5.张量微分

第五章 张量微分

§5.1 第一型克氏符号

一．定义

在曲线坐标()k x 下,基向量e i 对坐标j x 的偏导数e i j x

∂∂ 与基向量e j 的

点积,称为第一型克雷斯托夫符号,记为,ij k Γ,即

,e i e j ij k k

x ∂Γ=⋅∂

二.性质

1.第一型克氏符号,ij k Γ关于指标,i j 对称，即

,,ij k ji k

=ΓΓ 证明:(P.432-1)

2.第一型克氏符号,ij k Γ与k m

δ的并,可表成

,,k m

ij m ij k

δΓ=Γ. 证明:(P.437-2)

3.度量张量g ij

对坐标k x 的偏导数,可表成:

,,g

ij ik j jk i k

x ∂=Γ+Γ

∂ 证明:(P.428-2) 三.计算

1.在仿射坐标()k x 下，第一型克氏符号,ij k Γ的计算公式为

1(),2g g g jk ij ik j i ij k k

x x x ∂∂∂Γ=+-∂∂∂ 证明: (P.428-2)

2.在正交坐标()k x 下,第一型克氏符号,ij k Γ为 12(),2h ii i i i x

∂Γ=∂ 2.()1(),2k

i k h i ii k x ≠∂Γ=-∂

.()12(),2j

i j h ij i i x

≠∂Γ=∂ 其余0.,ij k Γ=

证明:(P.328-3).

3.在直角坐标(,,)x y z 下,第一型克氏符号,ij k Γ为 0.,ij k Γ=

证明:(P.437-3).

4.在园柱面坐标(,,)z ρϕ下,第一型克氏符号,ij k Γ为 22,1ρΓ=- 12,221,2ρΓ=Γ=,

其余0.,ij k Γ=

证明:(P.429).

5.在球面坐标(,,)r θϕ下,第一型克氏符号,ij k Γ为

22,1r Γ=- 2sin 33,1r θΓ=- 2sin cos 33,2r θθΓ=- 21,212,2r Γ=Γ= 2sin 31,313,3r θ=Γ=Γ 2sin cos 32,323,3r θθ=Γ=Γ

其余0.,ij k Γ= 证明:(P.438).

§5.2 第二型克氏符号

一．定义

在曲线坐标()k x 下,基向量e i 对坐标j x 的偏导数e i j x

∂∂

与基向量j e 的

点积,称为第二型克雷斯托夫符号,记为k ij

Γ,即

e k k i e ij j

x ∂Γ=⋅∂ 二.性质

1.第二型克氏符号k ij

Γ关于指标,i j 对称，即 k k ij ji

Γ=Γ 证明:(P.438-7).

2.第一、二型克氏符号,ij k Γ与k ij

Γ满足关系

,k km ij g ij m Γ=Γ. ,m km ij

g ij k

Γ=Γ 证明:(P.430-8,438-8).

3.共轭张量ij g 对坐标k x 的偏导数,可表成

ij ip j jq i kp kq g g g k x

∂=-Γ-Γ∂

证明:(P.431-11). 三.计算

1.在仿射坐标()k x 下，第二型克氏符号k ij

Γ的计算公式为

1()2g g g jm ij k km im g m

ij j

i x x x ∂∂∂Γ=+-∂∂∂ 证明:(P.430-8)

2.在正交坐标()k x 下,第二型克氏符号k ij

Γ的计算公式为 1(ln )2i g ii ii i x ∂Γ=∂ 1.()2g k ii i k ii k

g x ii

∂Γ=-≠∂ .()1(ln )2i ij j i j g ii x

≠∂Γ=∂ 其余0.,ij k Γ=

证明:(P.430-9).

3.在直角坐标(,,)x y z 下,第二型克氏符号k ij Γ为 0.k ij

Γ= 证明:(P.438-9).

4.在园柱面坐标(,,)z ρϕ下,第二型克氏符号k ij

Γ为 122

ρΓ=- 1222112ρ

Γ=Γ=, 其余0.k ij

Γ= 证明:(P.438-10).

5.在球面坐标(,,)r θϕ下,第二型克氏符号k ij

Γ为 122r Γ=- 1233

sin r θΓ=- 2233sin cos r θθΓ=- 2221

121r

=Γ=Γ 1333113r Γ=Γ= 333223cot θ=Γ=Γ 其余0.k ij

Γ= 证明:(P.431-10)

§5.3 张量的协变导数

一.一阶协变张量的协变导数 1.定义:

一阶协变张量A i

对坐标q x 的协变导数,定义为

,A

s i A A s

q

i q iq x ∂=-Γ∂ 2.特例:

在直角坐标(,,)x y z 下,一阶协变张量A i

对坐标q x 的协变导数,即

为一阶协变张量A i

对坐标q x 的普通偏导数:

,A i A q

i q x

∂=∂. 证明:(P.432-14). 3.阶数:

一阶协变张量A i

对坐标q x 的协变导数,i q

A ,为二阶协变张量.

二.一阶逆变张量的协变导数

1.定义:

一阶逆变张量i A 对坐标q x 的协变导数,定义为

,i A i i s A A q qs q x

∂=+Γ∂. 2.特例:

在直角坐标(,,)x y z 下,一阶逆变张量i A 对坐标q x 的协变导数,即为一阶逆变张量i A 对坐标q x 的普通偏导数:

,A i i A q q x ∂=∂ 证明:(P.432-14). 3.阶数: