高二数学期中考试复习题参考答案(详细版)

一、单选题
1．若直线
220ax y a -++=与3(5)50x a y +-+=平行，则a 的值为（ ）
A ．2
B ．1或3
C ．3
D ．2或3
【答案】A 【解析】 【分析】
根据直线平行得到
(5)23
a a -=-⨯，排除重合情况，计算得到答案.
【详解】 因为直线
220ax y a -++=与3(5)50x a y +-+=平行
所以
(5)23a a -=-⨯，解得2a =或3a =
当3a =时，这两条直线重合，排除，故2a =. 故选A
【点睛】
本题考查了根据直线平行求参数，忽略掉重合的情况是容易犯的错误.
2．已知
0a >，0b >，直线1l ：(1)10a x y -+-=，2l ：210x by ++=，且12l l ⊥，
则
21
a b
+的最小值为（ ） A ．2 B ．4
C ．8
D ．9
【答案】C 【解析】 【分析】
由12l l ⊥，可求得21a b +=，再由()2121424b a
a b a b a b a b
⎛⎫+=++=++ ⎪
⎝⎭，利用基本不等式求出最小值即可. 【详解】
因为
12l l ⊥，所以()11120a b -⨯+⨯=，即21a b +=，
因为
0a >，0b >，所以
()212144222428b a b a a b a b a b a b a b
⎛⎫+=++=+++≥+⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当4b a a b =，即11
,24a b ==时等号成立， 所以21a b
+的最小值为8.
故选：C. 【点睛】
本题考查垂直直线的性质，考查利用基本不等式求最值，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
3．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最
短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为()2,0B -，若将军从山脚下的点1,03A ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
处出发，河岸线所在直线方程为
23x y +=，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A ．
145 B ．5 C ．135
D ．163
【答案】A
【解析】 【分析】
根据题意，求得点
(2,0)B -关于直线23x y +=的对称
点为
(0,4)C ，结合两点间的距离公式，求得BC
长，即可
求解. 【详解】
如图所示，设点
(2,0)B -关于直线23x y +=的对称点为11(,)C x y ，
可得11
1
11()12222322
y x x y ⎧⋅-=-⎪+⎪⎨-⎪+⨯=⎪⎩，解得1
0,4C x y ==，即(0,4)C
则
221145(0)(40)33
BC =-+-=
，即“将军饮马”的最短总路程为
145
.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了直线方程的实际应用问题，其中解答中合理转化，求得点关于直线的对称点，结合两点间的距离公式求解是解答的关键，着重考查转化思想，以及推理与运算能力.
4．已知点
()2, 2,,3()1A B -，若直线
10kx y --=与线段AB 有交点，则实数k 的取值范围是（ ）
A ．
3(,4),2⎛⎫
-∞-+∞ ⎪⎝⎭
B ．
34,2⎛
⎫- ⎪⎝⎭
C ．3(,4],2⎡⎫
-∞-+∞⎪⎢⎣⎭
D ．
34,2⎡
⎤-⎢⎥⎣
⎦ 【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意知A 、B 两点在直线的异侧或在直线上，得出不等式（2k ﹣2﹣1）×（﹣k ﹣3﹣1）≤0，求出解集即可． 【详解】
根据题意，若直线l ：kx ﹣y ﹣1＝0与线段AB 相交， 则A 、B 在直线的异侧或在直线上， 则有（2k ﹣2﹣1）×（﹣k ﹣3﹣1）≤0，
即（2k ﹣3）（k +4）≥0，解得k ≤﹣4或k ≥
3
2
， 即k 的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[
3
2
，+∞）． 故选C ． 【点睛】
本题考查直线与线段AB 相交的应用问题，考查了转化思想，是基础题．
5．已知圆
22:230C x y x ++-=,直线():2()10l x a y a R ++-=∈,则
A ．
l 与C 相离 B ．
l 与C 相交
C ．
l 与C 相切
D ．以上三
个选项均有可能 【答案】B 【解析】 【分析】 首先求得
l 恒过的定点，可判断出定点在圆内，从而得到直线与圆相交.
【详解】
由
l 方程可知，直线l 恒过定点：()2,1-
又
()2,1-为圆C 内部的点 l ∴与C 相交
本题正确选项：B
【点睛】
本题考查直线与圆位置关系的判定，关键是确定直线恒过的定点，根据点在圆内得到结果.
6．“
1k =”是“直线0x y k -+=与圆221x y +=相交”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】
试卷第2页，总16页
圆的圆心为原点，半径，原点到直线的距离，
当时，，所以，直线与圆相交；反之，若直线
与圆
相交，则有
，即
，解得：
，因此，根据充分、必要条件的概念，“”是“直线
与圆
相交”的充分不必要条件，故选A ．
主要考查充要条件的概念及充要条件的判定方法.
