中考数学总复习 第四单元 图形的初步认识与三角形 第15课时 三角形基础知识及直角三角形课件

[解析] (1)∵∠A=60°,∴∠ABC+∠ACB=
于点 F,∠ABC=42°,∠A=60°,则∠BFC=
120°,∵BE,CD 分别是∠ABC,∠ACB 的平
.
(2)在△ ABC 中,∠ABC 的平分线 BE 与∠ACB 的邻补角平
分线,∴∠CBE= ∠ABC,∠BCD= ∠BCA,
分线 CD 相交于点 F,∠ABC=42°,∠A=60°,
UNIT FOUR
第四单元
第 15 课时 三角形基础知识及
直角三角形
图形的初步认识与三角形
课前双基巩固
考点聚焦
考点一 三角形的分类及重要线段
1.三角形的分类
不等边三角形
(1)按边分:三角形
等腰三角形
斜三角形
(2)按角分:三角形
底和腰不等的三角形
①
等边三角形
锐角三角形
② 钝角三角形
直角三角形
课前双基巩固
A.等边三角形
B.钝角三角形
C.等腰直角三角形
D.直角三角形
高频考向探究
针对训练
1.[2018·曲靖 11 题] 如图 15-13,在△ ABC 中,AB=13,BC=12,
点 D,E 分别是 AB,BC 的中点,连接 DE,CD.如果 DE=2.5,那么
△ ACD 的周长是
.
[答案] 18
[解析]由于 DE 是△ ABC 的中位线,
当边 BC 上的高 AD 在△ ABC 的外部时,如图②所示,同理 BD=5,CD=4,所以 BC=5-4=1.
.
高频考向探究
2.[2018·黄冈] 如图 15-11,在 Rt△ ABC 中,∠ACB=90°,
[答案]C
CD 为 AB 边上的高,CE 为 AB 边上的中线,AD=2,CE=5,
[解析]在 Rt△ ABC 中,CE 为 AB 边上的中
B.7 cm,4 cm,2 cm
C.3 cm,4 cm,8 cm
D.3 cm,3 cm,4 cm
4.[2018·滨州] 在直角三角形中,若勾为 3,股为 4,则弦为( A )
A.5
B.6
C.7
D.8
5.如图 15-4,在△ ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为 D,下列结论错误的是( B )
∴∠CBE+∠BCD= (∠ABC+∠BCA)=
则∠BFC=
60°,∴∠BFC=180°-60°=120°.
.
1
1
2
2
1
2
(3)在△ ABC 中,∠ABC 的邻补角平分线 BE,∠ACB 的邻补
(2)∠BFC= ∠A= ×60°=30°.
角平分线 CD 相交于点 F,∠ABC=42°,∠A=60°,
图 15-10
3 2
A.
2
B.3 2
C.3
故选 B.
D.3 3
高频考向探究
[方法模型] 勾股定理的应用:
(1)已知直角三角形的任何两边长求第三边长;
(2)根据勾股定理建立只含一个未知数的方程求解;
(3)证明线段之间的平方关系.
高频考向探究
针对训练
1.[2018·云南 6 题] 在△ ABC 中,AB= 34,AC=5.若 BC 边上的高等于 3,则 BC 边的长为
A.a=1,b=2,c=3
B.a=2,b=3,c=4
直角三角形的判定
互余
的三角形是直角三角形;
(3)如果一个三角形的三边 a,b,c 满足 a2+b2=c2,那么此三角形为直
角三角形;
(4)一条边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形
课前双基巩固
对点演练
1.如图 15-2,在△ ABC 中,D,E 分别是边 AB,AC 的中点,已知 DE=5,则 BC 的长为( C )
2
故答案为 2.
图 15-6
高频考向探究
2.[2015·昆明 11 题] 如图 15-7,在△ ABC 中,AB=8,D,E 分别是 BC,CA 的中点,连接 DE,则 DE=
图 15-7
4
.
高频考向探究
探究三 三角形内角与外角的应用
[答案] (1)120° (2)30° (3)60°
例 3 (1)在△ ABC 中,∠ABC,∠ACB 的平分线 BE,CD 相交
则 CD=(
线,所以 CE= AB=AE,因为 CE=5,AD=2,
1
)
2
所以 DE=3,因为 CD 为 AB 边上的高,
所以在 Rt△ CDE 中,CD= 2 - 2 =4.
