题组1解三角形正弦定理、余弦定理、面积公式

高考圈题（新课标I数学文）

题组11解三角形:正弦定理、余弦定理、面积公式

一、考法解法

命题特点分析

在高考中解三角形一般与三角函数、基本不等式、向量等综合知识的考察,也可以单独出题.题型以选择题、填空题的形式出现，或解答题的形式出现.

从近几年考查的情况看，主要考查三角函数的图象和性质、三角函数式的化简与求值、正余弦定理解三角形、三角形中的三角恒等变换以及三角函数、解三角形和平面向量在立体几何、解析几何等问题中的应用．由于该专题是高中数学的基础知识和工具性知识，在试题的难度上不大，一般都是中等难度或者较为容易的试题．基于这个实际情况以及高考试题的相对稳定性.难度系数在0.6左右.

解题方法荟萃

本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有：

(1)运用方程观点结合恒等变形方法巧解三角形；

(2)熟练地进行边角和已知关系式的等价转化；

(3)能熟练运用三角形基础知识，正、余弦定理及面积公式与三角函数公式配合，通过等价转化或构建方程解答三角形的综合问题，注意隐含条件的挖掘.

二、真题剖析

【题干】（2015•全国新课标II 卷文科）

△ABC 中D 是BC 上的点,AD 平分∠P AC ,BD =2DC . （I ）求

sin sin B

C

∠∠ ；

（II ）若60BAC ∠=,求B ∠.

【答案】（I ）sin 1

.sin 2

B C ∠=∠（II ）30.B ∠=

【解析】（I ）由正弦定理得,.

sin sin sin sin AD BD AD CD

B BAD

C CA

D ==∠∠∠∠

因为AD 平分∠BAC,BD=2DC,所以sin 1

.sin 2

B D

C C B

D ∠==∠

（II ）

1

sin()sin .2C BAC B B B ∠=∠+∠=

∠+∠由（１）知

2sin sin ,tan ,303.B C B B ∠=∠∴∠=

∴=︒∠

（点评）本题第一问考查角平分线定理及正弦定理的使用，第二问是在第一问的基础上，考查余弦定理的使用，题目难度不大，属于中档题.

【题干】(2014新课标全国Ⅱ卷) 钝角三角形ABC 的面积是

2

1

，AB ＝1，BC ＝2 ，则AC ＝（ ） A ．5 B ．5 C ．2 D ．1 【答案】B

【解析】 (命题意图) 考查余弦定理、三角形面积公式,已知函数值求角.

(解题点拨)∵ S △ABC ＝

21ac sin B ＝21·2·1·sin B ＝2

1

∴ sin B ＝22

∴ B ＝

43π或4π

（舍去，此时△ABC 为等腰直角三角形） ∴ B ＝

4

3π

，应用余弦定理解得AC ＝5 故选B (点评)本题综合考查了三角形面积公式,余弦定理,题目难度不大,但是考查的知识面较多.是一道增加试卷

知识,考查学生知识全面性的考题.

【题干】(2013新课标全国Ⅱ卷) ABC ∆在内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos sin a b C c B =+。 （Ⅰ）求B ；

（Ⅱ）若2b =，求ABC ∆面积的最大值。 【答案】B = p

4

,1 + 2

【解析】 (命题意图)涉及了正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式、诱导公式等不下4个知识点 (解题点拨)（Ⅰ）由a = b cos C + c sin B ⇒ sin A = sin B cos C + sin C sin B ⇒ sin (B +C ) = sin B cos C + sin C sin B ⎭

⎬⎫

⇒ cos B sin C = sin C sin B sin C ≠0 ⇒ cos B = sin B

⎭

⎬⎫

⇒ tan B = 1 0 < B < π ⇒ B = π4

（Ⅱ）由余弦定理得：a 2 +c 2-2ac = 4 ⇒ 4+2ac = a 2 +c 2 ≥ 2ac ⇒ ac ≤ = 4

2-2

= 2(2 + 2 ) △ABC 面积S =

2

4

ac ≤

1 +

2 .所以△ABC 面积的最大值为1 + 2 . (点评)求解主要演算：利用正弦定理、余弦定理化简，得到关于B 等式，从而算出结果.涉及函数与方程，化归与转化等基本数学思想，考查学生的基本运算能力．

【题干】(20新课标全国Ⅰ卷) 如图，在ABC ∆中，

90=∠ABC ，3=

AB ，1=BC ，P 为ABC ∆内

一点，

90=∠BPC .

（Ⅰ）若2

1

=

PB ，求PA ； （Ⅱ）若

150=∠APB ，求PBA ∠tan . 【答案】2

7

=

PA ,43tan =∠PBA

【解析】 (命题意图) 本题主要考查解三角形问题，此类问题在高考试题中呈现形式简单，易理解.此类

问题的解答一般都是采用正弦定理、余弦定理或是正、余弦定理得联袂应用，不下4个知识点，属于简单题，容易上手.

(解题点拨)解法1. （Ⅰ）由已知得， 60=∠PBC ，所以

30=∠PBA . 在PBA ∆，由余弦定理得4

7

30cos 21324132

=⨯⨯-+

= PA ,故27=PA .

（Ⅱ）设α=∠PBA ，由已知得αsin =PB ， 在PBA ∆中，由正弦定理得

)

30sin(sin 150sin 3αα

-=

，化简得ααsin 4cos 3=，所以43tan =α，即4

3

tan =

∠PBA . 解法2. （Ⅰ）过点P 作AB PE ⊥，垂足为E ，因为BC PB 2

1

21==

， 90=∠BPC ，所以 30=∠=∠PBE BCP .

则4

1

21==

PB PE ，43=BE .

又3=AB ，则4

3

3433=-

=-=BE AB AE . 在PEA Rt ∆中由勾股定理得，

2

7

161162722=+=

+=

PE AE PA . （Ⅱ）过点A 作BP AD ⊥，与BP 的延长线交于点D . 因为

150=∠APB ，所以

30=∠APD . 因为PBC ADB ∠=∠,BCP ABD ∠=∠ 又ADB ∆∽BPC ∆

不妨设a AD =，则a AP 2=，a PD 3=

所以

BC AB PB AD =，得333

a

a AB BC AD PB ==⋅=.