x2+16k21x+16k21-36=0.故-2x1=16k21-364k21+9,x1=18-8k214k21+9,y1=36k14k21+9.同理x2=18-8k224k22+9,y2=36k24k22+9.因为直线PQ过点(-2,3),所以(y1-3)(x2+2)=(y2-3)(x1+2).所以36k14k21+9-3æèçöø÷18-8k224k22+9+2æèçöø÷=36k24k22+9-3æèçöø÷18-8k214k21+9+2æèçöø÷,化简,得[3-(k1+k2)](k1-k2)=0,即k1+k2=3.故2k1+2k22=3.因此线段MN的中点为定点(0,3).证法4㊀(同构方法)设T(-2,3),lAM:y=m(x+2),lAN:y=n(x+2),则M(0,2m),N(0,2n),MN的中点为(0,m+n),问题等价于证明m+n为定值.联立y=m(x+2)与y29+x24=1,得P18-8m24m2+9,36m4m2+9æèçöø÷.同理得Q18-8n24n2+9,36n4n2+9æèçöø÷,ʑTPң=364m2+9,3(12m-4m2-9)4m2+9æèçöø÷.同理TQң=364n2+9,3(12n-4n2-9)4n2+9æèçöø÷.由T,P,Q三点共线,得到12m-4m2-9=12n-4n2-9,即(m-n)(m+n-3)=0,又mʂn,所以m+n=3.所以线段MN的中点是(0,3),即MN的中点为定点.点评:上述证法用了同构的思想,看起来过程比较多,实际上只算了点P和TPң,而点Q与TQң都是类比得到的.同时可知,MN的中点为定点等价于kAP+kAQ为定值.证法5㊀(曲线系方法)设lAP:y=m(x+2),lAQ:y=n(x+2),则M(0,2m),N(0,2n),MN的中点为(0,m+n),问题等价于证明m+n为定值.经过A,P,Q三点的二次曲线方程为[y-m(x+2)][y-n(x+2)]=0,即y2-(m+n)(x+2)y+mn(x+2)2=0.椭圆方程y29+x24=1可化为y2=94(2+x)(2-x),消去y2,得94(x+2)(2-x)-(m+n)(x+2)y+mn(x+2)2=0,再消去一个(x+2),得94(2-x)-(m+n)y+mn㊃(x+2)=0,这就是直线PQ的方程,又直线PQ经过(-2,3),所以9-3(m+n)=0,即m+n=3.所以线段MN的中点是(0,3),即MN的中点为定点.点评:该题的本质是证明直线AP,AQ的斜率之和为定值,而二次曲线系是证明两直线的斜率之和为定值的 利器 .证法6㊀(齐次化方法)易知直线AP,AQ的斜率存在,分别设为k1,k2,则lAP:y=k1(x+2),lAQ:y=k2(x+2),令y=0得M(0,2k1),N(0,2k2),所以线段MN的㊀㊀㊀㊀㊀㊀中点坐标为(0,k1+k2).下面证明k1+k2为定值.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则lPQ:y=k(x+2)+3.y29+x24=1⇒9(x+2-2)2+4y2=36⇒9(x+2)2-36(x+2)+4y2=0.将其与y=k(x+2)+3联立,得9(x+2)2-12(x+2)[y-k(x+2)]+4y2=0,即(9+12k)(x+2)2-12(x+2)y+4y2=0,即4yx+2æèçöø÷2-12yx+2æèçöø÷+(9+12k)=0,由韦达定理得y1x1+2+y2x2+2=3.又因为k1+k2=y1x1+2+y2x2+2,所以k1+k2=3,即线段MN的中点为定点(0,3).点评:由于线段MN的中点坐标为(0,k1+k2),所以解题的关键是证明k1+k2是定值.而k1+k2=y1x1+2+y2x2+2,所以考虑将x+2作为整体,构造齐次方程,然后利用韦达定理求解,这样可以简化运算,提高解题效率.三㊁试题推广推广1㊀已知椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(a>0,b>0),A(-a,0),过点(-a,b)的直线交曲线C于P,Q两点,直线AP,AQ与y轴交于M,N两点,证明:MN的中点为(0,b).