上海市高一下学期期末数学试题(解析版)

一、填空题
1．已知、，且，（其中为虚数单位），则____________． 1z 2C z ∈12i z =+234z i =-i 12z z -=【答案】##
15i -+5i 1-【分析】利用复数的减法化简可得结果. 【详解】. 122i 34i 15i z z -=+-+=-+故答案为：.
15i -+2．已知，
,且、的夹角为，则______． 2= a 3b = a b
π3a b -=
【分析】根据求出，根据即可求出.
cos ,a b a b a b ⋅=⋅⋅ a b ⋅
a a
b - 【详解】因为，，且、的夹角为，
2= a 3b = a b
π3
∴，
1cos ,2332
a b a b a b ⋅=⋅⋅=⨯⨯=
∴. a ==
. 3．已知复数满足（其中为虚数单位），则=___________． z 13i
2i z
+=i z
【分析】根据复数的除法法则及复数的摸公式即可求解.
【详解】由，得
， 13i
2i z
+=()()()i i 2i 213i 13i 3i 1222i 3i z ⨯-⨯-++-====-
=
4．在中，，则_______
ABC A 60,6,5B AB BC ∠=== AB BC ⋅=
【答案】
15-【分析】利用平面向量的数量积的运算即可得到答案. 【详解】因为，
60,6,5B AB BC ∠=== 所以.
()1cos 1806065152AB BC AB BC ⎛⎫⋅=⋅-=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭
故答案为：.
15-5．正方体中，M 、N 分别是棱BC ，CC 1的中点，则直线MN 与D 1C 的位置关系1111ABCD A B C D -是______. 【答案】异面
【分析】由异面直线的定义即可判断.
【详解】正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱BC ，CC 1的中点， ∵平面，平面DCC 1D 1，， MN 11DCC D N =1D C ⊂1N D C ∉∴直线MN 与D 1C 的位置关系是异面．
故答案为：异面．
6．已知关于的实系数一元二次方程有一个模为1的虚根，则实数的取值为x 2220x kx k k ++-=k ______.
【分析】根据实系数一元二次方程有虚根的性质，结合根与系数关系、复数与其共轭复数乘积的关系，可以求出实数的取值为
k 【详解】因为关于的实系数一元二次方程有一个模为1的虚根，所以方程
x 2220x kx k k ++-=的判别式小于零，即，
2220x kx k k ++-=22
(2)4()00k k k k --<⇒<关于的实系数一元二次方程有一个模为1的虚根，所以两根是互为共轭的虚x 2220x kx k k ++-=根，设为，而由题意可知：，由根与系数的关系可得：，而，,z z 1z z ==2z z k k ⋅=-1z z z ⋅==
因此有210z z k k k k k ⋅=-=⇒=<∴=
【点睛】本题考查了实系数一元二次方程有虚根的条件，考查了实系数一元二次方程有虚根的性质，考查了互为共轭的两个复数乘积的性质，考查了数学运算能力.
7．如图，在长方体中，，，则直线与平面所成角1111ABCD A B C D -4AB BC ==12AA =1BC 11BB D D 的正弦值为
__________.
【分析】过作，垂足为，则平面，则即为所求角，从而可得1C 111C H B D ⊥H 1C H
⊥11BB D D 1C BH ∠结果.
【详解】依题意，画出图形，如图，
过作，垂足为， 1C 111C H B D ⊥H 可知点H 为中点，
4,AB BC ==由平面，
1BB ⊥11A C 可得，又 11C H BB ⊥1111D B BB B ⋂=所以平面， 1C H ⊥11BB D D 则即为所求角， 1C BH ∠因为，， 4AB BC ==12AA
=所以，
111sin C
H C BH BC ∠=
==8．如图，在直角三角形ABC 中，斜边AB ＝4，，以斜边AB 为一边向外作矩形
,63ABC ππ∠⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
ABMN ，且BM ＝2（其中点M 、N 与C 在直线AB 两侧），则的取值范围是________．
CM CN ⋅
【答案】
4,12]【分析】设，以为原点直线、分别为轴、轴，建立平面直角坐标
,63ABC ππθ⎛⎫
∠=∈ ⎪⎝⎭
C CB CA x y 系，把表示为关于的三角函数可解决此题．
CM CN ⋅
θ【详解】解：设，，以为原点直线、分别为轴、轴，建立平面直角
(6ABC π
θ∠=∈3π
C CB CA x y 坐标系，如图所示：
则，，，
(4cos 2sin ,2cos )M θθθ+(2sin ,4sin 2cos )N θθθ+(0,0)C
∴()()4cos 2sin 2sin 2cos 4sin 2cos CM CN θθθθθθ⋅=+⋅++
． 228sin cos 4sin 8sin cos 4cos 8sin 24θθθθθθθ=+++=+
，，，，， (6πθ∈ )3π2(3πθ∴∈2)3π
sin 2θ∴∈⎤⎥⎦
． 8sin 24θ∴+∈(
4,12⎤⎦
故答案为：．
(
4,12⎤+⎦【点睛】本题考查平面向量的数量积的取值范围问题，对于较为复杂的一些问题，建立坐标系，利用坐标法求平面向量的数量积的取值范围是行之有效的方法．
二、单选题
9．已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，
ABCD E F AB BC AB a =
AD b =
则等于（ ）
EF
A ．
B ．
C ．
D ．
()
12
a b + ()
12
a b - ()
12
b a - 12
a b + 【答案】A
【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案； 【详解】连结，则为的中位线，
AC AC ABC A ，
∴111222
EF AC a b ==+
故选：A
10．设复数z =a +b i(a ，b ∈R )，若与互为共轭复数，则复数z 在复平面内对应的点位于i a -2i b +（ ） A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】A
【分析】根据共轭复数的概念求出即可判断.
,a b 【详解】因为与互为共轭复数，所以， i a -2i b +2,1a b ==则复数z 在复平面内对应的点位于第一象限. ()2,1故选：A.
11．以下数都在复数范围内
（1）如果，则，； i 12i a b +=-1a =2b =-
（2）
1z +（3）；
(
)()2
212
1
2
z z z
z ⋅=⋅（4）若，则. ()()2
2
120z z z z -+-=12z z z ==其中正确命题的个数是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【答案】B
【分析】利用复数的运算性质逐项分析即可 【详解】（1）错误,因为可以是复数
,a b （2）错误,设,其中.
111222i,i z x y z x y =+=+1212,,,R x x y y ∈
()()()()222
21212121212i .z z x x y y x x y y +=+++=+++
()
()()()()()()22
22
12121212121212i 2i z z x x y y x x y y x x y y ⎡⎤+=+++=+-++++⎣⎦
显然,从而()2
2
1212z z z z +≠+12z z +≠（3）正确,
()()
()2
22
2
2
2
12
1
2
121212
z z z z z z z z z z ⋅=⋅=⋅=⋅=⋅（4）错误,,则与互为相反数,复数范围内允许为负数,如
()()2
2
120z z z z -+-=()2
1z z -()2
2z z - 12i,0,1i z z z ===+故选：B
12．如图，正方体AC 1的棱长为1，过点A 作平面A 1BD 的垂线，垂 足为点H ．则以下命题中，错误的命题是
A ．点H 是△A 1BD 的垂心
B ．AH 垂直平面CB 1D 1
C ．AH 的延长线经过点C 1
D ．直线AH 和BB 1所成角为45° 【答案】D
【详解】因为三棱锥A －A 1BD 是正三棱锥，故顶点A 在底面的射影是底面的中心，A 正确；平面A 1BD ∥平面CB 1D 1，而AH 垂直于平面A 1BD ，所以AH 垂直于平面CB 1D 1，B 正确；根据对称性知C 正确，故选D.
三、解答题
13．已知.
(1,0),(2,1)a b ==
(1)若,且、、三点共线,求的值. 2,AB a b BC a mb =-=+
A B C m (2)当实数为何值时,与垂直? k ka b - 2a b +
【答案】(1)
1
2
-(2) 125
【分析】（1）根据题意，由、、三点共线，可得与共线，列出方程即可得到的值；
A B C AB
BC m （2）根据题意，由平面向量垂直的坐标运算，代入公式，即可得到结果.
【详解】（1）由题意可得，， ()()0,1,12,AB BC m m =-=+
且、、三点共线，则可得，
A B C AB BC λ=
即，解得
()0121m m
λλ⎧=+⎨-=⎩12m =-（2）由题意可得，
， ()()2,1,25,2ka b k a b -=--+=
因为与垂直，则可得
ka b - 2a b +
()()52210k -+⨯-=解得 125
k =
14．已知复数． ()121i,z m m m R =-++∈(1)求||的最小值；
1z (2)若复数为纯虚数，复数满足，，求． 1z 2z 24=z
12||5z z +=1
2
z z 【答案】(2)
3i 4
±
【分析】（1）由复数模的公式，求得1z ==质，即可求解；
（2）根据复数的分类，列出方程组求得，设，结合题意，得到13i z =2z a bi =+()123i
z z a b +=++
，列出方程组，求得的值，即可求解.
,a b 【详解】（1）解：由复数，
()121i,z m m m R =-++∈可得
1z
==≥=
故当时，的最小值为 12m =
1z （2）解：因复数是纯虚数，所以，解得，故
()121i z m m =-++20
10m m -=⎧⎨+≠⎩
2m =13i z =设，则，
2i,,)(z a b a b R =+∈()123i z z a b +=++由题意得，解之得或，所以或， ()22
2
216
325
a b a b ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩40a b =⎧⎨=⎩40a b =-⎧⎨=⎩24z =24z =-所以. 123
i 4
z z =±
15．如图，已知在长方体中，，，点是的中点．
1111ABCD A B C D -3DA DC ==15DD =E 1D C
(1)求证：平面；
1AD ∥EBD (2)求异面直线与所成角的余弦值． 1AD DE 【答案】(1)证明见解析； (2). 2534
【分析】(1)如图，根据中位线的性质可得，由线面平行的判定定理即可证明； 1//OE AD (2)由(1)可知为异面直线与所成角的平面角，利用勾股定理分别求出DEO ∠1AD DE DO OE DE 、、的值，结合余弦定理计算即可.
【详解】（1）连接AC ，交BD 于点O ，则O 为AC 的中点，
又因为E 为的中点，连接，则， 1CD OE 1//OE AD ∵平面EBD ，平面EBD ，
1AD ⊄OE ⊂平面EBD ；
∴1AD ∥（2）由(1)知，，
1//OE AD 所以为异面直线与所成角的平面角， DEO ∠1AD DE 在中，
DEO A 11122
DO DB OE AD =
=
==
， DE ==
由余弦定理，得
，
2
2
2
25cos 234
DE OE OD DEO DE OE +-∠===⋅故异面直线与所成角的余弦值为
. 1AD DE 25
34。