高等数学公式大全最新修订(突击必备)

重积分及其应用： 柱面坐标和球面坐标：
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰⎰++-=++=++==>===
=
==
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+==='
D
z D y D x z y x D
y D
x D
D
y D
x
D
D D
a y x xd y x fa F a y x yd y x f F a y x xd y x f F F F F F a a M z xoy d y x x I y d y x y I x d y x d y x y M
M y d y x d y x x M
M x dxdy y z x z A y x f z rdrd r r f dxdy y x f 23222232222322222D
2
2)(),()(),()(),(},,{)0(),,0,0(),(,),(),(),(,),(),(1),()sin ,cos (),(σρσρσρσ
ρσρσ
ρσ
ρσ
ρσ
ρθ
θθ， ， ，其中：的引力：轴上质点平面）对平面薄片（位于轴 对于轴对于平面薄片的转动惯量： 平面薄片的重心：的面积曲面⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω
Ω
Ω
ΩΩΩΩΩ
Ω
ΩΩ+=+=+=========⋅⋅⋅=⎪⎩
⎪⎨⎧=====⎪⎩⎪
⎨⎧===dv
y x I dv z x I dv z y I dv x M dv z M z dv y M y dv x M x dr
r
r F d d d drd r r F dxdydz z y x f d drd r dr d r rd dv r z r y r x z r r f z r F dz rdrd z r F dxdydz z y x f z
z r y r x z y x r ρρρρρρρϕθϕϕ
θθϕϕθϕθ
ϕϕθϕϕϕθϕθϕθθθθθθθπ
πθϕ)()()(1
,1,1sin ),,(sin ),,(),,(sin sin cos sin sin cos sin )
,sin ,cos (),,(,),,(),,(,sin cos 22222220
)
,(0
2
22
， ， 转动惯量：， 其中 重心：， 球面坐标：其中： 柱面坐标：
曲线积分：
⎩⎨
⎧==<'+'=≤≤⎩⎨
⎧==⎰⎰)
()()()()]
(),([),(),(,)
()
(),(22t y t
x dt t t t t f ds y x f t t y t x L L y x f L
ϕβαψϕψϕβαψϕβ
α 特殊情况： 则： 的参数方程为：上连续，在设长的曲线积分）：
第一类曲线积分（对弧。

，通常设的全微分，其中：
才是二元函数时，＝在：
二元函数的全微分求积注意方向相反！
减去对此奇点的积分，，应。

注意奇点，如＝，且内具有一阶连续偏导数在，、是一个单连通区域；
、无关的条件：平面上曲线积分与路径的面积：时，得到，即：当格林公式：格林公式：的方向角。

上积分起止点处切向量分别为
和，其中系：两类曲线积分之间的关，则：的参数方程为设标的曲线积分）：第二类曲线积分（对坐0),(),(),(),(·)0,0(),(),(21·21
2,)()()cos cos ()}()](),([)()](),([{),(),()
()(00
)
,()
,(00==+=
+∂∂∂∂∂∂∂∂-==
=∂∂-∂∂=-=+=∂∂-∂∂+=∂∂-∂∂+=
+'+'=+⎩⎨
⎧==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰y x
dy y x Q dx y x P y x u y x u Qdy Pdx y
P x Q y P
x Q G y x Q y x P G ydx xdy dxdy A D y P x Q x Q y P Qdy
Pdx dxdy y P
x Q Qdy Pdx dxdy y P x Q L ds Q P Qdy Pdx dt
t t t Q t t t P dy y x Q dx y x P t y t x L y x y x D
L D L
D L L
L
L
βαβαψψϕϕψϕψϕβ
α
曲面积分： 高斯公式：
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
++=++±=±=±=++++=
ds
R Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz dzdx z x z y x Q dzdx z y x Q dydz z y z y x P dydz z y x P dxdy y x z y x R dxdy z y x R dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P dxdy
y x z y x z y x z y x f ds z y x f zx
yz
xy
xy
D D D D y x )cos cos cos (]),,(,[),,(],),,([),,()],(,,[),,(),,(),,(),,(),(),(1)]
,(,,[),,(2
2γβα系：两类曲面积分之间的关号。

，取曲面的右侧时取正
号；，取曲面的前侧时取正
号；，取曲面的上侧时取正
，其中：
对坐标的曲面积分：对面积的曲面积分：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω
∑
∑
∑
∑
∑Ω∑=++==⋅<∂∂+∂∂+∂∂=++=++=∂∂+∂∂+∂∂ds
A dv A ds R Q P ds A ds n A z R y Q x P ds R Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz dv z R
y Q x P n n ϖϖ
ϖϖϖdiv )cos cos cos (...
,0div ,div )cos cos cos ()(成：因此，高斯公式又可写，通量：则为消失的流体质量，若即：单位体积内所产生散度：—通量与散度：
—高斯公式的物理意义γβαννγβα
斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系： 常数项级数：
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Γ
Γ
∑∑
∑Γ⋅=++Γ∂∂
∂∂∂∂=
∂∂=
∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂
=∂∂∂∂∂∂
++=∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂ds
t A Rdz Qdy Pdx A R
Q P z y x A y P
x Q x R z P z Q y R R
Q
P
z y x R Q
P
z y x dxdy dzdx dydz
Rdz Qdy Pdx dxdy y P
x Q dzdx x R z P dydz z Q y R ϖ
ϖϖϖ的环流量：沿有向闭曲线向量场旋度：，　，　关的条件：空间曲线积分与路径无上式左端又可写成：k
j i rot cos cos cos )()()(γβ
α
是发散的
调和级数：等差数列：等比数列：n n
n n q q q q q n n 1
312112
)1(32111112+++++=
++++--=
++++-ΛΛΛ
级数审敛法：
散。

存在，则收敛；否则发、定义法：
时，不确定
时，级数发散
时，级数收敛
，则设：、比值审敛法：
时，不确定时，级数发散
时，级数收敛
，则设：别法）：—根植审敛法（柯西判—、正项级数的审敛法n n n n n n n n
n n s u u u s U U u ∞
→+∞→∞
→+++=⎪⎩
⎪
⎨⎧=><=⎪⎩
⎪
⎨⎧=><=lim ;3111lim 2111lim 1211Λρρρρρρρρ。

的绝对值其余项，那么级数收敛且其和
如果交错级数满足—莱布尼兹定理：—的审敛法或交错级数1113214321,0lim )0,(+∞
→+≤≤⎪⎩⎪⎨⎧=≥>+-+-+-+-n n n n n n n n u r r u s u u u u u u u u u u u ΛΛ
绝对收敛与条件收敛： 幂级数：
∑∑∑∑>≤-+++++++++时收敛
１时发散ｐ
级数： 收敛；
级数：收敛；
发散，而调和级数：为条件收敛级数。

收敛，则称发散，而如果收敛级数；肯定收敛，且称为绝对收敛，则如果为任意实数；，其中11
1
)1(1)1()1()2()1()2()2()1(232121p n p n n n u u u u u u u u p n n n n Λ
ΛΛΛ 0
01
0)3(lim )3(111
111122103
2
=+∞=+∞
===
≠==><+++++≥-<++++++++∞→R R R a a a a
R R x R x R x R x a x a x a a x x x x x x
x n n n
n n n n n
时，时，时，的系数，则是，，其中求收敛半径的方法：设称为收敛半径。

