诱导公式记忆法
诱导公式总结大全
诱导公式1诱导公式的本质所谓三角函数诱导公式，就是将角n·(π/2)±α的三角函数转化为角α的三角函数。
常用的诱导公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六：π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanα诱导公式记忆口诀奇变偶不变，符号看象限。
“奇、偶”指的是整数n的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名称的变化：“变”是指正弦变余弦，正切变余切。
（反之亦然成立）“符号看象限”的含义是：把角α看做锐角，不考虑α角所在象限，看n·(π/2)±α是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号。
一全正；二正弦；三两切；四余弦这十二字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“＋”；第二象限内只有正弦是“＋”，其余全部是“－”；第三象限内只有正切和余切是“＋”，其余全部是“－”；第四象限内只有余弦是“＋”，其余全部是“－”。
《诱导公式》记忆口诀
应用诱导公式可将任意角的三角函数值问题转化为0到90间的角的三角函数值的问题，
基本步骤是：
运用诱导公式解题本质上是多次运用"化归”思想方法，化负角为正角，化大角为周内角, 再化为锐角，但是，诱导公式较多，符号难辨，容易混淆，我们可以分两种情况记忆：
一、“函数名不变，符号看象限”
对于一二，二-：,，亠很,2二-:,2k•亠很（k二z）的三角函数值，把:-看成锐角。
—a
ji-a
+a
2n:-a
2k兀(kez)
sin
—sinaБайду номын сангаас
sina
—sina
—sina
sina
cos
cosa
—cosa
—cosa
cosa
cosa
tan
-ta na
-ta na
tana
-ta na
-tana
二、“函数名改变，符号看象限”
13_'
对于—±a丄土a的三角函数值，把a看成锐角。
2'2
—-Ot
2
Tt—+a
2
3兀
——_a
2
3兀
—+a
2
sin
cosa
cosa
-cosa
-cosa
cos
si n。
— sin。
-si n。
si n。
根据以上的记忆技巧，我们很容易求任意角的三角函数的三角函数值。
三角函数诱导公式、万能公式、及差化积公式、倍角公式等公式总结和推导
三角函数诱导公式：诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。
“奇、偶”指的是π/2的倍数的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名称的变化：“变”是指正弦变余弦，正切变余切。
（反之亦然成立）“符号看象限”的含义是：把角α看做锐角，不考虑α角所在象限，看n・(π/2)±α是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号。
符号判断口诀：“一全正；二正弦；三两切；四余弦”。
这十二字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”；第二象限内只有正弦是“+”，其余全部是“－”；第三象限内只有正切和余切是“+”，其余全部是“－”；第四象限内只有余弦是“+”，其余全部是“－”。
“ASCT”反Z。
意即为“all(全部)”、“sin”、“cos”、“tan”按照将字母Z反过来写所占的象限对应的三角函数为正值。
三角函数诱导公式- 其他三角函数知识同角三角函数的基本关系式倒数关系tanα ・cotα=1sinα ・cscα=1cosα ・secα=1商的关系sinα/cosα=tanα=secα/cscαcosα/sinα=cotα=cscα/secα平方关系sin^2(α)+cos^2(α)=11+tan^2(α)=sec^2(α)1+cot^2(α)=csc^2(α)同角三角函数关系六角形记忆法构造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中间1"的正六边形为模型。
倒数关系对角线上两个函数互为倒数；商数关系六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。
（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积，下面4个也存在这种关系。
）。
由此，可得商数关系式。
平方关系在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。
两角和差公式sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβsin（α－β）=sinαcosβ-cosαsinβcos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβcos（α－β）=cosαcosβ+sinαsinβtan（α+β）=(tanα+tanβ )/(1－tanα ・tanβ)tan（α－β）=(tanα－tanβ)/(1+tanα ・tanβ)二倍角的正弦、余弦和正切公式sin2α=2sinαcosαcos2α=cos^2(α)－sin^2(α)=2cos^2(α)－1=1－2sin^2(α) tan2α=2tanα/(1－tan^2(α))半角的正弦、余弦和正切公式sin^2(α/2)=(1－cosα)/2cos^2(α/2)=(1+cosα)/2tan^2(α/2)=(1－cosα)/(1+cosα)ta n(α/2)=(1―cosα)/sinα=sinα/1+cosα万能公式sinα=2tan(α/2)/(1+tan^2(α/2))cosα=(1－tan^2(α/2))/(1+tan^2(α/2))tanα=(2tan(α/2))/(1－tan^2(α/2))三倍角的正弦、余弦和正切公式sin3α=3sinα－4sin^3(α)cos3α=4cos^3(α)－3cosαtan3α=(3tanα－tan^3(α))/(1－3tan^2(α))三角函数的和差化积公式sinα+sinβ=2sin((α+β)/2) ・cos((α－β)/2)sinα－sinβ=2cos((α+β)/2) ・sin((α－β)/2)cosα+cosβ=2cos((α+β)/2)・cos((α－β)/2)cosα－cosβ=－2sin((α+β)/2)・sin((α－β)/2)三角函数的积化和差公式cosα・sinβ=0.5[sin(α+β)－sin(α－β)]cosα・cosβ=0.5[cos(α+β)+cos(α－β)]sinα・sinβ=－0.5[cos(α+β)－cos(α－β)]三角函数诱导公式- 公式推导过程万能公式推导sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......*，（因为cos^2(α)+sin^2(α)=1）再把*分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α=2tanα/(1+tan^2(α))然后用α/2代替α即可。
诱导公式(原卷版)
