线性代数习题答案 第二章
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第二章 矩阵及其运算
1. 已知线性变换:
⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=3
21332123
2113235322y y y x y y y x y y y x , 求从变量x 1, x 2, x 3到变量y 1, y 2, y 3的线性变换. 解 由已知:
⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x ,
故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211
221323513122x x x y y y ⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321423736947y y y ,
⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=321332123
211423736947x x x y x x x y x x x y .
2. 已知两个线性变换
⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=321332123
11542322y y y x y y y x y y x ,
⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=3
233122
11323z z y z z y z z y , 求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换.
解 由已知
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32131
010
201
3514232102z z z
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z ,
所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3
21332123
2111610941236z z z x z z z x z z z x .
3. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--=150421321B , 求3AB -2A 及A T B .
解 ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503,
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T
.
4. 计算下列乘积:
(1)⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134;
解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=49635.
(2)⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛123)321(;
解 ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛123)321(=(1⨯3+2⨯2+3⨯1)=(10).
(3))21(312-⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛;
解 )21(312-⎪⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---=6321
42. (4)⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20
4
131210131
43110412 ; 解 ⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20
4
131
210131
43110412⎪⎭⎫ ⎝⎛---=6520876.
(5)⎪⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x ;
解
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x
=(a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3 a 12x 1+a 22x 2+a 23x 3 a 13x 1+a 23x 2+a 33x 3)⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛321x x x
3223311321122
33322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=.
5. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A , ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=2101
B , 问: (1)AB =BA 吗? 解 AB ≠BA .
因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=64
43AB , ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=8321BA , 所以AB ≠BA .
(2)(A +B )2=A 2+2AB +B 2吗? 解 (A +B )2≠A 2+2AB +B 2.
因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+52
22B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝
⎛=+52
22
52
22)(2B A ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=2914148,
但 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++43011288611483222B AB A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=27151610, 所以(A +B )2≠A 2+2AB +B 2. (3)(A +B )(A -B )=A 2-B 2吗? 解 (A +B )(A -B )≠A 2-B 2.
因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+52
22B A , ⎪⎭
⎫ ⎝
⎛=-1020
B A ,
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+90
60
10
2052
22))((B A B A ,
而 ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-7182
43
011148322B A , 故(A +B )(A -B )≠A 2-B 2.
6. 举反列说明下列命题是错误的: