高二数学数列的概念练习试题百度文库

一、数列的概念选择题
1．历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用.比如意大利数学家列昂纳多—斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233…即121a a ==，当n ≥3时，
12n n n a a a --=+，此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用.若此数列的各项依次被
4整除后的余数构成一个新的数列{}n b ，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，则20S 的值为（ ） A ．24
B ．26
C ．28
D ．30
2．已知数列{}n a 满足11a =
),2n N n *=
∈≥，且()2cos
3
n n n a b n N π
*=∈，则数列{}n b 的前18项和为（ ） A ．120
B ．174
C ．204-
D ．
373
2
3．在数列{}n a 中，10a =
，1n a +，则2020a =（ ） A ．0
B ．1
C
．D
4．设{}n a 是等差数列，且公差不为零，其前n 项和为n S ．则“*n N ∀∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．已知数列{}
ij a 按如下规律分布（其中i 表示行数，j 表示列数），若2021ij a =，则下列结果正确的是（ ）
A ．13i =，33j =
B ．19i =，32j =
C ．32i =，14j =
D ．33i =，14j =
6．在数列{}n a 中，11a =，对于任意自然数n ，都有12n
n n a a n +=+⋅，则15a =（ ）
A ．151422⋅+
B ．141322⋅+
C ．151423⋅+
D ．151323⋅+
7．数列{}n a 中，11a =，12n n a a n +=+，则n a =（ ） A ．2n n 1-+
B ．21n +
C ．2(1)1n -+
D ．2n
8．
的一个通项公式是（ ）
A
．n a =
B
．n a =C
．n a =D
．n a =9．在数列{}n a 中，11a =，20192019a =，且*n N ∈都有122n n n a a a ++≥+，则下列结论正确的是（ ）
A ．存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a n ≤.
B ．存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a n ≥.
C ．对常数M ，一定存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a M ≤.
D ．对常数M ，一定存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a M ≥. 10．已知数列{}n a 中，11a =，122
n
n n a a a +=+，则5a 等于（ ） A ．
25
B ．
13
C ．
23
D ．
12
11．数列{}n a 中，()1121n
n n a a n ++-=-，则数列{}n a 的前8项和等于（ ） A ．32
B ．36
C ．38
D ．40
12．已知数列2
65n a n n =-+则该数列中最小项的序号是（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
13．已知数列{}n a 满足：113a =，1(1)21n n n a na n ++-=+，*n N ∈，则下列说法正确的是（ ） A ．1n n a a +≥ B ．1n n a a +≤
C ．数列{}n a 的最小项为3a 和4a
D ．数列{}n a 的最大项为3a 和4a 14．已知在数列{}n a 中，112,1
n n n
a a a n +==+，则2020a 的值为（ ） A ．
1
2020
B ．
1
2019
C ．
11010
D ．
11009
15．已知数列{}n b 满足1
2122n n b n λ-⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
，若数列{}n b 是单调递减数列，则实数λ的
取值范围是（ ） A ．
10
1,
3
B ．110,23⎛⎫- ⎪⎝⎭
C ．(-1，1)
D ．1,12⎛⎫
-
⎪⎝⎭
16．数列{}n a 满足1
111,(2)2
n n n a a a n a --==≥+，则5a 的值为（ ）
A ．
18
B ．
17 C ．
131
D ．
16
17．已知数列{}n a 满足00a =，()11i i a a i +=+∈N ，则20
1
k
k a
=∑的值不可能是（ ） A ．2
B ．4
C ．10
D ．14
18．数列{}n a 满足：12a =，111n
n n
a a a ++=-()*n N ∈其前n 项积为n T ，则2018T =（ ） A ．6-
B ．1
6-
C ．
16
D ．6
19．已知数列{}n a 满足12n n a a n +=+，且133a =，则
n
a n
的最小值为（ ） A ．21
B ．10
C ．
212
D ．
172
20．数列1，3，6，10，…的一个通项公式是（ ）
A ．()2
1n a n n =-- B ．2
1n a n =-
C ．()
12
n n n a +=
D ．()
12
n n n a -=
二、多选题
21．已知数列{}n a ：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68S a = B ．733S =
C ．135********a a a a a +++
+= D ．222
2123202020202021a a a a a a ++++=
22．已知数列{}n a 满足()
*11
1n n
a n N a +=-∈，且12a =，则（ ） A ．31a =- B ．201912
a =
C ．332
S =
D ． 2 0192019
2
S =
23．斐波那契数列，又称黄金分割数列、兔子数列，是数学家列昂多·斐波那契于1202年提出的数列.斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，此数列从第3项开始，每
一项都等于前两项之和，记该数列为(){}
F n ，则(){}
F n 的通项公式为（ ）
A ．(1)1()2
n n
F n -+=
B ．()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==
C ．(
)1122n n
F n ⎡⎤⎛⎛+-⎥=- ⎥⎝⎭⎝⎭⎦ D ．(
)n n F n ⎡⎤⎥=+⎥⎝⎭⎝⎭⎦
