江苏省宿迁市建陵中学2021-2022学年高三数学理下学期期末试卷含解析

江苏省宿迁市建陵中学2021-2022学年高三数学理下学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 等差数列的前n项和为,且满足,则下列数中恒为常数的是（）
A. B. C. D.
参考答案：
D
2. 设，则（）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c
参考答案：
B
略
3. 已知三个互不重合的平面α、β、γ，且α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c，给出下列命题：①若
a⊥b，a⊥c，则b⊥c；②若a∩b＝P，则a∩c＝P；③若a⊥b，a⊥c，则α⊥γ；④若a∥b，则a∥c.其中正确命题个数为()
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
参考答案：
C
4. 某校有高一、高二、高三三个年级，其人数之比为2：2：1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为10的样本，现从所抽取样本中选两人做问卷调查，至少有一个是高一学生的概率为
A．B．C．D．
参考答案：
C
5. 设,,,则
A．B．C．D．参考答案：
A
6. 是成立的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
A
解得到，假设，一定有，反之不一定，
故是成立的充分不必要条件．故答案为A．
7. 已知一个几何体的三视图如图所示，图中长方形的长为2r，宽为r，圆半径为r，则该几何体的体积和表面积分别为（）
A．，B．，
C．，D．，
参考答案：
B
根据三视图可得，该几何体为圆柱中挖去一个圆锥，圆柱底面半径和高均为r，圆锥的底面圆的半径为r，如图所示：
∴该几何体的体积为；
该几何体的表面积为.
故选B.
8. 已知O、A、B、C为同一平面内的四个点，若2+=，则向量等于（）
A．﹣B．﹣+C．2﹣D．﹣﹣2
参考答案：
C
【考点】平面向量的基本定理及其意义．
【分析】如图，计算即可．
【解答】解：∵2+=，∴点A、B、C共线，且A为BC中点，
则点O的位置有5种情况，如图：
（1）∵，∴；
（2）=+2（）=；
（3）=+2（）=；
（4）=+2（）=；
（5）=+2（）=；
故选：C．
9. 分组数列的第一组为1，第三组为2,3,4，第五组为5,6,7,8,9，…，第二组为1，2，第四组
为4,8,16,32，第六组为64,128,256,512,1024,2048，…现用表示第i组从左至右的第j个数，则8192可以是（）
A或 B或 C或 D或参考答案：
C
略
10. 若，，且，则与的夹角是（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
【分析】
根据相互垂直的向量数量积为零，求出与的夹角.
【详解】由题有，
即，
故，
因为，所以.
故选：B.
【点睛】本题考查了向量的数量积运算，向量夹角的求解，属于基础题.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知直线的参数方程：（为参数）与圆C的极坐标方程：，则直线与圆C
的公共点个数是 ___.
参考答案：
1
12. 直线的倾斜角α满足3sinα=4cosα,且它在轴上的截距为2，则直线的方程是．
参考答案：
4x-3y-8=0
13. 在
展开式中，系数为有理数的项共有 项
参考答案： 3
14.
已知20名学生某次数学考试成绩(单位：分)
的频率分布直方图如图所示，则成绩在中的学
生人数为 ．
参考答案：
3
15. 在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点, 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点M 的极
坐标为，曲线C
的参数方程为(为参数)，则点M 到曲线C 上的点的距
离的最小值为 。

参考答案：
略
16. 已知向量
，
，
，则实数
．
参考答案：
解析： 由
，则
，
所以
，
又由
，所以
，解得
，故答案为.
17. 在平面四边形
中，
，
，
，
，则
的最小值
为 ．
参考答案：
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （12分） 如图，在四棱锥
中，
,四边形
是菱形，
,且
交于点
，
是上任意一点.
(1)求证：
；
（2）已知二面角
的余弦值为
，若为的中点，
求与平面
所成角的正弦值.