7．圆
22
:20
A x y x +-=和圆
22
:40
B x y y +-=的公切线条数是（ ）
A ．4条
B ．3条
C ．2条
D ．1条
【答案】C 【解析】 【分析】
判断两个圆的位置关系，然后判断公切线条数． 【详解】
圆O 1：x 2+y 2﹣2x=0的圆心（1，0）半径为1；圆O 2：x 2+y 2﹣4y=0的圆心（0，2）半径为2，
O 1O 2
1
3
，∴两个圆相交，
所以圆O 1：x 2
+y 2
﹣2x=0和圆O 2：x 2
+y 2
﹣4y=0的公切线条数：2． 故选C ． 【点睛】
本题考查圆与圆的位置关系和两圆公切线的判定；在处理两圆的公切线条数时，要把问题转化为两圆位置关系的判定：当两圆相离时，两圆有四条公切线；当两圆外切时，两圆有三条公切线；当两圆相交时，两圆有两条公切线；当两圆内切时，两圆有一条公切线；当两圆内含时，两圆没有公切线.
8．若直线
0x y a ++=平分圆222410x y x y +-++=，则a 的值为（ ）
A ．1
B ．－1
C ．2
D ．－2
【答案】A 【解析】 【分析】
将圆的圆心代入直线方程即可. 【详解】
解：因为直线
0x y a ++=平分圆222410x y x y +-++=，
又圆的标准方程为
22(1)(2)4x y -++=，
所以直线经过圆心
(1,2)-，
120a -+=
所以
1a =，
故选A ． 【点睛】
本题考查直线和圆的位置问题，是基础题．
9．已知圆22(1)4x y -+=内一点P （2，1）
，则过P 点的最短弦所在的直线方程是（ ） A ．
10x y --= B ．
30x y +-=
C ．30x y ++=
D ．
2
x =
【答案】B 【解析】 【分析】
根据题意可知，当过圆心且过点
()2,1P 时所得弦为直径，当与这条直径垂直时所得弦长最短，即可由斜率关系求得
直线的斜率，结合点斜式即可求得直线方程. 【详解】
由题意可知,当过圆心且过点
()2,1P 时所得弦为直径，
当与这条直径垂直时所得弦长最短，
圆心为
()1,0C ,
()
2,1P ，
则由两点间斜率公式可得
10
121
CP k -=
=-，
所以与PC 垂直的直线斜率为1k =-，
则由点斜式可得过点
()2,1P 的直线方程为()112y x -=-⨯-，
化简可得
30x y +-=，
故选：B 【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系，最短弦与最长弦的关系，两点间斜率公式及垂直直线的斜率关系，点斜式求直线方程，
属于基础题.
10．圆
222430x x y y +++-=上到直线10x y ++=
的点共有( )
A ．
1个 B ．
2个
C ．
3个
D ．
4个
【答案】C 【解析】 【分析】
求出圆的圆心和半径，比较圆心到直线的距离和圆的半径的关系即可得解. 【详解】
圆
222430x x y y +++-=可变为()()22
128x y +++=，
∴圆心为()1,2--
，半径为 ∴圆心到直线10x y ++=
的距离d ==
∴
的点共有3个.
故选：C. 【点睛】
本题考查了圆与直线的位置关系，考查了学生合理转化的能力，属于基础题.
11．当点
P 在圆2
2
1x y +=上变动时，它与定点()3,0Q -的连线PQ 的中点的轨迹方程是（ ）
A ．
()
2
234x y ++=
B ．
()
2
231x y -+=
C ．
()
2
22341
x y -+=
D ．
()
2
22341x y ++=
【答案】D 【解析】 【分析】
设
PQ 中点的坐标为(),x y ，则()23,2P x y +，利用P 在已知的圆上可得PQ 的中点的轨迹方程. 【详解】
设
PQ 中点的坐标为(),x y ，则()23,2P x y +，
因为点
P 在圆22
1x y +=上，故()()222321x y ++=，整理得到()2
2
2341x y ++=.
故选：D. 【点睛】
求动点的轨迹方程，一般有直接法和间接法，
（1）直接法，就是设出动点的坐标，已知条件可用动点的坐标表示，化简后可得动点的轨迹方程，化简过程中注意变量的范围要求.
（2）间接法，有如下几种方法：①几何法：看动点是否满足一些几何性质，如圆锥曲线的定义等；②动点转移：设出动点的坐标，其余的点可以前者来表示，代入后者所在的曲线方程即可得到欲求的动点轨迹方程；③参数法：动点的横纵坐
标都可以用某一个参数来表示，消去该参数即可动点的轨迹方程. 12．已知点A (-3，1，-4)，点A 关于x 轴的对称点的坐标为（ ） A ．(-3，-1，4) B ．(-3，-1，-4)
C ．(3，1，4)
D ．(3，-1，
-4)
【答案】A 【解析】 【分析】
根据在空间直角坐标系中关于
x 轴对称的点的坐标是横标不变，纵标和竖标变为原来的相反数，即可得到结果.
【详解】
∵在空间直角坐标系中关于
x 轴对称的点的坐标横标不变，纵标和竖标变为原来的相反数，
∵点
()3,1,4A --，
∴关于x 轴对称的点的坐标是()3,1,4--，
故选：A.
【点睛】
本题考查空间直角坐标系中坐标的变化特点，关于三个坐标轴对称的点的坐标特点是解题的关键，属于基础题.
