新人教版数学九年级上册期中考试试题(含答案)

新人教版数学九年级上册期中考试试题(含答案)
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．下面四个图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）
A．B．
C．D．
2．关于一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0根的情况，下列说法正确的是（）A．有一个实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．没有实数根
3．用配方法解方程x2﹣2x﹣7＝0时，原方程应变形为（）
A．（x+1）2＝6 B．（x+2）2＝6 C．（x﹣1）2＝8 D．（x﹣2）2＝8 4．把一元二次方程（x﹣3）2＝5化为一般形式，二次项系数；一次项系数；常数项分别为（）
A．1，6，4 B．1，﹣6，4 C．1，﹣6，﹣4 D．1，﹣6，9 5．已知二次函数y＝2x2﹣12x+19，下列结果中正确的是（）
A．其图象的开口向下
B．其图象的对称轴为直线x＝﹣3
C．其最小值为1
D．当x＜3时，y随x的增大而增大
6．将抛物线y＝3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（）A．y＝3（x﹣2）2﹣1 B．y＝3（x﹣2）2+1
C．y＝3（x+2）2﹣1 D．y＝3（x+2）2+1
7．若方程x2﹣3x﹣2＝0的两实根为x1、x2，则（x1+2）（x2+2）的值为（）A．﹣4 B．6 C．8 D．12
8．已知二次函数y＝（x﹣1）2﹣4，当y＜0时，x的取值范围是（）A．﹣3＜x＜1 B．x＜﹣1或x＞3 C．﹣1＜x＜3 D．x＜﹣3或x＞1 9．某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比
赛，则共有多少个班级参赛？（）
A．4 B．5 C．6 D．7
10．小敏用一根长为8cm的细铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是（）A．4cm2B．8cm2C．16cm2D．32cm2
二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）
11．已知两个数的差为3，它们的平方和是65，设较小的数为x，则可列出方程，化成一般形式为．
12．已知方程x2+2x﹣3＝0的两根为a和b，则ab＝．
13．二次函数y＝3x2+1和y＝3（x﹣1）2，以下说法：
①它们的图象开口方向、大小相同；
②它们的对称轴都是y轴，顶点坐标都是原点（0，1）；
③当x＞0时，它们的函数值y都是随着x的增大而增大；
④它们与坐标轴都有一个交点；
其中正确的说法有．
14．抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的公共点是（﹣2，0），（6，0），则此抛物线的对称轴是．15．函数y＝x2﹣2x+2的图象顶点坐标是．
16．点P（﹣2，3）关于x轴对称点的坐标是，关于原点对称点的坐标是，关于y轴的对称点的坐标是；
三、解答题（本大题2小题，共18分）
17．解方程：x2﹣6x+5＝0（配方法）
18．已知抛物线y＝x2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），点（3，0）；求抛物线函数解析式．19．参加足球联赛的每两队之间都要进行一场比赛，共要比赛21场，共有多少个队参加足球联赛？
20．为进一步提升企业产品竞争力，某企业加大了科研经费的投入，2016年该企业投入科研经费5000万元就，2018年投入科研经费7200万元，假设该企业这两年投入科研经费的年平均增长率相同．
（1）求这两年该企业投入科研经费的年平均增长率；
（2）若该企业科研经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2019年该企业投入科研经费多少万元．
21．某同学练习推铅球，铅球推出后在空中飞行的轨迹是一条抛物线，铅球在离地面1米高
的A处推出，达到最高点B时的高度是2.6米，
推出的水平距离是4米，铅球在地面上点C处着地
（1）根据如图所示的直角坐标系求抛物线的解析式；
（2）这个同学推出的铅球有多远？
22．已知：关于x的方程x2+2kx+k2﹣6＝0
（1）证明：方程有两个不相等的实数根；
（2）如果方程有一个根为2，试求2k2+8k+2018的值．
