3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式（教、学案）

3.1.2两⾓和与差的正弦、余弦、正切公式（教、学案）

临清三中数学组编写⼈：管瑞⾂审稿⼈：刘桂江李怀奎

3.1.2两⾓和与差的正弦、余弦、正切公式

⼀、教材分析

本节的主要内容是两⾓和与差的正弦、余弦和正切公式，为了引起学⽣学习本章的兴趣，理解以两⾓差的余弦公式为基础，推导两⾓和、差正弦和正切公式的⽅法，体会三⾓恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应⽤从⽽激发学⽣对本章内容的学习兴趣和求知欲。

⼆、教学⽬标

⒈掌握两⾓和与差公式的推导过程；

⒉培养学⽣利⽤公式求值、化简的分析、转化、推理能⼒；⒊发展学⽣的正、逆向思维能⼒，构建良好的思维品质。

三、教学重点难点

重点：两⾓和与差公式的应⽤和旋转变换公式；

难点：两⾓和与差公式变aSina ＋bCosa 为⼀个⾓的三⾓函数的形式。四、学情分析

五、教学⽅法

1．温故、推新，循序渐进，以学⽣为主体逐步掌握本节知识要点

2．学案导学：见后⾯的学案。

3．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导⼊、展⽰⽬标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习

六、课前准备多媒体课件

七、课时安排：1课时⼋、教学过程

（⼀）复习式导⼊：⼤家⾸先回顾⼀下两⾓和与差的余弦公式：

()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+．

这是两⾓和与差的余弦公式，下⾯⼤家思考⼀下两⾓和与差的正弦公式是怎样的呢？提⽰：在第⼀章我们⽤诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化，这对我们解决今天的问题有帮助吗？

让学⽣动⼿完成两⾓和与差正弦和正切公式.

()()sin cos cos cos cos sin sin 2222

π

ππ

π

αβ

αβαβαβαβ

+=-+=-+=-+- ? ? ????

sin cos cos sin αβαβ=+．

()()

()

sin sin cos cos sin tan cos cos cos sin sin αβ

αβαβαβαβαβαβ

+++=

=

+-．

通过什么途径可以把上⾯的式⼦化成只含有tan α、tan β的形式呢？（分式分⼦、分母同时除以cos cos αβ，得到()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ

++=

-．

注意：,,()2

2

2

k k k k z π

π

π

αβπαπβπ+≠+≠

+≠

+∈

以上我们得到两⾓和的正切公式，我们能否推倒出两⾓差的正切公式呢？ ()()()

()

tan tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan αβ

αβαβ

αβαβαβ

+---=+-=

=

--+

注意：,,()2

2

2

k k k k z π

π

π

（⼆）例题讲解

例1、已知3sin ,5αα=-是第四象限⾓，求sin ,cos ,tan 444ππ

πααα

-+-

的

值.

解：因为3sin ,5

αα=-

是第四象限⾓，得4cos 5α==

=，

3

sin 35tan 4cos 45

ααα

-=

=

=- ，

于是有

43sin sin cos cos sin 444252510π

ππααα??

-=-=--=

43cos cos cos sin sin 444252510πππααα??

+=-=--= ? ?

1

44tan 7341tan tan

144π

απαπα--

-??-===- ++- ???

例2、利⽤和（差）⾓公式计算下列各式的值：

（1）、s i n 72c o s 42c o s 72s i n 42

-

；（2）、c o s 20c o s 70s i n 20s i n 70

-

；（3）、

1t a n 151t a n 15

+-

．

解：分析：解此类题⾸先要学会观察，看题⽬当中所给的式⼦与我们所学的两⾓和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相象.（1）、(

)

1s i n 72c o s 42c o s 72s i n 42s i n 7242

s i n 30

2

-=

-

=

=

；（2）、(

)

c o s 20c o s 70s i n 20s i n 70

c o s 2070

c o s 900

-=

+

=

()1t a n 15t a n 45t a n 15

t a n 4515

t a n 60

3

1t a n 151t a n 45t a n 15

++

==+==--

例3x x -

解：此题与我们所学的两⾓和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢？

)()1cos sin 30cos cos 30sin 3022x x x x x x x ?-

=-=-=-

思考：是怎么得到的？=

，我们是构造⼀个叫使它的正、

余弦分别等于12

2

.

（三）反思总结，当堂检测。