13．在四面体
OABC 中，E 为OA 中点，1
3
CF CB =，若OA a =，OB b =，OC c =
，
则
EF =（ ）
A ．112
233a b c -- B ．
114233a b c --+ C ．121233
a b c -++
D ．112233
a b c -++
【答案】D 【解析】 【分析】
运用空间向量基本定理及向量的线性运算可解答此问题． 【详解】
解：根据题意得，12OE OA =，13
CF CB =
EF F OE O =- ()
1
2A OC CF O =+-
11
32
CB OA OC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭
()
11
32OB OC OA OC ⎡⎤=+--⎢⎥⎣⎦
111
332
OB OC O OA C ⎡⎤=+--⎢⎥⎣⎦
111
332OB OC C OA O =+--
11232
3
OA OB OC =-++
OA a =，OB b =，OC c =
11112233233
2EF OA OB OC a b c ∴=-++=-++
故选：
D ．
【点睛】
本题考查空间向量基本定理的简单应用以及向量的线性运算，属于基础题．
14．已知P 为空间中任意一点，A 、B 、C 、D 四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且
41
36PA PB xPC DB =
-+，则实数x 的值为（ ） A ．13 B ．13- C ．
12 D ．
1
2
-
【答案】A 【解析】
414131()363626PA PB xPC DB PB xPC PB PD PB xPC =
-+=-+-=--，
又∵P 是空间任意一点，A 、B 、C 、D 四点满足任三点均不共线，但四点共面，
∴31
126x --=， 解得 x=13
， 故选A ． 点睛：设
P 是平面上任一点，,,A B C 是平面上的三点，PC xPA yPB =+（,,P A B 不共线）
，则,,A B C 三点共线1x y ⇔+=，把此结论类比到空间上就是：,,PA PB PC 不共面，若
PD xPA yPB zPC =++，则,,,A B C D 四点共面1x y z ⇔++=．
15．下列命题正确的是（ ）
A ．
a b a b
-<+是向量
a ，
b 不共线的充要条件
B ．在空间四边形
ABCD 中，0AB CD BC AD CA BD ⋅+⋅+⋅=
C ．在棱长为1的正四面体
ABCD 中，12
AB BC ⋅=
D ．设
A ，
B ，
C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若123
3
OP OA OB OC =++，则P ，
A ，
B ，
C 四点共面
【答案】B 【解析】 【分析】
由向量共线和充分必要条件的定义可判断A ；由向量的加减和数量积的定义可判断B ； 由向量数量积的定义计算可判断C ；由四点共面的条件可判断D ． 【详解】
解：由|
a |﹣|
b |＜|a b +|，向量a ，b 可能共线，比如共线向量a ，b 的模分别是2，3，故A 不正确；
在空间四边形ABCD 中，
AB CD BC AD CA BD ⋅+⋅+⋅=（AC CB +）•CD CB -•
AD AC -•BD AC =•（CD BD -）CB +•（CD AD -）AC =•CB CB +•CA =0，故B 正确
在棱长为1的正四面体ABCD 中，
AB BC ⋅=
1×1×cos120°
1
2
=-
，故C 错误；
设A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若12
33
OP OA OB OC =++，
由1233
++1＝2≠1，可得P ，A ，B ，C 四点不共面，故 D 错误． 故选B ． 【点睛】
本题考查向量共线和向量数量积的定义、以及四点共面的条件，考查运算能力和推理能力，属于基础题．
16．已知空间向量
a ，
b ，||1a =，||2b =，且a b -与a 垂直，则a 与b
的夹角为（ ）
A ．
60︒ B ．
30︒
C ．
135︒
D ．
45︒
【答案】D 【解析】 【分析】
由
()0a b a ，利用数量积运算，即可得出结果.
【详解】
∵
a b -与a 垂直，∴()0a b a
，
∴
2||||||cos ,a a a b a a b a b ⋅-⋅=-⋅〈〉
112cos ,0a b =-⨯〈〉=，
∴2cos ,2
a b 〈〉=
．∵0,180a b ︒
︒≤〈〉≤，∴,45a b ︒〈〉=．
故选：D 【点睛】
本题考查了空间向量的数量积运算，考查了运算求解能力，属于一般题目.
17．在正方体
1111ABCD A B C D -中，E 是棱1BB 的中点，G 是1DD 的中点，F 是BC 上的一
点且
1
4
FB BC =
，则异面直线GB 与EF 所成的角为（ ）
A ．
B ．
120
【答案】D
试卷第4页，总16页
【解析】 【分析】 【详解】
以
1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为
1，则
()111111111,1,,,0,,110024242244BG EF BG EF ⎛⎫⎛⎫=--=⋅=-⨯+-⨯+⨯== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,BG EF ∴⊥,异面直线GB 与EF 所成的角为90，故选D.
18．在正方形1111ABCD A B C D -中，棱AB ，11
A D 的中点分别为E ，F ，则直线EF 与平面
11AA D D 所成角的余弦值为（ ）
A ．
5 B 25 C
6 D ．
306
【答案】D 【解析】 【分析】
以
D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出直线EF 与
平面
11AA D D 所成角的正弦值，再利用同角三角函数的基本关系求出余弦值．
【详解】
解：以
D
为原点，
DA 为
x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，
设正方体
1111ABCD A B C D -的棱长为2，
则
()2,1,0E ， ()1,0,2F ， ()1,1,2EF =--，
平面11AA D D 的法向量()0,1,0n =，
设直线EF 与平面11AA D D 所成角为θ，0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦
，
则||6
sin
||||6
EF n EF n θ=
==
所以
230cos 1sin θθ=-=
∴直线EF 与平面11AA D D 所成角的余弦值为30
6
．
故选：D
．
【点睛】
本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，
属于中档题．
19．如图所示，平行六面体
1111ABCD A B C D -中，以顶
点
A
为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为
60︒.求
1BD 与
AC 夹角的余弦值是（ ）
A ．
33
B ．
66
C ．
217
D ．
21 【答案】B 【解析】 【分析】
以
1,,AB AD AA 为空间向量的基底，表示出1BD 和AC ，由空间向量的数量积求出向量的夹角的余弦值即
得．
【详解】 由题意11
1
11cos602AB AD AB AA AD AA ⋅=⋅=⋅=⨯⨯︒=．
以1
,,AB AD AA 为空间向量的基底，
AC AB AD =+，111BD AD AB AD AA AB =-=+-，
2
111()()AC BD AB AD AD AA AB AB AD AB AA AB AD
⋅=+⋅+-=⋅+⋅-+1=，
2
2
2()23AC AB AD AB AB AD AD =+=+⋅+=
22
221111()22BD AD AA AB AD AA AB AD AA AD AB =+-=+++⋅-⋅-
，
∴111
6
cos ,32
AC BD AC BD AC BD ⋅<>=
=
=⋅⋅．∴
1BD 与AC 夹角的余弦值为
6
故选：B ． 【点睛】
本题考查用空间向量法求异面直线所成的角，解题时选取空间基底，把其他向量用基底表示，然后由数量积的定义求得向量的夹角，即得异面直线所成的角．
二、多选题
20．如图，直线
1l ，2l ，3l 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，倾斜角分
别为
1α，2α，3α，则下列选项正确的是（ ）
A ．132k k k <<
B ．
321
k k k <<
C ．
132ααα<<
D ．
321ααα<<
【答案】AD 【解析】
【分析】
根据直线的图象特征，结合查直线的斜率和倾斜角，得出结论.
【详解】
解：如图，直线
1l ，2l ，3l 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，倾斜角分别为1α，2α，3α，
则
230k k >>，10k <，
故
2302
π
αα>>>，且1α为钝角，
故选：AD. 【点睛】
本题考查直线的倾斜角与斜率，考查数形结合思想，是基础题. 21．已知直线
l 过点P （2,4），在x 轴和y 轴上的截距相等，则直线l 的方程可能为（ ）
A ．
20x y -+= B ．
60x y +-=
C ．
2
x =
D ．
20x y -=
【答案】BD 【解析】 【分析】
当直线过原点时，求出斜率，斜截式写出直线方程，并化为一般式.当直线不过原点时，设直线的方程为 x ＋y ＋m ＝0，把P （2,4）代入直线的方程，求出m 值，可得直线方程. 【详解】
解：当直线过原点时，斜率等于
40
220
-=-，
故直线的方程为
2y x =，即20x y -=.
当直线不过原点时，设直线的方程为
0x y m ++=，把P （2,4）代入直线的方程得6m =-，
故求得的直线方程为
60x y +-=，
综上，满足条件的直线方程为
60x y +-=或20x y -=.
故选：BD. 【点睛】
本题考查求直线方程的方法，待定系数法求直线的方程是一种常用的方法，体现了分类讨论的数学思想.
22
．已知直线
:10l y -+=，则下列结论正确的是（ ）
A ．直线
l 的倾斜角是6
π B
．若直线
:10,m x +=则
l m ⊥
C
．点
到直线l 的距离是2
D
．过
2)与直线l 平行的直线方程
是
40y --=
【答案】CD 【解析】 【分析】
对于A
．求得直线
10l y -+=的斜率k 即可知直线l 的倾斜角，即可判断A 的正误；对于B
．求得直线
10m x +=：的斜率k ′，计算kk ′是否为﹣1，即可判断B 的正误；对于C ．利用点到直线的距离公
式，求得点
)
到直线l 的距离d ，即可判断C 的正误；对于D
．利用直线的点斜式可求得过
()
与直
线l 平行的直线方程，即可判断D 的正误． 【详解】
对于A
．直线
10l y -+=的斜率k ＝tan
θ=l 的倾斜角是
3
π
，故A 错误； 对于B
．因为直线
10m x +=：的斜率k
′3
=
，kk ′＝1≠﹣1，故直线l 与直线m 不垂直，故B 错误；
对于C
．点
)
到直线l 的距离d
=
=2，故C
正确；
对于D ．过
()
与直线l 平行的直线方程是y ﹣2
=x ﹣
，40y --=，故D 正确．
综上所述，正确的选项为CD ． 故选：CD ． 【点睛】
本题考查命题的真假判定，着重考查直线的方程的应用，涉及直线的倾斜角与斜率，直线的平行与垂直的应用，属于基础题．
23．已知平面上一点M (5，0)，若直线上存在点P 使|PM |=4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直
线”的是（ ）
A ．y =x +1
B ．y =2
C ．
43
y x =
D ．y =2x +1
【答案】BC 【解析】
【分析】
根据切割型直线的定义，由点M (5，0)到直线距离不大于4求解. 【详解】
A. 点M (5，0)到直线 y
=x +1
的距离为：
64d =
=>，故错误；
B. 点M (5，0)到直线y =2的距离为：
34d =<，故正确；
C. 点M (5，0)到直线
43
y x
=
的距离为：454d ⨯==，故正确；
D. 点M (5，0)到直线y =2x
+1的距离为：
25+145
d =
=
>，故错误；
故选：BC 【点睛】
本题主要考查点到直线的距离以及存在问题，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
24．圆
221:20x y x O +-=和圆222:240O x y x y ++-=的交点为A ，B ，则有（ ）
A ．公共弦A
B 所在直线方程为
0x y -=
B ．线段AB 中垂线方程为
10x y +-
=
C ．公共弦AB 的长为
2
D ．P 为圆
1O
上一动点，则P 到直线AB 1+
【答案】ABD 【解析】
【分析】
两圆作差即可求解公共弦AB 所在直线方程，可判断A ；由公共弦所在直线的斜率以及其中圆
1O 的圆心即可线段AB 中
垂线方程，可判断B ；求出圆心
1O 到公共弦所在的直线方程的距离，利用几何法即可求出弦长，可判断C ；求出圆心1
O 到公共弦AB 所在直线方程的距离，加上半径即可判断D. 【详解】
对于A ，由圆
221:20x y x O +-=与圆222:240O x y x y ++-=的交点为A ，B ，
两式作差可得
440x y -=，
即公共弦AB 所在直线方程为
0x y -=，故A 正确；
对于B ，圆
221:20x y x O +-=的圆心为()1,0，1AB k =，
则线段AB 中垂线斜率为
1-，
即线段AB 中垂线方程为：
()011y x -=-⨯-，整理可得10x y +-=，故B 正确；
对于C ，圆
221:20x y x O +-=，圆心1O ()1,0到0x y -=的距离为
2
d =
=
，半径1r =
所以
AB ==C 不正确； 对于D ，P 为圆
1O 上一动点，圆心1O ()1,0到0x
y -=的距离为
2
d =
，半径
1r =，即
P 到直线AB 1+， 故D 正确.
试卷第6页，总16页
故选：ABD
【点睛】
本题考查了圆与圆的位置关系、求公共弦所在的直线方程、求公共弦、点到直线的距离公式，圆上的点到直线距离的最值，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 25．以下四个命题表述正确的是（ ）
A ．直线
()()34330m x y m m ++-+=∈R 恒过定点()3,3--
B ．已知圆22:4
C x y +=，点P 为直线14
2
x y +=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线PA 、PB ，A 、B 为
切点，则直线AB 经过定点
()
1,2
C ．曲线
22120C :x y x ++=与曲线222480C :x y x y m +--+=恰有三条公切线，则
4m =
D ．圆
224x y +=上存在4个点到直线:20l x y -+=的距离都等于1
【答案】BC 【解析】 【分析】
根据直线与圆的相关知识对各选项逐个判断即可解出．直线恒过定点
()3,3-，判断A 错误；求出直线方程
()2402
y
m x y -+-=，判断直线AB 经过定点(1,2)，B 正确；根据两圆外切，三条公切线，可得C
正确；根据圆心
(0,0)到直线1:20x y -的距离等于1，判断D 错误.
【详解】
对于
A
，直线方程可化为
(3)3430m x x y +++-=，
令30x +=，则3430x y +-=，3x =-，3y =，所以直线恒过定点()3,3-，A 错误；
对于
B ，设点P 的坐标为(,)m n ，所以，
142
m n
+=，以OP 为直径的圆的方程为220x y mx ny +--=，
两圆的方程作差得直线
AB 的方程为：4mx ny ，消去n 得，()2402
y
m x y -+-=，
令
02
y
x -
=，240y -=，解得1x =，2y =，故直线AB 经过定点(1,2)，B 正确； 对于
C ，根据两圆有三条公切线，所以两圆外切，曲线22120C :x y x ++=化为标准式得，
22(1)1x y ++=
曲线
222480C :x y x y m +--+=化为标准式得，22(2)(4)200x y m -+-=->
所以，圆心距为5，因为有三条公切线，所以两圆外切，即
1205
m -=，解得
4m =，
C
正确；
对于
D ，因为圆心(0,0)到直线1:20x y -+=的距离等于1，所以直线与圆相交，而圆的半径为2，故到
直线距离为1的两条直线，一条与圆相切，一条与圆相交，因此圆上有三个点到直线1:20x y -+=的距离等于
1，D 错误； 故选：BC ．
【点睛】
本题主要考查直线系过定点的求法，以及直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，属于中档题．
26．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现:“平面内到两个定点
,A B
的距离之比为定值
()1λλ≠的点的轨迹是圆”.后来,人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆在平面直角坐标
系xOy 中,()()2,0,4,0,A B -点1
2
PA
P PB =满足.设点P 的轨迹为C ,下列结论正确的是
（ ）
A ．
C 的方程为()2
249x y ++=
B ．在
x 轴上存在异于,A B 的两定点,D E ,使得
1
2
PD PE
=
C ．当
,,A B P 三点不共线时,射线PO 是APB ∠的平分线
D ．在
C 上存在点M ,使得2||MO MA =
【答案】BC
【解析】 【分析】
通过设出点P 坐标，利用
1
2
PA
PB
=
即可得到轨迹方程，找出两点,D E 即可判断B 的正误，设出M 点坐标，利用
2||MO MA =与圆的方程表达式解出就存在，解不出就不存在.
【详解】
设点
(),P x y ，则
()()
2
22
2
212
4x y PA PB
x y ++=
-+，化简整理得
2280x y x ++=，即
()
2
2
416
x y ++=，故A 错误；根据对称性可知，当
()()6,0,12,0,
D E --时，
1
2
PD
PE
=
，故B 正确；对于C 选项，222
cos =
2AP PO AO APO AP PO
+-∠⋅，
222
cos =
2BP PO BO BPO BP PO
+-∠⋅,要证PO 为角平分线，只需证明
cos =cos APO BPO ∠∠，即证
22222222AP PO AO BP PO BO AP PO BP PO
+-+-=
⋅⋅，化简
整理即证
2228PO AP =-，设(),P x y ，则222
PO x y =+，
()()
222222222282828AP x x y x x y x y x y -=++=++++=+，则证
cos =cos APO BPO ∠∠，故C 正确；对于D 选项，设()00,M x y ,由2||MO MA =可得
()
2
222
0000=
2x y x y +++220003316+160x y x ++=，而点M 在圆上，
故满足
2280x y x ++=，联立解得0=2x ，0y 无实数解，于是D 错误.故答案为BC.
【点睛】
本题主要考查阿氏圆的相关应用，轨迹方程的求解，意在考查学生的转化能力，计算能力，难度较大.
27．直线
y x b =+与曲线2
1x y =-b 可取下列哪些值（ ）
A ．
2- B ．
1-
C ．1
D 2
【答案】AC 【解析】 【分析】
先画直线与曲线图象，再结合题意判断实数b 的取值范围即可解题. 【详解】
解：曲线
2
1x y =-221x y +=，0x ≥，
画出直线与曲线的图象，如图，
直线
y x b =+与曲线2
1x y =-交点，
则
(1,1]{2}b ∈--
故选：AC.
【点睛】
本题考查根据直线与半圆的交点个数求参数，是基础题.
28．已知实数
x ，y 满足方程22410x y x +-+=，
则下列说法错误的是（ ）
A ．
y x -62
B ．
22x y +的最大值为743+
C ．
y x
3D ．
x y +的最大值为23
【答案】CD 【解析】 【分析】
B 中
22x y +表示(,)x y 到原点距离的平方，求出原点到圆心距离可得圆上点到原点距离的最大值的最小值，可判
断B ，
A ，C ，D 中均可以令对应式子
m =，解得y 后代入圆方程，由判别式0∆≥可得最值．从而得到判断．本题用了
几何意义求解，转化为直线与圆有公共点，由圆心到直线的距离不大于半径可得结论． 【详解】 对于A ，设
z y x =-，则y =x+z ，z 表示直线y =x+z 的纵截距，当直线与圆
22(2)3x y -+=32
≤6262z ≤≤，所以y x -的最大值为62，故A 说法正确；
对于B ，
22x y +的几何意义是表示圆上的点到原点距离的平方，易知原点到圆心的距离为2，则原点到圆上的最大距
离为
23，所以2
2x y
+的最大值为
2(23)743+=+B 说法正确；
对于C ，设
y
x
k =，把y kx =代入圆方程得22(1)410k x x +-+=，则2164(1)0k ∆=-+≥，解得33k ≤≤y
x
3，故C 说法错误；
对于D ，设m x y =+，则y x m =-+，m 表示直线y x m =-+的纵截距，当直线与圆
22
(2)3
x y -+=32
≤，解得6262m ≤≤，所以
x y +62，故D 说法错误.
故选：CD . 【点睛】
本题考查命题的真假判断，实质考查直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离不大于半径易得解，对平方式可用几何意义：两点间距离的平方求解．
29．如图，在三棱柱
111ABC A B C -中，底面ABC 是等边三角形，侧棱1AA ⊥底面ABC ，D 为
AB 的中点，若2AB =，16AA =，则（ ）
A ．
1CD A D ⊥
B ．异面直线
1A D 与1AC 所成角的余弦值为35
14
C ．异面直线
1A D 与1AC 70
D ．
//CD 平面11AB C
【答案】AC 【解析】 【分析】
由线面垂直的判定法则可得
CD ⊥
平面
1AA D ，从而可证明A ；建立空间直角坐标系，求出1A D 与1AC 的
方向向量，即可求出两直线所成角的余弦值，求出平面
11AB C 的法向量与CD 的方向向量，从而可判断直线和平
面是否平行. 【详解】
A:因为侧棱
1AA ⊥底面ABC ，所以1AA CD ⊥，因为ABC 是等边三角形，AD BD =，
所以
CD AB ⊥，因为1AB
AA A =，所以CD ⊥平面1AA D ，则1CD A D ⊥， A 正确；
以
D 为原点，如图建立空间直角坐标系，则(16
A -，
()1,0,0A -，(13,6
C ,
(16
B ，所以
(11,0,6
A D =-，
(11,3,6
AC =，
所以111111
70
cos ,710
A D AC A D AC A D AC ⋅=
=
=⨯
所以异面直线
1A D 与1AC 所成角的余弦值为7014
，B 不正确，C 正确；
又因为
(16
AB =，
(11,3,6
AC =，设平面
11AB C 法向量为(),,n x y z =，
则11260360n AB x z n AC x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩，即6
22
x z y z ⎧
=⎪⎪
⎨⎪=-
⎪⎩
，取
2z =，则
()
6,2,2
n =--，
因为
()
0,3,0
CD =-，且
60CD n ⋅=≠，所以若//CD 平面11AB C 不成立，D 不正确；
故选:AC.
