最优控制理论课件

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最优控制问题
1.1 两个例子
例1.1 飞船软着陆问题
软着陆 过程开 始时刻 t 为零
h& v
v& u g m
m& K u
m 飞船的质量 h 高度 v 垂直速度 g 月球重力加速度常数 M 飞船自身质量 F 燃料的质量 K 为常数
初始状态 h(0) h0 v(0) v0 m(0)MF
f(x(t),u(t),t) 为n维向量函数
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现代控制理论
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最优控制问题
1.2 问题描述
(1) 状态方程 一般形式为
x&(t) f (x(t),u(t),t)
x(t) Rn
x(t)|tt0 x0
为n维状态向量
u(t) Rr
为r 维控制向量
f(x(t),u(t),t) 为n维向量函数
求解最优控制的变分方法
泛函与函数的几何解释
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现代控制理论
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求解最优控制的变分方法
泛函与函数的几何解释
宗量的变分
x(t)x(t)x(t)
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现代控制理论
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求解最优控制的变分方法
泛函与函数的几何解释
宗量的变分
x(t)x(t)x(t)
泛函的增量 J ( x ( g ) ) J ( x ( g ) x ) J ( x ( g ) ) L ( x , x ) r ( x , x )
J x ( T ) ,y ( T ) ,x & ( T ) ,y & ( T ) x & ( T )
控制
(t)
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最优控制问题
1.2 问题描述 (1) 状态方程 一般形式为
最优控制问题
1.2 问题描述 (1) 状态方程 一般形式为
x&(t) f (x(t),u(t),t) x(t)|tt0 x0
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求解最优控制的变分方法
2.1 泛函与变分法基础
平面上两点连线的长度问题
1
S
1x&2(t)dt
1
一般来说，曲线不同，弧长就不同，即弧长依赖于曲线， 记为 S(x(g))
S(x(g)) 称为泛函
x (t ) 称为泛函的宗量
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现代控制理论
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求解最优控制的变分方法
泛函与函数的几何解释
2.1 泛函与变分法基础
平面上两点连线的长度问题
1
S
1x&2(t)dt
1
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现代控制理论
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求解最优控制的变分方法
2.1 泛函与变分法基础
平面上两点连线的长度问题
1
S
1x&2(t)dt
1
一般来说，曲线不同，弧长就不同，即弧长依赖于曲线， 记为 S(x(g))
22.03.2020
现代控制理论
初始条件 x(0) 0 y(0) 0 x (0)0
y (0)0
末端约束 指标
g1x(T),y(T),x & (T),y & (T)y & (T)0 g2x(T),y(T),x & (T),y & (T)y(T)h0
J x ( T ) ,y ( T ) ,x & ( T ) ,y & ( T ) x & ( T )
给定控制规律 u (t )
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最优控制问题
1.2 问题描述
(1) 状态方程 一般形式为
x&(t) f (x(t),u(t),t)
x(t) Rn
x(t)|tt0 x0
为n维状态向量
u(t) Rr
为r 维控制向量
f(x(t),u(t),t) 为n维向量函数
给定控制规律 u (t )
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最优控制问题
1.1 两个例子
例1.1 飞船软着陆问题
软着陆 过程开 始时刻 t 为零
h& v
v& u g m
m& K u
m 飞船的质量 h 高度 v 垂直速度 g 月球重力加速度常数 M 飞船自身质量 F 燃料的质量 K 为常数
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现代控制理论
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现代控制理论
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最优控制问题
第2章 求解最优控制的变分方法
2.1 泛函与变分法基础 2.2 欧拉方程 2.3 横截条件 2.4 含有多个未知函数泛函的极值 2.5 条件极值 2.6 最优控制问题的变分解法
2.1 泛函与变分法基础 平面上两点连线的长度问题
求解最优控制的变分方法
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最优控制问题
(4) 性能指标
T
J(u (g ))(x(T ),T )L (x(t),u (t),t)d t t0
对状态、控制以及终点状态的要求，复合型性能指标
(x(T)T ,)0 积分型性能指标，表示对整个状态和
控制过程的要求
L(x(t)u ,(t)t,)0 终点型指标，表示仅对终点状态的要求
对状态、控制以及终点状态的要求，复合型性能指标
(x(T)T , )0
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最优控制问题
(4) 性能指标
T
J(u (g ))(x(T ),T )L (x(t),u (t),t)d t t0
对状态、控制以及终点状态的要求，复合型性能指标
(x(T)T ,)0 积分型性能指标，表示对整个状态和
控制过程的要求
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最优控制问题
(4) 性能指标
T
J(u (g ))(x(T ),T )L (x(t),u (t),t)d t t0
对状态、控制以及终点状态的要求，复合型性能指标
(x(T)T ,)0 积分型性能指标，表示对整个状态和
控制过程的要求
L(x(t)u ,(t)t,)0
初始条件 x(0) 0 y(0) 0 x (0)0
y (0)0
末端约束
g1x(T),y(T),x & (T),y & (T)y & (T)0 g2x(T),y(T),x & (T),y & (T)y(T)h0
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最优控制问题
例1.2 导弹发射问题 &x& F ( t ) c o s ( t ) m &y& F ( t ) s i n ( t ) m
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最优控制问题
1.1 两个例子
例1.1 飞船软着陆问题
软着陆 过程开 始时刻 t 为零
h& v
v& u g m
m& K u
m 飞船的质量 h 高度 v 垂直速度 g 月球重力加速度常数 M 飞船自ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ质量 F 燃料的质量 K 为常数
初始状态 终点条件
h(0) h0 h(T) 0
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最优控制问题