类似可得:推广2㊀已知椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(a>0,b>0),B(0,b),过点(-a,b)的直线交曲线C于P,Q两点,直线BP,BQ与x轴交于M,N两点,证明:MN的中点为(-a,0).设T(-a,b),A(-a,0),B(0,b),则TA,TB是椭圆的两条切线,即AB是切点弦.而MN的中点为定点(0,b)等价于kAP+kAQ=2kAB.于是可将问题再推广如下:推广3㊀已知椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(a>0,b>0),顶点A(-a,0).点T是直线x=-a上任意一点,过点T作椭圆的两条切线,切点分别为A,B,过点T作直线交C于P,Q两点.设直线AP,AQ,AB的斜率分别为k1,k2,k,证明:k1+k2=2k.证明㊀设T(-a,t),则AB是T的切点弦所在的直线,方程为-axa2+tyb2=1,故k=b2ta.设lAP:y=k1(x+a),联立x2a2+y2b2=1,y=k1(x+a),{可得(b2+a2k21)x2+2a3k21x+a4k21-a2b2=0.由xA㊃xP=a4k21-a2b2b2+a2k21及xA=-a,得xP=ab2-a3k21b2+a2k21,故Pab2-a3k21b2+a2k21,2ab2k1b2+a2k21æèçöø÷.设lPQ:y=m(x+a)+t,将点P代入,化简,得a2tk21-2ab2k1+2ab2m+b2t=0,同理得a2tk22-2ab2k2+2ab2m+b2t=0,所以k1和k2是方程a2tx2-2ab2x+2ab2m+b2t=0的两个根,所以k1+k2=2ab2a2t=2b2at.因此,k1+k2=2k.四㊁试题再推广把试题进行进一步推广可得到如下更一般的情形,其证明留给读者完成.设T是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)外一定点,TA,TB是椭圆的两条切线,其中A,B是切点.过T的直线与椭圆C交于P,Q两点.设直线AP,AQ,AB的斜率分别为k1,k2,k,证明:k1+k2=2k.结㊀语试题的解决过程也是考生经历猜想和假设㊁转化和化归㊁实验和论证等问题研究的过程.教师通过对高考试题进行深度研究,可促进自身的专业发展,从而更好地服务于教学.该题虽然证明的是线段的中点为定点,但实质是证明直线的斜率之和为定值.对于定值问题,解决的方法主要有常规方法㊁同构方法㊁曲线系方法㊁齐次化方法等.有兴趣的读者还可以对该题的高等数学背景进行深度探究,然后基于高等数学背景对该题进行推广,还可以对该题进行改编,甚至基于极点与极线命制出高质量的原创题.ʌ参考文献ɔ[1]罗文军.多视角切入,巧方法运用 2023年高考数学全国乙卷理科第20题的探究[J].广东教育(高中版),2023(9):20-23.[2]李歆.数学问题:因变化而精彩 对一道经典三角题的变式探究[J].中学数学,2013(11):21-23.[3]田甜,曹文栋,李誉.高考试题中数学表征转换水平比较研究 以新高考Ⅰ卷㊁全国乙卷及北京卷为例[J].内江师范学院学报,2023,38(8):6-12.[4]佟俊姬.夯实基础知识,落实立德树人2023年高考数学全国乙卷评析[J].数学之友,2023,37(13):89-91.。
高等数学(函数与极限)习题及解答
练习1-1(2)∕(∕n5S)W)∙4.设映射f ιX→Y y若存在一个映射g.Y→X.使S-f=I x 5 f-g=ιγ,其中《、“分别是x、y上的恒等映射,即对于每一个xwX,有ZYXnc;对于每一个ywlζ有b>⅛=y.证明:/是双射, 且g是/的逆映射:g=f~x.5.设映射f .X→Y,A^X.证明: (Ir I m)=>4;(2)当/是单射时,有Γ1(∕(^)M・6.求下列函数的自然定义域: (l)y=V3x+2 ;⑶丿=丄-JI-X2 ;X(5) j∕=sin √x;(7)戶arcsing - 3);(8)>,=√3-x+arctan—;⑼TI如);解±x+l>O得函数的定义域P=(-19+∞X1(IO)尸尹.解±x≠0得函数的定义域6(-00, 0)u(0,+00).7.下列各题中,函数、冷)和蛉)是否相同?为什么? (l)∕(x)≡lgx2,4g(x)≡21gx;解不同.因为定义域不同.⑵/(兀)=七g(x)=V?;解不同.因为对应法则不同,无<0时,g(x)=-兀.⑶f(x)=l∕^(X)=X^[x^i ;解和同.因为定义域、对应法则均相相同.(4MX)=I, g(x)=sec2x-tai^x .解不同.因为定义域不同.&设卩(兀)=<兀一3疗一求久石),仅牙)5 0(-牙}9吠-2)9并作出函数片於)的图形.9・试证下列函数在指定区间内的单调性:⑴p=⅛gi);(2)y=x+lnx, (0, +□o).io.设yu)为定义在(-M内的奇函数,若沧)在(0』内单调埠加,证明金)在(-/,0)内也单调增加・11.设下面所考虑的函数都是定义在对称区间上的,证I(1)两个偶函数的和是偶函数,两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数,两个奇函数的乘积是偶函数偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明设F(x)=f(xyg(x∖如果Λr)和能)都是偶函数,则F(-x M-兀)∙g(-x )∕X)∙g(x)=F(Q 所以Fa)为偶函数,即两个偶函数的积是偶函数.如果压)和ME都是奇函数7则F(→)=∕(-x) g(-Λ)=[√{x)] [-g(x)]√(x)∙g(x)=F(x)9 所以Fa)为偶函数,即两个奇函数的积是偶函数・如果用)是偶函数,而g(x)是奇函数,则F(-x>√(-兀)g(-xM>)[-曲)]=√(H)於)=-F(Q 所以F(Q为奇函数,即偶函数与奇函数的积是奇函数.12.下列函数中哪些是偶函数,哪些是奇函数,哪些既非奇目数又菲偶函数?{l)y=x2(l-x2);解因为Λ→X→)2[l-(→)2]^x2( 1 →2M X),所以√(x)是偶函I-X2.l+x2 9解因为/(一X)=走⅛g,所畑)是偶函{2)y=3x2-x3;⑶尸(4]yw(x-I)(X+1);(5)y=sinx-cos x+1;解由∕{-x)=SirI(-工)-cos(-x)+1 =-sinx-cos x+1 可见√(v)既? 数又非偶函数,(6)尸¥13.下列各函数中哪些是周期函数?对于周期函数,指出其周期:(l)y=cos(x-2);(2)y=cos 4x;(3)y=l+sinπv;(4]y=xcosx;(5)y-siι∕x.14.求下列函数的反函数: (l)y=Vjc+l ;解由尸炖得⑵尸l—x. 1+x ,解由y=2sin Sx 得1 - yX=—arcsm⅛-.3 2所以y=2sinlr 的反函数为解由尸昙得一 1一丿X ~u7,所以v=⅛的反函数为(^y=^±^(ad-bc≠O); cx+a解由P=空毘得CX+d所以空卑的反函数为V =Ir一 dx+b(5)尸 l+ln*+2); 解 由*l+ln*+2)得所以y=l 十ln&十2)的反函数为 y=e x ^l -2.解由少=莞?得 X=Iog2 F L , ι-y所以尸丄的反函数为 2x +lP=Iog215. 设函数金)在数集X 上有定义 试证:函数庄)在X 上有 界的充分必要条件是它在X 上既有上界又有下界・⑹尸 2x 27+l证明先证必要性.设函数TIH)在X 上有界,则存在正数M 使 ∖f(x)∖≤M 9 即-Mg)≤M这就证明了心)在X 上有下界-M 和上界M. 再证充分性设函数刃>)在X 上有下界Kl 和上界心,即 KIg)≤ K 2. 取M=UmX{Kι∣,KT},则-M<K A ^∖X )<K 1<M,即Iz(X)KM. 这就证明了 Λχy^x±有界. 16. 