2011届高三数学一轮巩固与练习：数列

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2011届高考数学第一轮复习课件之数列求和

2 1 , cn= = 2( - (n+1)(n+2) n+ 1 + + +
1 ) n+ 2 + 则 Tn= c1+ c2+…+ cn 1 1 1 1 1 1 =2( - + - +…+ - ) 2 3 3 4 n+ 1 n+ 2 + + 1 1 n )= . =2( - = 2 n+ 2 n+ 2 + +
课堂互动讲练
【规律小结】分组转化求和常见规律小结】类型及方法. 类型及方法. (1)an=kn+b,利用等差数列前项 + ,利用等差数列前n项和公式直接求解; 和公式直接求解; - (2)an=aqn-1,利用等比数列前项利用等比数列前n项和公式直接求解; 和公式直接求解; (3)an=bn±cn,数列 n},{cn}是等数列{b , 是等比数列或等差数列, 比数列或等差数列,采用分组求和法求 {an}的前项和. 的前n项和的前项和. 提醒:应用等比数列前n项和公式提醒:应用等比数列前项和公式要注意公比q的取值的取值. 时,要注意公比的取值.
第4课时
数列求和
基础知识梳理
求数列的前n项和的方法求数列的前项和的方法 1.公式法 . (1)等差数列的前项和公式等差数列的前n项和公式等差数列的前 n(a1+an) n(n-1) - na1+ d 2 S n= 2 = .
基础知识梳理
(2)等比数列前项和公式等比数列前n项和公式等比数列前 ①当q=1时,Sn=na1; = 时
课堂互动讲练
【思路点拨】 (1)由已知条件寻思路点拨】由已知条件寻的关系, 表示出表示出c 找a1与d的关系,(2)表示出 n采用裂项的关系法. 【解】 (1)证明:设等差数列证明: 证明 {an}的公差为 , 的公差为d, 的公差为由S4+a2=2S3,得 4a1+6d+a1+d=6a1+6d, + = , , ∴a1=d, 则an=a1+(n-1)d=na1, - = ∴b1=2a1,b2=4a1,

广东省2011届高三数学一轮复习夯实基础练习题(1)

高三数学夯实基础练习题（选择题、填空题专项训练 1）（时间：40分钟，满分：70分）班级学号姓名成绩 .注意事项：1．选择题选出答案后，必须用2B 铅笔把答题区域上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试题后.不按要求填涂的答案无效．2．填空题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题区域各题目指定位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效．3．答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答.漏涂、错涂、多涂的答案无效．答题区域：一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．设集合}23|{<<-∈=m m M Z ，}31|{≤≤-∈=m n N Z ，则N M 等于A ．}1,0{B ．}1,0,1{-C ．}2,1,0{D ．}2,1,0,1{-2．已知135cos =α，且α是第四象限的角，则)2tan(α-π等于 A ．512- B ．512 C ．512± D ．125± 3．若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不相同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数2x y =，]2,1[∈x 与函数2x y =，]1,2[--∈x 即为“同族函数”．下面四个函数中能够被用来构造“同族函数”的是A ．x y sin =B ．x y =C ．x y 2=D ．x y 2log =4．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的斜边长为2，那么这个几何体的体积为 A ．1 B ．21 C ．31 D ．61 5．设→a 、→b 、→c 是平面上的单位向量，且0=⋅→→b a ，则)()(→→→→-⋅-c b c a 的最小值为 A ．2- B ．22- C ．1- D ．21-6．设函数ax x x f m +=)(的导数为12)(+='x x f ，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧)(1n f （*N ∈n ）的前n 项和是正视图俯视图侧视图第4题图A ．1+n n B ．12++n n C ．1-n n D ．nn 1+ 7．若连续投掷两枚骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的坐标),(n m ，则点P 落在圆1622=+y x 内的概率为A ．21B ．41C ．61D ．92 8．已知点1F 、2F 分别是椭圆12222=+by a x 的左、右焦点，过1F 且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A 、B 两点，若△2ABF 为正三角形，则该椭圆的离心率e 是A ．21B ．22C ．31D ．33 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须做答9．61⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中的常数项是（用数字作答）． 10．已知x x x 5i 26i 2+=++（其中i 为虚数单位）．若R ∈x ，则=x ．11．过原点作曲线x y e =的切线，切点坐标为．12．将棱长相等的正方体按图所示方式固定摆放，其中第1堆只有一层，就一个正方体；第2，3，…，n堆分别有二层，三层，…，n 层，每堆最顶层都只有一个正方体，以)(n f 表示第n 堆的正方体总数，则=)3(f ；=)(n f （答案用n 表示）．13．等比数列}{n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，若1+n S ，n S ，2+n S 成等差数列，则q 的值为．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题．14．（坐标系与参数方程选做题）极坐标系中，曲线1C ：3cos =θρ与2C ：θ=ρcos 4（其中0≥ρ，20π<θ≤）交点的极坐标为． 15．（几何证明选讲选做题）如图，从圆O 外一点P 作圆O的割线PAB 、PCD ，AB 是圆O 的直径，若4=PA ， 5=PC ，3=CD ，则=∠CBD．第12题图∙O D C B A P 第15题图参考答案：部分试题略解：5．由条件可设)0,1(=a ，)1,0(=b ，)sin ,(cos αα=c ，则)4sin(21)()(π+α-==-⋅- c b c a ． 6．12)(1+≡+='-x a mx x f m ，所以2=m ，1=a ，x x x f +=2)(，111)(1+-=n n n f ． 7．总共有36个基本事件．当1=x 时，符合题意的y 有3种；当2=x 时，符合题意的y 有3种；当3=x 时，符合题意的y 有2种．所以9236233=++=p ． 8．由已知得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=c c a e c 232，03232=-+e e ，解得3-=e （舍去）或33=e ． 11．设切点坐标为)e ,(00x x ，由00e |x x x y ='=，得切线方程为)(e e000x x y x x -=-，因为切线过原点，所以)0(e e 0000x x x -=-，解得10=x ，所以切点坐标为)e ,1(．12．显然，1)1(=f ，)(21)1()321()1()(2k k k f k k f k f ++-=+++++-= ，从而[][][])1()()2()3()1()2()1()(--++-+-+=n f n f f f f f f n f()()()n n +++++++=22221332122211 ()()n n +++++++++= 32121321212222 )1(2121)12)(1(6121+⨯+++⨯=n n n n n )2)(1(61++=n n n ．注：本题亦可以通过归纳猜想，得出结论． 14．由⎩⎨⎧θ=ρ=θρcos 43cos 得3cos 42=θ，212cos =θ，而π<θ≤20，所以6π=θ． 15．由PD PC PB PA ⋅=⋅得3=R ，所以△OCD 为正三角形，︒=∠=∠3021COD CBD ．。

2011届高三数学一轮巩固与练习：算法初步

巩固1．下列问题的算法适宜用条件结构表示的是( ) A ．求点P (－1,3)到直线l ：3x －2y ＋1＝0的距离 B ．由直角三角形的两条直角边求斜边 C ．解不等式ax ＋b >0(a ≠0) D ．计算100个数的平均数解析：选C.解不等式ax ＋b >0(a ≠0)时需判断a >0和a <0用条件结构．故选C.2．(2010年合肥高中联考)执行下面的程序框图，若p ＝4，则输出的S 等于( )A.78B.1516C.3132D.12解析：选B.由程序框图可知S ＝12＋122＋123＋124＝1516. 3．(2009年高考天津卷)阅读下面的程序框图，则输出的S ＝( )A．14 B．20C．30 D．55解析：选 C.∵S1＝0，i1＝1；S2＝1，i2＝2；S3＝5，i3＝3；S4＝14，i4＝4；S5＝30，i＝5>4退出循环，∴输出结果为30.4．(原创题)如图是一个算法的程序框图，当输入的x的值为5时，其输出的结果是________．解析：x＝5>0，x＝x－3＝5－3＝2>0，x＝x－3＝2－3＝－1<0，故输出y ＝0.5－1＝(12)－1＝2.答案：25．某算法的程序框图如下图所示，则输出量y 与输入量x 满足的关系式是________．解析：由题意知，程序框图表达的是一个分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤1，x －2，x >1. 答案：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤1，x －2，x >1.6．画出计算1＋13＋15＋…＋199的程序框图．解：程序框图如下：练习1．如果一个算法的程序框图中有◇，则表示该算法中一定有哪种逻辑结构()A．循环结构和条件结构B．条件结构C．循环结构D．顺序结构和循环结构解析：选B.因为◇表示判断框，所以一定有条件结构．2．下面的程序框图能判断任意输入的数x的奇偶性．其中判断框内的条件是()A．m＝0？B．m＝1?C．x＝0? D．x＝1?解析：选 B.由程序框图所体现的算法可知判断一个数是奇数还是偶数，看这个数除以2的余数是1还是0.由图可知应该填m＝1？.3．(2008年高考宁夏、海南卷)如下图所示的程序框图，如果输入三个实数a，b，c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的()A ．c >xB ．x >cC ．c >bD ．b >c 解析：选A.根据程序框图判断，在空白的判断框内填入c >x ？.故选A.4．(2010年深圳调研)在如图所示的程序框图中，当n ∈N *(n >1)时，函数f n (x )表示函数f n －1(x )的导函数，若输入函数f 1(x )＝sin x ＋cos x ，则输出的函数f n (x )可化为( )A.2sin(x －π4)B ．－2sin(x －π2)C.2sin(x ＋π4)D ．－2sin(x ＋π4)解析：选C.由框图可知n ＝2009时输出结果，由于f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f 2(x )＝－sin x ＋cos x ，f 3(x )＝－sin x －cos x ，f 4(x )＝sin x －cos x ，f 5(x )＝sin x ＋cos x ，…，所以f 2009(x )＝f 4×501＋5(x )＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)．5．(2009年高考福建卷)阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是( )A ．2B ．4C ．8D ．16解析：选 C.由框图可知，程序运行时，数值S 与n故S ＝26．给出一个如图所示的流程图，若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则这样的x 值的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.当x ≤2时，由x 2＝x 得：x ＝0,1满足条件；当2<x ≤5时，由2x －3＝x 得：x ＝3，满足条件；当x >5时，由1x ＝x 得：x ＝±1，不满足条件，故这样的x 值有3个．故选C.7．如图所给出的是计算12＋14＋16＋…＋120的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是________．解析：由框图知，要经过10次循环才能算出此表达式的值， ∴应填入“i >10？”．答案：i >10?8．定义某种运算S ＝a ⊗b ，运算原理如图所示．则式子：(2tan 5π4)⊗lne ＋lg100⊗(13)－1的值是________．解析：原式＝2⊗1＋2⊗3＝2×(1＋1)＋2×(3－1)＝8. 答案：89．下图是一个算法的流程图，最后输出的W ＝________.解析：由流程图知，第一次循环：T＝1，S＝1；第二次循环：T＝3，S＝32－1＝8；第三次循环：T＝5，S＝52－8＝17，此时跳出循环，∴W＝5＋17＝22.答案：2210．已知f(x)＝x2－1，求f(2)，f(－3)，f(3)，并计算f(2)＋f(－3)＋f(3)的值，设计出解决该问题的一个算法，并画出程序框图．解：算法如下：第一步：x＝2；第二步：y1＝x2－1；第三步：x＝－3；第四步：y2＝x2－1；第五步：x＝3；第六步：y3＝x2－1；第七步：y＝y1＋y2＋y3；第八步：输出y1，y2，y3，y.程序框图：11．某居民区的物业管理部门每月向居民收取卫生费，计费方法如下：3人和3人以下的住户，每户收取5元；超过3人的住户，每超出1人加收1.2元．设计一个算法，根据输入的人数，计算应收取的卫生费只需画出程序框图即可．解：依题意得，费用y 与人数n 之间的关系为： y ＝⎩⎪⎨⎪⎧5 (n ≤3)5＋1.2(n －3) (n >3). 程序框图如下图所示：12．如图是解决某个问题而绘制的程序框图，仔细分析各图框内的内容及图框之间的关系，回答下面的问题：(1)图框①中x ＝2的含义是什么？(2)图框②中y 1＝ax ＋b 的含义是什么？(3)图框④中y 2＝ax ＋b 的含义是什么？(4)该程序框图解决的是怎样的一个问题？(5)若最终输出的结果是y 1＝3，y 2＝－2，当x 取5时输出的结果5a ＋b 的值应该是多大？(6)在(5)的前提下输入的x 值越大，输出结果ax ＋b 是不是越大？为什么？(7)在(5)的前提下当输入的x 值为多大，输出结果ax ＋b 等于0?解：(1)图框①中x ＝2表示把2赋给变量x 或使x ＝2.(2)图框②中y 1＝ax ＋b 的含义：该图框在执行①的前提下，即当x ＝2时计算ax ＋b 的值，并把这个值赋给y 1.(3)图框④中，y 2＝ax ＋b 的含义：该图框在执行③的前提下，即当x ＝－3时计算ax ＋b 的值，并把这个值赋给y 2.(4)该程序框图解决的是求函数f (x )＝ax ＋b 的函数值的问题，其中输入的是自变量x 的值，输出的是x 对应的函数值．(5)y 1＝3，即2a ＋b ＝3.(i)y 2＝－2，即－3a ＋b ＝－2(ii)由(i)(ii)得a ＝1，b ＝1，∴f(x)＝x＋1.∴x取5时，5a＋b＝f(5)＝5×1＋1＝6，(6)输入的x值越大，输出的函数值ax＋b越大，因为f(x)＝x＋1是R上的增函数．(7)令f(x)＝x＋1＝0得x＝－1，因而当输入的值为－1时，输出的函数值为0.。