23．某店销售台灯，成本为每个30元，销售大数据分析表明：当每个台灯售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个．
（1）未降价之前，该店每月台灯总盈利为元；
（2）降价后，设该店每个台灯应降价x元，则每个台灯盈利元，平均每月可售出个；（用含x的代数式进行表示）
（3）为迎接“双十一”，该店决定降价促销，在库存为1210个台灯的情况下，若预计月获利恰好为8400元，求每个台灯的售价．
24．在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以每秒1cm的速度移动，同时，点Q从点B出发沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，回答下列问题：
（1）当运动开始后1秒时，求△DPQ的面积；
（2）当运动开始后秒时，试判断△DPQ的形状；
（3）在运动过程中，存在这样的时刻，使△DPQ以PD为底的等腰三角形，求出运动时间．
25．如图，抛物线y＝与x轴交于A、B两点，△ABC为等边三角形，∠COD＝60°，且OD＝OC．
（1）A点坐标为，B点坐标为；
（2）求证：点D在抛物线上；
（3）点M在抛物线的对称轴上，点N在抛物线上，若以M、N、O、D为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点M的坐标．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下面四个图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意．
故选：B．
2．关于一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0根的情况，下列说法正确的是（）A．有一个实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．没有实数根
【分析】根据根的判别式，可得答案．
【解答】解：a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1，
△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，
一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
故选：C．
3．用配方法解方程x2﹣2x﹣7＝0时，原方程应变形为（）
A．（x+1）2＝6 B．（x+2）2＝6 C．（x﹣1）2＝8 D．（x﹣2）2＝8 【分析】方程常数项移到右边，两边加上1变形即可得到结果．
【解答】解：方程变形得：x2﹣2x＝7，
配方得：x2﹣2x+1＝8，即（x﹣1）2＝8，
故选：C．
4．把一元二次方程（x﹣3）2＝5化为一般形式，二次项系数；一次项系数；常数项分别为（）
A．1，6，4 B．1，﹣6，4 C．1，﹣6，﹣4 D．1，﹣6，9 【分析】根据一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项可得答案．
【解答】解：化简方程，得
x2﹣6x+4＝0，
二次项系数；一次项系数；常数项分别为1，﹣6，4，
故选：B．
5．已知二次函数y＝2x2﹣12x+19，下列结果中正确的是（）
A．其图象的开口向下
B．其图象的对称轴为直线x＝﹣3
C．其最小值为1
D．当x＜3时，y随x的增大而增大
【分析】根据二次函数的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：∵二次函数y＝2x2﹣12x+19＝2（x﹣3）2+1，
∴开口向上，顶点为（3，1），对称轴为直线x＝3，有最小值1，当x＞3时，y随x的增大而增大，当x＜3时，y随x的增大而减小；
故C选项正确．
故选：C．
6．将抛物线y＝3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（）A．y＝3（x﹣2）2﹣1 B．y＝3（x﹣2）2+1
C．y＝3（x+2）2﹣1 D．y＝3（x+2）2+1
【分析】先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式写出抛物线解析式即可．【解答】解：抛物线y＝3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位后的抛物线顶点坐标为（﹣2，﹣1），
所得抛物线为y＝3（x+2）2﹣1．
故选：C．