图 15-11
A.2
B.3
C.4
D.2 3
高频考向探究
3.如图 15-12,正方形 ABCD 的边长为 2,其面积标记为 S1,
[答案] C
以 CD 为斜边作等腰直角三角形,以该等腰直角三角形的
[解析] 根据题意:第一个正方形的边长为
一条直角边为边向外作正方形,其面积标记为 S2,…,按照
2;第二个正方形的边长为: ×2;
此规律继续下去,则 S2015 的值为(
第三个正方形的边长为:
)
2
2
2 2
×2;
2
…
第 n 个正方形的边长为:
1
图 15-5
中位线,∴DH= BF,∵AB=5,∴BF=AB-AF
2
=5-3=2.∴DH=1.
高频考向探究
[方法模型] 中位线的作用主要有两个:
(1)证明平行关系;(2)证明线段的数量关系.已知中点时,要考虑连接中线或中位线,而有中线时,要考虑将中线
延长一倍,可归纳为:见中点连中线,见中线,长一半.
中点
的线段叫做三角形的中位线.
平行
于第三边,并且等于第三边的⑧ 一半
(2)中位线定理
三角形的中位线⑦
.
课前双基巩固
考点二 三角形的三边关系
1.三角形三边的关系
任意两边之和⑨
大于
第三边;任意两边之差
2.三角形第三边的取值范围
|a-b|<c<a+b.
小于
第三边.
课前双基巩固
考点三 三角形的内角与外角
2.三角形的中线、高、角平分线
如图 15-1,在△ ABC 中,AE 是中线,AD 是角平分线,AF 是高,则有:
(1)BE=③
CE
1
= BC;
2
图 15-1
1
(2)∠BAD=④ ∠CAD = ∠BAC;
2
(3)∠AFB=⑤ ∠AFC =90°.
课前双基巩固
3.三角形的中位线
(1)定义
连接三角形两边⑥
A.8
B.9
C.10
D.11
图 15-2
图 15-3
2.如图 15-3,在△ ABC 中,∠A=40°,点 D 为 AB 延长线上一点,且∠CBD=120°,则∠C=( C )
A.40°
B.60°
C.80°
D.100°
课前双基巩固
3.下列长度的三根小木棒能构成三角形的是( D )
A.2 cm,3 cm,5 cm
(1)直角三角形的两个锐角
互余
;
(2)在直角三角形中,如果一个锐角等于 30°,那么它所对的直角边等于斜边
直角三角形的性质
的
一半
;
(3)在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的
一半
;
(4)若直角三角形两直角边分别为 a,b,斜边为 c,则 a2+b2=c2(勾股定理)
课前双基巩固
(1)定义法;
(2)两个内角
[答案] 1 或 9
[解析] 设边 BC 上的高为 AD.当边 BC 上的高 AD 在△ ABC 的内部时,如图①所示,
在 Rt△ ABD 中,由勾股定理得 BD= 2 -2 = ( 34)2 -32 =5,
在 Rt△ ACD 中,由勾股定理得 CD= 2 -2 = 52 -32 =4,所以 BC=5+4=9.
△ ABC 的中线和角平分线,过点 C 作 CH⊥AE 于点 H,并延
长交 AB 于点 F,连接 DH,则线段 DH 的长为
.
[答案] 1
[解析] ∵AE 为△ ABC 的角
平分线,CH⊥AE,∴△ ACF 是等腰三角形,
AF=AC,HF=CH,∵AC=3,∴AF=AC=3,
∵AD 为△ ABC 的中线,∴DH 是△ BCF 的
图 15-8 所示的形状,其中∠C=90°,∠B=45°,∠E=30°,
则∠BFD 的度数是(
)
A.10°
C.25°
B.15°
D.30°
[每
个角的度数,再根据三角形外角的性质得
到∠BFD=∠EDC-∠ABC=60°-45°=15°.
故选 B.
图 15-8
所以 S2015 的值是
图 15-12
A.
2 2012
2
B.
2 2013
2
C.
1 2012
2
D.
1 2013
2
2 n-1
2
×2;
1 2012
.故选:C.
2
高频考向探究
探究五 勾股定理逆定理的应用
例 5 [2017·海曙区期末] 若一个三角形三边 a,b,c 满足(a+b)2=c2+2ab,则这个三角形是( D )
1.三角形内角和定理
三角形三个内角之和等于
180°
.
推论:直角三角形的两个锐角互余.
2.三角形外角性质
(1)三角形的一个外角
(2)三角形的外角
(3)三角形的外角和为
大于 任何一个与它不相邻的内角.