24．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，前n 项和为n S ，若612S S =，则下列结论中正确的有（ ） A ．1:17:2a d =-
B ．180S =
C ．当0d >时，6140a a +>
D ．当0d <时，614a a >
25．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1385a a S +=，则下列结论一定正确的是（ ） A ．100a = B ．911a a = C ．当9n =或10时，n S 取得最大值
D ．613S S =
26．设数列{}n a 的前n 项和为*
()n S n N ∈，关于数列{}n a ，下列四个命题中正确的是
（ ）
A ．若1*()n n a a n N +∈=，则{}n a 既是等差数列又是等比数列
B ．若2
n S An Bn =+(A ，B 为常数，*n N ∈)，则{}n a 是等差数列
C ．若()11n
n S =--，则{}n a 是等比数列
D ．若{}n a 是等差数列，则n S ，2n n S S -，*
32()n n S S n N -∈也成等差数列
27．已知等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 且15110,20,a a a 则（ ）
A ．80a <
B ．当且仅当n = 7时，n S 取得最大值
C ．49S S =
D ．满足0n S >的n 的最大值为12
28．无穷等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若a 1＞0，d ＜0，则下列结论正确的是（ ） A ．数列{}n a 单调递减 B ．数列{}n a 有最大值 C ．数列{}n S 单调递减
D ．数列{}n S 有最大值
29．等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若10a >，717S S =，则（ ） A ．0d < B ．120a > C ．13n S S ≤
D ．当且仅当0n
S <时，26n ≥
30．已知数列{}n a 为等差数列，则下列说法正确的是（ ） A ．1n n a a d +=+（d 为常数） B ．数列{}n a -是等差数列 C ．数列1n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是等差数列 D ．1n a +是n a 与2n a +的等差中项
31．等差数列{}n a 的首项10a >，设其前n 项和为{}n S ，且611S S =，则（ ） A ．0d > B ．0d <
C ．80a =
D ．n S 的最大值是8
S 或者9S
32．数列{}n a 满足11,121
n
n n a a a a +=
=+，则下列说法正确的是（ ） A ．数列1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等差数列
B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和2
n S n =
C ．数列{}n a 的通项公式为21n a n =-
D ．数列{}n a 为递减数列
33．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S (
)*
n N ∈，公差0d ≠，6
90S
=，7a 是3a 与9
a 的等比中项，则下列选项正确的是（ ） A ．2d =-
B ．1
20a =-
C ．当且仅当10n =时，n S 取最大值
D ．当0n
S <时，n 的最小值为22
34．在下列四个式子确定数列{}n a 是等差数列的条件是（ ）
A ．n a kn b =+（k ，b 为常数，*n N ∈）；
B ．2n n a a d +-=（d 为常数，
*n N ∈）；
C ．(
)
*
2120n n n a a a n ++-+=∈N ； D ．{}n a 的前n 项和2
1
n S n n =++（*n N ∈）.
35．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n （n ∈N *），公差d ≠0，S 6=90，a 7是a 3与a 9的等比中项，则下列选项正确的是（ ） A ．a 1=22
B ．d =－2
C ．当n =10或n =11时，S n 取得最大值
D ．当S n >0时，n 的最大值为21
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一、数列的概念选择题 1．B 解析：B
【分析】
先写出新数列的各项，找到数列的周期，即得解. 【详解】
由题意可知“斐波那契数列”的各项依次被4整除后的余数构成一个新的数列{}n b ， 此数列的各项求得：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，1……，则其周期为6， 其中1+1+2+3+1+0=8，
则201819201812S S b b S b b =++=++381126=⨯++=， 故选：B.
2．B
解析：B 【分析】
将题干中的等式化简变形得2
11n n a n a n --⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，利用累乘法可求得数列{}n a 的通项公式，由
此计算出(
)32313k k k b b b k N *
--++∈，进而可得出数列{}n
b 的前18项和.
【详解】
)1,2n a n N n *
--=
∈≥，将此等式变形得2
11n n a n a n --⎛⎫= ⎪⎝⎭
，
由累乘法得2
2
2
3
212
12
11211123n n n a
a a n a a a a a n n
--⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=⋅⋅=⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭， ()
2cos
3n n n a b n N π*=∈，22cos 3
n n b n π
∴=， ()()222
323134232cos 231cos 29cos 233k k k b b b k k k k k k πππππ--⎛⎫⎛⎫∴++=--+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭592
k =-，
因此，数列{}n b 的前18项和为()5
91234566921151742
⨯+++++-⨯=⨯-=. 故选：B. 【点睛】
本题考查并项求和法，同时也涉及了利用累乘法求数列的通项，求出32313k k k b b b --++是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.
