大学高数期末试题测试A卷

1．设二元函数)sin(5

x x z y +=，则

=∂∂y

z

． 2．设积分区域D 是以A(1,1),B(1,2),C(4,2)为顶点的三角形，则

=

⎰⎰dxdy D

2 ．

3．方程y y xy ln '=满足2

)1(e y =的特解是 ．

4． 设)(x y y =是由函数方程 xy

e y x -=++)sin(1在)0,0(点附近所确定的隐函数，

求y '及)(x y y =在)0,0(点的法线方程.

5．已知)(x f 的一个原函数为x x ln )sin 1(+，求⎰

'dx

x f x )(.

6．设

y x y

x z -+=arctan

，求全微分dz

7．求函数

y x y xy x y x f 63),(2

2--++=的极值 8． 求微分方程

)0(,2''>=--a e y a y ax

的通解.

9．计算

dxdy

e

D

y

x ⎰⎰，其中D 是由01,===x y x y 及所围成的区域.

10．二重积分⎰⎰+∞

+∞

-0

2

y

x dx e dy =_____________。

11．微分方程x xe y y y 282=-'+''的特解形式为（ ） (A) x xe 2a ; (B) ()x e b ax 2+; (C) ()x e b x 22a + ; (D) ()x e b ax x 2+

12．2

2

2

2

)ln(y x y x x x z +-++=，则22x

z

∂∂=（ ）.

（A ）)ln(22y x x ++; （B ）22y x +; （C ）

2

2

1y

x +; （D ）

2

2

y

x x +.

13．函数2

2

45y x z ++=的极值点是（ ）.

（A ）间断点; （B ）驻点; （C ）偏导数存在但不可微点; （D ）偏导数不存在点.

14.求二重积分⎰⎰

+D

dxdy y x ）（，其中D 是x y y x ≤≤≤+≤0,412

2在第一象限的区域。

15.解微分方程1ln 2

y 1==-

'=x y x y x

，

16. 23

30

(.)x

x

dx f x y dy ⎰⎰交换积分顺序为_____________________。

17.若)(x f 满足2()2()()x f x xf x f x e '''+-=且0()0f x '=，则)(x f （ ）.

A ．在0x 处有极大值; B.在0x 处有极小值; C.在0x 附近单调增加; D.在0x 附近单调减小

18.

求2

()()3()6,(1)0,(1)2f x xf x f x x f f ''''-=-==满足且 19. )(2x f y y y =+'+''的一个解为x x y sin =，求)(x f ，并求微分方程的通解。

20.设),(2

2

xy y x f z +=的二阶偏导数连续,求y

x z

x z ∂∂∂∂∂2,

21. 求二重积分⎰⎰

+D

dxdy y x ）（，其中D 是22

1x y +≤内满足||x y ≤的区域。.

1. x x y

ln , 2.3, 3. x

e y 2=

4.解: 两边对x 求导 cos()(1)()xy

x y y e

y xy -''++=-- 得 cos()cos()xy

xy

x y ye y x y xe --++'=-

++ (0)1y '=-，所以)(x y y =在)0,0(点的法线方程 1000y x y -=--'()()

, y=x.

5.解 由已知得，)(]ln )sin 1[(x f x x ='+由分部积分得，

⎰'dx x f x )(=⎰⎰-=dx x f x xf x xdf )()()(=()c x x x x x +-++ln 1)sin 1(ln cos

6.

2222

)(211y x y y x y y x y x x

z +-=--⋅⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-++=∂∂，2

222

)(211y x x

y x x y x y x y

z

+=

-⋅

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-++=

∂∂ dy y z dx x z dz ∂∂+∂∂=

dy y

x x dx y x y 2222+++-= 7. 解：令⎪⎩⎪⎨⎧=-+==-+=0

62032''y x f y x f y x ，得驻点)3,0( 又2''=xx f ，1''=xy f ，2'

'=yy f ，在)3,0(处

2=A ，1=B ，2=C ，0,032><-=-A AC B 且，所以在点)3,0(处),(y x f 有极小

值，极小值为9)3,0(-=f 8.对应齐次方程的特征方程为022

=-a r

，特征根a r a r -==21,，

所以02

'

'=-y a y 的通解ax ax

e c e c Y -+=21，

设ax

e

y a y -=-2

'

'的特解ax

Axe

y -=，代入原方程，得a

A 21

-

= 故特解ax xe a y

--

=21，因此原方程的通解为y Y y +=ax ax e c e c -+=21ax

xe a

--21 9.

dxdy e D

y

x ⎰⎰⎰⎰=y

y

x

dx e dy 01

0 ⎰-=1

)1(dy e y )1(2

1

-=

e