等于
与它不相邻的两个内角的和.
360°
.
课前双基巩固
考点四 直角三角形
直角三角形的定义
直角
有一个角是
的三角形叫做直角三角形
D.11
2.[2017·凉山州] 已知 a,b,c 是△ ABC 的三条边长,化简
|a+b-c|-|c-a-b|的结果为 (
)
A.2a+2b-2c
B.2a+2b
C.2c
D.0
∴原=a+b-c+(c-a-b)=a+b-c+c-a-b=0.
故选 D.
高频考向探究
探究二 三角形中重要线段的应用
例 2 如图 15-5,在△ ABC 中,AB=5,AC=3,AD,AE 分别为
(3)∠BFC=90°- ∠A=90°- ×60°=60°.
则∠BFC=
.
1
1
2
2
1
1
2
2
高频考向探究
[方法模型] 求解复杂图形中的角度时,经常把要求的角与已知角通过等量代换的方法转化到同一个三角形中,
再利用三角形的内角和定理或其推论求解.
高频考向探究
针对训练
1.一副分别含有 30°和 45°角的两个直角三角板拼成如
∵∠ACD=∠B+∠A,
∴∠A=∠ACD-∠B=120°-35°=85°,
故选 C.
高频考向探究
探究四 勾股定理的应用
[答案] B
例 4 [2018·青岛] 如图 15-10,三角形纸片 ABC,AB=AC,
[解析] ∵AB=AC,∠BAC=90°,
∠BAC=90°,点 E 为 AB 中点.沿过点 E 的直线折叠,使点 B
所以 AC=5,
由 AB=13,BC=12,52+122=132,
因此△ ABC 是直角三角形,∠ACB=90°,
图 15-13
因为 CD 是斜边 AB 上的中线,
1
因此 CD= AB=6.5,而 AD=6.5,AC=5,
2
所以△ ACD 的周长是 6.5+6.5+5=18.
高频考向探究
2.下列四组线段中,能组成直角三角形的是( D )
[方法模型] 判断三条线段能否构成三角形,主要运用三
角形的三边关系定理,只要较小的两边之和大于第三边,
即可判定这三条线段能构成三角形.
[解析] 四根木棒任选三根的所有组合:
3 cm,4 cm,7 cm;3 cm,4 cm,9 cm;3 cm,
7 cm,9 cm;4 cm,7 cm,9 cm,其中只有
3 cm,7 cm,9 cm 和 4 cm,7 cm,9 cm 能组
成三角形.故选 B.
高频考向探究
针对训练
[答案] 1.A
1.若一个三角形的两边长分别为 3 和 7,则第三边长可
2.D [解析] ∵a,b,c 为△ ABC 的三条边
能是(
长,∴a+b-c>0,c-a-b<0,
)
A.6
B.3
C.2
高频考向探究
针对训练
1.[2017·淮安] 如图 15-6,在 Rt△ ABC 中,∠ACB=90°,
点 D,E 分别是 AB,AC 的中点,点 F 是 AD 的中点.若
AB=8,则 EF=
.
[答案] 2
[解析] 在 Rt△ ABC 中,∵AD=BD=4,
1
∴CD= AB=4,
2
1
∵AF=DF,AE=EC,∴EF= CD=2.
A.图中有三个直角三角形
B.∠1=∠2
C.∠1 和∠B 都是∠A 的余角
D.∠2=∠A
图15-4
高频考向探究
探究一 三角形的三边关系
[答案] B
例 1 现有 3 cm,4 cm,7 cm,9 cm 长的四根木棒,任取其中
三根组成一个三角形,那么可以组成的三角形有(
A.1 个
B.2 个
C.3 个
)
D.4 个
高频考向探究
2.如图 15-9,CE 是△ ABC 的外角∠ACD 的平分线,若
∠B=35°,∠ACE=60°,则∠A=(
)
[答案] C
[解析] ∵CE 是△ ABC 的外角∠ACD 的
平分线,∠ACE=60°,
∴∠ACD=2∠ACE=120°,
图 15-9
A.35°
B.95°
C.85°
D.75°
∴∠B=45°.由折叠的性质可得
3
与点 A 重合,折痕 EF 交 BC 于点 F.已知 EF= ,则 BC 的长
2
是 (
∠BEF=90°,∴∠BFE=45°,
3
)
∴BE=EF= .∵点 E 为 AB 中点,
2
∴AB=AC=3.在 Rt△ ABC
中,BC= 2 + 2 = 32 + 32 =3 2.