3．A
解析：A 【分析】
写出数列的前几项，找寻规律，求出数列的周期，问题即可解. 【详解】
10a =
，1n a +1n =
时，2a 2n =
时，3a 3n =
时，4
a ； ∴ 数列{}n a 的周期是3
20206733110a a a ⨯+∴===
故选：A. 【点睛】
本题考查周期数列. 求解数列的周期问题时，周期数列的解题方法：根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n 项的和.
4．A
解析：A 【分析】
根据等差数列的前n 项和公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】
{}n a 是等差数列，且公差d 不为零，其前n 项和为n S ，
充分性：
1n n S S +>，则10n a +>对任意的n *∈N 恒成立，则20a >，
0d ≠，若0d <，则数列{}n a 为单调递减数列，则必存在k *∈N ，使得当n k >时，
10n a +<，则1n n S S +<，不合乎题意；
若0d >，由20a >且数列{}n a 为单调递增数列，则对任意的n *∈N ，10n a +>，合乎题意.
所以，“*n N ∀∈，1n n S S +>”⇒“{}n a 为递增数列”；
必要性：设10n a n =-，当8n ≤时，190n a n +=-<，此时，1n n S S +<，但数列{}n a 是递增数列.
所以，“*n N ∀∈，1n n S S +>”⇐/“{}n a 为递增数列”.
因此，“*n N ∀∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的充分而不必要条件. 故选：A. 【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列的前n 项和公式是解决本题的关键，属于中等题．
5．C
解析：C
可以看出所排都是奇数从小到大排起.规律是先第一列和第一行，再第二列和第二行，再第三列第三行，并且完整排完n 次后，排出的数呈正方形.可先算2021是第几个奇数，这个奇数在哪两个完全平方数之间，再去考虑具体的位置. 【详解】
每排完n 次后，数字呈现边长是n 的正方形，所以排n 次结束后共排了2n 个数.
20211
110112
-+=，说明2021是1011个奇数. 而22961311011321024=<<=，故2021一定是32行，
而从第1024个数算起，第1011个数是倒数第14个，根据规律第1024个数排在第32行第1列，所以第1011个数是第32行第14列，即2021在第32行第14列. 故32,14i j ==. 故选：C. 【点睛】
本题考查数列的基础知识，但是考查却很灵活，属于较难题.
6．D
解析：D 【分析】
在数列的递推公式中依次取1,2,3,1n n =- ，得1n -个等式，累加后再利用错位相减
法求15a . 【详解】
12n n n a a n +=+⋅， 12n n n a a n +-=⋅，
12112a a ∴-=⋅， 23222a a -=⋅，
34332a a -=⋅
11(1)2n n n a a n ---=-⋅，
以上1n -个等式，累加得123
11122232(1)2n n a a n --=⋅+⋅+⋅+
+-⋅①
又
2341122122232(2)2(1)2n n n a a n n --=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅②
①- ②得23
112222(1)2n n n a a n --=++++--⋅
12(12)(1)2(2)2212n n n n n --=--⋅=-⋅--，
(2)23n n a n ∴=-⋅+ ，
151515(152)231323a ∴=-⋅+=⋅+，
【点睛】
本题主要考查了累加法求数列通项，乘公比错位相减法求数列的和，由通项公式求数列中的项，属于中档题.
7．A
解析：A 【分析】
由题意，根据累加法，即可求出结果. 【详解】
因为12n n a a n +=+，所以12n n a a n +-=，
因此212a a -=，324a a -=，436a a -=，…，()121n n a a n --=-， 以上各式相加得：()()()21246.1221..212
n n n a a n n n ⎡⎤-+-⎣⎦
-=
+++==+--，
又11a =，所以2
1n a n n =-+.
故选：A. 【点睛】
本题主要考查累加法求数列的通项，属于基础题型.
8．C
解析：C 【分析】
根据数列项的规律即可得到结论． 【详解】
因为数列3，7，11，15⋯的一个通项公式为41n -，
，⋯的一个通项公式是n a = 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查数列通项公式的求法，利用条件找到项的规律是解决本题的关键．
9．A
解析：A 【分析】
运用数列的单调性和不等式的知识可解决此问题. 【详解】
数列{}n a 中，11a =，20192019a =，且*n N ∈都有122n n n a a a ++≥+，
121n n n n a a a a +++∴≥--，
设1n n n d a a +=-，则1n n d d +≥，
∴数列{}n d 是递减数列.
对于A ，由11a =，20192019a =， 则201911220182019a a d d d =+++=，
所以1220182018d d d ++
+=，又1232018d d d d ≥≥≥
≥，
所以1122018201820182018d d d d d ≥++
+≥，
故120181d d ≥≥，2018n ∴≥时，1n d ≤，
02019N ∃=，2019n >时， 20192019202012019111n n a a d d d n -=+++
≤++++=
即存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a n ≤，故A 正确；
结合A ，故B 不正确；
对于C ，当n →+∞，且0n d >时，数列{}n a 为递增数列， 则n a 无最大值，故C 不正确；
对于D ，由数列{}n d 是递减数列，当存在0n d <时，则n a 无最小值，故D 不正确； 故选：A 【点睛】
本题考查了数列的单调性以及不等式，属于基础题.