5．3 诱导公式【知识点梳理】 知识点一：诱导公式 诱导公式一： sin(2)sin k απα+=， cos(2)cos k απα+=，tan(2)tan k απα+=，其中k Z ∈诱导公式二： sin()sin αα-=-， cos()cos αα-=，tan()tan αα-=-，其中k Z ∈诱导公式三：sin[((21)]sin k απα++=-， cos[(21)]cos k απα++=-， tan[(21)]tan k απα++=，其中k Z ∈诱导公式四：sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． sin cos 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，其中k Z ∈ 知识点诠释：（1）要化的角的形式为90k α⋅±（k 为常整数）； （2）记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”；（3）必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”；（4）sin cos cos 444x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；cos sin 44x x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．知识点二：诱导公式的记忆诱导公式一～三可用口诀“函数名不变，符号看象限”记忆，其中“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名，“符号”是指等号右边是正号还是负号，“看象限”是指把α看成锐角时原三角函数值的符号．诱导公式四可用口诀“函数名改变，符号看象限”记忆，“函数名改变”是指正弦变余弦，余弦变正弦，为了记忆方便，我们称之为函数名变为原函数的余名三角函数．“符号看象限”同上．因为任意一个角都可以表示为90(||45)k αα︒︒⋅+<的形式，所以这六组诱导公式也可以统一用“口诀”：“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角90k α⋅±（k 为常整数）的三角函数值：当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变，然后α的三角函数值前面加上当视α为锐角时原函数值的符号．用诱导公式进行化简时的注意点： （1）化简后项数尽可能的少； （2）函数的种类尽可能的少； （3）分母不含三角函数的符号； （4）能求值的一定要求值；（5）含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等．知识点三：利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般方向是： ①化负角的三角函数为正角的三角函数； ②化为[0,2π]内的三角函数； ③化为锐角的三角函数．可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”（有时也直接化到锐角求值）． 【题型归纳目录】题型一：利用诱导公式求解给角求值问题 题型二：利用诱导公式求解给值求值问题 题型三：诱导公式在三角函数式化简中的应用 题型四：诱导公式在三角函数证明中的应用 题型五：诱导公式的综合应用 题型六：利用互余互补关系求值 【典型例题】题型一：利用诱导公式求解给角求值问题 例1．（2022·全国·高一专题练习）172053sin cos tan 636πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭______．例2．（2022·全国·高一）()8cos330sin 30tan cos903π︒+-︒++︒=______．例3．（2022·西藏拉萨·高一期末）11cos6π=（ ）A 2B 3C ．12D ．1变式1．（2022·全国·高一课时练习）设sin 25a ︒=，则sin65cos115tan 205︒︒︒=（ ） A 221a-B ．221a- C ．2a - D ．2a变式2．（2022·全国·高一课时练习）()sin 660-的值是（ ） A ．12B ．12-C 3D ．3变式3．（2022·广西桂林·高一期末）sin 405=（ ） A ．1 B ．12-C 3D 2变式4．（2022·云南昆明·高一期末）35πsin 6=（ ） A ．12B ．12-C 3D ．3【方法技巧与总结】利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 （1）“负化正”：用公式一或三来转化．（2）“大化小”：用公式一将角化为0︒到360︒间的角． （3）“小化锐”：用公式二或四将大于90︒的角转化为锐角． （4）“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值． 题型二：利用诱导公式求解给值求值问题 例4．（2022·安徽阜阳·高一期末）已知12cos 13θ=-，若θ是第二象限角，则()tan πθ+的值为（ ） A ．512B ．125C ．－512D ．－125例5．（2022·安徽省舒城中学高一开学考试）若()4sin ,5πα+=-且α是第二象限角，则cos α=（ ）A ．45-B ．35 C ．35D ．45例6．（2022·广东·饶平县第二中学高一阶段练习）设02πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，若3sin ,5α=则cos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．35B ．45C ．35 D ．45-变式5．（2022·全国·高一课时练习）在ABC 中，()7sin sin 2213A A ππ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，则tan A 的值是（ ）A ．125- B ．125C ．512-D ．512变式6．（2022·全国·高一课时练习）若()4sin 5πα+=-，则3cos 2πα⎛⎫-=⎪⎝⎭（ ） A ．45-B ．35 C ．45D ．35变式7．（2022·江西上饶·高一阶段练习）已知5sin α=，则πcos 2α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A 5B ．5C ．25D 25变式8．（2022·辽宁·辽师大附中高一阶段练习）已知()113sin cos 2013cos 22ππαπαα⎛⎫⎛⎫-+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则22sin sin cos ααα-=（ ）A ．2110 B ．32C 3D ．2变式9．（2022·河南南阳·高一期中）已知角,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且22tan 3tan sin 4sin 0αααα--=，则()cos 2021απ+=（ ） A ．14-B ．15C ．14D 15【方法技巧与总结】 解决条件求值问题的方法（1）解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系．（2）可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．题型三：诱导公式在三角函数式化简中的应用例7．（2022·陕西·蒲城县蒲城中学高一期末）（1）计算：203π13373cos πtan π1144tan π3⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-⋅- ⎪⎝⎭； （2）已知4tan 3α=，求222sin 2sin cos 2cos sin ααααα+-的值.例8．（2022·西藏拉萨·高一期末）已知α为第三象限角，且sin cos()tan()2()cos()f πααπααπα⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=-． (1)化简()f α； (2)若25()f α=，求cos α的值．例9．（2022·浙江·杭州高级中学高一期末）（1）化简()3sin()cos tan()2cos tan(2)2f ππααπααπαπα⎛⎫---- ⎪⎝⎭=⎛⎫--+ ⎪⎝⎭；（2）已知关于x 的方程21204x bx -+=的两根为sin θ和cos θ，,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.求实数b 以及sin cos θθ-的值.变式10．（2022·安徽省舒城中学高一开学考试）已知α是第三象限角，且sin(π)cos(2π)tan(2π)tan(π)sin(3π)()f αααααα---+-+-=.