2010高考数学易错题解题方法大全(5)

2010高考数学易错题解题方法大全（5）
【范例1】已知命题:p R x ∈∃，022
≤++a ax x ．若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．10><a a 或 B. 10≥≤a a 或 C. 10≤≤a D. 10<<a
答案：D
【错解分析】此题容易错选为B ，错误的原因是没有很好的利用原命题与其否命题的关系。

【解题指导】命题p 是假命题⇔┓p 是真命题⇔对任意x R ∈，2
20x ax a ++>恒成立
244001a a a ⇔∆=-<⇔<<.
【练习1】若[]2,5x ∈“或{}
14x x x x ∈<>或”是假命题，则x 的取值范围是（ ） A ．()()+∞⋃∞-,51, B.[)5,4 C. [)12， D. (]()+∞⋃∞-,54,
【范例2】若函数)(2
12)(为常数a k k x f x
x
⋅+-=在定义域上为奇函数，则的值为k （ ） A ． 1 B. 1- C. 1± D. 0 答案：C
【错解分析】此题容易错选为A ，错误原因是直接利用了0)0(=f ，万万不可。

【解题指导】利用定义：0)()(=+-x f x f ，22()()1212x x
x x
k k f x f x k k ----+-=++⋅+⋅
仔细化简到底。

【练习2】已知函数)(x f 是定义在)3,3(-上的奇函数，当30<<x 时，)(x f 的图象如图所示，则不等式/
()cos 0f x x <的解集是 （ ）
A ．)3,2
(
)1,0()2
,3(π
π
-- B ．)3,2
(
)1,0()1,2
(π
π
--
C ．(
,2)(2,)22
π
π
--
D ． (0,
)(,0)2
2
π
π
-
【范例3】右图是由所输入的x 值计算y 值的一个算法程序，若x 依次取数列2
4n
n
（n ∈*N ，n ≤2009）的项，则所得y 值中的最小值为（ ）
A ．25 B.17 C.
20 D. 26
答案：B
【错解分析】此题容易错选为A ，错误原因是没有理解x 的取值范围。

【解题指导】44
42≥+=+n n n n ，又⎩⎨⎧≥<+=55512x x
x x y 作出其图象，观察单调性可知当4=x 时最小17.
本题在新的情境中考查学生算法语言，是比较好的创新能力试题，值得重视
.
【练习3】根据如图所示的伪代码,可知输出的结果T 为（ ）A ．624 B.625
C.676
D.1275 【范例4】当1a <时,12)(--='a x x f 且a f =)0(,则不等式()0f x <的解集是（ ）
A ． ⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧+<
21a x x B. {}
1x x a << C. {}
1><x a x x 或 D. {|1}x a x <<
答案：D
【错解分析】此题容易错选为B ，错误原因是忘记了条件1a <。

【解题指导】0))(1()1()(2
<--=++-=a x x a x a x x f .
【练习4】曲线ln y x x =在(,)M e e 处的切线在,x y 轴上的截距分别为,a b ，则a b +=（ ）
A ．32
e -
B ．12
e -
C ．
12
e D ．
32
e 【范例5】利用计算机在区间()0,1上产生两个随机数a 和b ，则方程b
x x
=-有实根的概率为（ ）
A ．0
B ．
1
2 C ．4
3 D ．1 Read x
If x<5 Then
y ← x 2+1
Else
y ←5x
Print y
T ←1
I ←3
While I<50
T ←T +I
I ←I +2 End While
Print T
答案：B
【错解分析】此题容易出现的错误很多，主要是对方程b
x x
=-有实根进行有效的转化，和利用作图计算几何概型理解不好。

【解题指导】方程b x x
=有实根等价于022
=+-b x a x 的判别式0≥∆，即b a ≥ 由⎩⎨
⎧<<<<1
01
0b a ，可作出正方形，应满足的条件为b a ≥，画图计算面积之比.
【练习5】一只蚂蚁在边长分别为5，12，13的三角形的边上随机爬行，则其恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率为（ ） A.
54 B. 53 C. 60π D. 3
π 【范例6】若数列{}{},n n a b 、的通项公式分别是a a n n ⋅-=+2007
)
1(，n
b n n 2008
)1(2+-+=，
且n n b a <，对任意n N *
∈恒成立，则常数a 的取值范围是（ ）
A.[)1,2-
B. [)+∞-,2
C. []1,2-
D. ()1,∞-
答案：A
【错解分析】此题容易错在不知道讨论奇偶性，以及n 是偶数时，要从2开始。