参考答案：
（1）因为
平面
，所以
，因为四边形
为菱形，所以又
因为
５分 （2）连接
在
中，
所以
分别以
所在直线为轴，
轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设
则
，
，由（1）知，平面的一个法向量为得，令，得……８分
因为二面角的余弦值为，所以，
解得或（舍去），所以…………１０分
设与平面所成的角为.因为，，所以
所以与平面所成角的正弦值为.１２分
19. （10分）（2015?固原校级模拟）已知函数f（x）=|2x+1|﹣|x|﹣2
（Ⅰ）解不等式f（x）≥0
（Ⅱ）若存在实数x，使得f（x）≤|x|+a，求实数a的取值范围．
参考答案：
【考点】绝对值不等式的解法．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】（Ⅰ）化简函数的解析式，分类讨论，求得不等式的解集．
（Ⅱ）不等式即|x+|﹣|x|≤+1①，由题意可得，不等式①有解．根据绝对值的意义可得|x+|﹣|x|∈[﹣，]，故有+1≥﹣，由此求得a的范围．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=|2x+1|﹣|x|﹣2=，
当x＜﹣时，由﹣x﹣3≥0，可得x≤﹣3．
当﹣≤x＜0时，由3x﹣1≥0，求得x∈?．
当x≥0时，由x﹣1≥0，求得x≥1．综上可得，不等式的解集为{x|x≤﹣3 或x≥1}．
（Ⅱ）f（x）≤|x|+a，即|x+|﹣|x|≤+1①，由题意可得，不等式①有解．
由于|x+|﹣|x|表示数轴上的x对应点到﹣对应点的距离减去它到原点的距离，故|x+|﹣
|x|∈[﹣，]，
故有+1≥﹣，求得a≥﹣3．
【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的能成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．
20. 在△ABC中，，点D在AC边上，且.
（1）若，求；
（2）若，求△ABC的周长.
参考答案：
解法一：如图，已知，，
所以，则.
在△中，根据余弦定理，，
所以.
（1）在△中，，，，
由余弦定理，
所以，解得，所以，
在△中，由正弦定理，
所以，，
由，，，在△中，由，得
，故，
所以，
所以
（2）设，则，从而，
故．
在△中，由余弦定理得，
因为，所以，解得．
所以．故△周长为．
解法二：如图，已知，，所以，则. …… 1分在△中，根据余弦定理，，
所以.
（1）在△中，，，，
由余弦定理，
所以，解得，
由余弦定理，
又因为，所以．
所以，所以．
（2）同解法一．
21. 设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c．已知C=，acosA=bcosB．
（1）求角A的大小；
（2）如图，在△ABC的外角∠ACD内取一点P，使得PC=2．过点P分别作直线CA、CD的垂线PM、PN，垂足分别是M、N．设∠PCA=α，求PM+PN的最大值及此时α的取值．
参考答案：
【考点】三角形中的几何计算；正弦定理．
【分析】（1）由acosA=bcosB及正弦定理可得sin2A=sin2B，即A=B或A+B=，结合C=，可求角A的大小；
（2）求出PM，PN．可得PM+PN=2sinα+2sin （α+）=3sinα+cosα=2sin（α+），即可求PM+PN的最大值及此时α的取值．
【解答】解：（1）由acosA=bcosB及正弦定理可得sinAcosA=sinBcosB，
即sin2A=sin2B，又A∈（0，π），B∈（0，π），
所以有A=B或A+B=．…3分
又因为C=，得A+B=，与A+B=矛盾，
所以A=B，因此A=．…6分
（2）由题设，得
在Rt△PMC中，PM=PC?sin∠PCM=2sinα；
在Rt△PNC中，PN=PC?sin∠PCN=PC?sin（π﹣∠PCB）
=2sin[π﹣（α+）]=2sin （α+），α∈（0，）．…8分
所以，PM+PN=2sinα+2sin （α+）=3sinα+cosα=2sin（α+）．…12分
因为α∈（0，），所以α+∈（，），从而有sin（α+）∈（，1]，
即2sin（α+）∈（，2]．
于是，当α+=，即α=时，PM+PN取得最大值2．…16分．
22. 19．（本小题满分14分）
已知，为椭圆的左右顶点，为其右焦点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程及离心率；
（Ⅱ）过点的直线与椭圆的另一个交点为（不同于，），与椭圆在点处的切线交于点．当直线绕点转动时，试判断以为直径的圆与直线的位置关系，并加以证明．
参考答案：
解：（Ⅰ）由题意可设椭圆的方程为，半焦距为，因为、为椭圆的左、右顶点，为其右焦点，
所以，．
又因为，所以．
故椭圆的方程为，离心率为．……5分
（Ⅱ）以为直径的圆与直线相切. 证明如下：
由题意可设直线的方程为，
则点坐标为，中点的坐标为．
由得．
设点的坐标为，则．
所以，．
因为点坐标为，
当时，点的坐标为，点的坐标为，
直线轴，此时以为直径的圆与直线相切．
当时，则直线的斜率.
所以直线的方程为．
点到直线的距离．
又因为所以．
故以为直径的圆与直线相切．
综上得，当直线绕点转动时，以为直径的圆与直线相切．………14分
略。