力学 临界与极值问题

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2 临界与极值问题
在应用牛顿运动定律解决动力学问题中，当物体运动的加速度不同时，物体有可能处于不同的状态，特别是题目中出现“最大”、“最小”、“刚好”等词句时，往往会有临界现象。

此时要用极限分析法，看物体不同加速度时，会有哪些现象发生，找出临界点，求出临界条件。

解决此类问题重在形成清晰的物理图景，分析清楚物理过程，从而找出临界条件或达到极值的条件，要特别注意可能出现的多种情况。

在解决临办极值问题注意以下几点：
1.许多临界问题常在题目的叙述中出现“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”……等词句对临界问题给出了明确的暗示，审题是只要抓住这些特定词语其内含规律就能找到临界条件。

2.临界点的两侧，物体的受力情况、变化规律、运动状态一般要发生改变，能否用变化的观点正确分析其运动规律是求解这类题目的关键，而临界点的确定是基础。

3.临界问题通常具有一定的隐蔽性，解题灵活性较大，审题时应力图还原习题的物理情景，抓住临界状态的特征，找到正确的解题方向。

4.确定临界点一般用极端分析法，即把问题（物理过程）推到极端，分析在极端情况下可能出现的状态和满足的条件。

典例1
如图所示，一轻绳上端系在车的左上角的A 点，另一轻绳一
端系在车左端B 点，B 点在A 点正下方，A 、B 距离为b ，两绳另
一端在C 点相结并系一质量为m 的小球，绳AC 长度为2b ，
绳BC 长度为b 。

两绳能够承受的最大拉力均为2mg 。

求：
(1)绳BC 刚好被拉直时，车的加速度是多大?
(2)为不拉断轻绳，车向左运动的最大加速度是多大?（要求画出受力图）
【精析】对物体受力分析，从而确定在各个临界点的情况，是解决本题的关键。

（1）绳BC 刚好被拉直时，小球受力如图所示
因为AB=BC=b ，AC=2
b
A
B
mg
C
2 / 2 故 绳BC 方向与AB 垂直，2
2cos =θ θ=450 由牛顿第二定律，得 mgtanθ=ma
可得 a=g
（2）小车向左加速度增大，AB 、BC 绳方向不变，所以AC 绳拉力不变，BC 绳
拉力变大，BC 绳拉力最大时，小车向左加速度最大，小球受力如图
由牛顿第二定律，得 T m + mgtanθ=ma m
因这时 T m =2mg ，所以最大加速度为 a m =3g.
典例2
如图所示，一个弹簧台秤的秤盘质量和弹簧质量都不计，盘内放一个物体P 处于静止，
P 的质量m=12kg ，弹簧的劲度系数k=300N/m 。

现在给P 施加一个竖直向上的力F ，使P 从静止开始向上做匀加速直线运动，已知在内F 是变力，在以后F 是恒力，g=10m/s 2,则F 的最小值是多少？F 的最大值是多少？
【精析】从受力的角度来讲，两物体分离时的条件是两物体间的正压力为零；从运动学的角度来讲，一起运动的两物体恰好分离时，两者在垂直于接触面方向的速度和加速度仍然相等.这两个角度有时单独适用，有时则需要同时考虑.
因为在内F 是变力，在以后F 是恒力，所以在时，P 离开秤盘。

此时P 受到盘的支持力为零，由于盘和弹簧的质量都不计，所以此时弹簧处于原长。

在0____这段时间内P 向上运动的距离：
x=mg/k= 因为221at x =，所以P 在这段时间的加速度22/202s m t
x a == 当P 开始运动时拉力最小，此时对物体P 有N-mg+F min =ma,又因此时N=mg ，所以有F min =ma=240N.
当P 与盘分离时拉力F 最大，F max =m(a+g)=360N.
A B
mg C。