在下列各题中,求由所给函数复合而成的函数,并求这 函数分别对应于给定自变量值Xi 和Xi 的函数值:解 y=sin2v, I =Sin(2∙-^)=Sm^=^(3) y=y∕^i 9 U ==I+x 9 Xl=IS 兀2= 2; 解 y=y∕l+x 2 9 jμ1=71+l 2 =V2 , y 2 =∖∕l + 22 =√5 a_兀71 ,X l=P,j 2=siπ(2∙^)=sι∩y=L(I)^=W 29 M=Sinx 5 x 16(4)Jfee M9u=x29 Xi =0, x2=l;解y = eχ25y↑ =e°2 =15j∕2=^I2 =e-n II(5)y=u , , xι=l9 %2=-l.解2j5yι=e2,1=e2, j2=^2^"1^=e^2β17.设沧)的定义域D=G U求下列各函数的定义域: (Iw);解由O≤r2≤l得IXld⑵.AsiiK);解由OSSinXSl得2nπ≤x<(2n+1 )π(∕ι=0, ±1, ±2・・・), 所以函数爪血)的定义域为⑵忆(2H+1)∕Γ](H=O? +1, 土2…)・⑶Λ*)(QO);所以函数/(/)的定义域为解由O≤τ+QSl得-a≤x< 1 -Zi, 所以函数βx+a)的定义域为[-a, ∖-a∖.⑷刃χ+d)t∕H)(U〉o)・解由O≤τ+6r≤ l 且O≤x-α≤l 得: '"ι0<π<y 时,a≤x<∖-a∖ 当α>*时,无解.因此当0<a≤^时函数的定义域为阪1-H当时函数无意义f 1 ∣χ∣<l1& 设f(x)=∖ 0 ∖x∖=l9g(x)=e s9求√[g(x)]^tl g[∕(x)]5并作[-1 ∖x∖>∖出这两个函数的图形.1 解/WA O-1■I 护∣<1 f 1I5即/Ig(χ)]T OW(x)]=RE={ e0x∣<l e心,即M∕Cv)]=j1 x∣>l0 IL IL < => I-IiiIIH^ XXXx>0x=Q.19.已知水渠的横断面为等腰梯形,斜 角歼40。
全国大学生数学竞赛介绍
简介:全国大学生数学竞赛旨在培养学生们对高等数学的热爱,增加高等院校教师和学生对高等数学的重视程度。
由于是由原北京市数学竞赛发展而来,2009年举办的全国首届大学生数学竞赛也是第二十届北京市数学竞赛。
编辑本段|回到顶部具体介绍:竞赛组委会由各大高校教职员工和致力于高等数学教学的教研员组成,主要吸收了在北京市举办了二十届的数学竞赛经验,希望能够办成与全国大学生数学建模竞赛,相同规模影响的比赛。
2008年,12月27日—28日,全国高校大学生数学竞赛筹备会议在北京航空航天大学新主楼会议中心第四会议室举行。
中国数学会副理事长巩馥洲,中国数学会秘书长、北京数学会理事长王长平以及来自北京大学、复旦大学、北京航空航天大学、国防科技大学等国内十余所著名大学的数学学院院长(系主任)参加会议。
我校郑志明副校长、教务处陈强处长出席了会议。
会议开幕式由中国数学会普及委员会常务副主任高宗升主持。
会议上中国数学会秘书长王长平发表讲话,指出举办全国数学竞赛意义重大,有利于发现和选拔优秀人才。
办好竞赛不应以赢利为目的,可以借鉴北京市高校大学数学竞赛的成功经验。
各与会人员集思广益对全国高校大学生数学竞赛的组织工作、参赛对象、竞赛内容、报名方法、奖励办法等方面对工作进行了详细研究,制定了具体办法。
希望通过此竞赛促进高校数学课的教学改革和建设,激发在校大学生学习数学的热情,促进大学对创新人才的选拔和培养。
会议最终决定:全国高校第一届大学生数学竞赛将于2009年11月在全国高校同时举行。
之后各大高校都积极准备,组织相关学生进行暑假培训。
更有甚者还开了动员大会进行誓师。
下图为桂林电子科技大学数计学院的动员大会图:编辑本段|回到顶部参赛对象:在校大学生。
竞赛分为三个组别:甲组:数学专业组,含数学与应用数学、信息与计算科学专业的学生。
乙组:非数学专业组。
丙组:经济类(北京赛区特有组别)。
数学专业学生不得参加非数学专业组的竞赛。
编辑本段|回到顶部竞赛内容:甲组:《数学分析》(50%)、《高等代数》(35%)、《解析几何》(15%)。
(整理)中科院考研高等数学(甲)和高等数学(乙)考试大纲.