(1)化简()f α；(2)若3sin 5α=-，求()f α；(3)若1860α︒=-，求()f α.变式11．（2022·全国·高一课时练习）已知()1sin 1sin 1sin 1sin f ααααα+-=-+α为第二象限角.(1)若()3f α=，求224sin cos 3αα+的值；(2)若()21cos 2f αα=，求()3cos 2023cos 2ππαα⎛⎫+++⎪⎝⎭的值.变式12．（2022·全国·高一课时练习）已知()()()()()()sin cos 2tan tan sin f πβπββπββππβ--+=----.(1)若角β是第三象限角，且()1sin 5βπ-=，求()f β的值； (2)若2220β=︒，求()f β的值.变式13．（2022·全国·高一课时练习）已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过函数()33x f x a -=--（0a >且1a ≠）的定点M .(1)求sin 2cos αα-的值；(2)求()()()()πsin πcos 2tan 5πcos 2πsin ααααα⎛⎫+++ ⎪⎝⎭-+++-的值.【方法技巧与总结】 三角函数式化简的常用方法（1）合理转化：①将角化成2k πα±，πα±，k Z ∈的形式．②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数． （2）切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数．（3）注意“1”的应用：221sin cos tan4παα=+=．（4）用诱导公式进行化简时，若遇到k πα±的形式，需对k 进行分类讨论，然后再运用诱导公式进行化简．题型四：诱导公式在三角函数证明中的应用例10．（2022·全国·高一课时练习）（1）求证：tan(2)sin(2)cos(6)tan 33sin()cos()22παπαπααππαα----=-++； （2）设8tan()7m πα+=，求证1513sin()3cos()37720221sin()cos()77m m ππααππαα++-+=+--+.例11．（2022·全国·高一专题练习）求证：3πtan(2π)cos cos(6π)2tan 3π3πsin cos 22a a a a a a ⎛⎫--- ⎪⎝⎭=-⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭例12．（2022·上海·高一课时练习）已知A 、B 、C 是ABC 的三个内角，求证； （1）cos(2)cos 0A B C A +++=； （2）3πtan tan 044A B C+++=.变式14．（2022·上海·高一）若k ∈Z ，求证：sin(π)cos(π)1sin[(1)π]cos[(1)π]k k k k αααα-+=-+++-.变式15．（2022·全国·高一课时练习）求证：()()()()()()()()()sin 3cos 4sin 4cos 2cos cos sin tan sin απαππαπααππααπαπαπ-+---=--++---.【方法技巧与总结】 三角恒等式的证明策略对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．题型五：诱导公式的综合应用例13．（2022·全国·高一课时练习）在①()3sin 2sin 2ππαα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，②()2tan 3πα-=-这两个条件中任选一个，补充在下面横线中，并解答.已知α为第一象限角，且___________，求sin α，cos α，tan α的值.例14．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()π5π10πcos 2cos 2tan 26334π4πtan 2sin 233x x x f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (1)化简()f x ； (2)若()0310f x =，求00π2πsin 2cos 263x x ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值.例15．（2022·江西上饶·高一阶段练习）在平面直角坐标系xOy 中，OAB 的顶点O 与坐标原点重合，点A 在x 轴的正半轴上，点B 在第二象限，且1OA OB ==，记AOB α=∠，满足4sin 5α=． (1)求点B 的坐标；(2)求()()()22cos 3cos 12sin cos παπααπα⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭--的值．变式16．（2022·陕西渭南·高一期末）已知α为第二象限角，π4sin 25α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．(1)求sin α的值；(2)若cos tan()cos(2)2()tan(19)sin(5)sin()f αααααααπ⎛⎫--π+π- ⎪⎝⎭=--π-π-π+，求()f α的值．变式17．（2022·陕西渭南·高一期末）已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点()3,4P -.(1)求cos()cos 2ππαα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭的值；(2)求sin()cos sin()tan()2cos(2)sin cos()tan()2πααπαπαππααπαπα⎛⎫---+ ⎪⎝⎭⎛⎫-++- ⎪⎝⎭的值.变式18．（2022·陕西渭南·高一期末）已知角θ的终边经过点()(),220P m m m >. (1)求tan θ的值；(2)求()()()()()sin sin sin tan 2cos 2cos cos 2ππθθπθπθππθθπθ⎛⎫++-+ ⎪⎝⎭⎛⎫--+ ⎪⎝⎭的值.变式19．（2022·广西·桂林市奎光学校高一期末）已知点(,22P m 是角α终边上的一点，且1cos 3α=-．(1)求tan α的值；(2)求()()sin cos 3cos sin 22αππαππαα--+⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值．【方法技巧与总结】解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用时导致的混乱．题型六：利用互余互补关系求值例16．（2022·广西·桂林市奎光学校高一期末）已知2sin 33πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则2sin cos 36ππαα⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭________．例17．（2022·内蒙古大学满洲里学院附属中学高一期末）已知π3sin 65x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πcos 3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是___________.例18．（2022·贵州·遵义四中高一期中）已知3sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则7cos 6πα⎛⎫-=⎪⎝⎭__________．变式20．（2022·江苏省灌南高级中学高一阶段练习）已知cos(45°＋α)＝513，则cos(135°－α)＝________.变式21．（2022·江西省万载中学高一期中）若3sin 6πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2cos 3πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为_____.