【解题指导】当n 是奇数时，由n n b a <得1
2a n
<-
，1a <； 当n 是偶数时，由n n b a <得1
2a n
-<+，2,2a a -≤≥-， 因此常数a 的取值范围是[)1 ,2-.
【练习6】已知数列{}n a 的通项公式是n n a n λ+-=2
（其中*∈N n ）是一个单调递减数
列，则常数λ的取值范围（ ）
A. （-∞，1）
B. （-∞，2）
C. （-∞，0）
D. （-∞，3）
【范例7】曲线)4
cos()4
sin(2π
π
-
+
=x x y 和直线在2
1
=
y 在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为 ,3,2,1P P P ,则4,2P P 等于 . 答案： π
【错解分析】此题容易错选为
2
π
，错误原因是想当然的认为2,4P P 是半个周期。

【解题指导】x y 2sin 1+=，作出函数图象，知π==T P P 4,2.
【练习7】函数x x f 2sin 2
1
)(=
，对于任意的x ∈R ，都有)()()(21x f x f x f ≤≤，则21x x -的最小值为 .
【范例8】幂函数α
x y =，当α取不同的正数时，在区间[]1,0上它们的图像是一族美丽的曲线（如图）．设点)1,0(),0,1(B A ,连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂
函数β
αx y x y ==,的图像三等分，即有.NA MN BM ==那么，
αβ= .
答案：1
【错解分析】此题容易错很多，错误的主要原因是没有考虑到借助与点M ，
N 的坐标去求两个幂函数β
αx y x y ==,。

【解题指导】因为M ，N 为A ，B 的三等分点，所以)3
1,32(),32
,31(N M 【练习8】如果幂函数1
22
)33(--+-=m m
x m m y 的图象不过原点，则m 的取值是 .
【范例9】2
{|3100}A x x x =-->，{|121}B x a x a =+≤≤-，U R =，且A C B U ⊆，求实数a 的取值范围 . 答案：(,3]-∞
【错解分析】此题容易错填[]3,3-，错误原因是漏掉考虑A 为空集的情况。

【解题指导】2{3100}{25}U C A x
x x x x =--≤=-≤≤
121U B C A a a ⊆⇔+>-或21215a a -≤+≤-≤3a ⇔≤
【练习9】设0)1)((:;1|34:|≤---≤-a x a x q x p ，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 .
【范例10】设双曲线221x y -=
的两条渐近线与直线x =围成的三角形区域（包含边界）为D ，点(,)P x y 为D 内的一个动点，则目标函数2z x y =-的最小值为 ． 答案：－
2
2
【错解分析】
，错误原因是死记住最高点时取到最大值，最低点时取到最小值，而没有灵活掌握。

【解题指导】这里2z x y =-，中间是减号，最小值在直线最高时取得。

【练习10】若不等式组⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≤+≥≤+≥-a
y x y y x y x 0220 表示的平面区域是一个三角形及其内部，则a 的取值
范围是 ．
【范例11】已知M 是抛物线x y
=2
上一点，N 是圆1)3(22=+-y x 上的动点，
则MN 的最小值是 . 答案：
12
11
- 【错解分析】此题容易错在没有将MN 转化M 为到焦点距离，以及考虑不到消元化归的思想。

【解题指导】如图，设M 是x y
=2
上一点，
||||||MC NC MN ≥+，所以MN 的最小值即为
点M 到圆心C 的距离减去半径R 。

设),(2
•y •y
M 是抛物线x y =2上一点，则
2
4
2
2
2
25)3(||y
y y y MC -=+-=4
11)25(922
+-=+y ， ∴2
10±
=y
时，211||min =MC ，∴.1211
||min •MN -=
【练习11】已知曲线)0,0(122
22>>=-•b •a b
y a x 的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°
的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 .
【范例12】某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km （不超过3km 按起步价付费）；超过3km 但不超过8km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元。

现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了__ ___km.
答案：9
【错解分析】此题容易错选为10，错误原因是不能准确地列出乘坐一次出租车付费y 与此次出租车行驶的里程x 之间的函数关系式。

【解题指导】乘坐一次出租车付费y 与此次出租车行驶的里程x 之间的函数关系式为
⎪⎩
⎪
⎨⎧
>+⨯-+⨯+≤<+⨯-+≤+=8186.2)8(15.25883115.2)3(8318x x x x x y
【练习12】一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL ，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过 小时，才能开车？（精确到1小时）.
【范例13】 高考数学试题中共有10道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且仅有
一个是正确的.评分标准规定：“每题只选1项，答对得5分，不答或答错得0分.” 某考生每道题都给出了一个答案，已确定有6道题的答案是正确的，而其余题中，有两道题都可判断出两个选项是错误的，有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只能乱猜，试求出该考生：
（1）得50分的概率；
（2）得多少分的可能性最大；
【错解分析】此题容易错在审题不清，考虑不全等方面。