中科院考研高等数学(甲)和高等数学(乙)考试大纲.txt我这人从不记仇,一般有仇当场我就报了。
没什么事不要找我,有事更不用找我!就算是believe中间也藏了一个lie!我那么喜欢你,你喜欢我一下会死啊?我又不是人民币,怎么能让人人都喜欢我?中科院考研高等数学(甲)和高等数学(乙)考试大纲高等数学(甲)和高等数学(乙)考试大纲一、考试性质中国科学院研究生院硕士研究生入学高等数学考试是为招收理学非数学专业硕士研究生而设置的具有选拔功能的水平考试。
它的主要目的是测试考生的数学素质,包括对高等数学各项内容的掌握程度和应用相关知识解决问题的能力。
考试对象为参加全国硕士研究生入学高等数学考试的考生。
二、考试的基本要求要求考生比较系统地理解高等数学的基本概念和基本理论,掌握高等数学的基本方法。
要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。
三、考试方法和考试时间高等数学考试采用闭卷笔试形式,试卷满分为 150 分,考试时间为 180 分钟。
四、试卷分类及适用专业根据各学科、专业对硕士研究生入学所应具备的数学知识和能力的要求不同,将高等数学试卷分为高等数学(甲)、高等数学(乙)。
每种试卷适用的招生专业如下:高等数学(甲)适用的招生专业:理论物理、原子与分子物理、粒子物理与原子核物理、等离子体物理、凝聚态物理、天体物理、天体测量与天体力学、空间物理学、光学、物理电子学、微电子与固体电子学、电磁场与微波技术、物理海洋学、海洋地质、气候学等专业。
高等数学(乙)适用的招生专业:大气物理学与大气环境、气象学、天文技术与方法、地球流体力学、固体地球物理学、矿物学、岩石学、矿床学、构造地质学、第四纪地质学、地图学与地理信息系统、自然地理学、人文地理学、古生物学与地层学、生物物理学、生物化学与分子生物学、物理化学、无机化学、分析化学、高分子化学与物理、地球化学、海洋化学、海洋生物学、植物学、生态学、环境科学、环境工程、土壤学等专业。
高等数学(乙) 中国科学院大学硕士研究生入学考试统一命题科目试题
中国科学院大学2020年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称:高等数学(乙)考生须知:1.本试卷满分为150分,全部考试时间总计180分钟。
2.所有答案必须写在答题纸上,写在试题纸上或草稿纸上一律无效。
一、 选择题 (本题满分50分,每小题5分。
请从题目所列的选项中选择一个正确项填充空格。
每题的四个备选项中只有一个是正确的,不选、错选或多选均不得分。
请将你的选择标清题号写在考场发的答题纸上,直接填写在试题上无效。
)(1)设sin 2,0() =,0x e x x f x ax b x ⎧≤⎨+>⎩ 处处连续,处处可导。
则,a b 取值为( )。
(A )2,0a b == (B )1,0a b == (C )2,1a b == (D )0,0a b ==(2) 下列一元函数积分公式中,错误的是( )。
(A )2200(sin )d (cos )d f x x f x x ππ=⎰⎰ (B )2200(sin ,cos )d (cos ,sin )d f x x x f x x x ππ=⎰⎰ (C )200(sin )d 2(sin )d f x x f x x ππ=⎰⎰ (D )200(cos )d 2(cos )d f x x f x x ππ=⎰⎰ (3)10⎰( )。
(A )π (B )2π (C )3π (D )4π (4)下列级数不收敛的是( )。
(A )1121543n n n n -+∞=+∑ (B)1n ∞=∑ (C )1231n n n ∞=+∑ (D )1cos (||1)n n q nx q ∞=<∑科目名称:高等数学(乙)第1页 共4页(5)下列说法完全正确的是( )。
(A )令1(1), 0() 1 , 0x x x f x x ⎧⎪+≠=⎨⎪=⎩ ,则0为()f x 的第二类间断点。
(B )令2()lim ,1nxnxn x x e f x x R e →+∞+=∈+,则()f x 为连续函数。
考研数学二(高等数学)历年真题试卷汇编29(题后含答案及解析)
考研数学二(高等数学)历年真题试卷汇编29(题后含答案及解析) 题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
1.甲乙两人赛跑,计时开始时,甲在乙前方10(单位:米)处,图中实线表示甲的速度曲线v=v1(t)(单位:m/s),虚线表示乙的速度曲线v=v2(t),三块阴影部分的面积的数值依次为10,20,3。
计时开始后乙追上甲的时刻记为t0(单位:s),则( )A.t0=10。
B.15<t0<20。
C.t0=25。
D.t0>25。
正确答案:C解析:从0到t0时刻,甲、乙的位移分别为v1(t)dt和v2(t)dt。
要使乙追上甲,则需[v2(t)-v1(t)]dt=10。
由定积分的几何意义可知∫025[v2(t)-v1(t)]dt=20-10=10,则t0=25。
故选C。
知识模块:一元函数积分学2.设f(x)=x2(x-1)(x-2),则f’(x)的零点个数为( )A.0。
B.1。
C.2。
D.3。
正确答案:D解析:因为f(0)=f(1)=f(2)=0,由罗尔定理知有ξ1∈(0,1),ξ2∈(1,2)使f’(ξ1)=f’(ξ2)=0,所以f’(x)至少有两个零点。
又f’(x)中含有因子x,故x=0也是f’(x)的零点,D正确。
知识模块:中值定理填空题3.一根长为1的细棒位于x轴的区间[0,1]上,若其线密度ρ(x)=-x2+2x+1,则该细棒的质心坐标=_______。
正确答案:11/20解析:质心横坐标其中∫01xρ(x)dx=∫01x(-x2+2x+1)dx=(-)|01=11/12,∫01ρ(x)dx=∫01(-x2+2x+1)dx=(-+x2+x)|01=5/3,所以得知识模块:一元函数积分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
4.设函数f(x)=,x∈[0,1],定义函数列:f1(x)=f(x),f2(x)=f[f1(x)],…,fn(x)=f[fn-1(x)],…。
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高等数学(乙)一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形数列极限与函数极限的概念无穷小和无穷大的概念及其关系无穷小的性质及无穷小的比较极限的四则运算极限存在的单调有界准则和夹逼准则两个重要极限:,函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质函数的一致连续性概念考试要求1. 理解函数的概念,掌握函数的表示法,并会建立简单应用问题中的函数关系式。
2. 理解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。
掌握判断函数这些性质的方法。
3. 理解复合函数的概念,了解反函数及隐函数的概念。
会求给定函数的复合函数和反函数。
4. 掌握基本初等函数的性质及其图形。
5. 理解极限的概念,理解函数左极限与右极限的概念,以及函数极限存在与左、右极限之间的关系。
6. 掌握极限的性质及四则运算法则,会运用它们进行一些基本的判断和计算。
7. 掌握极限存在的两个准则,并会利用它们求极限。
掌握利用两个重要极限求极限的方法。
8. 理解无穷小、无穷大的概念,掌握无穷小的比较方法,会用等价无穷小求极限。
9. 理解函数连续性的概念(含左连续与右连续),会判别函数间断点的类型。
10. 掌握连续函数的运算性质和初等函数的连续性,熟悉闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理等),并会应用这些性质。
二、一元函数微分学考试内容导数的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线基本初等函数的导数导数的四则运算复合函数、反函数、隐函数的导数的求法参数方程所确定的函数的求导方法高阶导数的概念高阶导数的求法微分的概念和微分的几何意义函数可微与可导的关系微分的运算法则及函数微分的求法一阶微分形式的不变性微分在近似计算中的应用微分中值定理洛必达(L’Hospital)法则泰勒(Taylor)公式函数的极值函数最大值和最小值函数单调性函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘考试要求1. 理解导数和微分的概念,理解导数与微分的关系,理解导数的几何意义,会求平面曲线的切线方程和法线方程,了解导数的物理意义,会用导数描述一些物理量,掌握函数的可导性与连续性之间的关系。
2. 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则,掌握基本初等函数的求导公式。
了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性,会求函数的微分。
3. 了解高阶导数的概念,会求简单函数的n阶导数。
4. 会求分段函数的一阶、二阶导数。
5. 会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数6. 会求反函数的导数。
7. 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理。
8. 理解函数的极值概念,掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法,掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。