变式22．（2022·全国·高一课时练习）当0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，若51cos 62πθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则sin 6πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为_________．变式23．（2022·黑龙江·大庆实验中学高一期末）已知cos 6πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝a (|a |≤1)，则cos 56πθ⎛⎫+⎪⎝⎭＋sin 23πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是________.【方法技巧与总结】巧用相关角的关系会简化解题过程．观察所求角与已知角是否具有互余、互补等特殊关系．在转化过程中可以由已知到未知，也可以由未知索已知．常见的互余关系有3πα-，6πα+；3πα+，6πα-；4πα+，4πα-等．常见的互补关系有3πθ+，23πθ-；4πθ+，34πθ-等． 【同步练习】一、单选题1．（2022·全国·高一课时练习）已知sin 37a =，则cos 593=（ ） A ．aB ．a -C 21a -D ．21a --2．（2022·全国·高一课时练习）设()()()sin πcos πx f x a b x αβ++=+，其中,,,a b αβ∈R ，若()20215f =，则()2022f =（ ） A ．4B ．3C ．－5D ．53．（2022·辽宁葫芦岛·高一期末）已知α为锐角，()2sin π3α-=，则cos α的值为（ ） A ．13B ．23-C 5D ．54．（2022·全国·高一专题练习）在ABC 中，下列等式一定成立的是（ ） A ．sin sin A B CB ．()cos cos A BC += C ．cossin 22B C A+= D ．sinsin 22B C A+= 5．（2022·全国·高一单元测试）在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点734⎫-⎪⎪⎝⎭，则3πsin 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．34B ．34-C 7D ．76．（2022·全国·高一课时练习）已知()0,απ∈，()tan 3sin παα-=，则tan α=（ ） A ．22B 2C ．24-D ．22-7．（2022·陕西渭南·高一期末）若33sin 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且α是第三象限角，则2021cos 2πα⎛⎫+=⎪⎝⎭（ ） A ．35B ．35 C ．45D ．45-8．（2022·北京市第十九中学高一期中）若α为任意角，则满足cos cos 2k παα⎛⎫+⋅=- ⎪⎝⎭的一个k 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、多选题9．（2022·新疆·柯坪湖州国庆中学高一期末）下列与sin θ的值一定相等的是（ ）A ．πcos 2θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．πsin 2θ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．πcos 2θ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()sin πθ-10．（2022·全国·高一课时练习）在ABC 中，下列等式一定成立的是（ ） A ．sincos 22A B C+=- B ．()sin 22cos2A B C +=- C ．()tan tan A B C +=-D ．()sin sin A B C +=11．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()cos 2xf x =，则（ ）A ．()()f x f x -=B ．()()f x f x -=-C ．()()2f k x f x π+=，k ∈ZD ．()()()21kf k x f x π-=-，k ∈Z12．（2022·全国·高一课时练习）定义：角θ与ϕ都是任意角，若满足2πθϕ+=，则称θ与ϕ“广义互余”.已知()1sin 4πα+=-，则下列角β中，可能与角α“广义互余”的是（ ）A ．15sin β=B ．()1cos 4πβ+=C ．tan 15β=D ．15tan β=三、填空题13．（2022·天津·高一期末）已知1tan 2α=，则cos()3cos 23sin sin()2ππααπαα⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭_________． 14．（2022·天津·高一期末）已知函数3()sin 2(0)f x ax b x ab =++≠，若(2019)f k =，则(2019)f -=_________．15．（2022·江苏·南京市第一中学高一阶段练习）若()()2sin πcos π2πsin 2ααα+-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则22sin sin cos 1cos αααα+=+______． 16．（2022·北京·牛栏山一中高一阶段练习）已知角α的终边经过点()3,4，将角α的终边绕原点O 顺时针旋转2π得到角β的终边，则tan β=___________. 17．（2022·安徽·砀山中学高一期中）已知π3cos 64α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则5ππcos sin 63αα⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______．四、解答题18．（2022·江西省万载中学高一期中）（1）化简：222cos(4)cos ()sin (3)sin(4)sin(5)cos ()θπθπθπθππθθπ+++-+-- （2）已知()sin 3n f n π=（n ∈Z ），求(1)f ＋(2)f ＋(3)f ＋…＋(2012)f 的值.19．（2022·江西省万载中学高一阶段练习）已知3sin()cos()tan()22()tan()sin()f ππααπααπαπα-+-=---- (1)化简()f α (2)若31cos()25πα-=，α为第三象限角，求()f α的值.20．（2022·安徽省舒城中学高一开学考试）（1）已知3sin 5α=-，求tan cos αα+的值（2()2382cos225sin tan 204033π⎛⎫---- ⎪⎝⎭21．（2022·全国·高一课时练习）已知A 、B 、C 为ABC 的三个内角，求证：ππsin cos 2424A B C +⎛⎫⎛⎫+=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭22．（2022·全国·高一课时练习）如图，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点，且OA OB ⊥．(1)求()()πsinπcos23πcosπsin2αββα⎛⎫++⎪⎝⎭⎛⎫-+⎪⎝⎭的值；(2)若点A的横坐标为35，求2sin cosαβ的值．。
【高中数学】秒杀秘诀MS02三角函数诱导公式
A．－π 6
B．－π 3
C.π
D.π
6
3
解：因 sin(π＋θ)＝－ 3cos(2π－θ)∴－sin θ＝－ 3cos θ，∴tan θ＝ 3.∵|θ|<π，∴θ＝π.
2
3
例 3：如果 sin(π＋A)＝1，那么 cos 3 A 的值是________．
2
2
()
解：∵sin(π＋A)＝1，∴－sin A＝1.∴cos 3 A ＝－sin A＝1.