2011届高三数学一轮巩固与练习：变量间的相关关系及统计案例

巩固1．下列选项中，两个变量具有相关关系的是( )A ．正方形的面积与周长B ．匀速行驶车辆的行驶路程与时间C ．人的身高与体重D ．人的身高与视力答案：C2．对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程＝a ＋bx 中，回归系数b ( )A ．不能小于0B ．不能大于0C ．不能等于0D ．只能小于0解析：选C.∵b ＝0时，r ＝0，这时不具有线性相关关系，但b 能大于0也能小于0.3．(2009年高考宁夏、海南卷)对变量x 、y 有观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，10)，得散点图1；对变量u ，v 有观测数据(u i ，v i )(i ＝1,2，…，10)，得散点图2.由这两个散点图可以判断( )A ．变量x 与y 正相关，u 与v 正相关B ．变量x 与y 正相关，u 与v 负相关C.变量x 与y 负相关，u 与v 正相关D ．变量x 与y 负相关，u 与v 负相关解析：选C.由题图1可知，各点整体呈递减趋势，x 与y 负相关，由题图2可知，各点整体呈递增趋势，u 与v 正相关．4．已知回归方程＝4.4x ＋838.19，则可估计x 与y 的增长速度之比约为________．解析：x 与y 的增长速度之比即为回归方程的斜率的倒数14.4＝1044＝522.答案：5225．下面是一个2则表中a、b解析：∵a＋21＝73，∴a＝52.又∵a＋2＝b，∴b＝54.答案：52、546．某企业为了更好地了解设备改造前后与生产合格品的关系，随机抽取了180件产品进行分析，其中设备改造前的合格品有36件，不合格品有49件，设备改造后生产的合格品有65件，不合格品有30件．根据所给数据：(1)写出2×2列联表；(2)判断产品是否合格与设备改造是否有关．解：(1)(2)k＝180×(65×49－36×30)2101×79×85×95≈12.38.由于12.38>10.828，有99.9%的把握认为产品是否合格与设备改造有关．练习1．下列关系属于线性负相关的是()A．父母的身高与子女身高的关系B．球的体积与半径之间的关系C．汽车的重量与汽车每消耗1 L汽油所行驶的平均路程D．一个家庭的收入与支出解析：选C.A、D中的两个变量属于线性正相关，B中两个变量是函数关系．2．下列有关回归直线方程＝bx＋a的叙述正确的是()①反映与x之间的函数关系；②反映y与x之间的函数关系；③表示与x之间的不确定关系；④表示最接近y与x之间真实关系的一条直线．A．①②B．②③C．③④D．①④解析：选D.＝bx＋a表示与x之间的函数关系，而不是y与x之间的函数关系；但它反映的关系最接近y与x之间的真实关系，故选D.3．设有一个回归方程＝3－5x，变量x增加一个单位时() A．y平均增加3个单位B．y平均减少5个单位C．y平均增加5个单位D．y平均减少3个单位解析：选B.∵－5是斜率的估计值，说明x每增加一个单位，y 平均减少5个单位．4．如果有95%的把握说事件A和B有关系，那么具体计算出的数据()A．K2＞3.841 B．K2＜3.841C．K2＞6.635 D．K2＜6.635解析：选 A.比较K2的值和临界值的大小，95%的把握则K2＞3.841，K2＞6.635就约有99%的把握．5．对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)，则下列说法中不．正确的是() A．由样本数据得到的回归方程＝x＋必过样本中心(x，y)B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C．用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好D．若变量y和x之间的相关系数为r＝－0.9362，则变量y和x 之间具有线性相关关系解析：选C.C中应为R越大拟合效果越好．6．已知回归方程＝2x＋1，而试验得到一组数据是(2,4.9)，(3,7.1)，(4,9.1)，则残差平方和是()A．0.01 B．0.02C．0.03 D．0.04解析：选C.当x＝2时，＝5，当x＝3时，＝7，当x＝4时，＝9.∴1＝4.9－5＝－0.1，2＝7.1－7＝0.1，＝9.1－9＝0.1.3∴i2＝(－0.1)2＋(0.1)2＋(0.1)2＝0.03.7.如图所示，有5组(x，y)数据，去掉________组数据后，剩下的4组数据的线性相关性最大．解析：因为A、B、C、E四点分布在一条直线附近且贴近某一直线，D点离得远．答案：D8．下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②回归方程＝bx＋a必过点(x，y)；③曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系；④在一个2×2列联表中，由计算得K2＝13.079，则其两个变量间有关系的可能性是90%.其中错误的是________．解析：①正确．由回归方程的定义及最小二乘法思想，知②正确．③④不正确．答案：③④9．在2009年十一国庆8天黄金周期间，某市物价部门，对本市五个商场销售的某商品的一天销售量及其价格进行调查，五个商场的售价x销售量y 对商品的价格x 的回归直线方程为________．解析：由数据表可得x ＝10，y ＝8，离差x －x ：－1，－0.5,0，0.5,1；离差y －y ：3,2,0，－2，－3.∴＝－1×3－0.5×2－0.5×2－1×31＋0.25＋0＋0.25＋1＝－3.2，＝y －x ＝40，∴回归直线方程为＝－3.2x ＋40.答案：＝－3.2x ＋4010．在某地区的12～30岁居民中随机抽取了10个人的身高和体相关关系．解：以x 轴表示身高，y 轴表示体重，可得到相应的散点图如图所示：由散点图可知，两者之间具有相关关系，且为正相关．11．(2009年高考辽宁卷)某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：mm)的值落在[29.94,30.06)的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中各抽出了500件，量其内径尺寸，得结果如下表：甲厂：乙厂：(1)试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；(2)由以上统计数据填下面2×2列联表，并问是否有99%的把握甲厂乙厂合计优质品非优质品合计附K 2＝2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，解：(1)甲厂抽查的产品中有360件优质品，从而甲厂生产的零件的优质品率估计为360500＝72%；乙厂抽查的产品中有320件优质品，从而乙厂生产的零件的优质品率估计为320500＝64%.(2)甲厂乙厂合计k ＝500×500×680×320≈7.35>6.635，所以有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”．12.某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．(1)求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；(2)若选取的是12月1日与12月5日的2组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程＝x ＋；(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠？解：(1)设抽到不相邻2组数据为事件A ，因为从5组数据中选取2组数据共有10种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻2组数据的情况有4种，所以P (A )＝1－410＝35.(2)由数据求得，x ＝12，y ＝27，由公式求得．＝52，＝y －x ＝－3.所以y 关于x 的线性回归方程为＝52x －3.(3)当x ＝10时，＝52×10－3＝22，|22－23|<2；当x ＝8时，＝52×8－3＝17，|17－16|<2.所以该研究所得到的线性回归方程是可靠的．。

2011届高三数学一轮巩固与练习：两角和与差的三角函数

巩固1．(2009年高考陕西卷)若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin2α的值为( )A.103B.53C.23 D ．－2解析：选 A.3sin α＋cos α＝0，则tan α＝－13，1cos 2α＋sin2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α＋2sin αcos α＝tan 2α＋11＋2tan α＝(－13)2＋11＋2×(－13)＝103. 2．若sin α＝35，α∈(－π2，π2)，则cos(α＋5π4)＝( )A ．－7210B ．－210C.210D.7210解析：选B.由α∈(－π2，π2)，sin α＝35可得cos α＝45，由两角和与差的余弦公式得：cos(α＋5π4)＝－22(cos α－sin α)＝－210，故选B.3．若α∈(π2，π)，且sin α＝45，则sin(α＋π4)－22cos α＝( ) A.225 B ．－225 C.425 D ．－425解析：选A.sin(α＋π4)－22cos α＝sin αcos π4＋cos αsin π4－22cos α＝45×22＝225.故选A.4．(原创题)已知cos(α＋π3)＝sin(α－π3)，则tan α＝________.解析：∵cos(α＋π3)＝sin(α－π3)，∴cos αcos π3－sin αsin π3＝sin αcos π3－cos αsin π3， ∴tan α＝1. 答案：15.已知sin (30°＋α)＝35，60°<α<150°，则cos α的值为________．解析：∵60°<α<150°，∴90°<30°＋α<180°.∵sin (30°＋α)＝35，∴cos (30°＋α)＝－45. ∴cos α＝cos [(30°＋α)－30°] ＝cos (30°＋α)·cos 30°＋sin (30°＋α)·sin 30°＝－45×32＋35×12＝3－4310.答案：3－4310 6．化简：(1)sin (α＋β)－2sin αcos β2sin αsin β＋cos (α＋β)； (2)11－tan θ－11＋tan θ. 解：(1)原式＝sin α·cos β＋cos α·sin β－2sin α·cos β2sin α·sin β＋cos α·cos β－sin α·sin β＝－(sin α·cos β－cos α·sin β)cos α·cos β＋sin α·sin β＝－sin (α－β)cos (α－β)＝－tan (α－β)．(2)原式＝(1＋tan θ)－(1－tan θ)1－tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝tan 2θ. 练习1．(2008年高考海南、宁夏卷)3－sin70°2－cos 210°＝( )C ．2 D.32解析：选C.原式＝3－sin70°2－1＋cos20°2＝6－2sin70°3－sin70°＝2，故选C.2．已知sinθ＝－13，θ∈(－π2，π2)，则sin(θ－5π)sin(32π－θ)的值是( )A.229 B ．－229C ．－19 D.19 解析：选B.由已知条件可得θ为第四象限角，根据同角三角函数关系式可得cosθ＝223，由三角函数诱导公式可得sin(θ－5π)sin(32π－θ)＝sinθcosθ＝－13×223＝－229，正确答案为B.3．已知cos(π－2α)sin(α－π4)＝－22，则cosα＋sinα等于( )A ．－72 B.72 C.12 D ．－12解析：选D.由已知可得cos(π－2α)sin(α－π4)＝－cos2α22(sinα－cosα)＝－(sinα＋co sα)(cosα－sinα)22(sinα－cosα)＝sinα＋cosα22＝－22⇒sinα＋cosα＝－12.4．设α，β都是锐角，那么下列各式中成立的是( ) A ．sin(α＋β)>sinα＋sinβ B ．cos(α＋β)>cosαcosβ C ．sin(α＋β)>sin(α－β) D ．cos(α＋β)>cos(α－β) 解析：选C.∵sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，又∵α、β都是锐角，∴cosαsinβ>0，故sin(α＋β)>sin(α－β)．5．在直角坐标系xOy 中，直线y ＝2x －25与圆x 2＋y 2＝1交于A ，B 两点，记∠xOA ＝α(0<α<π2)，∠xOB ＝β(π<β<3π2)，则sin(α＋β)的值为( )A.35B.45C ．－35D ．－45解析：选D.由⎩⎨⎧y ＝2x －25x 2＋y 2＝1得点A(35，45)，点B(－725，－2425)．sinα＝45，cosα＝35，sinβ＝－2425，cosβ＝－725，然后由两角和的正弦公式求解．6．(2008年高考山东卷)已知cos(α－π6)＋sinα＝453，则sin(α＋7π6)的值是( )A ．－235 B.235C ．－45 D.45解析：选C.∵cos(α－π6)＋sinα＝453，∴32cosα＋12sinα＋sinα＝453，∴3(12cosα＋32sinα)＝453，∴sin(α＋π6)＝45，又∵sin(α＋7π6)＝sin(π＋α＋π6)＝－sin(α＋π6)，∴sin(α＋7π6)＝－45. 7.cos2α1＋sin2α·1＋tanα1－tanα的值为________．解析：原式＝cos 2α－sin 2α(sinα＋cosα)2·1＋sinαcosα1－sinαcosα＝cosα－sinαsinα＋cosα·sinα＋cosαcosα－sinα＝1.答案：18．若点P(cosα，s inα)在直线y ＝－2x 上，则sin2α＋2cos2α＝________.解析：∵P(cosα，sinα)在y ＝－2x 上， ∴sinα＝－2cosα，即tanα＝－2.∴sin2α＋2cos2α＝2tanα1＋tan 2α＋2·1－tan 2α1＋tan 2α＝2＋2tanα－2tan 2α1＋tan 2α＝2－4－2×41＋4＝－2.答案：－2 9.2cos5°－sin25°cos25°的值为________．解析：由已知得：2cos5°－sin25°cos25°＝2cos(30°－25°)－sin25°cos25°＝3cos25°cos25°＝ 3. 答案： 310．已知α是第一象限角，且cosα＝513，求sin(α＋π4)cos(2α＋4π)的值．解：∵α是第一象限角，cosα＝513，∴sinα＝1213.∴sin(α＋π4)cos(2α＋4π)＝22(sinα＋cosα)cos2α＝22(sinα＋cosα)cos 2α－sin 2α＝22cosα－sinα＝22513－1213＝－13214. 11．求值：(1)2cos10°－sin20°sin70°；(2)tan(π6－θ)＋tan(π6＋θ)＋3tan(π6－θ)tan(π6＋θ)．解：(1)原式＝2cos(30°－20°)－sin20°sin70°＝3cos20°＋sin20°－sin20°sin70°＝3cos20°sin70°＝ 3. (2)原式＝tan[(π6－θ)＋(π6＋θ)][1－tan(π6－θ)tan(π6＋θ)]＋3tan(π6－θ)tan(π6＋θ)＝ 3.12．(2008年高考江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点．已知A 、B 两点的横坐标分别为210，255.(1)求tan(α＋β)的值； (2)求α＋2β的值．解：(1)由已知条件及三角函数的定义可知，cosα＝210，cosβ＝255.因α为锐角，故sinα＞0，从而sinα＝1－cos 2α＝7210，同理可得sinβ＝55.因此tanα＝7，tanβ＝12.所以tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝7＋121－7×12＝－3. (2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝－3＋121－(－3)×12＝－1.又0＜α＜π2，0＜β＜π2，故0＜α＋2β＜3π2，从而由tan(α＋2β)＝－1得α＋2β＝3π4。

2011届高三数学一轮巩固与练习：离散型随机变量的均值与方差、正态分布

巩固1．已知某一随机变量ξ的分布列如下，且Eξ＝6.3，则a 的值为( )9b A.5 C ．7 D ．8解析：选C.由题意得0.5＋0.1＋b ＝1，且Eξ＝4×0.5＋0.1a ＋9b ＝6.3，因此b ＝0.4，a ＝7，选C.2．(2008年高考湖南卷)设随机变量ξ服从正态分布N (2,9)，若P (ξ>c ＋1)＝P (ξ<c －1)，则c ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.∵μ＝2，由正态分布的定义知其函数图象关于x ＝2对称，于是c ＋1＋c －12＝2，∴c ＝2.故选B.3．若X ～B (n ，p )，且EX ＝6，DX ＝3，则P (X ＝1)的值为( ) A ．3·2－2 B ．2－4 C ．3·2－10 D ．2－8解析：选C.EX ＝np ＝6，DX ＝np (1－p )＝3，∴p ＝12，n ＝12，则P (X ＝1)＝C 121·12·(12)11＝3·2－10.4．(原创题)若p 为非负实数，随机变量ξ的概率分布列如下表，则Eξ的最大值为________，Dξ的最大值为________.2解析：Eξ＝p ＋1≤32(0≤p ≤12)；Dξ＝－p 2－p ＋1≤1.答案：3215．两封信随机投入A 、B 、C 三个空邮箱，则A 邮箱的信件数ξ的数学期望Eξ＝________.解析：当ξ＝1时，P (ξ＝1)＝C 21×C 2132＝49，P (ξ＝2)＝132＝19，∴Eξ＝1×49＋2×19＝23.答案：236．在某电视台的一次有奖竞猜活动中，主持人准备了A 、B 两个相互独立的问题，并且宣布：幸运观众答对问题A 可获100分，答对问题B 可获200分，先答哪个题由观众自由选择，但只有第一个问题答对，才能再答第二题，否则终止答题．答题终止后，获得的总分将决定获奖的档次．若你被选为幸运观众，且假设你答对问题A 、B的概率分别为12、14.(1)记先回答问题A 的得分为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望；(2)你觉得应先回答哪个问题才能使你得分更高？请说明理由．解：(1)X 的分布列为：∴EX ＝0×12＋100×8＋300×8＝8.(2)设先答问题B 的得分为随机变量Y ，则Y 的分布列为∴EY ＝0×4＋200×8＋300×8＝8.∴EX ＞EY .∴先回答问题A 所得的分较高．练习1．设一随机试验的结果只有A 和A ，且P (A )＝m ，令随机变量X ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 A 发生0 A 不发生，则X 的方差DX ＝( )A ．mB ．2m (1－m )C ．m (m －1)D ．m (1－m ) 解析：选D.显然X 服从两点分布，DX ＝m (1－m )． 2．已知X 的分布列为1错，且Y ＝aX ＋3，EY ＝3，则a 为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.先求出EX ＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13.再由Y ＝aX ＋3得EY ＝aEX ＋3.∴73＝a (－13)＋3，解得a ＝2. 3.正态总体N (0，49)中，数值落在(－∞，－2)∪(2，＋∞)内的概率是( )A ．0.46B ．0.997C ．0.03D ．0.0026解析：选D.由题意μ＝0，σ＝23∴P (－2＜X <2)＝P (0－3×23＜X <0＋3×23)＝0.9974，∴P (X ＜－2)＋P (X ＞2)＝1－P (－2≤X ≤2)＝1－0.9974＝0.0026. 4．已知随机变量X 的分布列为则E (6X ＋8)＝( A ．13.2 B ．21.2 C ．20.2 D ．22.2 解析：选B.EX ＝1×0.2＋2×0.4＋3×0.4 ＝0.2＋0.8＋1.2＝2.2，∴E (6X ＋8)＝6EX ＋8＝6×2.2＋8＝13.2＋8＝21.2.5．(2008年高考安徽卷)设两个正态分布N (μ1，σ12)(σ1>0)和N (μ2，σ22)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有( )A ．μ1<μ2，σ1<σ2B ．μ1<μ2，σ1>σ2C ．μ1>μ2，σ1<σ2D ．μ1>μ2，σ1>σ2解析：选A.由正态分布N (μ，σ2)性质知，x ＝μ为正态密度函数图象的对称轴，故μ1<μ2.又σ越小，图象越高瘦，故σ1<σ2.6．一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是( )A.65B.25C.35D.75解析：选A.记“同时取出的两个球中含红球个数”为X ，则P (X ＝0)＝C 30C 22C 52＝110，P (X ＝1)＝C 31C 21C 52＝610，P (X ＝2)＝C 32C 20C 52＝310，EX ＝0×110＋1×610＋2×310＝65.7．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3件，若X 表示取到次品的次数，则DX ＝________.解析：∵X ～B (3，14)，∴DX ＝3×14×34＝916.答案：9168．设一次试验成功的概率为p ，进行100次独立重复试验，当p ＝________时，成功次数的方差最大，其最大值是________．解析：由Dξ＝npq ≤n (p ＋q 2)2＝n 4，当p ＝q ＝12时取等号，此时Dξ＝25.答案：12259．均值为2，方差为2π的正态分布的概率密度函数为________．解析：在密度函数f (x )＝12πσe －(x －μ)22σ2，x ∈R 中， μ＝2，σ＝2π，故f (x )＝12πe －(x －2)24π，x ∈R .答案：f (x )＝12πe －(x －2)24π，x ∈R10．(2009年高考江西卷)某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是12.若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助，令ξ表示该公司的资助总额．(1)写出ξ的分布列； (2)求数学期望E ξ.解：(1)ξ的所有取值为0,5,10,15,20,25,30.P (ξ＝0)＝164，P (ξ＝5)＝332，P (ξ＝10)＝1564，P (ξ＝15)＝516，P (ξ＝20)＝1564，P (ξ＝25)＝332，P (ξ＝30)＝164.(2)Eξ＝5×332＋10×1564＋15×516＋20×1564＋25×332＋30×164＝15.11．在北京奥运会期间，4位志愿者计划在长城、故宫、天坛和天安门等4个景点服务，已知每位志愿者在每个景点服务的概率都是14，且他们之间不存在相互影响． (1)求恰有3位志愿者在长城服务的概率；(2)设在故宫服务的志愿者人数为X ，求X 的概率分布列及数学期望．由此可得X的概率分布列为所以变量XEX＝0×81256＋1×2764＋2×27128＋3×364＋4×1256＝1.12.(2009年高考全国卷Ⅱ)某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人．现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．(1)求从甲、乙两组各抽取的人数；(2)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；(3)记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的分布列及数学期望．解：(1)由于甲组有10名工人，乙组有5名工人，根据分层抽样原理．若从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核，则从甲组抽取2名工人，乙组抽取1名工人．(3)ξ的可能取值为0,1,2,3.A i 表示事件：从甲组抽取的2名工人中恰有i 名男工人，i ＝0,1,2.B 表示事件：从乙组抽取的是1名男工人． A i 与B 独立，i ＝0,1,2.P (ξ＝2)＝1－[P (ξ＝0)＋P (ξ＝1)＋P (ξ＝3)]＝3175.故ξ的分布列为Eξ＝0×P (ξ＝0)＋1×P (ξ＝1)＋2×P (ξ＝2)＋3×P (ξ＝3)＝85.。