【点睛】
本题考查了线面垂直的判定，考查了线面平行的判定，考查了异面直线所成角的求解，属于中档题.本题的关键是建立空间坐标系，结合向量进行求解.
30．（多选题）如图，在直三棱柱
111ABC A B C -中，12
23
AA AC AB ==
=，AB AC ⊥，点D ，E 分别是线段BC ，
1B C
上的动点（不含端点），且
1EC DC
B C BC
=．则下列说法正确的是（ ）
A ．
//ED 平面1ACC
B ．该三棱柱的外接球的表面积为
68π
C ．异面直线
1B C 与1AA 所成角的正切值为
32
D ．二面角
A EC D --的余弦值为
413
【答案】AD 【解析】 【分析】
对于A ，欲证
//
ED 平面
1
ACC ，只需证明
11
////ED BB AA ，由
1EC DC
B C BC
=易证，故A 项正
确；
试卷第8页，总16页
对于B ，由
AB 、
AC 、1AA 三条直线两两垂直，可知直三棱柱111ABC A B C -是一个长方体沿对角面切
开得到的直三棱柱，因此原长方体的对角线
1B C 是三棱柱外接球的直径，因此直三棱柱111ABC A B C -的外接
球的表面积易求，然后再判断. 对于C ，由于
11//AA BB ，异面直线1B C 与1AA 所成角为1BB C ∠，在1Rt B BC 中，1BB C
∠的正切值易求，然后判断.
对于D ，由
AB 、
AC 、
1
AA 三条直线两两垂直，以A 为坐标原点，以
AB ，
AC ，
1
AA 的方向分别为x ，
y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，求平面
1AB C 的法向量和平面1BB C 的法向量的夹角，然后再判断即可.
【详解】
解：在直三棱柱
111ABC A B C -中，四边形11BCC B 是矩形，
因为
1EC DC B C BC
=，所以
11////ED BB AA ，ED 不在平面1ACC 内，1AA ⊂平面1ACC ，
所以
//ED 平面1ACC ，A 项正确；
因为
12
23
AA AC AB ==
=，所以3AB =， 因为
AB AC
⊥，所以
22
2313
BC =+=1
13417BC =+=
易知
1B C 是三棱柱外接球的直径，
所以三棱柱外接球的表面积为
2
2
174(17)17πππ=⨯=⎝⎭
，所以B 项错误；
因为
11//AA BB ，所以异面直线1B C 与1AA 所成
角为
1BB C ∠．
在
1Rt B BC 中，12BB =，13BC =
所以
1113
tan 2
BC BB C BB ∠=
=
，所以C 项错误；
二面角
A EC D --即二面角1A
B
C B --，
以A 为坐标原点，以
AB ，
AC ，
1AA 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图
则
1(0,0,0),(3,0,0),(0,2,0),(3,0,2)A B C B ，
1(3,0,2)AB ∴=，(3,2,0)BC =-，1(3,2,2)B C =--，
设平面
1AB C 的法向量(,,)n x y z =，
则
1100n AB n B C ⎧⋅=⎪∴⎨
⋅=⎪⎩，即320
3220
x z x y z +=⎧⎨-+-=⎩，令2x =可得(2,0,3)n =-， 设平面
1BB C 的一个法向量为(,,)m x y z =，
则
10
0m BC m B C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即3203220
x y x y z -+=⎧⎨
-+-=⎩，令2x =可得(2,3,0)m = 故二面角
A EC D --4
13
1313=⨯，所以D 项正确．
故选：AD. 【点睛】
综合考查直三棱柱中线线角、线面角的求法，线面平行的判定，以及直三棱柱的外接球的表面积的求法，中档题.
31．如图，正方体
1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且12
EF =
，则下列结论中正确的是（ ）
A ．线段
11B D 上存在点F ，使得AC AF ⊥
B ．
//EF 平面ABCD
C ．AEF 的面积与BEF 的面积相等
D ．三棱锥A BEF -的体积为定值
【答案】BD 【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，再依次讨论各选项，即可得答案. 【详解】
解：如图，以
C 为坐标原点建系C
D ，CB ，1CC 为x ，y ，z 轴，
()1,1,0A ，()0,0,0C ，()1,1,0AC =--，1B F B λ=11D ，
即
()()0,1,11,1,0x y z λ---=-
∴
x λ=，1y λ=-，1z =，
∴
(),1,1F λλ-，()1,,1AF λλ=--
()()11010AC AF λλ⋅=--++=≠
∴
AC 与AF 不垂直，A 错误.
