沪科版数学八年级下册 公式法

b2 4ac .
2a
注意 用公式法解一元二次方程的前提是:
1. 必须是一般形式的一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0)；
2. 必须满足 b2 - 4ac≥0 才能代公式计算.
典例精析
公式法解方程
x b b2 4ac 2a
例1 用公式法解方程 5x2 - 4x - 12 = 0. 解：∵a 5，b 4，c 12，
∴ b2 - 4ac = (-4)2 - 4×5×(-12) = 256 > 0.
∴x b b2 4ac (4) 256 4 16 = 2 8 .
2a
25
10 5
∴ x1
2 ，x2
6. 5
例2 解方程：x2 3 2 3 x.
这里 a、b、c
解：化为一般式：x2 2 3 x 3 0. 的值是什么？
解： 移项，得 ax2 bx c.
方程两边都除以 a，得 x2 b x c .
a
a
配方，得
x2
b a
x
b 2a
2
c a
b 2a
2
.
即
x
b 2a
2
b2 4ac 4a 2
.
∵ a ≠ 0，4a2 > 0，
∴ 当 b2 - 4ac≥0 时，
b
b2 4ac
x
.
2a
2a
∴x b
= -47 < 0. ∴ 原方程没有实数根.
3. 解方程：2x2 - 3 3 x + 3 = 0.
解： 这里 a = 2，b = 3 3，c = 3. ∵ b2 - 4ac = 27 - 4×2×3 = 3 > 0 ,
∴x3 3 3.
4
∴ x1 =
3 ，x2 =
3. 2
公式法
求根 公式
步骤
x b b2 4ac 2a
x 1 5 .
2
用计算器求得： 5 2.2361，
x1 0.618，x2 1.618.
例4 解方程：4x2 - 3x + 2 = 0. 解：∵a 4，b 3，c 2，
∴b2 4ac (3)2 4 4 2 9 32 23 0. ∵ 在实数范围内负数不能开平方， ∴ 方程无实数根.
a 1，b 2 3，c 3，
∵b2 4ac 2 3 2 41 3 0，
2 3
∴x
02 3
3.
21
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ即 x1 x2 3.
b b2 4ac x
2a
例3 解方程：x2 x 1 0（精确到 0.001）.
解： a 1，b 1，c 1，
b2 4ac 12 41 (1) 5 0.
b2 4ac .
2a
特别提醒
一元二次方程 的求根公式
当 b2 - 4ac＜0 时，
x
b 2a
2
b2
4ac 4a2
＜0.
而 x 取任何实数都不能使上式成立，
∴ 此时方程无实数根. 归纳 由上可知，一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的
根由方程的系数 a，b，c 确定．因此，解一元二次方程
第17章 一元二次方程
17.2 一元二次方程的解法
17.2.2 公式法
复习引入
1. 用配方法解一元二次方程的步骤有哪几步？
一、移常数项；
二、配方[配上
二次项系数 2
2]；
三、写成 (x + n)2 = p ( p≥0 )；
四、直接开平方法解方程.
2. 如何用配方法解方程 2x2 + 4x + 1 = 0?
∵ b2 - 4ac = 72 – 4 × 1× (-18 ) = 121 > 0，
∴ x 7 121 7 11.
21
2
即 x1 = -9，x2 = 2.
2. 解方程 (x–2) (1–3x) = 6. 解：去括号，得 x–2 - 3x2 + 6x = 6.
化为一般式，得 3x2 - 7x + 8 = 0. 这里 a = 3，b = -7，c = 8， ∴ b2 - 4ac = (-7 )2 – 4×3×8 = 49–96
要点归纳 公式法解方程的一般步骤
1. 变形：化已知方程为一般形式； 2. 确定系数：用 a，b，c 写出各项系数； 3. 计算：b2 - 4ac 的值； 4. 判断：若 b2 - 4ac≥0，则利用求根公式得解；
若 b2 - 4ac < 0，则方程没有实数根.
1. 解方程：x2 + 7x–18 = 0. 解：这里 a = 1，b = 7，c = -18.
时，可以先将方程化为 ax2 + bx + c = 0 的一般形式，当 b2 - 4ac≥0 时，将 a，b，c 代入式子 x b b2 4ac
2a
就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根 公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法．由 求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.
求根公式： x b
解：x2 + 2x = 1，即 (x + 1)2 = 1，
2
2
x1 1
2 2
，x2
1
2. 2
合作探究
求根公式的推导
任何一个一元二次方程都可以化为一般形式：
ax2 + bx + c = 0. 能否也用配方法得出它的解呢？
用配方法解一般形式一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).
务必将方程化 为一般形式
一化（一般形式）； 二定（系数值）； 三求（求 b2 - 4ac 的值）； 四判（方程根的情况）； 五代（代求根公式计算）.