9. 会用导数判断函数图形的凹凸性,会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线,会描绘函数的图形。
10. 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。
三、一元函数积分学考试内容原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分的概念和基本性质定积分中值定理变上限定积分定义的函数及其导数牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分广义积分(无穷限积分、瑕积分)定积分的应用考试要求1. 理解原函数的概念,理解不定积分和定积分的概念。
2. 熟练掌握不定积分的基本公式,掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理。
掌握牛顿-莱布尼茨公式。
掌握不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法。
3. 会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。
4. 理解变上限定积分定义的函数,会求它的导数。
5. 理解广义积分(无穷限积分、瑕积分)的概念,掌握无穷限积分、瑕积分的收敛性判别法,会计算一些简单的广义积分。
6. 掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力)及函数的平均值。
四、向量代数和空间解析几何考试内容向量的概念向量的线性运算向量的数量积、向量积和混合积两向量垂直、平行的条件两向量的夹角向量的坐标表达式及其运算单位向量方向数与方向余弦曲面方程和空间曲线方程的概念平面方程、直线方程平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件点到平面和点到直线的距离球面母线平行于坐标轴的柱面旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程常用的二次曲面方程及其图形空间曲线的参数方程和一般方程空间曲线在坐标面上的投影曲线方程考试要求1. 熟悉空间直角坐标系,理解向量及其模的概念。
2. 掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积),了解两个向量垂直、平行的条件。
3. 理解方向数与方向余弦、向量的坐标表达式,掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。
4. 掌握平面方程和空间直线方程及其求法。
5. 会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角,并会利用平面、直线的相互关系(平行、垂直、相交等)解决有关问题。
6. 会求空间两点间的距离、点到直线的距离以及点到平面的距离。
7. 了解空间曲线方程和曲面方程的概念。
8. 了解空间曲线的参数方程和一般方程。
了解空间曲线在坐标平面上的投影,并会求其方程。
9. 了解常用二次曲面的方程、图形及其截痕,会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。
五、多元函数微分学考试内容多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限和连续有界闭区域上多元连续函数的性质多元函数偏导数和全微分的概念及求法多元复合函数、隐函数的求导法高阶偏导数的求法空间曲线的切线和法平面曲面的切平面和法线方向导数和梯度二元函数的泰勒公式多元函数的极值和条件极值拉格朗日乘数法多元函数的最大值、最小值及其简单应用考试要求1. 理解多元函数的概念、理解二元函数的几何意义。
2. 理解二元函数的极限与连续性的概念及基本运算性质,了解有界闭区域上连续函数的性质。
3. 理解多元函数偏导数和全微分的概念了解二元函数可微、偏导数存在及连续的关系,会求偏导数和全微分。
4. 掌握多元复合函数偏导数的求法。
5. 掌握隐函数的求导法则。
6. 理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。
7. 理解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念,会求它们的方程。
8. 了解二元函数的二阶泰勒公式。
9. 理解多元函数极值和条件极值的概念,掌握多元函数极值存在的必要条件,了解二元函数极值存在的充分条件,会求二元函数的极值,会用拉格朗日乘数法求条件极值,会求简单多元函数的最大值、最小值,并会解决一些简单的应用问题。
