浙江省诸暨市2018届高三5月适应性考试数学试题(解析版)

浙江省诸暨市2018届高三5月适应性考试
数学试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：
1. 已知集合，，全集，则等于（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由集合，，，知再由全集，能求出．
【详解】由题全集，集合，，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查交、并、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
2. 已知是虚数单位)，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用复数代数形式的乘法运算化简等式左边，再由复数相等的条件列式求得值．
【详解】，
∴，即．
故选：B．
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．
3. 已知圆与直线，则“”是“直线与圆相切”的（）
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据直线和圆相切可得，再根据充分条件，必要条件的定义即可判断．
【详解】由圆心到直线的距离
若直线与圆相切，则，即，则，
则“”是“直线与圆相切“的充分而不必要条件，
故选：A．
【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，以及充分条件和必要的条件，属于基础题．
4. 已知是定义域为的奇函数，且，当时，，则（）
A. B. C. 1 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可得，则，即的最小正周期为8，可得的值．【详解】是定义域为的奇函数，且，
可得，即有，
则，
即的最小正周期为8，
可得
故选：C．
【点睛】本题考查函数的奇偶性和周期性的判断和运用：求函数值，考查运算能力，属于中档题．
5. 已知，则（）
A. 的取值范围是
B. 的取值范围是
C. 的取值范围是
D. 的取值范围是
【答案】C
【解析】
【分析】
去掉绝对值，得到，相加即可．
【详解】，
由①+②得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查三角函数，是一道基础题．
6. 等差数列的前项和是，公差不等于零，若成等比，则（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由成等比数列．可得，利用等差数列的通项公式可得（，解出
．即可．
【详解】由成等比数列．可得，
可得（，
即，∵公差不等于零，
故选：C．
【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、考查了计算能力，属于基础题．
7. 已知双曲线的一条渐近线截椭圆所得弦长为，则此双曲线的离心率为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
求出双曲线的渐近线方程．与椭圆的方程联立，利用弦长转化求解即可．
【详解】双曲线的一条渐近线不妨设为：，则：，可得：
一条渐近线截椭圆所得弦长为，
可得：，可得，
解得．
故选：B．
【点睛】本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．属中档题.
8. 平行四边形中，在上投影的数量分别为，则在上的投影的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算和数量积求出结果．
【详解】建立如图所示的直角坐标系：设，
则：则：
解得：．
所以：．
在上的摄影
当时，，得到：．
当时，，
故选：A．
【点睛】本题考查的知识要点：向量的数量积和坐标运算的应用．
9. 甲盒子装有3个红球，1个黄球，乙盒中装有1个红球，3个黄球，同时从甲乙两盒中取出个球交换，分
别记甲乙两个盒子中红球个数的数学期望为，则以下结论错误的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
分别就计算概率得出数学期望，得出结论．
【详解】用表示交换后甲盒子中的红球数，表示交换后乙盒子中的红球数，
当时，
则，，
．
故A正确，C正确，
当时，
故B正确．
当时，
，
故D错误．
故选：D．
【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列，组合数公式应用，属于中档题．
10. 如图，矩形中，，是线段（不含点）上一动点，把沿折起得到，使得平面平面，分别记，与平面所成角为，平面与平面所成锐角为，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意画出图形，作出与平面所成角为，平面与平面所成锐角为，分别求出和，与平面所成角为则答案可求．
【详解】
如图，过作，在中，由，可得．
由等积法可得，则
∵平面平面，且，可得平面，
则．
过作，垂足为，连接，则为平面与平面所成的锐角．
∵到的距离
即．
故选：A．
【点睛】本题考查空间中直线与平面、平面与平面所成角的求法，考查空间想象能力与逻辑思维能力，是中档题．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
11. 若满足约束条件，则目标函数的最大值等于_______,最小值等于_______．
【答案】(1). 6(2). -10
【解析】
【分析】
先根据约束条件画出可行域，再利用目标函数中的几何意义，求出直线的最大值即可．
【详解】作出满足约束条件可行域如图，
由知，，
所以动直线的纵截距取得最大值时，目标函数取得最大值．
由可行域得结合可行域可知当动直线经过点时，
目标函数取得最小值．
目标函数经过可行域的时，取得最大值：6．
故答案为：6；-10．
【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题．
12. 某几何体的三视图如图所示（单位为），则该几何体的表面积为_______，体积为______.
【答案】(1). (2).
【解析】
【分析】
由三视图还原原几何体，可知原几何体为该几何体为三棱锥，底面三角为直角三角形，侧棱底面，由三棱锥体积公式求体积．
【详解】由三视图还原原几何体如图，
该几何体为三棱锥，底面三角形为直角三角形，侧棱底面，
由，可得，
由，可得，
∴该几何体的表面积为则该三棱锥的体积为
．
故答案为：；．
【点睛】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．
13. 中，角所对边分别是，已知，且的周长为9，则
______；若的面积等于，则_________．
【答案】(1). 4(2).
【解析】
【分析】
直接利用正弦定理和余弦定理及三角形的面积公式求出结果．
【详解】中，角C所对边分别是，
已知，则：
且的周长为9，则：
解得：．
若的面积等于，
则：，
整理得：．
由于：
故：，解得：或，
所以：．
故答案为：4；．
【点睛】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理的应用，三角形面积公式的应用．
14. 已知，则______，_______．
【答案】(1). (2).
【解析】
【分析】
把，按二项式展开式定理展开，对应系数相等即可．
【详解】x
则．
故答案为：；．
【点睛】本题考查了二项式展开式的应用问题，是基础题
15. 已知，且，则的最小值等于_______．
【答案】
【解析】
【分析】
由条件可得，可得运用基本不等式即可得到所求最小值．【详解】，且，
即有，
即，
可得，
当且仅当时，上式取得等号，
即有的最小值为.
故答案为：
【点睛】本题考查基本不等式的运用：求最值，考查变形能力和运算能力，属于中档题．
16. 某翻译处有8名翻译，其中有小张等3名英语翻译，小李等3名日语翻译，另外2名既能翻译英语又能翻译日语，现需选取5名翻译参加翻译工作，3名翻译英语，2名翻译日语，且小张与小李恰有1人选中，则有________种不同选取方法.
【答案】21
【解析】
【分析】
据题意，对选出的3名英语教师分5种情况讨论：①若从只会英语的3人中选3人翻译英语，②若从只会英语的3
人中选2人翻译英语，（包含小张），③若从只会英语的3人选小张翻译英语，④、若从只会英语的3人中选2人翻译英语，（不包含小张），⑤、若从只会英语的3人中选1人翻译英语，（不包含小张），每种情况中先分析其余教师的选择方法，由分步计数原理计算每种情况的安排方法数目，进而由分类计数原理，将其相加计算可得答案．
【详解】根据题意，分5种情况讨论：
①、若从只会英语的3人中选3人翻译英语，
则需要从剩余的4人（不含小李）中选出2人翻译日语即可，则不同的安排方案有种，
②、若从只会英语的3人中选2人翻译英语，（包含小张）
则先在既会英语又会日语的2人中选出1人翻译英语，再从剩余的3人（不含小李）中选出2人翻译日语即可，
则不同的安排方案有种，
③、若从只会英语的3人选小张翻译英语，
则先在既会英语又会日语的2人中选出2人翻译英语，再从剩余的2人（不含小李）中选出2人翻译日语即可，
则不同的安排方案有种，
④、若从只会英语的3人中选2人翻译英语，（不包含小张）
则先在既会英语又会日语的2人中选出1人翻译英语，再从剩余的4人（小李必选）中选出2人翻译日语即可，
则不同的安排方案有种，
⑤、若从只会英语的3人中选1人翻译英语，（不包含小张）
则先在既会英语又会日语的2人中选出2人翻译英语，再从剩余的3人（小李必选）中选出2人翻译日语即可，
则不同的安排方案有种，
则不同的安排方法有种．
故答案为：29．
【点睛】本题考查排列、组合的运用，注意根据题意对“既会英语又会日语”的教师的分析以及小张与小李恰有1人选中，是本题的难点所在．
17. 已知，关于的方程恰有三个不等实根，且函数的最小值是，则_______．
【答案】5
【解析】
【分析】
由条件可得直线与相切，设出切点，求得二次函数的导数，可得的方程，再由函数
的单调性，可得的最小值，化简变形即可得到的关系式，可得所求值．
【详解】关于的方程恰有三个不等实根，
可得直线与相切相切，设切点为，，
则，
消去，可得
设与轴的两个交点的横坐标为：，即有函数，
当时，取得最小值是，
即有
可得
即为，
化为，
可得或，
由，可得，
即
故答案为：5．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，以及导数的概念和应用，考查函数的最值的求法，以及运算能力，属于中档题．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
18. 已知函数.
（1）求的值；
（2）设是中的最小角，，求的值.
【答案】（1）-2;（2） .
【解析】
【分析】
（1）代入函数的解析式求值即可；
（2）化为正弦型函数，根据，的值求的值．
【详解】（1）
（2）
，
∴.
【点睛】本题考查三角函数的图象与性质的应用问题，考查三角恒等变换问题，是中档题．
19. 如图，四棱锥中，平面平面，是边长为2的等边三角形，底面是直角梯形，
，，是的中点.
（1）证明：；
（2）设是棱上的点，平面，求与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）取中点，连，，推导出平面，，，从而平面，进而，由此能证明平面，从而．
（2）作交于，连，推导出四边形是平行四边形，面，作于，为所求线面角，由此能求出与平面所成角的正弦值．
【详解】（1）取中点，连，
面平面，，面平面，
得平面
∴
又∵
∴
∴平面，
∴
（2）作交于，连
面，面面
∴
∴四边形为平行四边形
∴，且，即为的一个四等分点
，面面面
作于
∴，，，面
∴为所求线面角，
.
【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等，是中档题．
20. 已知函数，，.
（1）当时，求函数的极值；
（2）若，且函数与在处的切线重合，求证：恒成立.
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（2）代入的值，求出切线方程，一方面先证：，另一方面：恒成立，令
，根据函数的单调性证明即可．
【详解】（1）
令
∴在，上单调递减，在上单调递增
极大值，极小值
（2），∴
即切线为
，∴且过
∴
一方面先证：，另一方面：恒成立
令，
令，为上的单调递增函数，，∴令得
∴在递增，在递减，
∴
∴，即.
【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，考查不等式的证明，是一道综合题．21. 已知是抛物线的焦点，过的直线交抛物线于不同两点，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）过点作轴的垂线交直线（是原点）于，过作直线的垂线与抛物线的另一交点为，中点为.
①求点的纵坐标；
②求的取值范围.
【答案】（1）;（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）设方程y，与抛物线方程联立消元，根据根与系数的关系列方程得出的值；
（2）根据的方程计算点纵坐标，求出方程得出点坐标，计算化简，根据的范围得出的范围．
【详解】（1）设：，
∴
∴，∴
∴
（2）直线：
∴即，
∴，
即直线：
∴
∴,
∴三点共线
∵
∴.
【点睛】本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．22. 已知数列的各项都小于1，，.
（1）求证：；
（2）设数列的前项和为，求证：；
（3）记，求证：.
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.
【解析】
【分析】
（1）证明，再利用.
化简证明；
（2）求解前项和为，利用（1）的结论可得证明；
（3）根据数列的单调性，求解的单调性，即可证明：.．
【详解】（1）先证：
，同号，，所以
又，所以
（2）
由（1）得
所以
（3）由得，从而
下证为单调递减数列
∵
我们先证为单调递减数列
所以
∴为单调递减数列，.
【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，根据数列通项公式和前项和之间的关系，不等式的转化证明，属于难题．。