14.若
，则
的值为（ ）
A．﹣m B． C． D．m
15.若 sin2α+sinα=1，则 cos4α+cos2α的值为（
）
A．0 B．1 C．2 D．3
16.若函数 f（sinx）=cos2x，则 f（cos15°）的值为（ ）
A． B．﹣ C．﹣
D．
17.设 f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β）+4，其中 a、b、α、β均为非零的常数，若 f（﹣2015）=3，则 f（2015）的值为（ ） A．1 B．3 C．5 D．﹣3
三角函数诱导公式
一：六组诱导公式
组数
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
正弦
sin
sin sin sin
余弦
cos
cos
cos
cos
正切
tan
tan
tan tan
π－α 2
cos sin
π＋α 2
cos sin
对于角“kπ±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说kπ±α，k∈Z 的
高考数学三角函数诱导公式与记忆方法
公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinα （k∈Z）cos（2kπ＋α）＝cosα （k∈Z）tan（2kπ＋α）＝tanα （k∈Z）cot（2kπ＋α）＝cotα （k∈Z）公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝co sαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanαsin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanα(以上k∈Z)注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。
诱导公式记忆口诀※规律总结※上面这些诱导公式可以概括为：对于π/2*k ±α(k∈Z)的三角函数值，①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos；cos→sin；tan→cot，cot→tan.（奇变偶不变）然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。
诱导公式总结大全
诱导公式1诱导公式的本质所谓三角函数诱导公式，就是将角n·(π/2)±α的三角函数转化为角α的三角函数。
常用的诱导公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六：π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanα诱导公式记忆口诀奇变偶不变，符号看象限。
“奇、偶”指的是整数n的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名称的变化：“变”是指正弦变余弦，正切变余切。
（反之亦然成立）“符号看象限”的含义是：把角α看做锐角，不考虑α角所在象限，看n·(π/2)±α是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号。
一全正；二正弦；三两切；四余弦这十二字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“＋”；第二象限内只有正弦是“＋”，其余全部是“－”；第三象限内只有正切和余切是“＋”，其余全部是“－”；第四象限内只有余弦是“＋”，其余全部是“－”。
高中诱导公式
高中诱导公式常用的诱导公式有以下几组：公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinα （k∈Z）cos（2kπ＋α）＝cosα （k∈Z）tan（2kπ＋α）＝tanα （k∈Z）cot（2kπ＋α）＝cotα （k∈Z）公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanαsin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanα(以上k∈Z)注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。
诱导公式记忆口诀※规律总结※上面这些诱导公式可以概括为：对于π/2*k ±α(k∈Z)的三角函数值，①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos；cos→sin；tan→cot，cot→tan.（奇变偶不变）然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。
诱导公式记忆方法
所在象限的原三角函数值的符号可记忆
水平诱导名不变；符号看象限。
＃
各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正；二正弦(余割)；三两切；四余弦(正割)”．
这十二字口诀的意思就是说：
第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“＋”；
第二象限内只有正弦是“＋”，其余全部是“－”；
当α是锐角时，2π－α∈(270°，360°)，sin(2π－α)＜0，符号为“－”。
所以sin(2π－α)＝－sinα
上述的记忆口诀是：
奇变偶不变，符号看象限。
公式右
边的符号为把α视为锐角时，角k·360°+α（k∈Z），-α、180°±α，360°-α
①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；
②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan.
（奇变偶不变）
然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。
（符号看象限）
例如：
sin(2π－α)＝sin(4·π/2－α)，k＝4为偶数，所以取sinα。
第三象限内切函数是“＋”，弦函数是“－”；
第四象限内只有余弦是“＋”，其余全部是“－”．
上述记忆口诀,一全正,二正弦,三内切,四余弦
＃
还有一种按照函数类型分象限定正负：
函数类型 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
正弦 ...........＋............＋............—............—........
同角三角函数基本关系
同角三角函数的基本关系式
倒数关系:
tanα ·cotα＝1
第三章 第二节 诱导公式
)
)
1 1 (n∈Z)，则cos θ = .( 3 3
(4)诱导公式的记忆口诀中“函数名不变，符号看象限”中的 符号与α 的大小无关.(
2 2
)
tan
(5)若 k , k Z, 则 tan( ) 1 . (
)
【解析】（1）错误.sin(π+α)=-sin α,公式成立的条件是 α为任意角. (2）错误.对于正、余弦的诱导公式角α可以为任意角，而对 于正切的诱导公式 k , k Z.
cos cos tan 2 sin tan . sin sin (cos )
由 sin 3 可知α是第三象限或者第四象限角.
5
当α是第三象限角时，cos 4 , 故 tan 3 .
5 4
当α是第四象限角时， cos 4 , tan 3 .
2 2
正 弦 sin α _______ cos α cos α
余 弦
正 切 -tan α ________ cot α -cot α
-cos α sin α _______
-sin α ________
（2）诱导公式的记忆方法与规律
①记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”.（即公式中的角 可以表示为 k （k Z）的形式，“奇、偶”是指k的奇偶
②若 cos( 3 ) 1 , 求f(α )的值.
5
【思路点拨】（1）利用诱导公式化简即可. (2)①直接利用诱导公式化简；②利用α为第三象限角及同角 三角函数关系的变形式得f(α)的值.
sin cos tan cos (cos ) 【规范解答】(1)原式 cos 1. cos sin sin
诱导公式记忆方法
诱导公式记忆方法公式是数学学科的重要部分，能够使我们更好地理解和解决一些数学问题。
面对大量的公式，我们如何才能记住它们呢？下面介绍10条关于诱导公式记忆方法，并详细描述各自方法的内容。
1. 利用图表将公式以图表形式呈现，能够更直观地呈现各个公式之间的关系。
绘制一个极坐标图，标注角度和弧长公式，再配合相应的例题进行复习。
2. 创造关联将不同公式进行关联，借助记忆效应，通过类比等方式记忆。
利用三角函数中sin和cos的关系，将幂函数中x的平方和x的三次方进行联想。
3. 利用联想将公式与一些特定的场景或形象进行联系。
利用“三不等式”的记忆方法，将勾股定理中的勾股三角形与一张直角三角形的图像进行联想。
4. 利用反复记忆通过反复记忆来巩固公式的印象。
可以采用一些口诀或押韵的方法，以增加联想力度。
数列中的等差数列求和公式“首项加末项乘以项数除以二”。
5. 利用故事将公式融入故事中，以增强记忆效果。
熟悉矩形面积公式的可以将其融入到一个画画的故事中去。
6. 制作抽认卡将公式抽认卡制成一组卡片，在卡片上标注公式及解释，便于随时随地回顾。
抽认卡也可以作为一种小组合作记忆方式，增加学习的趣味性。
7. 利用跨学科知识将学习的知识与其他学科对接，加深记忆。
化学中的单位转换和物理中的单位换算，可以并联学习，以达到记忆的效果。
8. 利用技巧掌握一些记忆技巧，增加记忆效率。
学习微积分中的极限，可以采用移项、分离变量、用途等方法。
9. 制定学习计划制定合理的学习计划，安排每天的学习时间和任务，从而更好地记忆公式。
可以利用一些学习 APP 和软件，以提高学习效率。
10. 利用测试在学习过程中进行测试，帮助自己检验所掌握的公式的情况，及时纠正错误，达到记忆目标。
测试也可以让学习者更好地了解自己的巩固情况和知识疑点，有针对性地进行复习。
在学习公式的过程中，以上10种方法或许能够帮助我们更加高效地记忆公式。
不同人的学习方式和记忆效果是不一样的，应该根据自身的情况灵活运用，并不断总结自己的记忆方法，以达到更好的知识记忆效果。
诱导公式总结大全
诱导公式1所谓三角函数诱导公式，就是将角n·(π/2)±α的三角函数转化为角α的三角函数。
公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六：π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanα诱导公式记忆口诀奇变偶不变，符号看象限。
“奇、偶”指的是整数n的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名称的变化：“变”是指正弦变余弦，正切变余切。
（反之亦然成立）“符号看象限”的含义是：把角α看做锐角，不考虑α角所在象限，看n·(π/2)±α是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号。
一全正；二正弦；三两切；四余弦这十二字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“＋”；第二象限内只有正弦是“＋”，其余全部是“－”；第三象限内只有正切和余切是“＋”，其余全部是“－”；第四象限内只有余弦是“＋”，其余全部是“－”。
高中数学诱导公式的记忆方法
高中数学诱导公式的记忆方法高中数学：诱导公式的记忆方法六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”;记忆方法：对角线上两个函数的积为1;阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方;任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。
诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限。
1口诀关于诱导公式，所有的公式都可以归纳为：奇变偶不变，符号看象限。
奇变偶不变，符号看象限。
释义：“奇、偶”指的是π/2的倍数的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名称的变化：“变”是指正弦变余弦，正切变余切。
(反之亦然成立)“符号看象限”的含义是：把角α看做锐角，不考虑α角所在象限，看n·(π/2)±α是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号。
通用口诀“一全正;二正弦;三正切;四余弦”。
释义：1、第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”;2、第二象限内只有正弦是“+”,其余全部是“-”;3、第三象限内只有正切和余切是“+”,其余全部是“-”;4+、第四象限内只有余弦是“+”,其余全部是“-”。
2常用的诱导公式sin(90°-α)=cosα sin(90°+α)=cosαcos(90°-α)=sinα cos(90°+α)=-sinαsin(270°-α)=-cosα sin(270°+α)=-cosαcos(270°-α)=-sinα cos(270°+α)=sinαsin(180°-α)=sinα sin(180°+α)=-sinαcos(180°-α)=-cosα cos(180°+α)=-cosαsin(360°-α)=-sinα sin(360°+α)=sinαcos(360°-α)=cosα cos(360°+α)=cosα高中数学：数学学习要点(1) 、整理重点有数学课的当天晚上，要把当天教的内容整理完毕，定义、定理、公式该背的一定要背熟，有些同学以为数学注重推理，不必死背，所以什麼都不背，这观念并不正确。
诱导公式总结大全
诱导公式总结大全TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】诱导公式1所谓三角函数诱导公式，就是将角n·(π/2)±α的三角函数转化为角α的三角函数。
公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαcot（－α）＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六：π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanα诱导公式记忆口诀奇变偶不变，符号看象限。
“奇、偶”指的是整数n的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名称的变化：“变”是指正弦变余弦，正切变余切。
（反之亦然成立）“符号看象限”的含义是：把角α看做锐角，不考虑α角所在象限，看n·(π/2)±α是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号。
诱导公式