六、多元函数积分学考试内容二重积分、三重积分的概念及性质二重积分与三重积分的计算和应用两类曲线积分的概念、性质及计算两类曲线积分之间的关系格林(Green)公式平面曲线积分与路径无关的条件已知全微分求原函数两类曲面积分的概念、性质及计算两类曲面积分之间的关系高斯(Gauss)公式斯托克斯(Stokes)公式散度、旋度的概念及计算曲线积分和曲面积分的应用考试要求1. 理解二重积分、三重积分的概念,掌握重积分的性质。
2. 熟练掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标),会计算三重积分(直角坐标、柱面坐标、球面坐标),掌握二重积分的换元法。
3. 理解两类曲线积分的概念,了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。
4. 掌握计算两类曲线积分的方法。
5. 掌握格林公式,掌握平面曲线积分与路径无关的条件,会求全微分的原函数。
6. 了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系,掌握计算两类曲面积分的方法,会用高斯公式、斯托克斯公式计算曲面、曲线积分。
7. 了解散度、旋度的概念,并会计算。
8. 会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量(平面图形的面积、曲面的面积、物体的体积、曲线的弧长、物体的质量、重心、转动惯量、引力、功及流量等)。
七、无穷级数考试内容常数项级数及其收敛与发散的概念收敛级数的和的概念级数的基本性质与收敛的必要条件几何级数与p级数及其收敛性正项级数收敛性的判别法交错级数与莱布尼茨定理任意项级数的绝对收敛与条件收敛函数项级数的收敛域、和函数的概念幂级数及其收敛半径、收敛区间(指开区间)和收敛域幂级数在其收敛区间内的基本性质简单幂级数的和函数的求法泰勒级数初等函数的幂级数展开式函数的幂级数展开式在近似计算中的应用函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数狄利克雷(Dir ichlet)定理函数在[-l,l]上的傅里叶级数函数在[0,l]上的正弦级数和余弦级数。
考试要求1. 理解常数项级数的收敛、发散以及收敛级数的和的概念,掌握级数的基本性质及收敛的必要条件2. 掌握几何级数与p级数的收敛与发散的条件。
3. 掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法,会用根值判别法。
4. 掌握交错级数的莱布尼茨判别法。
5. 了解任意项级数的绝对收敛与条件收敛的概念,以及绝对收敛与条件收敛的关系。
6. 了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。
7. 理解幂级数收敛半径的概念,并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。
8. 了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质(和函数的连续性、逐项微分和逐项积分),会求一些幂级数在收敛区间内的和函数,并会由此求出某些数项级数的和。
9. 了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。
10. 掌握一些常见函数如e x、sin x、cos x、ln(1+x)和(1+x)α等的麦克劳林展开式,会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。
11. 会利用函数的幂级数展开式进行近似计算。
12.了解傅里叶级数的概念和狄利克雷定理,会将定义在[-l,l]上的函数展开为傅里叶级数,会将定义在[0,l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数。
八、常微分方程考试内容常微分方程的基本概念变量可分离的微分方程齐次微分方程一阶线性微分方程伯努利(Bermoulli)方程全微分方程可用简单的变量代换求解的某些微分方程可降价的高阶微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程欧拉(Euler)方程微分方程的简单应用考试要求1. 掌握微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念。
2. 掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。
3. 会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程,会用简单的变量代换解某些微分方程。
4. 会用降阶法解下列方程:y(n)=f(x),y”=f(x,y’)和y”=f(y,y’)5. 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。