解：（1）得分为50分，10道题必须全做对.
在其余的四道题中，有两道题答对的概率为12，有一道题答对的概率为1
3，还有一
道答对的概率为14，所以得分为50分的概率为：P ＝11111
.223448
⋅⋅⋅=
（2）依题意，该考生得分的范围为｛30，35，40，45，50｝.
得分为30分表示只做对了6道题，其余各题都做错，所以概率为：
1112361;2234488
P =
⋅⋅⋅== 同样可以求得得分为35分的概率为：12211231113112117;22342234223448
P C =⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=
得分为40分的概率为：317
48P =
; 得分为45分的概率为：4748P =
; 得分为50分的概率为：51.48
P =
所以得35分或得40分的可能性最大.
【练习13】某会议室用3盏灯照明，每盏灯各使用节能灯棍一只，且型号相同。

假定每盏灯能否正常照明只与灯棍的寿命有关，该型号的灯棍寿命为1年以上的概率为0.8，寿命为2年以上的概率为0.3，从使用之日起每满1年进行一次灯棍更换工作，只更换已坏的灯棍，平时不换。

（1）在第一次灯棍更换工作中，求不需要更换灯棍和更换2只灯棍的概率；
（2）在第二次灯棍更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该灯需要更换灯棍的概率；
【范例14】已知椭圆22
122:1(0)x y C a b a b
+=>>，直线l :2y x =+与以原
点为圆心、以椭圆1C 的短半轴长为半径的圆相切.
（1）求椭圆1C 的方程；
（2）设椭圆1C 的左焦点为1F ，右焦点2F ，直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴，动直线
2l 垂直1l 于点P ，线段2PF 垂直平分线交2l 于点M ，求点M 的轨迹2C 的方程；
（3）设2C 与x 轴交于点Q ，不同的两点S R ,在2C 上，且满足0,QR RS ⋅=求QS 的取值范围.
【错解分析】直线与圆锥曲线的题目本身运算量就大，所以大家 应该从全局入手，确定方法在下手，不能盲目去写，那样只能做无用功。

解（1）∵222222221,233
c a b e e a b a c -=∴===∴=
∵直线2
2202:b y x y x l =+=--与圆相切， ∴
2,2,2
22==∴=b b b ∴32=a
∴椭圆C 1的方程是 12
32
2=+y x （2）∵MP=MF 2，
∴动点M 到定直线1:1-=x l 的距离等于它到定点F 1（1，0）的距离，即动点M 的轨迹
是C 为l 1准线，F 2为焦点的抛物线
∴点M 的轨迹C 2的方程为 x y 42
=
（3）Q （0，0），设),4(),,4(22
2
121y y S y y R ∴),4
(),,4(122
12
2121y y y y RS y y QR --== ∵0=⋅ ∴
0)(16
)
(121212
221=-+-y y y y y y ∵0,121≠≠y y y ，化简得)16
(1
12y y y +-=
∴64
3225623225621
2
122=+≥++=y y y
当且仅当 4,16,25612121
2
1±===y y y y 时等号成立
∵6464)8(4
1)4(||2
222222222≥-+=+=y y y y ，又
∴当||58||8,64min 22
2QS QS y y ，故时，=±==的取值范围是),58[+∞
【练习14】设动点(,)(0)P x y y ≥到定点F (0,1)的距离比它到x 轴的距离大1，记点P 的轨迹为曲线C .
（1）求点P 的轨迹方程；
（2）设圆M 过A (0,2)，且圆心M 在曲线C 上，EG 是圆M 在x 轴上截得的弦，试探究当M 运动时，弦长EG 是否为定值？为什么？
【范例15】如图,四棱锥ABCD P -的底面是边长为a 的菱 形,
60=∠DAB ,⊥PD 平面ABCD ,AD PD =.
（1）求直线PB 与平面PDC 所成的角的正切值; （2）求二面角A －PB －D 的大小.
【错解分析】交代清楚哪个角是我们要找的角，然后去证明，是大家容易忘记的地方，而不能只有计算的结果。