2011届高三数学第一轮复习(数列综合)

2011届高三数学第一轮复习(数列综合）高考在考什么【考题回放】1、 (2008福建文) 已知{}n a 是整数组成的数列，11a =，且点*1(,)()n n a a n N +∈在函数21y x =+的图像上：（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足111,2n an n b b b +==+，求证：221n n n b b b ++⋅<.解：（1）由已知得：11n n a a +=+，所以数列是以1为首项，公差为1的等差数列；即1(1)1n a n n =+-⋅= （2）由（1）知122na n n nb b +-==112211123()()()12222212112n n n n n n n n n nb b b b b b b b ------=-+-+⋅⋅⋅+-+-=+++⋅⋅⋅++==-- 221221(21)(21)(21)524220n n n n n n n n n b b b ++++-=----=-⋅+⋅=-<所以：221n n n b b b ++⋅<2、(2008福建理) 已知函数321()23f x x x =+-. （Ⅰ）设{a n }是正数组成的数列，前n 项和为S n ，其中a 1=3.若点211(,2)n n n a a a ++-(n ∈N*)在函数y =f ′(x )的图象上，求证：点（n ,S n ）也在y =f ′(x )的图象上；（Ⅱ）求函数f (x )在区间（a -1,a ）内的极值.(Ⅰ)证明：因为321()2,3f x x x =+-所以f ′(x )=x 2+2x , 由点211(,2)(N )n n n a a a n +++-∈在函数y =f ′(x )的图象上,又0(N ),n a n +>∈所以11()(2)0,n n n n a a a a -+---=所以2(1)32=22n n n S n n n -=+⨯+,又因为f ′(n )=n 2+2n ,所以()n S f n '=, 故点(,)n n S 也在函数y=f ′(x )的图象上.(Ⅱ)解:2()2(2)f x x x x x '=+=+, 由()0,f x '=得02x x ==-或.当x 变化时,()f x '﹑()f x 的变化情况如下表: 注意到(1)12a a --=<,从而 ①当212,21,()(2)3a a a f x f -<-<-<<--=-即时的极大值为,此时()f x 无极小值； ②当10,01,()a a a f x -<<<<即时的极小值为(0)2f =-,此时()f x 无极大值；③当2101,()a a a f x ≤--≤≤≥或或时既无极大值又无极小值.3、（2008安徽理）设数列{}n a 满足3*010,1,,n n a a ca c c N c +==+-∈其中为实数（Ⅰ）证明：[0,1]n a ∈对任意*n N ∈成立的充分必要条件是[0,1]c ∈；（Ⅱ）设103c <<，证明：1*1(3),n n a c n N -≥-∈; x (-∞,-2)-2 (-2,0) 0 (0,+∞) f ′(x ) +- 0 + f (x )↗极大值↘极小值↗（Ⅲ）设103c <<，证明：222*1221,13n a a a n n N c++>+-∈- 解 (1) 必要性：120,1a a c ==-∵∴ ，又 2[0,1],011a c ∈≤-≤∵∴ ，即[0,1]c ∈充分性：设 [0,1]c ∈，对*n N ∈用数学归纳法证明[0,1]n a ∈ 当1n =时，10[0,1]a =∈.假设[0,1](1)k a k ∈≥则31111k k a ca c c c +=+-≤+-=，且31110k k a ca c c +=+-≥-=≥1[0,1]k a +∈∴，由数学归纳法知[0,1]n a ∈对所有*n N ∈成立 (2) 设 103c <<，当1n =时，10a =，结论成立当2n ≥ 时，3211111,1(1)(1)n n n n n n a ca c a c a a a ----=+--=-++∵∴103C <<∵,由（1）知1[0,1]n a -∈，所以 21113n n a a --++≤ 且 110n a --≥113(1)n n a c a --≤-∴21112113(1)(3)(1)(3)(1)(3)n n n n n a c a c a c a c -----≤-≤-≤≤-=∴1*1(3)()n n a c n N -≥-∈∴(3) 设 103c <<，当1n =时，2120213a c=>--，结论成立当2n ≥时，由（2）知11(3)0n n a c -≥->21212(1)1(1(3))12(3)(3)12(3)n n n n n a c c c c ----≥-=-+>-∴222222112212[3(3)(3)]n nna a a a a n c c c -+++=++>--+++∴ 2(1(3))2111313n c n n c c-=+->+---4．（2008北京理）对于每项均是正整数的数列12n A a a a ：，，，，定义变换1T ，1T 将数列A 变换成数列 1()T A ：12111n n a a a ---，，，，．对于每项均是非负整数的数列12m B b b b ：，，，，定义变换2T ，2T 将数列B 各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列2()T B ；又定义2221212()2(2)m m S B b b mb b b b =+++++++．设0A 是每项均为正整数的有穷数列，令121(())(012)k k A T T A k +==，，，．（Ⅰ）如果数列0A 为5，3，2，写出数列12A A ，；（Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列A ，证明1(())()S T A S A =；（Ⅲ）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列0A ，存在正整数K ，当k K ≥时，1()()k k S A S A +=．4．（Ⅰ）解：0532A ：，，， 10()3421T A ：，，，， 1210(())4321A T T A =：，，，； 11()43210T A ：，，，，， 2211(())4321A T T A =：，，，．（Ⅱ）证明：设每项均是正整数的有穷数列A 为12n a a a ，，，，则1()T A 为n ，11a -，21a -，，1n a -，从而112(())2[2(1)3(1)(1)(1)]n S T A n a a n a =+-+-+++-222212(1)(1)(1)n n a a a ++-+-++-．又2221212()2(2)n n S A a a na a a a =+++++++，所以1(())()S T A S A -122[23(1)]2()n n n a a a =----+++++2122()n n a a a n +-++++2(1)0n n n n =-+++=，故1(())()S T A S A =．（Ⅲ）证明：设A 是每项均为非负整数的数列12n a a a ，，，．当存在1i j n <≤≤，使得i j a a ≤时，交换数列A 的第i 项与第j 项得到数列B ，则()()2()j i i j S B S A ia ja ia ja -=+--2()()0j i i j a a =--≤．当存在1m n <≤，使得120m m n a a a ++====时，若记数列12m a a a ，，，为C ，则()()S C S A =．所以2(())()S T A S A ≤．从而对于任意给定的数列0A ，由121(())(012)k k A T T A k +==，，，可知11()(())k k S A S T A +≤．又由（Ⅱ）可知1(())()k k S T A S A =，所以1()()k k S A S A +≤．即对于k ∈N ，要么有1()()k k S A S A +=，要么有1()()1k k S A S A +-≤．因为()k S A 是大于2的整数，所以经过有限步后，必有12()()()k k k S A S A S A ++===．即存在正整数K ，当k K ≥时，1()()k k S A S A +=． 5、(2008湖南理)数列{}221221,2,(1cos )sin ,1,2,3,.22n n n n n a a a a a n ππ+===++=满足(Ⅰ)求34,,a a 并求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)设21122,.n n n n na b S b b b a -==+++证明：当162.n n S n≥-<时，13．解: (Ⅰ)因为121,2,a a ==所以22311(1cos)sin 12,22a a a ππ=++=+=22422(1cos )sin 2 4.a a a ππ=++==一般地，当*21(N )n k k =-∈时，222121(21)21[1cos]sin 22k k k k a a ππ+---=++ ＝211k a -+，即2121 1.k k a a +--=所以数列{}21k a -是首项为1、公差为1的等差数列，因此21.k a k -=当*2(N )n k k =∈时，22222222(1cos)sin 2.22k k k k k a a a ππ+=++= 所以数列{}2k a 是首项为2、公比为2的等比数列，因此22.kk a =故数列{}n a 的通项公式为**21,21(N ),22,2(N ).n n n n k k a n k k +⎧=-∈⎪=⎨⎪=∈⎩(Ⅱ)由(Ⅰ)知，2122,2n n n a n b a -==23123,2222n n nS =++++ ①2241112322222n n nS +=++++ ②①-②得，23111111.222222n n n n S +=++++- 21111[1()]1221.122212n n n n n ++-=-=--- 所以11222.222n n n n n n S -+=--=-要证明当6n ≥时，12n S n -<成立，只需证明当6n ≥时，(2)12nn n +<成立. 证法一(1)当n = 6时，66(62)48312644⨯+==<成立. (2)假设当(6)n k k =≥时不等式成立，即(2)1.2kk k +<则当n =k +1时，1(1)(3)(2)(1)(3)(1)(3)1.222(2)(2)2k kk k k k k k k k k k k k++++++++=⨯<<++ 由(1)、(2)所述，当n ≥6时，2(1)12n n +<.即当n ≥6时，12.nS n-< 证法二令2(2)(6)2n n n c n +=≥，则21121(1)(3)(2)30.222n n n n n n n n n c c ++++++--=-=< 所以当6n ≥时，1n n c c +<.因此当6n ≥时，66831.644n c c ⨯≤==<于是当6n ≥时，2(2)1.2n n +< 综上所述，当6n ≥时，12.n S n-<6、(2008江西理) 等差数列{}n a 各项均为正整数，13a =，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 中，11b =，且2264b S =，{}n b 是公比为64的等比数列．（1）求n a 与n b ；（2）证明：11S ＋21S ＋……＋n S 1＜43．16.解：设{n a }公差为d ，由题意易知d ≥0，且d ∈N*，则{n a }通项n a =3 +（n －1）d ，前n 项和d n n n S n 2)1(3-+=。