10．B
解析：B 【分析】
根据数列{}n a 的递推公式逐项可计算出5a 的值. 【详解】
在数列{}n a 中，11a =，122n n n a a a +=
+，则1212212
2123
a a a ⨯=
==++，2322
2213222
23
a a a ⨯
===++， 3431
222212522a a a ⨯
===++，45
422215223
25
a a a ⨯===++. 故选：B. 【点睛】
本题考查利用递推公式写出数列中的项，考查计算能力，属于基础题.
11．B
解析：B 【分析】
根据所给数列表达式，递推后可得()
1
21121n n n a a n ++++-=+.并将原式两边同时乘以
()
1n
-后与变形后的式子相加，即可求得2n n a a ++，即隔项和的形式.进而取n 的值，代入
即可求解. 【详解】
由已知()1121n
n n a a n ++-=-，① 得()
1
21121n n n a a n ++++-=+，②
由()1n ⨯-+①②得()()()212121n
n n a a n n ++=-⋅-++，
取1,5,9n =及2,6,10n =，易得13572a a a a +=+=，248a a +=，6824a a +=， 故81234836S a a a a a =++++⋅⋅⋅+=. 故选：B. 【点睛】
本题考查了数列递推公式的应用，对数列表达式进行合理变形的解决此题的关键，属于中档题.
12．A
解析：A 【分析】
首先将n a 化简为()2
34n a n =--，即可得到答案。

【详解】
因为()
()2
2
69434n a n n n =-+-=--
当3n =时，n a 取得最小值。

故选：A
13．C
解析：C 【分析】
令n n b na =，由已知得121n n b b n +-=+运用累加法得2
+12n b n =，从而可得
12
+n a n n
=，作差得()()()+13+4+1n n a n n a n n -=-，从而可得12345>>n a a a a a a =<<
<，
由此可得选项. 【详解】
令n n b na =，则121n n b b n +-=+，又113a =，所以113b =，213b b -=，325b b -=， ，121n n b b n --=-， 所以累加得()()213+2113++122
n
n n b n --==，所以2+1212
+n n
b n a
n n n n
===，
所以()()()()+13+41212+1+
++1+1n n n n a a n n n n n n -⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭， 所以当3n <时，+1n n a a <，当3n =时，+1n n a a =，即34a a =，当>3n 时，+1>n n a a ， 即12345>>n a a a a a a =<<<，所以数列{}n a 的最小项为3a 和4a ，
故选：C. 【点睛】
本题考查构造新数列，运用累加法求数列的通项，以及运用作差法判断差的正负得出数列的增减性，属于中档题.
14．C
解析：C 【分析】
由累乘法可求得2
n a n
=，即可求出. 【详解】
11n n n a a n +=+，即11n n a n a n +=+， 12
321123
2112321
212
32n n n n n n n a a a a a n n n a a a a a a a n n n --------∴=
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⨯--2n
=， 202021
20201010
a ∴=
=. 故选：C.
15．A
解析：A 【分析】
由题1n n b b +>在n *∈N 恒成立，即16212n
n λ⎛⎫-<+ ⎪⎝⎭
，讨论n 为奇数和偶数时，再利用数列单调性即可求出. 【详解】
数列{}n b 是单调递减数列，1n n b b +∴>在n *∈N 恒成立，
即()1
22112
+1222n
n n n λλ-⎛⎫⎛⎫-->-- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
恒成立，
即16212n
n λ⎛⎫-<+ ⎪⎝⎭
， 当n 为奇数时，则()6212n
n λ>-+⋅恒成立，
()212n n -+⋅单调递减，1n ∴=时，()212n n -+⋅取得最大值为6-， 66λ∴>-，解得1λ>-；
当n 为偶数时，则()6212n
n λ<+⋅恒成立，
()212n n +⋅单调递增，2n ∴=时，()212n n +⋅取得最小值为20，
620λ∴<，解得103
λ<
， 综上，1013
λ-<<. 故选：A. 【点睛】
关键点睛：本题考查已知数列单调性求参数，解题的关键由数列单调性得出
16212n
n λ⎛⎫
-<+ ⎪⎝⎭
恒成立，需要讨论n 为奇数和偶数时的情况，这也是容易出错的地方. 16．C
解析：C 【分析】
根据条件依次算出2a 、3a 、4a 、5a 即可. 【详解】 因为1
111,(2)2
n n n a a a n a --==
≥+，
所以211
123a =
=+，31
131723a ==+，4117
11527a ==+，51
115131215
a ==+ 故选：C 17．B
解析：B 【分析】
先由题中条件，得到2
12
21i i i a a a +-=+，由累加法得到20
2211
221k k a a ==-∑
，根据00a =，
()11i i a a i +=+∈N ，逐步计算出221a 所有可能取的值，即可得出结果.
【详解】
由11i i a a +=+得()2
221121i i i i a a a a +=+=++，
则21221i i i a a a +-=+， 所以2221121a a a -=+， 2232221a a a -=+，
……，
2202022121a a a -=+，
以上各式相加可得：()21120
2
21
0221
2 (20202)
k
k a a a a a a
=-
=+++++=∑，
所以20
22121
1220
k k a a a ==--∑
，
又00a =，所以2
12
0211a a a =++=，则20
2211
221
k k a a ==-∑
，
因为()11i i a a i +=+∈N ，00a =，则0111a a =+=，所以11a =±，则2110a a =+=或
2，
所以20a =或2±；则3211a a =+=或3，所以31a =±或3±；则4310a a =+=或2或
4，所以42a =±或4±或0；则5411a a =+=或3或5，所以51a =±或3±或5±；……，
以此类推，可得：211a =±或3±或5±或7±或9±或11±或13±或15±或17±或19±或
21±，
因此221a 所有可能取的值为222222222221,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21，
所以22112
2a -所有可能取的值为10-，6-，2，14，30，50，74，102，134，
170，210；
则
20
1
k
k a
=∑所有可能取的值为10，6，2，14，30，50，74，102，134，170，210，
即ACD 都有可能，B 不可能. 故选：B. 【点睛】 关键点点睛：
求解本题的关键在于将题中条件平方后，利用累加法，得到20
22121
1220
k k a a a ==--∑
，将问题
转化为求221a 的取值问题，再由条件，结合各项取值的规律，即可求解.
18．A
解析：A 【分析】
根据递推公式推导出(
)4n n a a n N *
+=∈，且有1234
1a a a a
=，再利用数列的周期性可计算
出2018T 的值. 【详解】
12a =，()*111++=
∈-n
n n a a n N a ，212312a +∴==--，3131132
a -==-+，
41
1121312a -
==+，5
1132113
a +
==-，()4n n a a n N *+∴=∈，且()123411
23123
a a a a ⎛⎫=⨯-⨯-⨯= ⎪⎝⎭，
201845042=⨯+，因此，()504
2018450421211236T T a a ⨯+==⨯=⨯⨯-=-.
故选：A. 【点睛】
本题考查数列递推公式的应用，涉及数列周期性的应用，考查计算能力，属于中等题.
19．C
解析：C 【分析】
由累加法求出2
33n a n n =+-，所以
331n a n n n
，设33
()1f n n n
=
+-，由此能导出5n =或6时()f n 有最小值，借此能得到
n
a n
的最小值. 【详解】
解：()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+⋯+-+
22[12(1)]3333n n n =++⋯+-+=+-
所以
331n a n n
n
设33
()1f n n n
=
+-，由对勾函数的性质可知， (
)f n 在(
上单调递减，在
)
+∞上单调递减，
又因为n ∈+N ，所以当5n =或6时()f n 可能取到最小值. 又因为56536321,55662
a a ===， 所以
n a n
的最小值为62162a =.
故选：C. 【点睛】
本题考查了递推数列的通项公式的求解以及对勾函数的单调性，考查了同学们综合运用知识解决问题的能力.
20．C
解析：C 【分析】
首先根据已知条件得到410a =，再依次判断选项即可得到答案.
由题知：410a =，
对选项A ，()2
444113a =--=，故A 错误；
对选项B ，2
44115a =-=，故B 错误；
对选项C ，()
4441102a ⨯+==，C 正确； 对选项D ，()
444162
a ⨯-==，故D 错误. 故选：C 【点睛】
本题主要考查数列的通项公式，属于简单题.
二、多选题 21．BCD 【分析】
根据题意写出，，，从而判断A ，B 的正误；写出递推关系，对递推关系进行适当的变形，利用累加法即可判断C ，D 的正误． 【详解】
对A ，，，故A 不正确； 对B ，，故B 正确； 对C ，由，，
解析：BCD 【分析】
根据题意写出8a ，6S ，7S ，从而判断A ，B 的正误；写出递推关系，对递推关系进行适当的变形，利用累加法即可判断C ，D 的正误． 【详解】
对A ，821a =，620S =，故A 不正确； 对B ，761333S S =+=，故B 正确；
对C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，…，202120222020a a a =-，可得
135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=，故C 正确；
对D ，该数列总有21n n n a a a ++=+，2
121a a a =，则()222312321a a a a a a a a =-=-， ()233423423a a a a a a a a =-=-，…，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-， 22019a =2019202020192018a a a a -，220202020202120202019a a a a a =-， 故2222
123202*********a a a a a a +++⋅⋅⋅+=，故D 正确．
故选：BCD
关键点睛：解答本题的关键是对CD 的判断，即要善于利用21n n n a a a ++=+对所给式子进行变形.