E ，
F 都在B ，D 上，又11//BD B D
∴
//EF BD ，BD ⊂平面ABCD ，EF ⊄平面ABCD
∴//EF 平面ABCD ，B 正确
AB 与EF 不平行，则1A B 与EF 的距离相等
∴
AEF BEF S S ≠△△，∴C 错误
A 到BEF 的距离就是A 到平面11BDD
B 的距离 A 到11BDD B 的距离为
2
22
AC =
111
1224BEF S =⨯⨯=△
∴
1122
34224
A BEF V -=⨯⨯=
是定值，D 正确.
故选：BD.
【点睛】
本题考查空间线面位置关系，空间几何体的体积等，考查空间思维能力与运算能力，是中档题.
三、填空题
32．两条平行直线
34120x y +-=与8110ax y ++=间的距离是_______.
【答案】
72
【解析】 【分析】
根据两直线
34120x y +-=与8110ax y ++=平行，由38431112a
a ⨯=⨯⎧⎨
⨯≠-⨯⎩
解得a ，然后再利用平行线间的距离公式求解.
【详解】
因为两直线
34120x y +-=与8110ax y ++=平行，
所以38431112a
a
⨯=⨯⎧⎨
⨯≠-⨯⎩ 解得6a =， 又直线
34120x y +-=可化为直线68240x y +-=，
所以直线
68240x y +-=与直线68110x y ++=间的距离为：
72
d =
=
， 故答案为：
7
2
【点睛】
本题主要考查两直线的位置关系以及两平行间的距离，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
33．已知三条直线
1:440l x y +-=，2:0l mx y +=，3:2340l x my --=不能围成三
角形，则m =_____________.
【答案】4或1-或16-或
2
3
【解析】 【分析】
首先根据三条直线不能构成三角形，得到三条直线的位置关系，根据位置关系列式求m .
【详解】
若三条直线不能围成三角形，则存在两条直线平行，或是三条直线交于同一点，
当
12l l //时，
41
1
m =，即4m =，当13//l l 时，4123m =
-，解得：16m =-， 当23
//l l 时，1
23m m
=-，不成立， 当三条直线交于同一点时，联立直线
1l 和
2
l ，则
4400
x y mx y +-=⎧⎨
+=⎩，解得：44x m =-，44m
y m =-，即交点为44,44m m m ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，代入直线3
l ，2
8124044
m m m --=--，即2320m m +-=，解得：
1m =-或
23m =，
所以4m =或16-或1-或
2
3. 故答案为：4或1-或16-或2
3
【点睛】
本题考查直线与直线的位置关系，重点考查分析问题的能力，属于基础题型.
34．圆
C ：224210x y x y +--+=上的点到直线2140x y +
-=距离的最大值为______. 【答案】
2
【解析】
【分析】
先由圆的方程，得到圆心为
()
2,1C ，半径为
2
r ，求出圆心到直线的距离，再由圆的性质，即可得出结果.
【详解】 由
224210x y x y +--+=整理得()()22
214x y -+-=，
即圆
C 的圆心为()2,1C ，半径为2r
，
所以圆心
()2,1C 到直线2140x y +
-=
的距离d =
=
根据圆的性质可得，圆上的点到直线
2140x
y +-=距离的最大值为2d
r +=.
故答案为：
2.
【点睛】
本题主要考查求圆上一点到定直线距离的最值，属于基础题型.
35．点P （-1,1）为圆
()
2
2125x y -+=的弦AB 的中点,则直线AB 的方程为____________
【答案】2x-y+3=0 【解析】
根据题意，设圆
()
2
2125x y -+=的圆心为M ， 则M 的坐标10（，）
， 则
011
1(1)2
MP k -=
=---，
由
11P -（， 为圆M 的弦AB 的中点，则MP AB ⊥ ，则2AB k = ， 则直线
AB 的方程为y 121x -=+（
） ，即230x y -+= ； 故答案为
230x y -+=．
【点睛】本题考查直线方程的求法以及直线与圆的位置关系，解题的关键是利用垂径定理分析直线
AB 的斜率．
36．一条光线从点
()2,3-射出，经x 轴反射，其反射光线所在直线与圆()2231x y -+=相切，则反射光线
所在的直线方程为____.
【答案】
2x =或43170x y +-=
【解析】 【分析】
点
()2,3-关于x 轴的对称点为()2,3,即反射光线过点()2,3,分别讨论反射光线的斜率k 存在与不存在的情
况,进而求解即可 【详解】
点
()2,3-关于x 轴的对称点为()2,3,
（1）设反射光线的斜率为
k ,则反射光线的方程为()32y k x -=-,即320kx y k -+-=,
因为反射光线与圆
()
2
231x y -+=相切,
所以圆心到反射光线的距离
d r =,
1=,
解得
43
k =-
, 所以反射光线的方程为:
43170x y +-=；
（2）当
k 不存在时,反射光线为2x =,此时,也与圆()2
231x y -+=相切, 故答案为:
2x =或43170x y +-=
【点睛】
本题考查直线在光学中的应用,考查圆的切线方程
37．圆
222410x y x y ++-+= 关于直线()220,ax by a b R -+=∈对称，则ab 的
取值范围是____________．
【答案】
1,4⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦。