福建省厦门市同安一中2011届高三上学期期中考试理科数学试题

同安一中2010—2011学年度上学期高三年级期中考
理科数学试卷
命题人:陈坚集老师 审核人:柯天补老师 命题时间：2011年11月6
日
本试卷满分150分，考试时间120分钟。

参考公式：
样本数据1
x ，2
x ，…,n
x
的标准差：s 其中x 为样本平均数；
柱体体积公式：V =Sh ，其中S 为底面面积，h 为高； 锥体体积公式：13
V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高；
球的表面积、体积公式:2
4S R =π，3
43
V R =π,其中R 为球的半径．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。

1．设a ,b ∈R ,已知命题p ：a =b ；命题22:222
b a b a q +≤⎪
⎭
⎫
⎝⎛+，则p 是q 成立的
（ )
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 2．若抛物线y 2
=2px 的焦点与椭圆12
62
2=+y x 的右焦点重合，则p 的值
为（ ）
A ．-2
B ．2
C ．—4
D ．4
3
）
(第3题图)
A ．332
B ．334
C ．338
D ．33
4．已知等比数列,
5
4
4
3{}1,31,21,n
n a n S q S a S a ≠=+=+的前项和为公比若则q 等于
（ ）
A ．2
B ．—2
C ．3
D ．-1
5．若2
2
2
230
,,sin a x dx b x dx c xdx ===⎰
⎰⎰，则,,a b c 大小关系是
（ ）
A ．a 〈c <b
B ．a <b <c
C ．c 〈b 〈a
D ．c <a <b
6．已知向量)3cos 4,4(),1),6
(sin(-=+=απαb a ， 若a ⊥b ，则4sin()3
πα+等于
（ ) A
．B ．14
-
C
D ．1
4
7．若f （x )是偶函数，且当x ∈［0,+∞）时f (x ）=x —1，则f （x -1)〈0的解集是（ ）
A ．（－1，0）
B ．（－∞，0）∪（1，2）
C ．(1，2）
D ．(0,2）
8．执行右边的程序框图，输出的结果为 （ ）
A ．55
C ．144
D ． 233
9．设函数()sin()(0,0)2
f x x π
ωϕωϕ=+><<的部分图象
如图所示，直线6
x π=是它的一条对称轴,则函数f (x ）
的解析式为 ( ） A ．()sin()3
f x x π=+ B ．()sin(2)6
f x x π=-
C ．()sin(4)3
f x x π=+ D ．()sin(2)6
f x x π=+
10．设函数f ①f （x ， x )=
x ，
②(,)(,),f x y f y x =③()(,)(,),x y f x y yf x x y +=+
则f (12，16）+f （16，12）的值是 （ ) A ． 96
B ． 64
C ． 48
D ． 24
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中的横线上.
11．设复数2
221,z i z
z =-+则等于 ．
12．若（1+ax ）5
展开式中x 3的系数为—80，则实数a =__ __.
13．已知点(,)P x y 满足1023-504310x x y x y -⎧⎪+⎨⎪+-⎩
≤≤≥，
点(,)Q x y 在圆22(2)(2)1x y +++=上，则PQ 的最大值与最小值之差为 ．
14．在棱长为a 的正方体111
1
ABCD A BC D -内任取一点P ，则点P 到点A 的距
离小于等于a
的概率为_________。

15．已知()21,()2f x x g x x =-=-，数列{}()n
a n N *
∈的各项都为整数．．．．．．
，其前n 项和为n
S ，若点21
2(,)n n a
a -在函数()y f x =或()y g x =的图象上，且当n 为偶数
时,,2
n
n
a
=则80S = 。