诱导公式[基础知识归纳]1．诱导公式二sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tan_α.2．诱导公式三sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α，tan(－α)＝－tan_α.3．诱导公式四sin(π－α)＝sin_α，cos(π－α)＝－cos_α，tan(π－α)＝－tan_α.即α＋k·2π(k ∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．4．诱导公式五 5．诱导公式六sin(π2－α)＝cos_α，cos(π2－α)＝sin_α. sin(π2α)＝cos_α，cos(π2＋α)＝－sin_α. 即π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．知识要点一：公式的记忆方法六组诱导公式可用“奇变偶不变，符号看象限”的口诀来记忆．其中α＋2kπ(k ∈Z)，π＋α，－α，π－α，π2－α，π2＋α可统一表示成kπ2±α(k ∈Z)的形式．当k 为奇数时，函数的名称要改变，由sin α变为cos α，cos α变为sin α；当k 为偶数时，函数的名称不变，这就是“奇变偶不变”的意思．还有，在记忆公式时要把α看成锐角(注意这里是为了记忆的方便，仅仅是看成锐角，而不是一定为锐角)，然后确定kπ2±α所在的象限，并结合函数的名称来确定符号，这就是“符号看象限”的意思．知识要点二：利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤是：可以看出，这些步骤体现了把未知问题化归为已知问题的数学思想．可以简单记为“负化正，大化小，化成锐角才罢了”．[例题与练习]【例1】 求下列三角函数式的值．(1)sin 1320°；(2)cos(－316π)；(3)tan(－945°)．答案：(1)－32. (2)－32.变式训练11：计算下列各式的值：(1)sin 600°＋tan 240°；(2)sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 75°. 答案：(1)32. (2) 1.【例2】 已知cos(π＋α)＝－12，求sin(2π－α)的值． 答案：α是第一象限角， sin(2π－α)＝－32. α是第四象限角， sin(2π－α)＝32.变式训练21：已知sin(π3－α)＝12，则cos(π6α)＝________.答案： 12.【例3】 求证：tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)cos (α－π)sin (5π－α)＝－tan α.变式训练31：已知△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，证明：(1)cos A ＋cos(B ＋C)＝0；(2)sin B ＋C 2＝cos A 2.【例4】 化简cos(4n ＋14π＋x)＋cos(4n －14π－x)(n ∈Z)． 答案： ⎩⎨⎧－2cos (π4＋x )，n 为奇数2cos (π4x )，n 为偶数变式训练41：已知：sin(π＋θ)＝－13，求值：cos (3π＋θ)cos (－θ)[cos (π－θ)－1]＋cos (θ－2π)cos 2θsin 32π＋cos θ. 答案： 18【例5】 在△ABC 中，若sin(2π－A)＝－2sin(π－B)，3cos A ＝－2cos(π－B)，求△ABC 的三个内角．答案：∴A ＝π4，B ＝π6，C ＝7π12.变式训练51：若A ，B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P(cos B －sin A ，sin B －cos A)在( )(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限 (D)第四象限 选B.。
诱导公式
公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinα k∈zcos（2kπ＋α）＝cosα k∈ztan（2kπ＋α）＝tanα k∈z公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinα k∈zcos（π＋α）＝－cosα k∈ztan（π＋α）＝tanα k∈zcot（π＋α）＝cotα k∈z公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六：π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα k∈z诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。
“奇、偶”指的是π/2的倍数的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名称的变化：“变”是指正弦变余弦，正切变余切。
（反之亦然成立）“符号看象限”的含义是：把角α看做锐角，不考虑α角所在象限，看n·(π/2)±α是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号。
符号判断口诀：“一全正；二正弦；三两切；四余弦”。
这十二字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“＋”；第二象限内只有正弦是“＋”，其余全部是“－”；第三象限内只有正切和余切是“＋”，其余全部是“－”；第四象限内只有余弦是“＋”，其余全部是“－”。
三角函数诱导公式及经典记忆方法
三角函数诱导公式及影象要领之阳早格格创做一、共角三角函数的基原闭系式（一）基原闭系1、倒数闭系tanα ·cotα=1 sinα ·cscα=1 cosα ·secα=12、商的闭系sinα/cosα=tanαsecα/cscα=tanαcosα/sinα=cotαcscα/secα=cotα3、仄圆闭系sin2α+cos2α=11+tan2α=sec2α1+cot2α=csc2α（二）共角三角函数闭系六角形影象法构制以"上弦、中切、下割；左正、左余、中间1"的正六边形为模型.1、倒数闭系对于角线上二个函数互为倒数；2、商数闭系六边形任性一顶面上的函数值等于取它相邻的二个顶面上函数值的乘积.（主假如二条真线二端的三角函数值的乘积，底下4个也存留那种闭系.）.由此，可得商数闭系式.3、仄圆闭系正在戴有阳影线的三角形中，上头二个顶面上的三角函数值的仄圆战等于底下顶面上的三角函数值的仄圆.二、诱导公式的真量所谓三角函数诱导公式，便是将角n·(π/2)±α的三角函数转移为角α的三角函数.（一）时常使用的诱导公式1、公式一：设α为任性角，末边相共的角的共一三角函数的值相等：sin（2kπ+α）=sinα， k∈z cos（2kπ+α）=cosα， k∈ztan （2kπ+α）=tanα， k ∈z cot （2kπ+α）=cotα， k ∈z sec （2kπ+α）=secα， k ∈z csc （2kπ+α）=cscα， k ∈z 2、公式二：α为任性角，π+α的三角函数值取α的三角函数值之间的闭系：sin （π+α）=－sinα cos （π+α）=－cosα tan （π+α）=tanα cot （π+α）=cotα sec(π+α)=—secα csc(π+α)=—cscα3、公式三：任性角α取 -α的三角函数值之间的闭系： sin （－α）=－sinα cos （－α）=cosα tan （－α）=－tanα cot （－α）=－cotα sec(—α)=secα csc(—α)=—cscα4、公式四：利用公式二战公式三不妨得到π-α取α的三角函数值之间的闭系：sin （π－α）=sinα cos （π－α）=－cosα tan （π－α）=－tanα cot （π－α）=－cotα sec(π—α)=—secα csc(π—α)=cscα5、公式五：利用公式一战公式三不妨得2π-α取α的三角函数值之间的闭系：sin （2π－α）=－sinα cos （2π－α）=cosα tan （2π－α）=－tanα cot （2π－α）=－cotα sec(2π—α)=secα csc(2π—α)=—cscα6、公式六：2π+α取α的三角函数值之间的闭系： sin （2π+α）=cosα cos （2π+α）=－sinα tan （2π+α）=－cotα cot （2π+α）=－tanα sec(2π+α)=—cscα csc(2π+α)=secα7、公式七：2π-α取α的三角函数值之间的闭系： sin （2π－α）=cosα cos （2π－α）=sinα tan （2π－α）=cotα cot （2π－α）=tanαsec(2π—α)=cscα csc(2π—α)=secα 8、推算公式：23π+α取α的三角函数值之间的闭系：sin （23π+α）=－cosα cos （23π+α）=sinαtan （23π+α）=－cotα cot （23π+α）=－tanα sec(23π+α)=cscα csc(23π+α)=—secα9、推算公式：23π—α取α的三角函数值之间的闭系：sin （23π－α）=－cosα cos （23π－α）=－sinαtan （23π－α）=cotα cot （23π－α）=tanαsec （23π-α)=—cscα csc （23π—α)=—secα诱导公式影象心诀：“奇变奇没有变，标记瞅象限”. “奇、奇”指的是2π的倍数的奇奇，“变取没有变”指的是三角函数的称呼的变更：“变”是指正弦变余弦，正切变余切.（反之亦然创制）“标记瞅象限”的含意是：把角α瞅干钝角，没有思量α角地圆象限，瞅n·(π/2)±α是第几象限角，进而得到等式左边是正号仍旧背号. 标记推断心诀：“一齐正；二正弦；三二切；四余弦”. 那十二字心诀的意义便是道：第一象限内所有一个角的四种三角函数值皆是“+”； 第二象限内惟有正弦是“+”，其余局部是“－”；第三象限内惟有正切战余切是“+”，其余局部是“－”； 第四象限内惟有余弦是“+”，其余局部是“－”.“ASCT”意即为“all(局部)”、“sin”、“tan ”、“cos ” （二）其余三角函数知识1、二角战好公式sin （α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ sin （α－β）=sinαcosβ－cosαsinβcos （α+β）=cosαcosβ－sinαsinβ cos （α－β）=cosαcosβ+sinαsinβtan （α+β）=(tanα+tanβ )/(1－tanα·tanβ) tan （α－β）=(tanα－tanβ)/(1+tanα·tanβ)2、二倍角的正弦、余弦战正切公式 sin2α=2sinαcosαcos2α=cos 2α－sin 2α=2cos 2α－1=1－2sin 2α tan2α=αα2tan -12tan3、半角的正弦、余弦战正切公式 sin22α=2cos -1αcos22α=2cos 1α+tan22α=ααcos 1cos -1+tan 2α=ααsin cos -1=ααcos 1sin +4、万能公式sinα=2t an 122t an 2αα+cosα=2tan12tan -122αα+tanα=2tan -122tan2αα5、三倍角的正弦、余弦战正切公式sin3α=3sinα－4sin 3αcos3α=4cos 3α－3c osα tan3α=α—α—α233tan 1tan 3tan6、三角函数的战好化积公式 sinα+sinβ=2sin2βα+·cos2β—αsinα－sinβ=2cos2βα+·sin2β—αcosα+cosβ=2cos 2βα+·cos 2β—αcosα－cosβ=－2sin 2βα+·sin2β—α7、三角函数的积化战好公式sinα·cosβ=21[sin(α+β)+sin(α－β)]cosα·sinβ=21[sin(α+β)－sin(α－β)] cosα·cosβ=21[cos(α+β)+cos(α－β)]sinα·sinβ=－21[cos(α+β)－cos(α－β)]三、公式推导历程 （一）万能公式推导sin2α=2sinαcosα=αααα22sin cos cos sin 2+（果为cos 2α+sin 2α=1）再把上头的分式上下共除cos 2α，可得sin2α=2t an 122t an2αα+而后用2α代替α即可.共理可推导余弦的万能公式.正切的万能公式可通过正弦比余弦得到.（二）三倍角公式推导tan3α=ααcos3sin3=αα—ααααααcos sin2sin cos2sin 2cos cos sin2+=αα—αα—αα—ααααcos sin 2sin cos cos sin sin cos cos sin 22222+上下共除以cos 3α，得：tan3α=α—α—α233tan 1tan 3tansin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα=2sinαcos 2α+(1－2sin 2α)sinα =2sinα－2sin 3α+sinα－2sin 3α =3sinα－4sin 3αcos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα－sin2αsinα=(2cos 2α－1)cosα－2cosαsin 2α =2cos 3α－cosα+(2cosα－2cos 3α) =4cos 3α－3cosα即 sin3α=3sinα－4sin 3α cos3α=4cos 3α－3cosα（三）战好化积公式推导最先,咱们知讲sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β, sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β咱们把二式相加便得到sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β所以,sin αcos β=2sin sin β）—（αβ）（α++共理,若把二式相减,便得到cos αsin β=2sin sin β）—（α—β）（α+共样的,咱们还知讲cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β, cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β所以,把二式相加,咱们便不妨得到cos(α+β)+cos(α-β)=2cos αcos β所以咱们便得到,cos αcos β=2cos cos β）—（αβ）（α++共理,二式相减咱们便得到sin αsin β=—2cos cos β）—（α—β）（α+那样,咱们便得到了积化战好的四个公式: sin αcos β=2sin sin β）—（αβ）（α++ cos αsin β=2sin sin β）—（α—β）（α+cos αcos β=2cos cos β）—（αβ）（α++ sin αsin β=-2cos cos β）—（α—β）（α+佳,有了积化战好的四个公式以来,咱们只需一个变形,便不妨得到战好化积的四个公式.咱们把上述四个公式中的α+b 设为x,α-β设为y,那么α=2y x +,β=2y x -把α,β分别用x,y 表示便不妨得到战好化积的四个公式: sinx+siny=2sin 2y x +cos 2yx -sinx-siny=2cos 2y x +sin 2yx -cosx+cosy=2cos 2y x +cos 2yx -yx+sin2yx-cosx-cosy=—2sin2。