解：（1）取DC 的中点E.
∵ABCD 是边长为a 的菱形, 60=∠DAB ，∴BE ⊥CD. ∵⊥PD 平面ABCD , BE ⊂平面ABCD ，∴⊥PD BE. ∴BE ⊥平面PDC.∠BPE 为求直线PB 与平面PDC 所成的角. ∵
，
,∴tan BPE ∠=BE PE
. （2）连接AC 、BD 交于点O ，因为ABCD 是菱形，所以AO ⊥BD.
∵⊥PD 平面ABCD , AO ⊂平面ABCD ， ∴AO ⊥ PD. ∴AO ⊥平面PDB.
作OF ⊥PB 于F ，连接AF ，则AF ⊥PB.
故∠AFO 就是二面角A －PB －D 的平面角.
∵
a ，
，∴tan AO AFO OF
∠=
.∴AFO ∠=
. 【练习15】在正三角形ABC 中，E 、F 、P 分别是AB 、AC 、BC 边上的点，满足
AE
EB
=1
2
CF CP FA PB ==（如图1）.将△AEF 沿EF 折起到EF A 1∆的位置，使二面角A 1－EF －B 成直二面角，连结A 1B 、A 1P （如图2） （1）求证：A 1E ⊥平面BEP ；
（2）求直线A 1E 与平面A 1BP 所成角的大小；
（3）求二面角B －A 1P －F 的大小（用反三角函数表示）.
练习题参考答案：
1．C 2．C 3．B 4．B 5．A 6．D 7．
2π
8．1 9．]2
1,0[ 10. 3
4
10≥
≤<a a 或 11. [)∞+••
,2 12. 5
图1
图
2 Ｅ Ｂ Ｐ
Ｃ
Ｆ 1A A
P F E
C B Ｄ
y
2=4y
13. 解：（1）设在第一次更换灯棍工作中，不需要更换灯棍的概率为P 2，需要列换2只灯棍的概率为p 2则
152.08.031==P
096.0)8.01(8.02232=-=C P
（2）假设该盏灯需要更换灯棍的概率为p ，对该盏灯来说，设在第1，2次都更换了灯棍
的概率为3p ；在第一次未更换灯棍而在第二次需要更换灯棍的概率为4p
则;6.0)3.01(8.0)8.01(2
43=-+-=+=p p p
14．解：（1）依题意知，动点P 到定点F (0,1)的距离等于P 到直线1y =-的距离，曲线
C 是以原点为顶点，F (0,1)为焦点的抛物线
∵
12
p
= ∴2p = ∴ 曲线C 方程是2
4x y =
（2）设圆的圆心为(,)M a b ，∵圆M 过A (0,2)， ∴圆的方程为 2
2
2
2
()()(2)x a y b a b -+-=+- 令0y =得：2
2440x ax b -+-= 设圆与x 轴的两交点分别为1(,0)x ，2(,0)
x 方法1：不妨设12
x x >，由求根公式得
12
2a x +=，22
2
a x -=
∴12x x -=
又∵点(,)M a b 在抛物线2
4x y
=上，∴2
4a b =，
∴ 124x x -==，即EG ＝4 ∴当M 运动时，弦长EG 为定值4 〔方法2：∵122x x a +=，1244x x b ⋅=- ∴
22121212()()4x x x x x x -=+-⋅22(2)4(44)41616a b a b =--=-+
又∵点(,)M a b 在抛物线2
4x y =上，∴24a b =， ∴ 2
12()16x x -= 124x x -=
∴当M 运动时，弦长EG 为定值4〕
15．解：不妨设正三角形ABC 的边长为3，则
（1）在图1中，取BE 中点D ，连结DF ，
则∵
1
2
AE CF CP EB FA PB ===, ∴2AF AD ==而0
60A ∠=，即△
ADF 是正三角形
又∵1AE ED ==, ∴EF AD ⊥
∴在图2中有1A E EF ⊥,BE EF ⊥, ∴1A EB ∠为二面角1A EF B --的平面角 ∵二面角1A EF B --为直二面角, ∴1A E BE ⊥ 又∵BE
EF E =, ∴1A E ⊥平面BEF ,即1A E ⊥平面BEP .
（2）由（1）问可知A 1E ⊥平面BEP ，BE ⊥EF,建立如图的坐标系，则Ｅ（0，0，0），A 1（0，0，1）B （2，0，0），F （0，03.在图１中，不难得到ＥF//ＤP 且ＥF ＝ＤP ；ＤＥ// FP 且ＤＥ＝FP
故点Ｐ的坐标Ｐ（13，0）
∴1(2,0,1)A B =-，(3,0)BP =-，1(0,0,1)EA =
不妨设平面A 1BP 的法向量1(,,)n x y z =，则1112030
A B n x z BP n x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩
令3y =
1(3,3,6)n = ∴1111113
cos ,||||
143
n EA n EA n EA ⋅<>=
=
=⋅⨯ 故直线A 1E 与平面A 1BP 所成角的大小为
3
π
. （3）由（2）问可知平面A 1BP 的法向量1(3,3,6)n =，13,1)A F =-，
(1,0,0)FP = 设平面AEP 的法向量2(,,)n x y z =，则12130
A F n y z BP n x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩
令3y =
2(0,3,3)n = 故1212127
cos ,8
||||4323n n n n n n ⋅<>=
==⋅⨯
显然二面角B－A1P－F为钝角故二面角B－A1P－F为
7
arccos
8π-.
感谢您的阅读，祝您生活愉快。