22．ACD 【分析】
先计算出数列的前几项，判断AC ，然后再寻找规律判断BD ． 【详解】
由题意，，A 正确，，C 正确； ，∴数列是周期数列，周期为3． ，B 错； ，D 正确． 故选：ACD ． 【点睛】 本
解析：ACD 【分析】
先计算出数列的前几项，判断AC ，然后再寻找规律判断BD ． 【详解】
由题意211122a =-=，31
1112a =-=-，A 正确，313
2122
S =+-=，C 正确；
41
121
a =-
=-，∴数列{}n a 是周期数列，周期为3． 2019367331a a a ⨯===-，B 错；
201932019
67322
S =⨯=，D 正确．
故选：ACD ． 【点睛】
本题考查由数列的递推式求数列的项与和，解题关键是求出数列的前几项后归纳出数列的性质：周期性，然后利用周期函数的定义求解．
23．BC 【分析】
根据数列的前几项归纳出数列的通项公式，再验证即可； 【详解】
解：斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……， 显然，，，，，所以且，即B 满足条件； 由，
所以数列
解析：BC 【分析】
根据数列的前几项归纳出数列的通项公式，再验证即可； 【详解】
解：斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，
显然()()11,21F F ==，()()()3122F F F =+=，()()()4233F F F =+=，
，
()()()11,2F n F n F n n +=+-≥，所以()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==，即B 满足条件；
由()()()11,2F n F n F n n +=+-≥， 所以(
)(
)(
)()11F n n F n n ⎤+-
=--⎥⎣⎦
所以数列(
)()1F n n ⎧⎫⎪⎪
+⎨⎬⎪⎪⎩⎭
为公比的等比数列， 所以(
)(
)1n
F n n +-=⎝⎭
1115()n F F n n -
+=++， 令
1
n
n n F
b -=
⎝⎭
，则11n n b +=
+，
所以1
n n b b +=
-， 所以n
b ⎧⎪
⎨⎪⎪⎩⎭
以
510-3
2
-为公比的等比数列，
所以1
n n b -
+， 所以
()11
15n n n n
F n --⎤
⎤⎛⎫
+⎥⎥=+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝
⎭⎝⎭⎣
⎦⎣⎦； 即C 满足条件； 故选：BC 【点睛】
考查等比数列的性质和通项公式，数列递推公式的应用，本题运算量较大，难度较大，要
求由较高的逻辑思维能力，属于中档题．
24．ABC 【分析】
因为是等差数列，由可得，利用通项转化为和即可判断选项A ；利用前项和公式以及等差数列的性质即可判断选项B ；利用等差数列的性质即可判断选项C ；由可得且，即可判断选项D ，进而得出正确选项
解析：ABC 【分析】
因为{}n a 是等差数列，由612S S =可得9100a a +=，利用通项转化为1a 和d 即可判断选项A ；利用前n 项和公式以及等差数列的性质即可判断选项B ；利用等差数列的性质
961014a d a a d a =++=+即可判断选项C ；由0d <可得6140a a d +=<且60a >，
140a <即可判断选项D ，进而得出正确选项.
【详解】
因为{}n a 是等差数列，前n 项和为n S ，由612S S =得：
1267891011120S S a a a a a a -=+++++=，即()91030a a +=，即9100a a +=，
对于选项A ：由9100a a +=得12170a d +=，可得1:17:2a d =-，故选项A 正确； 对于选项B ：()
()
11891018181802
2
a a a a S ++=
=
=，故选项B 正确；
对于选项C ：911691014a a a a a a d d =+=++=+，若0d >，则6140a a d +=>，故选项C 正确；
对于选项D ：当0d <时，6140a a d +=<，则614a a <-，因为0d <，所以60a >，140a <，
所以614a a <，故选项D 不正确， 故选：ABC 【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是由612S S =得出9100a a +=，熟记等差数列的前n 项和公式和通项公式，灵活运用等差数列的性质即可.
25．ABD 【分析】
由题意利用等差数列的通项公式、求和公式可得，结合等差数列的性质，逐一判断即可得出结论． 【详解】
∵等差数列的前项和为，， ∴，解得， 故，故A 正确；
∵，，故有，故B 正确； 该数
解析：ABD 【分析】
由题意利用等差数列的通项公式、求和公式可得19a d =-，结合等差数列的性质，逐一判断即可得出结论． 【详解】
∵等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1385a a S +=， ∴()11187
5282
a a d a d ⨯++=+
，解得19a d =-， 故10190a a d =+=，故A 正确；
∵918a a d d d =+=-=，11110a a d d =+=，故有911a a =，故B 正确； 该数列的前n 项和()21119
2
22
n n n n S na d d d n -=+=-⋅ ，它的最值，还跟d 的值有关，
故C 错误； 由于61656392S a d d ⨯=+=-，1311312
13392
S a d d ⨯=+=-，故613S S =，故D 正确， 故选：ABD. 【点睛】
思路点睛：利用等差数列的通项公式以及前n 项和公式进行化简，直接根据性质判断结果.
26．BCD 【分析】
利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解. 【详解】
选项A: ,得是等差数列，当时不是等比数列，故错; 选项B: ,,得是等差数列，故对; 选项C: ,,当时也成立，是等比数列
解析：BCD 【分析】
利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解. 【详解】
选项A: 1*()n n a a n N +∈=,10n n a a +∴-=得{}n a 是等差数列，当0n a =时不是等比数列，故错; 选项B:
2n S An Bn =+,12n n a a A -∴-=,得{}n a 是等差数列，故对;
选项C: ()11n
n S =--,112(1)(2)n n n n S S a n --∴-==⨯-≥,当1n =时也成立，
12(1)n n a -∴=⨯-是等比数列，故对;
选项D: {}n a 是等差数列，由等差数列性质得n S ，2n n S S -，*32()n n S S n N -∈是等差数
列，故对;
故选：BCD
【点睛】
熟练运用等差数列的定义、性质、前n 项和公式是解题关键.
27．ACD
【分析】
由题可得，，，求出可判断A ；利用二次函数的性质可判断B ；求出可判断C ；令，解出即可判断D.
【详解】
设等差数列的公差为，则，解得，
，，且，
对于A ，，故A 正确；
对于B ，的对称
解析：ACD
【分析】
由题可得16a d =-，0d <，21322
n d d S n n =-，求出80a d =<可判断A ；利用二次函数的性质可判断B ；求出49,S S 可判断C ；令213022n d d S n n =
->，解出即可判断D. 【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ，则()5111122+4++100a a a d a d +==，解得16a d =-， 10a >，0d ∴<，且()21113+
222n n n d d S na d n n -==-， 对于A ，81+7670a a d d d d ==-+=<，故A 正确；
对于B ，21322n d d S n n =-的对称轴为132
n =，开口向下，故6n =或7时，n S 取得最大值，故B 错误； 对于C ，4131648261822d d S d d d =⨯-⨯=-=-，9138191822
d d S d =⨯-⨯=-，故49S S =，故C 正确； 对于D ，令213022n d d S n n =
->，解得013n <<，故n 的最大值为12，故D 正确. 故选：ACD.
【点睛】
方法点睛：由于等差数列()2111+222n n n d d S na d n a n -⎛⎫==+- ⎪⎝
⎭是关于n 的二次函数，当1a 与d 异号时，n S 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当1a 与d 同号时，n S 在1n =取最值.
28．ABD
【分析】
由可判断AB ，再由a1＞0，d ＜0，可知等差数列数列先正后负，可判断CD.
【详解】
根据等差数列定义可得，所以数列单调递减，A 正确；
由数列单调递减，可知数列有最大值a1，故B 正
解析：ABD
【分析】
由10n n a a d +-=<可判断AB ，再由a 1＞0，d ＜0，可知等差数列数列{}n a 先正后负，可判断CD.
【详解】
根据等差数列定义可得10n n a a d +-=<，所以数列{}n a 单调递减，A 正确；
由数列{}n a 单调递减，可知数列{}n a 有最大值a 1，故B 正确；
由a 1＞0，d ＜0，可知等差数列数列{}n a 先正后负，所以数列{}n S 先增再减，有最大值，C 不正确，D 正确.
故选：ABD.
29．AB
【分析】
根据等差数列的性质及可分析出结果.
【详解】
因为等差数列中，
所以，
又，
所以，
所以，，故AB 正确，C 错误；
因为，故D 错误，
故选：AB
【点睛】
关键点睛：本题突破口在于由
解析：AB
【分析】
根据等差数列的性质及717S S =可分析出结果.
【详解】
因为等差数列中717S S =，
所以89161712135()0a a a a a a ++
++=+=， 又10a >，
所以12130,0a a ><，
所以0d <，12n S S ≤，故AB 正确，C 错误； 因为125251325()2502a a S a +=
=<，故D 错误， 故选：AB
【点睛】
关键点睛：本题突破口在于由717S S =得到12130a a +=，结合10a >，进而得到12130,0a a ><，考查学生逻辑推理能力.
30．ABD
【分析】
由等差数列的性质直接判断AD 选项，根据等差数列的定义的判断方法判断BC 选项.
【详解】
A.因为数列是等差数列，所以，即，所以A 正确；
B. 因为数列是等差数列，所以，那么，所以数
解析：ABD
【分析】
由等差数列的性质直接判断AD 选项，根据等差数列的定义的判断方法判断BC 选项.