2011届高考数学一轮复习精品题集之数列

2011届高考数学一轮复习精品题集之数列第2章数列§2.1数列的概念与简单表示重难点：理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型，探索并掌握数列的几种间单的表示法（列表、图象、通项公式）；了解数列是一种特殊的函数；发现数列规律找出可能的通项公式．考纲要求：①了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式)．②了解数列是自变量巍峨正整数的一类函数．经典例题：假设你正在某公司打工，根据表现，老板给你两个加薪的方案：（Ⅰ）每年年末加1000元；（Ⅱ）每半年结束时加300元。

请你选择:（1）如果在该公司干10年，问两种方案各加薪多少元？（2）对于你而言，你会选择其中的哪一种？当堂练习：1. 下列说法中，正确的是( )A．数列1，2，3与数列3，2，1是同一个数列．B．数列l, 2，3与数列1，2，3，4是同一个数列.C．数列1，2，3，4，…的一个通项公式是an=n.D．以上说法均不正确．2巳知数列{ an}的首项a1=1，且an＋1=2 an＋1,(n≥2)，则a5为( )A．7．B．15 C．30 D．31．3.数列{ an}的前n项和为Sn=2n2＋1，则a1,a5的值依次为( )A．2，14 B．2，18 C．3，4．D．3，18．4.已知数列{ an}的前n项和为Sn=4n2 －n＋2，则该数列的通项公式为( )A．an=8n＋5(n∈N*) B．an=8n－5(n∈N*)C．an=8n＋5(n≥2) D．⎪⎩⎪⎨⎧∈≥-==),2(58)1(5＋nNnnnna5.已知数列{ an}的前n项和公式Sn=n2＋2n＋5，则a6＋a7＋a8= ( )A．40．B．45 C．50 D．55．6.若数列}{n a前8项的值各异，且n8naa=+对任意的*Nn∈都成立，则下列数列中可取遍}{n a前8项值的数列为（）A.}{12+ka B.}{13+ka C.}{14+ka D.}{16+ka7.在数列{ an}中，已知an=2，an= an＋2n，则a4 +a6 +a8的值为．8.已知数列{ an}满足a1=1 ，an＋1=c an＋b, 且a2 =3,a4=15,则常数c,b 的值为.9.已知数列{ an}的前n项和公式Sn=n2＋2n＋5，则a6＋a7＋a8= ．10.设{}na是首项为1的正项数列，且()011221=+-+++nnnnaanaan（n=1，2，3，…），则它的通项公式是na=________．11. 下面分别是数列{ an}的前n项和an的公式，求数列{ an}的通项公式：(1)Sn=2n2-3n；(2)Sn=3n-212. 已知数列{ an}中a1=1，nn a n n a 11+=+ (1)写出数列的前5项；(2)猜想数列的通项公式．13. 已知数列{ an}满足a1=0，an ＋1＋Sn=n2＋2n(n ∈N*)，其中Sn 为{ an}的前n 项和，求此数列的通项公式．艳荡芦花湾/s2460/ 奀莒咾14. 已知数列{ an}的通项公式an 与前n 项和公式Sn 之间满足关系Sn=2－3an (1)求a1;(2)求an 与an (n ≥2，n ∈N*)的递推关系； (3)求Sn 与Sn (n ≥2，n ∈N*)的递推关系，第2章数列 §2.2等差数列、等比数列重难点：理解等差数列、等比数列的概念，掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n 项和公式，能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．考纲要求：①理解等差数列、等比数列的概念．②掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n 项和公式．③能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题． ④了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系．经典例题：已知一个数列{an}的各项是1或3．首项为1，且在第k 个1和第k+1个1之间有2k-1个3，即1，3，1，3，3，3，1，3，3，3，3，3，1，…，记该数列的前n 项的和为Sn ．（1）试问第2006个1为该数列的第几项？（2）求a2006；（3）求该数列的前2006项的和S2006；当堂练习：1,…则是该数列的（）A ．第6项B ．第7项C ．第10项D ．第11项2．方程2640x x -+=的两根的等比中项是（）A ．3B ．2± C． D ．2 3．已知12,,,n a a a …为各项都大于零的等比数列，公比1q ≠，则（） A ．1845a a a a +>+ B ．1845a a a a +<+C ．1845a a a a +=+D ．18a a +和45a a +的大小关系不能由已知条件确定4．一个有限项的等差数列，前4项之和为40，最后4项之和是80，所有项之和是210，则此数列的项数为（）A ．12B ．14C ．16D ．185．若a 、b 、c 成等差数列，b 、c 、d 成等比数列，111,,c d e 成等差数列，则a 、c 、e 成（） A ．等差数列 B ．等比数列C ．既成等差数列又成等比数列D ．以上答案都不是 6．在等差数列{an}中，14812152a a a a a ---+=，则313a a +=（） A ．4 B ．4- C ．8 D ．8-7．两等差数列{an}、{bn}的前n 项和的比'5327n n S n S n +=+，则55a b 的值是（）A ．2817B ．4825C ．5327D ．2315 8．{an}是等差数列，10110,0S S ><，则使0n a <的最小的n 值是（） A ．5 B ．6 C ．7 D ．89．{an}是实数构成的等比数列，n S 是其前n 项和，则数列{n S } 中（） A ．任一项均不为0 B ．必有一项为0C ．至多有一项为0D ．或无一项为0，或无穷多项为0 10．某数列既成等差数列也成等比数列，那么该数列一定是（） A ．公差为0的等差数列 B ．公比为1的等比数列 C ．常数数列1,1,1,… D ．以上都不对11．已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1、a3、a9成等比数列，则1392410a a a a a a ++++的值是．12．由正数构成的等比数列{an}，若132423249a a a a a a ++=，则23a a += ．13．已知数列{an}中，122nn n a a a +=+对任意正整数n 都成立，且712a =，则5a = ．14．在等差数列{an}中，若100a =，则有等式()*12121919,n n a a a a a a n n -+++=+++<∈N …… 成立，类比上述性质，相应地：在等比数列{bn}中，若91b =，则有等式 15．已知数列{2n-1an }的前n 项和96n S n =-． ⑴求数列{an}的通项公式；⑵设2||3log 3nn a b n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和．16．已知数列{an}是等差数列，且11232,12a a a a =++=． ⑴求数列{an}的通项公式；⑵令()n n n b a x x =∈R ，求数列{bn}前n 项和的公式．17．甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图所示．甲调查表明:从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个鸡场出产2万只鸡．乙调查表明:由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个．请您根据提供的信息说明：⑴第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；⑵到第6年这个县的养鸡业比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由；⑶哪一年的规模最大？请说明理由．18．已知数列{an}为等差数列，公差0d ≠，{an}的部分项组成的数列12,,,k k k na a a …恰为等比数列，其中1231,5,17k k k ===，求12n k k k +++…．第2章数列 §2.3等差数列、等比数列综合运用1、设{}n a 是等比数列，有下列四个命题：①2{}n a 是等比数列；②1{}n n a a +是等比数列； ③1{}n a 是等比数列；④{lg ||}n a 是等比数列。

2011届高三数学一轮复习教案：第五章第2课等差、等比数列

第2课等差、等比数列【考点导读】1．掌握等差、等比数列的通项公式、前n 项和公式，能运用公式解决一些简单的问题； 2．理解等差、等比数列的性质，了解等差、等比数列与函数之间的关系； 3．注意函数与方程思想方法的运用。

【基础练习】1．在等差数列{a n }中，已知a 5＝10，a 12＝31，首项a 1= -2 ，公差d = 3 。

2．一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，则它的第1项是163，第2项是 8 。

3．．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为二个），经过3小时，这种细菌由1个可以繁殖成 512 个。

4．设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++=105。

5．公差不为0的等差数列{a n }中，a 2，a 3，a 6依次成等比数列，则公比等于 3 。

【范例导析】例1．（1）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有 13 项。

（2）设数列{a n }是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是 2 。

（3）设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若36S S ＝13，则612SS ＝。

解：（1）答案：13法1：设这个数列有n 项∵⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+=-+=-='⋅+=-dn n n a S d nd a S S S d a S n n n 2)1(6332233113313∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=-+=+3902)1(146)2(3334)(3111d n n n a n d a d a ∴n ＝13法2：设这个数列有n 项∵1231234,146n n n a a a a a a --++=++=∴121321()()()3()34146180n n n n a a a a a a a a --+++++=+=+= ∴160n a a += 又1()3902n n a a += ∴n ＝13 （2）答案：2 因为前三项和为12，∴a 1＋a 2＋a 3＝12，∴a 2＝33S ＝4 又a 1·a 2·a 3＝48， ∵a 2＝4，∴a 1·a 3＝12，a 1＋a 3＝8，把a 1，a 3作为方程的两根且a 1＜a 3， ∴x 2－8x ＋12＝0，x 1＝6，x 2＝2，∴a 1＝2，a 3＝6，∴选B. （3）答案为310。