(第9题图)
三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（本小题满分13分）袋中有同样的球5个，其中3个红色，2个黄色，现从中随机且不放回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量ξ为此时已摸球的次数，求：
（Ⅰ）随机变量ξ的概率分布列；（Ⅱ）随机变量ξ的数学期望与方差．
17．（本小题满分13分）在ABC ∆中,内角A B C ,,的对边分别为,,a b c ，已知
,,a b c 成等比数列，且3
cos 4
B =
．（Ⅰ）若32
BA BC ⋅=,求a c +的值；（Ⅱ）求cos cos sin sin A C
A
C
+的值．
18．(本小题满分13分）右图为一简单组合体,其底面ABCD 为正方形，
PD ⊥平面ABCD ,EC //PD ,且PD =EC 2．
（Ⅰ）求证：BE //平面PDA ; (Ⅱ)若N 为线段PB 的中点，求证：EN ⊥平面PDB ； （Ⅲ）若2=
AD
PD ，求平面PBE 与平面ABCD
所成的二面角的大小．
19．(本小题满分13分)已知抛物线2
4y x =，点(1,0)M 关于y 轴的对称点
为N ,直线l 过点M 交抛物线于,A B 两点．
(Ⅰ）证明：直线,NA NB 的斜率互为相反数； （Ⅱ)求ANB ∆面积的最小值;
A C
D
E
P
N
（Ⅲ）当点M的坐标为(,0)(0
m≠．根据(1）（2)结论试推测
m m>，且1)
并回答下列问题(不必说明理由）：
①直线,NA NB的斜率是否仍互为相反数？
②ANB
∆面积的最小值是多少？
20．（本小题满分14分）定义y
x y x F )1(),(+=，),0(,+∞∈y x ,
(Ⅰ)令函数f (x )=F （1,log 2(x 2-4x +9）)的图象为曲线1
C ，曲线1
C 与y 轴交
于点),0(m A ，过坐标原点O 向曲线1
C 作切线,切点为)0)(,(>n t n B ，设曲线1
C
在点B A 、之间的曲线段与线段O B O A 、所围成图形的面积为S ,求S 的值；
（Ⅱ）令函数g (x )=F (1，log 2（x 3+ax 2+bx +1）)的图象为曲线2
C ，若
存在实数b 使得曲线2
C 在)14(0
0-<<-x
x 处有斜率为—8的切线，求实数a
的取值范围；
(Ⅲ）当*
,N y x ∈ 且x <y 时，证明),(),(x y F y x F >．
21．本题有（Ⅰ)、（Ⅱ）、（Ⅲ）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答,满分14分.如果多做，则按所做的前两题计分. (Ⅰ）(本小题满分7分） 选修4-2: 矩阵与变换
已知矩阵⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=1102M :
（1）求矩阵M 的逆矩阵1
-M ；(2）求矩阵M 的特征值及相应的特征向量．
（Ⅱ) （本小题满分7分) 选修4-4：极坐标与参数方程
已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点O 处,极轴与x 轴的正半轴重合.直线l 的极坐标方程为2
2
)4
sin(=
+πθρ，圆C 的参数方程为
2cos 2sin 2
x y θ
θ=⎧⎨
=+⎩（参数[)02θ∈π，)，求圆心C 到直线l 的距离．
(Ⅲ) (本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲
已知,,x y z为正实数，且1111
++=，求x+4y+9z的最小值及取得最
x y z
小值时,,x y z的值．
同安一中2010-2011年度上学期高三年期中考理科数学试卷参考答
案与评分标准
一、选择题:BDBA DBDB DA 二、填空题：(11） 12i + ；（12） －2 ; (13）4 ； （14)16
π ； (15）
820．
三、解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（Ⅰ）随机变量ξ
可取的值为2,3,4,111
232
11
543(2);5
C C C P C C ξ=== 于是
22cos cos sin cos cos sin sin()sin 147
sin sin sin sin sin sin sin A C C A C A A C B A C A C B B B +++=====13分
18．解：(I ）证明：PDA EC PAD PD ,PD //EC 平面，平面⊄⊂ ，
PDA //EC 平面∴，同理可得BC//平面PDA ，
C BC EC EBC BC EBC EC =⋂⊂⊂且平面，平面 PDA //EBC 平面平面∴，又EBC BE 平面⊂ ，
A
B
C D
E
P
N x y
z
PDA //EB 平面∴ (4)
分
（II ）如图以点D 为坐标原点，以AD 所在的直线为x 轴建立 空间直角坐标系如图示：设该简单组合体的底面边长为1，PD=a ， 则B(1，1,0），C （0, 1，0),P(0，0,a ），E(0,1，2
a ），N(21,2
1，2
a ）．
()()0,1,1DB ,a ,1,1PB ,0,21,21EN =-=⎪⎭
⎫
⎝⎛-=∴
00012
1
121DB EN 0,0a -121121PB EN =⨯+⨯-⨯=•=⨯⨯-⨯=•
DB EN ,PB EN ⊥⊥∴
,PDB NE B DB PB PDB,DB PB 平面，且面、⊥∴=⋂⊂ ……………………8分
（III ）连结DN,由（II)知，面PDB EN ⊥
PB DN DB,PD AD,2DB ,2AD
PD
,NE DN ⊥∴=∴==⊥∴
又当l 垂直于
x 轴时，点,A B 关于x 轴,显然0,NA NB NA NB k k k k +==-．
综上,0,NA
NB NA NB k
k k k +==-． ……………………5分
（Ⅱ）41
148)(44)(2
212122121>+
=++=-+=-=∆k x x y y y y y y S
NAB
当L 垂直x 轴时，
ANB ∆面积的最小值为4 …………10分
(Ⅲ）① 直线,NA NB 的斜率仍互为相反数;
② ANB 面积的最小值是m m 4。

………… 13分
20．解:（Ⅰ）∵F (x ，y ）=(1+x ）y
由（1）得
02
0238ax x b ---=,代入（3）得082020<---ax x ， (7)
分
∴由⎩
⎨⎧-<<->++140
820020x ax x 有解，得
2×(-4）2+a ×（-4）+8>0或2×(—1）
2
+a ×(—1)+8>0，
∴a <10或a <10, ∴
a <10． …………9分
（Ⅲ）令1,)
1ln()(≥+=x x x x h ，由2
)1ln(1)(x x x x
x h +-+=',
…………10分
又令0),1ln(1)(>+-+=x x x x
x p ，
∴0)1(11)
1(1)(22<+-=+-+=
'x x
x x x p ， ∵p （x ）在［0,+∞)连续 ∴p (x ）在［0,+∞)单调递减， ………12分
∴当0>x 时有,0)0()(=<p x p ，∴当1≥x 时有，0)(<'x h ， ∴
h （x )在［1,+∞)单调递
减, ………13分 ∴y x <≤1时，有
y
y x x )
1ln()1ln(+>+，∴y ln(1+x )>x ln(1+y ），
∴(1+x ）y >(1+y ）x ，
∴当*
,N y x ∈ 且x <y 时，),(),(x y F y x F > ． (14)
分
21．（Ⅰ）解：（1）已知矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1102M ，2det =∴M ，
⎪
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=∴-1210211M ………3分
(2）M 的特征多项式01
1
2
)(=---=λλλf ，解得2,121==λλ 1ξ=01⎛⎫
⎪⎝⎭
是λ1的属于矩阵M 的一个特征向量；
2ξ=11⎛⎫ ⎪⎝⎭
是λ2的属于矩阵M 的一个特征向
量； ………7分
(Ⅱ） 解：直线l 的直角坐标方程为：x + y -1= 0 …………2分
圆C 的普通方程为：
x 2+(y —2)2=4 …………4分
圆心
C （0，2）到直线
l 的距离
1
11+=
d =
2
2
…………7分
(Ⅲ)解：由柯西不等式得
222222249]]36x y z ++=++⋅++≥+=
………4分
当且仅当x =2y =3z 时等号成立，此时x =6,y =3,z =2
所以当x =6，y =3，z =2时，x +4y +9z 取得最小值36 ………… 7分。