，其中时不定
时发散时收敛
，使在数轴上都收敛，则必存收敛，也不是在全
，如果它不是仅在原点　对于级数时，发散
时，收敛于
ρρρ
ρρΛΛΛΛ
函数展开成幂级数：
ΛΛΛΛ+++''+
'+===-+=
+-++-''+-=∞→++n
n n n n n n n n x n f x f x f f x f x R x f x x n f R x x n x f x x x f x x x f x f !
)0(!2)0()0()0()(00
lim )(,)()!
1()
()(!
)
()(!2)())(()()(2010)1(00)(20000时即为麦克劳林公式：充要条件是：可以展开成泰勒级数的余项：函数展开成泰勒级数：ξ
一些函数展开成幂级数：
)
()!12()1(!5!3sin )11(!
)1()1(!2)1(1)1(1
21532+∞<<-∞+--+-+-=<<-++--++-+
+=+--x n x x x x x x x n n m m m x m m mx x n n n
m ΛΛΛΛΛ 欧拉公式： 傅立叶级数：
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧-=+=+=--2
sin 2cos sin cos ix ix
ix
ix
ix e e x e
e
x x i x e 或
是偶函数 ，余弦级数：是奇函数 ，正弦级数：（相减）
（相加） 其中，周期∑⎰∑⎰⎰⎰∑+=
==
======+-+-=++++=+++=
+++⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧====
=++=
--∞
=nx a a x f n nxdx x f a b nx b x f n xdx x f b a n nxdx x f b n nxdx x f a nx b nx a a x f n n n n n n n n n n n cos 2
)(2,1,0cos )(2
0sin )(3,2,1n sin )(2
012413121164
1312112461412185
1311)3,2,1(sin )(1)2,1,0(cos )(1
2)sin cos (2)(0
2
2222
222
2
222
2
221
Λ
Λ
ΛΛΛΛΛΛπ
π
π
πππ
π
ππππππππ
周期为
l 2的周期函数的傅立叶级数： 微分方程的相关概念：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=====++=
⎰⎰∑--∞
=l
l n l l n n n n n dx l x n x f l b n dx l x n x f l a l l x n b l x n a a x f )3,2,1(sin )(1)2,1,0(cos )(12)sin cos (2)(1
0ΛΛ 其中，周期ππππ
即得齐次方程通解。

，
代替积分后将分离变量，
，，，则解法：设的函数，，即写成程可以写成
齐次方程：一阶微分方称为隐式通解。

得：解法：的形式，为：一阶微分方程可以化可分离变量的微分方程　或　一阶微分方程：u x
y
u u du
x dx u dx du u dx du x u dx dy x y u x
y
y x y x f dx dy C x F y G dx x f dy y g dx x f dy y g dy y x Q dx y x P y x f y -=∴=++====+====+='⎰⎰)()(),(),()()()()()()(0
),(),(),(ϕϕϕ
一阶线性微分方程：
)
1,0()()(2))((0)(,0)()
()(1)()()(≠=+⎰
+⎰=≠⎰
===+⎰--n y x Q y x P dx
dy e C dx e x Q y x Q Ce y x Q x Q y x P dx
dy
n dx
x P dx
x P dx
x P ，、贝努力方程：时，为非齐次方程，当为齐次方程，时当、一阶线性微分方程：
全微分方程： 二阶微分方程：
通解。

应该是该全微分方程的，其中：，即：分方程，中左端是某函数的全微如果C y x u y x Q y
u
y x P x u dy y x Q dx y x P y x du dy y x Q dx y x P =∴=∂∂=∂∂=+==+),()
,(),(0),(),(),(0),(),( 时为非齐次
时为齐次，0)(0)()()()(2
2≠≡=++x f x f x f y x Q dx
dy x P dx
y d
二阶常系数齐次线性微分方程及其解法： 二阶常系数非齐次线性微分方程
2
12
2,)(2,,(*)0)(1,0(*)r r y y y r r q pr r q p qy y p y 式的两个根、求出的系数；式中的系数及常数项恰好是，其中，
、写出特征方程：求解步骤：
为常数；，其中∆'''=++∆=+'+''
型
为常数；型，为常数，]sin )(cos )([)()()(,)(x x P x x P e x f x P e x f q p x f qy y p y n l x m x
ωωλλλ+===+'+''
式的通解：
出的不同情况，按下表写、根据(*),321r r。