中考数学 在几何解题中的思维误区与中考复习素材 北师

学生在几何解题中的思维误区与中考复习

一、初中学生在逻辑推理中的思维误区

学生的几何学习是以认识和发展平面几何知识为目的的一种思维活动，在这个过程中，学生将思维建立在几何概念和定理的基础上进行逻辑推理，然而推理的过程并不是一帆风顺的，学生解题过程中会暴露出思维上的误区，严重影响学生逻辑思维能力的健康发展．几何的推理论证要求一环扣一环，步步有据．但某些学生在进行几何证明时，由于逻辑思维往往不够缜密，致使他们的推理过程漏洞百出，归纳起来他们在进行逻辑推理的过程中，经常会出现以下几种思维上的误区．

（一）移花接木

所谓“移花接木”指的是推导出的结论与条件不相符，它是根据学生的需

要生拉硬拽得出的结论，这种错误常常出现在全等三角形证明的过程中．这种

错误不是学生的有意行为，而是一种无意行为，是他们没有意识到自己在思维

上的一个误区．

案例一、如图（1），已知在矩形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，

BE⊥AC 于E ，CF⊥BD 于F ．

求证：BE=CF ．

有个学生的解答是：在矩形ABCD 中，AB=DC ．∵AC 与BD 是矩形ABCD 的对角线，∴OA=OC，OB=OD ．∴△AOB≌△COD．∴∠BAO=∠CDO．又∵BE⊥AC 于E ，CF⊥BD 于F ，∴∠BEA=∠CFD．

在△ABE 与△DCF 中，∵∠BAO=∠CDO，∠BEA=∠CFD，AB=DC ，∴△ABE≌△DCF．∴BE=CF． 他在得到△AOB≌△COD 后，误认为A 点与D 点对应，B 点与C 点对应，从而得到∠BAO=∠CDO，在不知不觉中实行了移花接木，在他的思维当中，他认为∠BAO=∠CDO 是很自然、正确的，却没有认真思考这两个角是否是对应角．笔者认为出现这种错误的原因固然与他的基础知识不扎实有关，同时也与他的嘻嘻哈哈、不注重细节的性格有关．

（二）无中生有

“无中生有”指的是学生在答题的过程中，常常根据答题的需要，自己杜撰定理或条件．有些学生将看起来成立的但未经证明的结论或者某些定理的逆命题理所当然地认为是定理，而不假思索地应用到证明当中，有时也会根据图形的形状以及自己的需要杜撰条件．

案例二、如图（2），在四边形ABCD 中，AB∥CD，AC 平分∠BAD，CE∥AD 交AB

于E ，求证：四边形AECD 是菱形．

某些学生的证明过程是：连结ED 交AC 于点F ， A B C D E F

O

∵AB∥CD，CE∥AD，∴四边形ADCE 是平行四边形，∴AC 与ED 互相平分，∴AF 为

为∠BAD 的平分线，∴△ADE 是等腰三角形，∴AD=AE，∴□ADCE 是菱形．

证明过程中，他们理所当然地认为“等腰三角形的三线合一”会有一个逆定理，即：如果三角形中一个角的角平分线是对边的中线，则这个三角形是等腰三角形．基于这个考虑，她认为AF 既是ED 的中线又是顶角的平分线，所以△ADE 是等腰三角形，在这里，这些同学不由自主地犯了杜撰定理的错误．

（三）望“图”生义

望“图”生义就是学生根据图形主观认定某个数学对象的存在，主要表现在习题的已知条件中并不存在的数学对象，而在图形中看起来象存在这种数学对象，而证明过程中恰好又可以使用，于是就顺理成章地被学生拿过来作为条件或结论加以使用．

案例三、如图（3），已知正方形ABCD 在直线MN 的上方，BC 在直线MN 上，E 是BC 上的一点，以AE 为边在直线MN 的上方作正方形AEFG ，连接GD ，求证：△ADG≌△ABE．

M N A B F

D

E G

相当多学生的证明是：∵四边形ABCD 与四边形AEFG 都是正方形，∴AB=AD ，AE=AG ．且∠ABE=∠ADC=90°，∴∠ADG=90°，∴△GDA 与△ABE 都是直角三角形．

在Rt△ADG 与Rt△ABE 中， AE=AG ，AB=AD ．∴△ADG≌△ABE（HL ）．

在这里，他们没有注意到题中的“连接GD”的含义意谓着C 、D 、G 三点可能不在同一直线上，这些学生仅是根据图形的形状就主观臆测得出∠ADG=90°，因而错误地运用“HL”定理证明了△ADG≌△ABE．

（四）“思”无反顾

“思”无反顾指的某些学生善于从正面入手解题，但不善于使用逆向思维进行逻辑分析．逻辑思维具有多向性，它不仅可以正向思维，也可以逆向思维．在证明题中，如果从条件出发很难直接得到结论，我们可以采用逆向思维，从结论出发，采取倒推的方法，逐步分析．在存在性探索题中，如果要探索的这个数学对象凭直觉无法猜出，也可以先假设这个数学对象已经存在，同样地从结论出发，采用逆向思维向上回溯，逐步分析，最后得出所需要的数学对象．由于这类题要求的思维度比较高、难度较大，不善于使用逆向思维方法进行思考的同学往往会感到束手无策．

案例四、如图（4），将一张矩形纸片ABCD （AD>AB ）折叠一次，使点A 与点C

重合，再展开，折痕EF 交AD 边于点E ，交BC 边于点F ，分别连接AF 和CE ．在

线段AC 上是否存在一点P ，使得2AE 2=AC·AP？若存在，请说明点P 的位置，

并予以证明；若不存在，请说明理由．

某女生在解答这道题时，在尝试着猜测几个特殊点无果以后，认为AC 上不存在这样的P 点．老师提示她，能否采用逆向思维进行分析，先假设这个P 点已经找到，再将2AE 2=AC·AP 中的数学“2”化去，然后化为比例式再求解．她顺着这条思路将2AE 2=AC·AP 转化为AE 2=OA·AP，再化为AE

AP OA AE ，她发现，AE 与OA 分别是Rt△AOE 的斜边与直角边，对应地，AP 、AE 也应分别为Rt△AEP 的斜边、直角边，因此，只要过E 点作AD 的垂线交AC 于一点，这点就是要寻找的P 点，问题迎刃而解．

仔细分析这位女生的思维轨迹不难发现，她还没有形成较系统的逆向思维的意识与习惯，因此，她只会采用正向思考并猜测的方法来解题，当要找到的点不是已知的几个特殊点之外，其结果可想而知．

在几何学习过程中，某些学生除了上述思维上的误区以外，还存在着：证明过程中的“因为、所以”的上下语句之间不存在因果关系，滥用同理可证等一些似是而非的证明，稍不留神，就有可能被这个证明蒙混过关，给他将来的学习埋下隐患．

二、学生在数学思想方法的使用中的思维误区

（一）不能正确使用分类讨论的数学思想

分类讨论的思想方法是人们认识客观世界过程中长期积累形成的一种策略思想．在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况进行讨论．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略[1]．

在运用分类讨论思想时，学生经常出现的问题有：（1）对于某些应该讨论的问题，因思维不严谨，发现不了可能出现的不同情况，想不到需要讨论；（2）发现需要讨论的问题时，划分情况又难以做到不重不漏；（3）不善安排讨论时机．

案例五、潘婧昳同学是一个心无城府、性格豪爽的女生，做事风风火火，但完成的质量不够精细，作业本上书写的文字也颇具男生特点，被同学戏称为“山东大汉”．

例5、 如图（3），AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，AB=2，CD=3，BC=7，在直线BC 上求一点M ，使△ABM ∽△DCM ．

A B C D E

O