2011全国理科数学‘数列’部分高考题学习资料

(k 1)bk 1(b 2)
，
bk 1 2k 1Fra bibliotek所以当 n k 1 时，猜想成立，
由①②知，
n N * ， an
nbn (b 2)
．
bn 2n
（２）（ⅰ）当 b
2 时， an
2
2n 1 2n 1
1，故 b
2 时，命题成立；
（ⅱ）当 b 2 时， b2 n 22 n 2 b2n 22 n 2n 1 bn ，
1 tan( k 1) tan k
得
tan(k 1) tan k
所以
tan(k 1) tan k 1 tan 1
n
n2
Sn
bi
tan(k 1) tan k
i1
i3
n 2 tan(k 1) tan k
(
1)
i3
tan1
tan( n 3) tan 3 n
tan 1
2、若数列 An a1 ,a2, ...,an( n 2) 满足 an 1 a1 1(k 1,2,..., n 1) ，数列 An 为 E 数列，
bn 2n 1
(b2n 1
bn 1 2n ) (bn 2n 1 2n 1 (bn 2n )
22n 1 )
bn 1 2n 1 1 ．故当 b 2 时，命题成立；
综上（ⅰ）（ⅱ）知命题成立．
5、已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且满足： a1 a (a 0) ， an 1 rSn (n N* ，
2
即 4 整除 n(n 1), 亦即 n 4m或n 4m 1( m N*) .
当
n 4m 1( m N*) 时, E数列 An的项满足 a4k 1 a4k 1 0, a4k 2

2011届高三数学一轮复习精品课件：数列的综合应用(必修5)

课堂互动讲练
例3 设{an}是公比大于1的等比数列， Sn为数列{an}的前n项和，已知S3＝ 7，且a1＋3,3a2，a3＋4构成等差数列．
(1)求数列{an}的通项； (2)令bn＝lna3n＋1，n＝1,2，…，求数列{bn}的前n项和Tn.
课堂互动讲练
【思路点拨】 (1)利用条件联立方程求a2，然后再求q即可得an；(2)可知{bn}是等差数列，利用求和公式可解．
课堂互动讲练
【思路点拨】应根据题意，计算出前几次还款的数额，探寻规律，判断每次还款数额构成的是等差数列还是等比数列，用相应数列知识解决问题．
课堂互动讲练
【解】购买时付款300万元，则欠款 2000万元，依题意分20次付清，则每次交付欠款的数额顺次构成数列{an}，故a1＝ 100＋2000×0.01＝120(万元)，a2＝100＋ (2000－100)×0.01＝119(万元)，a3＝100＋ (2000－100×2)×0.01＝118(万元)，a4＝100 ＋(2000－100×3)×0.01＝117(万元)，…， an＝100＋[2000－100(n－1)]×0.01＝120－ (n－1)＝121－n(万元)(1≤n≤20，n∈N*)．
A．10 B．11 C．12 D．13 答案：B
三基能力强化
4．已知三个数a、b、c成等比数列，则函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象与 x轴公共点的个数为________．
答案：0
三基能力强化
5．某种产品三次调价，单价由原来的每克512元降到216元，则这种产品平均每次降价的百分率为 ________．
考点三等差、等比数列的综合问题
1．等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点，特别是等差、等比数列的通项公式，前n项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点．

2011届高三数学第一轮复习：数列

第九章数列1、理解数列的概念，了解数列通项公式的意义．了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．2、理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n 项和的公式，并能解决简单的实际问题．3、理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，并能解决简单的实际问题．纵观近几年高考试题，对数列的考查已从最低谷走出，估计以后几年对数列的考查的比重仍不会减小，等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n 项和公式的应用是必考内容，数列与函数、三角、解析几何、组合数的综合应用问题是命题热点．从解题思想方法的规律着眼，主要有：① 方程思想的应用，利用公式列方程(组)，例如等差、等比数列中的“知三求二”问题；② 函数思想方法的应用、图像、单调性、最值等问题；③ 待定系数法、分类讨论等方法的应用．数列的概念考试说明解读：了解数列的概念和几种简单的表示方法，了解数列是以自变量为正整数的一类特殊函数，掌握数列的分类、通向公式、递推公式以及a n 与S n 的关系。

教学重点：数列通向公式、递推公式以及a n 与S n 的关系。

教学难点：理解数列是一类特殊函数。

知识点梳理：见《创新设计》P73例1. 根据下面各数列的前n 项的值，写出数列的一个通项公式． ⑴ －312⨯，534⨯，－758⨯，9716⨯…； ⑵ 1，2，6，13，23，36，…； ⑶ 1，1，2，2，3，3，变式训练1.某数列{a n }的前四项为0，2，0，2，则以下各式： ① a n ＝22[1＋(－1)n ] ② a n ＝n )(11-+③ a n ＝⎩⎨⎧)(0)(2为奇数为偶数n n 其中可作为{a n }的通项公式的是（）A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③例2. 已知数列{a n }的前n 项和S n ，求通项． ⑴ S n ＝3n －2 ⑵ S n ＝n 2＋3n ＋1变式训练2：已知数列{a n }的前n 项的和S n 满足关系式lg(S n －1)＝n ，(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为．例3. 根据下面数列{a n }的首项和递推关系，探求其通项公式．⑴ a 1＝1，a n ＝2a n －1＋1 (n≥2) ⑵ a 1＝1，a n ＝113--+n n a (n≥2) ⑶ a 1＝1，a n ＝11--n a nn (n≥2)变式训练3.已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝22+n na a (n ∈N *)，求该数列的通项公式．例4. 已知函数)(x f ＝2x －2－x ，数列{a n }满足)(log 2n a f ＝－2n ，求数列{a n }通项公式．变式训练4.知数列{a n }的首项a 1＝5．前n 项和为S n 且S n ＋1＝2S n ＋n ＋5（n ∈N *）． (1) 证明数列{a n ＋1}是等比数列；(2) 令f (x)＝a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，求函数f (x)在点x ＝1处导数f ,(1)．1．根据数列的前几项，写出它的一个通项公式，关键在于找出这些项与项数之间的关系，常用的方法有观察法、通项法，转化为特殊数列法等2．由S n 求a n 时，用公式a n ＝S n －S n －1要注意n≥2这个条件，a 1应由a 1＝S 1来确定，最后看二者能否统一．3．由递推公式求通项公式的常见形式有：a n ＋1－a n ＝f(n)，nn a a 1+＝f(n)，a n ＋1＝pa n ＋q ，分别用累加法、累乘法、迭代法（或换元法）．1．下列解析式中不．是数列1,1,1,1,1--，的通项公式的是（）A. (1)n n a =-B. 1(1)n n a +=-C. 1(1)n n a -=-D. {11n n a n =-，为奇数，为偶数2，的一个通项公式是（）A. n a =B. n aC. n a =D. n a =3．已知数列{}n a ，1()(2)n a n N n n +=∈+，那么1120是这个数列的第（）项.A. 9B. 10C. 11D. 124．已知数列{}n a ，22103n a n n =-+，它的最小项是（）A. 第一项B. 第二项C. 第三项D. 第二项或第三项 5．已知数列{}n a ，13a =，26a =，且21n n n a a a ++=-，则数列的第五项为（） A. 6 B. 3- C. 12- D. 6-6.已知数列{}n a ，85,11n a kn a =-=且，则17a = .7.已知22()log (7)f x x =+，()n a f n =，则{}n a 的第五项为 .8.数列1524354863,,,,,,25101726的一个通项公式为 .9.已知数列{}n a 满足12a =-，1221n n n a a a +=+-，则4a = .10.已知数列{}n a 中，13a =，1021a =，通项n a 是项数n 的一次函数， ①求{}n a 的通项公式，并求2005a ； ②若{}n b 是由2468,,,,,a a a a 组成，试归纳{}n b 的一个通项公式.等差数列考试说明解读：理解等差数列的概念/掌握等差数列的通向公式与前n 项公式/掌握等差数列的性质/能在具体问题中识别数列的等差关系，并能应用有关知识加以解决。

高三第一轮复习——数列基础巩固篇(试题及答案)

高三第一轮复习——数列基础巩固篇（试题及答案）题型——等差、等比数列的通项及基本量的求解1. (2013安徽文7）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，134S a =，22a =-，则9a =（）. A. 6 B. 4 C. 2- D. 22.（2013辽宁文14）已知等比数列{}n a 是递增数列，n S 是{}n a 的前n 项和.若13a a ，是方程2540x x -+=的两个根，则6S = .3. （2013四川文16）在等比数列{}n a 中，212a a -=，且22a 为13a 和3a 的等差中项，求数列{}n a 的首项、公比及前n 项和.4. （2013山东文20）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且424S S =，221n n a a =+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足1212112n n n b b b a a a ++⋅⋅⋅+=-，n *∈Ν，求数列{}n b 的前n 项和n T ．5.（2013浙江19）在公差为d 的等差数列{}n a 中，已知110a =，且1a ，222a +，35a 成等比数列. （1）求d ，n a ；（2）若0d <，求123 .n a a a a +++⋯+12.（2015北京文5）执行如果所示的程序框图，输出的k 值为（）. A.3 B. 4C.5D.613.（2015全国文7）已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（）.A.172 B. 192 C.10 D.12 14.（2015全国1文13）在数列{}n a 中，112,2n n a a a +==，n S 为{}n a 的前n 项和.若126n S =，则n = .15.（2015全国Ⅱ文9）已知等比数列{}n a 满足411=a ，()35441a a a =-，则=2a （）.A.2B.1C.21 D.81 16.（2015陕西文13）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为________.17.（2016江苏8）已知{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和.若2123a a +=-，510S =，则9a 的值是 .18.（2016全国甲文17）等差数列{}n a 中，344a a +=，576a a +=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设[]n n b a =，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]0.90=，[]2.62=.19.（2017江苏9）等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项的和为n S ，已知374S =，6634S =，则8a = ． 20.（2017全国1文17）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.已知22S =，36S =-. （1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并判断1n S +，n S ，2n S +是否成等差数列.21.（2017全国2文17）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，11a =-，11b =，222a b +=. （1）若335a b +=，求{}n b 的通项公式；（2）若321T =，求3S .22.（2017北京文15）已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==，2410a a +=，245b b a =．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求和：13521n b b b b -++++．1.分析借助等差数列前n 项和公式及通项公式的性质，计算数列的公差，进而得到9a 的值.解析由等差数列性质及前n 项和公式，得()18882a aS +=()36344a a a =+=，所以60a =.又72a=-，所以公差2d =-，所以9726aa d =+=-.故选A.2.解析：因为1a ，3a 是方程2540x x -+=的两个根，且数列{}n a 是递增的等比数列，所以11a =，34a =，2q =，所以66126312S -==-. 3．分析由已知列出两个含1a 和q 的方程并求解，再借助等比数列求和公式得n S ．解析设该数列的公比为q ．由已知，得1121112,43,a q a a q a a q -=⎧⎨=+⎩所以()1212,430,a q q q ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩解得11,3.a q =⎧⎨=⎩（1q =舍去）故首项11a =，公比3q =.所以数列的前n 项和312n n S -=.4.分析（1）由于已知{}n a 是等差数列，因此可考虑用基本量1,a d 表示已知等式，进而求出{}n a 的通项公式.（2）先求出nnb a ，进而求出{}n b 的通项公式，再用错位相减法求{}n b 的前n 项和.解析（1）设等差数列{}n a 的前项为1a ，公差为d .由424S S =，221n n a a =+，得()()11114684,21221 1.a d a d a n d a n d +=+⎧⎪⎨+-=+-+⎪⎩解得11,2.a d =⎧⎨=⎩因此*21,n a n n =-∈N .（2）由已知*121211,2n n n b b b n a a a +++=-∈N ，当1n =时，1112b a =；当2n ≥时，111111=222n n n n n b a -⎛⎫=--- ⎪⎝⎭.所以*1,2n n n b n a =∈N . 由（1）知*21,n a n n =-∈N ，所以*21=,2n nn b n -∈N . 所以23135212222n n n T -=++++. 231113232122222n n n n n T +--=++++. 两式相减，得2311122221222222n nn n T +-⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭113121222n n n -+-=--，所以2332n nn T +=-. 5.分析（1）用1,a d 把23,a a 表示出来，利用123,22,5a a a +成等比数列列方程即可解出d ，进而根据等差数列的通项公式写出n a .（2）根据（1）及0d <确定数列的通项公式，确定n a的符号，以去掉绝对值符号，这需要对n的取值范围进行分类讨论.解析（1）由题意得，()2132522a a a ⋅=+，由110a =，{}n a 为公差为d 的等差数列得，2340d d --=，解得1d =-或4d =.所以()*11n a n n =-+∈N 或()*46n a n n =+∈N .（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S .因为0d <，由（1）得1d =-，11n a n =-+，所以当11n ≤时，123n a a a a ++++=212122n S n n =-+；当12n ≥时，212311121211022n n a a a a S S n n ++++=-+=-+. 综上所述，123n a a a a ++++22121,11,22121110,12.22n n n n n n ⎧-+⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩≤≥ 12.解析解法一:执行程序框图，13322a =⨯=，1k =，3124a =<−−→否313224a =⨯=，2k =，3144a =<−−→否313428a =⨯=，3k =，3184a =<−−→否3138216a =⨯=，4k =，31164a =<−−→是输出4k =.故选B.解法二：由算法图知a 是一个以3为首项，12为公比的等比数列，即13()2k k a =，解得4k =.13.解析解法一：由844S S =，1d =，知()()118814418144122a a --⎡⎤+⨯=+⨯⎢⎥⎣⎦，解得112a =.所以()10119101122a =+-⨯=.故选B. 解法二：由844S S =，即()()1814442a a a a +=⨯+，可得8142a a a =+. 又公差1d =，所以817a a =+，即427a =，解得472a =. 则1041962a a =+=.故选B. 14.解析由12n n a a +=，得12n na a +=，即数列{}n a 是公比为2的等比数列. ()()11212126112n n n a q S q--===--，得6n =.15.解析由等比数列的性质得2354a a a =，即()24441a a =-，则42a = .所以有3418a q a ==，所以2q =.故2112a a q ==.故选C. 16.解析若这组数有21n +个，则11010n a +=，212015n a +=，又12112n n a a a +++=，所以15a =；若这组数有2n 个，则1101022020n n a a ++=⨯=，22015n a =，又121n n n a a a a ++=+，所以15a =.17.20解析设公差为，则由题意可得，解得，则.18.解析（1），解得，所以（）.（2） .19.解析解法一：由题意等比数列公比不为1，由()()313616171416314a q S q a q S q ⎧-==⎪-⎪⎨-⎪==⎪-⎩，因此36319S q S =+=，得2q =．又3123S a a a =++()2117174a q q a =++==，得114a =，所以78132a a q ==．故填32．解法二（由分段和关系）：由题意3363374634S S S q S ⎧=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩，所以38q =，即2q =．下同解法一．20.解析（1）由题意设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，d ()2111351010a a d a d ⎧++=-⎪⎨+=⎪⎩143a d =-⎧⎨=⎩948320a =-+⨯=3415712542106a a a d a a a d +=+=⎧⎨+=+=⎩1125a d =⎧⎪⎨=⎪⎩()2231155nn a n +=+-=*n ∈N []121079111555b b b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++=++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦L []1317192123355555⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦111223334424+++++++++=则2112311126S a a q S a a q a q =+=⎧⎨=++=-⎩，从而2131q q q ++=-+，即()2131q q q ++=-+，整理得()220q +=，因此2q =-，所以12a =-，数列{}n a 的通项公式为()2nn a =-．（2）由（1）知()()()()212212123nn n S ⎡⎤-⨯--⎣⎦⎡⎤==---⎣⎦--，因此()()+121222121233n n n n S S +++⎡⎤⎡⎤+=------=⎣⎦⎣⎦()()+1222223n n +⎡⎤-----⎣⎦()()2222423n n ⎡⎤=-+⨯--⨯-⎣⎦()41223nn S ⎡⎤=---=⎣⎦．所以1n S +，n S ，2n S +成等差数列．21.解析 (1)设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为()0q q ≠.由等差数列、等比数列的通项公式可得212125d q d q -++=⎧⎨-++=⎩，解得12d q =⎧⎨=⎩，故{}n b 的通项公式为12n n b -=.(2)由(1)及已知得2122121d q q q -++=⎧⎨++=⎩，解得41q d =⎧⎨=-⎩或58q d =-⎧⎨=⎩. 所以31336S a d =+=-或313321S a d =+=.22解析（1）设{}n a 的公差为d ， 10311=+++d d ，所以2=d ，所以1(1)21n a a n d n =+-=-()*n ∈N. （2）设{}n b 的公比为q ，24b b ⋅=5a ⇒93=qq ，所以32=q ，所以{}2-1n b 是以11=b 为首项，23q =为公比的等比数列，所以1352-11(13)31132n n n b b b b ⋅--==-＋＋＋＋.1.（2013广东文11）设数列{}n a 是首项为1，公比为2-的等比数列，则1234a a a a +++= ．1.分析由首项和公比写出等比数列的前4项，然后代入代数式1234a a a a +++求值.也可以构造新数列，利用其前n 项和公式求解.解析方法一：()()()231234112121215a a a a +++=+⨯-+⨯-+⨯-=.方法二：因为12341234a a a a a a a a +++=+++，数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，故所求代数式的值为4121512-=-.2.（2015安徽理13）已知在数列{}n a 中，11a =，()1122n n a a n -=+…，则数列{}n a 的前9项和等于 . 2.解析由题意可得112n n a a --=，又11a =，所以{}n a 是以1为首项，12为公差的等差数列，所以()()*11112,22n n a n n n +=+-⨯=∈N ….又11a =满足上式，所以()*12n n a n +=∈N ，所以95a =.所以()9159272S +⨯==.1. （2013辽宁文4 ）下面是关于公差>0d 的等差数列{}n a 的四个命题：1:p 数列{}n a 是递增数列； 2:p 数列{}n na 是递增数列；3:p 数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列；4:p 数列{}3n a nd +是递增数列；其中的真命题为A. 12p p ，B. 34p p ，C. 23p p ，D.14p p ，2.（2013江西文12）某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵树是前一天的2倍，则需要的最少天数n （n *∈Ν）等于 .3.（2013江苏14）在正项等比数列}{n a 中，215=a ，376=+a a ，则满足n n a a a a a a 2121>+++的最大正整数n 的值为 .4.(2013重庆文12）若29a b c ，，，，成等差数列，则c a -= .5. (2013陕西文17）设n S 表示数列{}n a 的前n 项和. （1）若{}n a 是等差数列，推导n S 的计算公式；（2）若111a q =≠，，且对所有正整数n ，有11nn q S q -=-.判断{}n a 是否为等比数列，并证明你的结论.11.（2015广东文13）若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中526a =+，526c =-，则b = ．12.（2015全国Ⅱ文5）设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，若3531=++a a a ，则=5S （）.A.5B.7C.9D.1113.（2017江苏19）对于给定的正整数k ，若数列{}n a 满足1111+n k n kn nn k a aa a a --+-++-++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+2n k na k a +=对任意正整数n ()n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”．（1）证明：等差数列{}n a 是“()3P 数列”；（2）若数列{}n a 既是“()2P 数列”，又是“()3P 数列”，证明：{}n a 是等差数列．（2015南通基地密卷7第20题）设数列{}n a 的各项均为正数，若对任意的*n ∈N ，存在*k ∈N ，使得22n k n n k a a a ++=成立，则称数列{}n a 为“k J 型”数列．（1）若数列{}n a 是“2J 型”数列，且28a =，81a =，求2n a ；（2）若数列{}n a 既是“3J 型”数列，又是“4J 型”数列，证明数列{}n a 是等比数列．1.分析根据等差数列的性质判定.解析因为0d >，所以1n n a a +>，所以1p 是真命题．因为1n n +>，但是n a 的符号不知道，所以2p 是假命题.同理3p 是假命题．由13(1)340n n a n d a nd d +++--=>，所以4p 是真命题．