【详解】
A.因为数列{}n a 是等差数列，所以1n n a a d +-=，即1n n a a d +=+，所以A 正确；
B. 因为数列{}n a 是等差数列，所以1n n a a d +-=，那么
()()()11n n n n a a a a d ++---=--=-，所以数列{}n a -是等差数列，故B 正确； C.111111n n n n n n n n a a d a a a a a a ++++---==，不是常数，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
不是等差数列，故C 不正确；
D.根据等差数列的性质可知122n n n a a a ++=+，所以1n a +是n a 与2n a +的等差中项，故D 正确.
故选：ABD
【点睛】
本题考查等差数列的性质与判断数列是否是等差数列，属于基础题型.
31．BD
【分析】
由，即，进而可得答案．
【详解】
解：，
因为
所以，，最大，
故选：．
【点睛】
本题考查等差数列的性质，解题关键是等差数列性质的应用，属于中档题． 解析：BD
【分析】
由6111160S S S S =⇒-=，即950a =，进而可得答案．
【详解】
解：1167891011950S S a a a a a a -=++++==，
因为10a >
所以90a =，0d <，89S S =最大，
故选：BD ．
【点睛】
本题考查等差数列的性质，解题关键是等差数列性质的应用，属于中档题．
32．ABD
【分析】
首项根据得到，从而得到是以首项为，公差为的等差数列，再依次判断选项即可.
【详解】
对选项A ，因为，，
所以，即
所以是以首项为，公差为的等差数列，故A 正确.
对选项B ，由A 知：
解析：ABD
【分析】 首项根据11,121n n n a a a a +==+得到1112n n a a +-=，从而得到1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是以首项为1，公差为2的等差数列，再依次判断选项即可.
【详解】
对选项A ，因为121
n n n a a a +=+，11a =， 所以121112n n n n a a a a ++==+，即1112n n
a a +-= 所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是以首项为1，公差为2的等差数列，故A 正确. 对选项B ，由A 知：112121n n n a 数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和()21212n n n S n +-==，故B 正确. 对选项C ，因为121n n a =-，所以121
n a n =-，故C 错误. 对选项D ，因为121
n a n =
-，所以数列{}n a 为递减数列，故D 正确. 故选：ABD
【点睛】
本题主要考查等差数列的通项公式和前n 项和前n 项和，同时考查了递推公式，属于中档题. 33．AD
【分析】
运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由二次函数的配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由解不等式可判断D ．
【详解】
等差数列的前n 项和为，公差，由，可
解析：AD
【分析】
运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由二次函数的配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由0n
S <解不等式可判断D ． 【详解】
等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，由690S =，可得161590a d +=，即12530a d +=，①
由7a 是3a 与9a 的等比中项，得2739a a a =，即()()()2
111628a d a d a d +=++，化为1100a d +=，②
由①②解得120a =，2d =-，则202(1)222n a n n =--=-，
21(20222)212
n S n n n n =+-=-， 由2
2144124n S n ⎛⎫=--+ ⎪⎝
⎭，可得10n =或11时，n S 取得最大值110； 由2102n S n n -<=，解得21n >，则n 的最小值为22. 故选：AD
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及等比中项的性质，二次函数的最值求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题.
34．AC
【分析】
直接利用等差数列的定义性质判断数列是否为等差数列．
【详解】
A 选项中（，为常数，），数列的关系式符合一次函数的形式，所以是等差数列，故正确，
B 选项中（为常数，），不符合从第二项起
解析：AC
【分析】
直接利用等差数列的定义性质判断数列是否为等差数列．
【详解】
A 选项中n a kn b =+（k ，b 为常数，*n N ∈），数列{}n a 的关系式符合一次函数的形式，所以是等差数列，故正确，
B 选项中2n n a a d +-=（d 为常数，*n N ∈），不符合从第二项起，相邻项的差为同一个常数，故错误；
C 选项中()
*2120n n n a a a n ++-+=∈N ，对于数列{}n a 符合等差中项的形式，所以是等差数列，故正确；
D 选项{}n a 的前n 项和21n S n n =++（*n N ∈），不符合2n S An Bn =+，所以{}n a 不
为等差数列．故错误．
故选：AC
【点睛】
本题主要考查了等差数列的定义的应用，如何去判断数列为等差数列，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
35．BC
【分析】
分别运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由Sn>0解不等式可判断D ．
【详解】
由公差，可得，即，①
由a7是a
解析：BC
【分析】
分别运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由S n >0解不等式可判断D ．
【详解】
由公差60,90d S ≠=，可得161590a d +=，即12530a d +=，①
由a 7是a 3与a 9的等比中项，可得2739a a a =，即()()()2
111628a d a d a d +=++，化简得110a d =-，②
由①②解得120,2a d ==-，故A 错，B 对； 由()()22121441201221224n S n n n n n n ⎛⎫=+-⨯-=-=--+ ⎪⎝⎭
*n N ∈，可得10n =或11时，n S 取最大值110，C 对；
由S n >0，解得021n <<，可得n 的最大值为20，D 错；
故选：BC
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．。