1.2 问题描述
(1) 状态方程 一般形式为
x&(t) f (x(t),u(t),t)
x(t) Rn
x(t)|tt0 x0
为n维状态向量
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最优控制问题
1.2 问题描述
(1) 状态方程 一般形式为
x&(t) f (x(t),u(t),t)
f(x(t),u(t),t)满足一定条件时，方程有唯一解
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现代控制理论
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最优控制问题
(2) 容许控制
最优控制问题
(2) 容许控制
U：G(u)0
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最优控制问题
(2) 容许控制
U：G(u)0 uU
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现代控制理论
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最优控制问题
v(0) v0 m(0)MF v(T) 0
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最优控制问题
1.1 两个例子
例1.1 飞船软着陆问题
软着陆 过程开 始时刻 t 为零
h& v
v& u g m
m& K u
m 飞船的质量 h 高度 v 垂直速度 g 月球重力加速度常数 M 飞船自身质量 F 燃料的质量 K 为常数
初始状态 终点条件
h(0) h0 h(T) 0
v(0) v0 m(0)MF v(T) 0
控制目标
J m(T)
推力方案
0u(t)umax
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最优控制问题
例1.2 导弹发射问题
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现代控制理论
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最优控制问题
例1.2 导弹发射问题
最优控制问题
例1.2 导弹发射问题 &x& F ( t ) c o s ( t ) m &y& F ( t ) s i n ( t ) m
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现代控制理论
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最优控制理论
东北大学信息科学与工程学院 井元伟教授
二○○九年十一月
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第1章 最优控制问题 第2章 求解最优控制的变分方法 第3章 最大值原理 第4章 动态规划 第5章 线性二次型性能指标的最优控制 第6章 快速控制系统
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最优控制理论 现代控制理论的重要组成部分 20世纪50年代 发展形成系统的理论 研究的对象 控制系统 中心问题 给定一个控制系统，选择控制规律，使系统在某 种意义上是最优的 统一的、严格的数学方法 最优控制问题 研究者的课题，工程师们设计控制系统时的
现代控制理论
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最优控制问题
(3) 目标集
S{x(T) (x(T),T)0}
(x(T),T) n维向量函数
x(T) xT
S Rn
固定端问题 自由端问题
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最优控制问题
(4) 性能指标
最优控制问题
(4) 性能指标
T
J(u (g ))(x(T ),T )L (x(t),u (t),t)d t t0
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最优控制问题
(4) 性能指标
T
J(u (g ))(x(T ),T )L (x(t),u (t),t)d t t0
对状态、控制以及终点状态的要求，复合型性能指标
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最优控制问题
(4) 性能指标
T
J(u (g ))(x(T ),T )L (x(t),u (t),t)d t t0
目标 最优控制能在各个领域中得到应用，效益显著
第1章 最优控制问题
1.1 两个例子 1.2 问题描述
1.1 两个例子 例1.1 飞船软着陆问题
最优控制问题
1.1 两个例子
例1.1 飞船软着陆问题
软着陆 过程开 始时刻 t 为零
m 飞船的质量 h 高度 v 垂直速度 g 月球重力加速度常数 M 飞船自身质量 F 燃料的质量 K 为常数
初始状态 终点条件
h(0) h0 h(T) 0
v(0) v0 m(0)MF v(T) 0
控制目标
J m(T)
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最优控制问题
1.1 两个例子
例1.1 飞船软着陆问题
软着陆 过程开 始时刻 t 为零
h& v
v& u g m
m& K u
m 飞船的质量 h 高度 v 垂直速度 g 月球重力加速度常数 M 飞船自身质量 F 燃料的质量 K 为常数
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最优控制问题
(3) 目标集
S{x(T) (x(T),T)0}
(x(T),T) n维向量函数
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最优控制问题
(3) 目标集
S{x(T) (x(T),T)0}
(x(T),T) n维向量函数
x(T) xT 固定端问题
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最优控制问题
例1.2 导弹发射问题 &x& F ( t ) c o s ( t ) m &y& F ( t ) s i n ( t ) m
初始条件 x(0) 0 y(0) 0 x (0)0
y (0)0
末端约束 指标
g1x(T),y(T),x & (T),y & (T)y & (T)0 g2x(T),y(T),x & (T),y & (T)y(T)h0
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最优控制问题
例1.2 导弹发射问题 &x& F ( t ) c o s ( t ) m &y& F ( t ) s i n ( t ) m
初始条件 x(0) 0 y(0) 0 x (0)0
y (0)0
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最优控制问题
例1.2 导弹发射问题 &x& F ( t ) c o s ( t ) m &y& F ( t ) s i n ( t ) m
(2) 容许控制
U：G(u)0 uU
有时控制域可为超方体
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最优控制问题
(2) 容许控制
U：G(u)0 uU
有时控制域可为超方体
ui (t) mi i1,2,L,r
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最优控制问题
(3) 目标集
最优控制问题
(3) 目标集
S{x(T) (x(T),T)0}
x(t) Rn
x(t)|tt0 x0
为n维状态向量
u(t) Rr
为r 维控制向量
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最优控制问题
1.2 问题描述
(1) 状态方程 一般形式为
x&(t) f (x(t),u(t),t)
x(t) Rn
x(t)|tt0 x0
为n维状态向量
u(t) Rr
为r 维控制向量