故选D.2.解析每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列，其前n 项和()()11121222112n n n n a q S q+--===---.由122100n +-≥，得12102n +≥.由于67264,2128==，则17n +≥，即6n ≥.3.分析首先由已知条件求出{}n a 的公比与首项，然后根据求和公式和通项公式将不等式的两边求出，用n 表示，得到关于n 的不等式，然后对不等式进行转化，求得n 的取值范围并进行估算和验证，从而得到n 的最大值.解析设{}n a 的公比为()0q q >，则由已知可得()4121,213,2a q q q ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得11,322.a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩于是()()12112132211232n n n a a a -+++==--，()()11221211232nn n n n n n a a a a q--⎛⎫== ⎪⎝⎭.由1212n n a a a a a a +++>可得()()12112123232nn n n -⎛⎫- ⎪⎝⎭>，整理得2111522212n n n-+->. 由211152222n n n-+>可得2111522n n n -+>，即213100n n -+<，解得131291312922n -+<<，即12n =，可以验证当12n =时满足1212n n a a a a a a +++>，13n ≥时不满足1212n n a a a a a a +++>，故n 的最大值为12.4.分析利用等差数列的有关知识先求出公差再运算求解. 解析由题意得该等差数列的公差927514d -==-，所以722c ad -==. 5.分析利用等差数列的性质倒序相加求和；等比数列的证明通过定义进行. 解析（1）方法一：设{}n a 的公差为d ，则12n n S a a a =++…+()()1111a a d a n d =+++⋅⋅⋅++-⎡⎤⎣⎦.又()()1n n n n S a a d a n d =+-+⋅⋅⋅+--⎡⎤⎣⎦，所以()12n n S n a a =+，所以()12n n n a a S +=．方法二：设{}n a 的公差为d ，则()1211n n S a a a a a d =++=+++…+()11a n d ⋅⋅⋅++-⎡⎤⎣⎦．又11n n n S a a a -=++⋅⋅⋅+()()11112a n d a n d a =+-++-+⋅⋅⋅+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦, 所以()()1122121n S a n d a n d =+-++-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()112121a n d na n n d ++-=+-⎡⎤⎣⎦，所以()112n n n S na d -=+. （2）{}n a 是等比数列.证明如下：因为11n n q S q -=-，所以1111111n n n n n q q a S S q q +++--=-=---()11nn q q q q-==-．因为11a =，0q ≠，所以当1n ≥时，有11nn n n a q q a q +-==. 因此，{}n a 是首项为1且公比为()0q q ≠的等比数列．11.解析因为三个正数a ，b ，c 成等比数列，所以()()25265261b ac ==+-=.因为0b >，所以1b =.12.解析由已知1353a a a ++=，则333a =，31a =. 又因为()15353552=5=522a a a S a +⨯== .故选A. 13.解析（1）因为{}n a 是等差数列，设其公差为d ，则()11n a a n d =+-，从而当4n …时，()()1111=n k n k a a a n k d a n k d -++=+--+++- ()12212n a n d a +-=，1,2,3k =，所以321123+++6n n n n n n n a a a a a a a ---+++++=，因此等差数列{}n a 是“()3P 数列”．（2）由数列{}n a 既是“()2P 数列”，又是“()3P 数列”，因此，当3n …时，21124n n n n n a a a a a --+++++= ① 当4n …时，3211236n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++= ② 由①知，()()321144n n n n n a a a a a n ---++=-+≥ ③()()231142n n n n n a a a a a n +++-+=-+≥④将③④代入②，得112n n n a a a -++=，其中4n …，所以345,,,a a a ⋅⋅⋅是等差数列，设其公差为d '．在①中，取4n =，则235644a a a a a +++=，所以23a a d '=-，在①中，取3n =，则124534a a a a a +++=，所以312a a d '=-，从而数列{}n a 是等差数列．评注这是数列新定义的问题，其实类似的问题此前我们也研究过，给出仅供参考．解析（1）由题意得，2468,,,,a a a a ⋅⋅⋅成等比数列，且公比138212a q a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以412212n n n a a q --⎛⎫== ⎪⎝⎭．（2）由{}n a 是“4J 型”数列得159131721,,,,,,a a a a a a ⋅⋅⋅成等比数列，设公比为t ，由{}n a 是“3J 型”数列得1471013,,,,,a a a a a ⋅⋅⋅成等比数列，设公比为1α；2581114,,,,,a a a a a ⋅⋅⋅成等比数列，设公比为2α； 3691215,,,,,a a a a a ⋅⋅⋅成等比数列，设公比为3α；则431311a t a α==，431725a t a α==，432139a t a α==，所以123ααα==，不妨令123αααα===，则43t α=．所以()()321133211k k k a a a αα----==，()()23112233315111k k k k k a a a t a a αααα------====，所以()1313233339111k k k k k a a a t a a αααα----====，综上()131n n a a α-=，从而{}n a 是等比数列．题型——判断或证明数列是等差、等比数列2.（2015广东文19）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，*n ∈N ．已知11a =，232a =，354a =，且当2n …时，211458n n n n S S S S ++-+=+．（1）求4a 的值；（2）求证：112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；（3）求数列{}n a 的通项公式．3.（2015湖南文19）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，22a =，且()*1133,n n n a S S n +-=-+∈N . （1）证明：23n n a a +=；（2）求n S .4.（2015湖南文21）函数()()e cos [0,)x f x a x x =∈+∞，记n x 为()f x 的从小到大的第n ()*n ∈N 个极值点.（1）证明：数列(){}n f x 是等比数列；（2）若对一切()*,n n n x f x ∈N …恒成立，求a 的取值范围.5.（2016浙江文8）如图所示，点列{}{},n n A B 分别在某锐角的两边上，且1n n A A +=*122,,n n n n A A A A n +++≠∈N ，*1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈N (P Q ≠表示点P 与Q 不重合) .若n n n d A B =，n S 为1n n n A B B +△的面积，则（）.A .{}n S 是等差数列 B.{}2n S 是等差数列C.{}n d 是等差数列D.{}2n d 是等差数列6.（2017全国1文17）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.已知22S =，36S =-.••••••••••••••••••A 1A 2S 2S 1A nA 3A n+1B n+1B 3B nB 2B 1S n（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并判断1n S +，n S ，2n S +是否成等差数列.2.解析（1）当2n =时，4231458S S S S +=+，即435335415181124224a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得478a =.（2）因为211458n n n n S S S S ++-+=+（2n …），所以21114444n n n n n n S S S S S S ++-+-+-=-（2n …），即2144n n n a a a +++=（2n …），亦即()2114222n n n n a a a a n +++-=-…，则()2111112222n n n n a a a a n +++⎛⎫-=- ⎪⎝⎭….当1n =时，3221111222a a a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，满足上式.故数列112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以21112a a -=为首项，公比为12的等比数列.（3）由（2）可得111122n n n a a -+⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即1141122n n n na a ++-=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以数列12n na ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭是以1212a =为首项，4为公差的等差数列，所以()2144212nn a n n =+-⨯=-⎛⎫⎪⎝⎭，即()11214222nn n n a n --⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭，所以数列{}n a 的通项公式是()*1212n n n a n --=∈N . 3.解析（1）由条件，对任意*n ∈N ，有2133n n n a S S ++=-+，因而对任意*,2n n ∈N …，有1133n n n a S S +-=-+，两式相减，得213n n n na a a a +++-=-，即()*232,n n a a n n +=∈N …，又121,2a a ==，所以()3121121333333a S S a a a a =-+=-++==，故对一切*n ∈N ，23n n a a +=.（2）由（I ）知，0n a ≠，所以23n na a +=，于是数列{}21n a -是首项11a =，公比为3的等比数列，数列{}2n a 是首项22a =，公比为3的等比数列，所以112123,23n n n n a a ---==⨯，于是()()21221321242.........n n n n S a a a a a a a a a -=+++=+++++++=()()()()11133113...3213...3313 (32)n n n n ----+++++++=+++=，从而2122n n n S S a -=-()1331232n n --=-⨯()235312n -=⨯-，综上所述，()()*3*22353121,23312,2n n nn k k S n k k -⎧⎛⎫⨯-=+∈⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-=∈ ⎪⎪⎝⎭⎩N N . 4.解析（1）()π'e cos e sin 2e cos 4x x xf x a x a x a x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，令()'0f x =，由0x …，得πππ42x m +=-，即*3ππ4x m m =-∈N ，若πππ2π2π242k x k -<+<+，即3ππ2π2π44k x k -<<+，则πcos 04x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭；若ππ3π2π2π242k x k +<+<+，即π5π2π2π44k x k +<<+，则πc o s 04x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭. 因此，在区间()3π1π,π4m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭与3πππ,π44m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上，()'f x 的符号总相反，于是当*3ππ4x m m =-∈N 时，()f x 取得极值，所以*3ππ,4n n x n =-∈N ，此时，()()3π3πππ1443π2ecos π1e42n n n n f x a n a --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，易知()0n f x ≠，而()()()()()3π1π241π3ππ1421e 2e 21e 2n n n n n n a f x f x a +-++-+-==--是常数，故数列(){}n f x 是首项为()π412e 2f x a =，公比为πe -的等比数列.（2）对一切*n ∈N 恒成立，即3π432πe42n n a ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭…恒成立，亦即3π42e 3π4n a n ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭…恒成立（因为0a >）.设()()e 0tg t t t=>，则()()2e 1't t g t t -=，令()'0g t =得1t =，当01t <<时，()'0g t <，所以()g t 在区间()0,1上单调递减；当1t >时，()'0g t >，所以()g t 在区间()1,+∞上单调递增；因为()0,1n x ∈，且当2n …时，()11,,n n n x x x +∈+∞<，所以()()(){}12minπ5πmin ,min ,44n g x g x g x g g ⎧⎫⎛⎫⎛⎫==⎡⎤⎨⎬ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎩⎭π4π4e 4πg ⎛⎫== ⎪⎝⎭，因此()*,n n n x f x ∈N 刦恒成立，当且仅当π424e πa …，解得π42πe 4a -…，故实数的取值范围是π42πe ,4-⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭. 5.A 解析设点到对面直线的距离为，则.由题目中条件可知的长度为定值，则.那么我们需要知道的关系式，过点作垂直得到初始距离，那么和两个垂足构成了直角梯形，那，其中为两条线的夹角，那么，由题目中条件知，则.所，其中为定值，所以为等差数列.故选A. 6.解析（1）由题意设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，a n A n h 112n n n n+S h B B =1n n B B +1212n n S h B B =n h 1A 1h 1,n A A 11tan n n h h A A θ=+⋅θ11121(tan )2n n S h A A B B θ=+⋅112n n n n A A A A +++=()1121n A A n A A =-()1121211tan 2n S h n A A B B θ=⎡+-⋅⎤⎣⎦θn S欢迎收藏咸鱼翻身龙门开始你的智能人生之旅21 则2112311126S a a q S a a q a q =+=⎧⎨=++=-⎩，从而2131q q q ++=-+，即()2131q q q ++=-+，整理得()220q +=，因此2q =-，所以12a =-，数列{}n a 的通项公式为()2nn a =-．（2）由（1）知()()()()212212123n n n S ⎡⎤-⨯--⎣⎦⎡⎤==---⎣⎦--，因此()()+121222121233n n n n S S +++⎡⎤⎡⎤+=------=⎣⎦⎣⎦ ()()+1222223n n +⎡⎤-----⎣⎦()()2222423n n ⎡⎤=-+⨯--⨯-⎣⎦()41223n n S ⎡⎤=---=⎣⎦．所以1n S +，n S ，2n S +成等差数列．。