7．若方程x2﹣3x﹣2＝0的两实根为x1、x2，则（x1+2）（x2+2）的值为（）A．﹣4 B．6 C．8 D．12
【分析】根据（x1+2）（x2+2）＝x1x2+2x1+2x2+4＝x1x2+2（x1+x2）+4，根据一元二次方程根与系数的关系，即两根的和与积，代入数值计算即可．
【解答】解：∵x1、x2是方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根．
∴x1+x2＝3，x1•x2＝﹣2．
又∵（x1+2）（x2+2）＝x1x2+2x1+2x2+4＝x1x2+2（x1+x2）+4．
将x1+x2＝3、x1•x2＝﹣2代入，得
（x1+2）（x2+2）＝x1x2+2x1+2x2+4＝x1x2+2（x1+x2）+4＝（﹣2）+2×3+4＝8．
故选：C．
8．已知二次函数y＝（x﹣1）2﹣4，当y＜0时，x的取值范围是（）A．﹣3＜x＜1 B．x＜﹣1或x＞3 C．﹣1＜x＜3 D．x＜﹣3或x＞1 【分析】先求出方程（x﹣1）2﹣4＝0的解，得出函数与x轴的交点坐标，根据函数的性质得出答案即可．
【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的开口向上，当y＝0时，0＝（x﹣1）2﹣4，
解得：x＝3或﹣1，
∴当y＜0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3，
故选：C．
9．某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？（）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】设共有x个班级参赛，根据第一个球队和其他球队打（x﹣1）场球，第二个球队和其他球队打（x﹣2）场，以此类推可以知道共打（1+2+3+…+x﹣1）场球，然后根据计划安排15场比赛即可列出方程求解．
【解答】解：设共有x个班级参赛，根据题意得：
＝15，
解得：x1＝6，x2＝﹣5（不合题意，舍去），
则共有6个班级参赛．
故选：C．
10．小敏用一根长为8cm的细铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是（）A．4cm2B．8cm2C．16cm2D．32cm2
【分析】本题考查二次函数最小（大）值的求法．
【解答】解：设矩形的长为x，则宽为，
矩形的面积＝（）x
＝﹣x2+4x，
S最大＝
＝＝4，
故矩形的最大面积是4cm2．
故选：A．
二．填空题（共6小题）
11．已知两个数的差为3，它们的平方和是65，设较小的数为x，则可列出方程x2+（x+3）2＝65 ，化成一般形式为x2+3x﹣28＝0 ．
【分析】首先表示出两个数字进而利用勾股定理列出方程再整理即可．
【解答】解：设较小的数为x，则另一个数字为x+3，
根据题意得出：x2+（x+3）2＝65，
整理得出：x2+3x﹣28＝0．
故答案为：x2+（x+3）2＝65，x2+3x﹣28＝0．
12．已知方程x2+2x﹣3＝0的两根为a和b，则ab＝﹣3 ．
【分析】直接根据根与系数的关系求解．
【解答】解：根据题意得ab＝﹣3．
故答案为：﹣3．
13．二次函数y＝3x2+1和y＝3（x﹣1）2，以下说法：
①它们的图象开口方向、大小相同；
②它们的对称轴都是y轴，顶点坐标都是原点（0，1）；
③当x＞0时，它们的函数值y都是随着x的增大而增大；
④它们与坐标轴都有一个交点；
其中正确的说法有①．
【分析】根据a的值可以判定开口方向和开口大小，利用顶点式直接找出对称轴和顶点坐标，利用对称轴和开口方向确定y随着x的增大而增大对应x的取值范围．
【解答】解：①因为a＝3＞0，它们的图象都是开口向上，大小是相同的，故此选项正确；
②y＝3x2+1对称轴是y轴，顶点坐标是（0，1），y＝3（x﹣1）2的对称轴是x＝1，顶点
坐标是（1，0），故此选项错误；
③二次函数y＝3x2+1当x＞0时，y随着x的增大而增大；y＝3（x﹣1）2当x＞1时，y
随着x的增大而增大，故此选项错误；
④它们与x轴都有一个交点，故此选项错误；
综上所知，正确的有①．
故答案是：①．
14．抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的公共点是（﹣2，0），（6，0），则此抛物线的对称轴是x ＝2 ．
【分析】因为点（﹣2，0），（6，0）的纵坐标都为0，所以可判定是一对对称点，把两点的横坐标代入公式x＝求解即可．
【解答】解：
∵抛物线与x轴的交点为（﹣2，0），（6，0），
∴两交点关于抛物线的对称轴对称，
则此抛物线的对称轴是直线x＝＝2，即x＝2．
故答案是：x＝2．
15．函数y＝x2﹣2x+2的图象顶点坐标是（1，1）．
【分析】根据二次函数解析式，进行配方得出顶点式形式，即可得出顶点坐标．
【解答】解：y＝x2﹣2x+2＝x2﹣2x+1+1＝（x﹣1）2+1，
∵抛物线开口向上，当x＝1时，y最小＝1，
∴顶点坐标是（1，1）．
故答案为：（1，1）．
16．点P（﹣2，3）关于x轴对称点的坐标是（﹣2，﹣3），关于原点对称点的坐标是（2，﹣3），关于y轴的对称点的坐标是（2，3）；
【分析】利用关于原点对称点的坐标性质以及关于x轴、y轴对称的点的坐标性质分别得
出答案．
【解答】解：点P（﹣2，3）关于原点的对称点的坐标为：（2，﹣3），
关于x轴的对称点的坐标为（﹣2，﹣3），
关于y轴的对称点的坐标为（2，3）．
故答案为：（﹣2，﹣3）；（2，﹣3）；（2，3）．
三．解答题（共9小题）
17．解方程：x2﹣6x+5＝0（配方法）
【分析】利用配方法解方程．配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【解答】解：由原方程移项，得
x2﹣6x＝﹣5，
等式两边同时加上一次项系数一半的平方32．得
x2﹣6x+32＝﹣5+32，即（x﹣3）2＝4，
∴x＝3±2，
∴原方程的解是：x1＝5，x2＝1．
18．已知抛物线y＝x2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），点（3，0）；求抛物线函数解析式．【分析】直接利用交点式写出抛物线的解析式．
【解答】解：抛物线的解析式为y＝（x+1）（x﹣3），
即y＝x2﹣2x﹣3．
19．参加足球联赛的每两队之间都要进行一场比赛，共要比赛21场，共有多少个队参加足球联赛？
【分析】设共有x个队参加比赛，则每队要参加（x﹣1）场比赛，根据共要比赛28场，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设共有x个队参加比赛，则每队要参加（x﹣1）场比赛，
根据题意得：＝21，
整理得：x2﹣x﹣42＝0，
解得：x1＝7，x2＝﹣6（不合题意，舍去）．
答：共有7个队参加足球联赛．
20．为进一步提升企业产品竞争力，某企业加大了科研经费的投入，2016年该企业投入科研经费5000万元就，2018年投入科研经费7200万元，假设该企业这两年投入科研经费的年平均增长率相同．
（1）求这两年该企业投入科研经费的年平均增长率；
（2）若该企业科研经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2019年该企业投入科研经费多少万元．
【分析】（1）设这两年该企业投入科研经费的年平均增长率为x，根据2016年及2018年投入科研经费，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据2019年投入科研经费＝2018年投入科研经费×（1+增长率），即可求出结论．【解答】解：（1）设这两年该企业投入科研经费的年平均增长率为x，
根据题意得：5000（1+x）2＝7200，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2．
答：这两年该企业投入科研经费的年平均增长率为20%．
（2）7200×（1+20%）＝8640（万元）．
答：2019年该企业投入科研经费8640万元．
21．某同学练习推铅球，铅球推出后在空中飞行的轨迹是一条抛物线，铅球在离地面1米高的A处推出，达到最高点B时的高度是2.6米，
推出的水平距离是4米，铅球在地面上点C处着地
（1）根据如图所示的直角坐标系求抛物线的解析式；
（2）这个同学推出的铅球有多远？
【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+2.6，由待定系数法求出其解即可；
（2）当y＝0时代入（1）的解析式，求出其解即可．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+2.6，由题意，得
1＝a（0﹣4）2+2.6，
解得：a＝﹣0.1．
故y＝﹣0.1（x﹣4）2+2.6．
答：抛物线的解析式为：y＝﹣0.1（x﹣4）2+2.6；
（2）由题意，得
当y＝0时，﹣0.1（x﹣4）2+2.6＝0，
解得：x1＝+4，x2＝﹣+4＜0（舍去），
故x＝+4．
答：这个同学推出的铅球有（+4）米远．
22．已知：关于x的方程x2+2kx+k2﹣6＝0
（1）证明：方程有两个不相等的实数根；
（2）如果方程有一个根为2，试求2k2+8k+2018的值．
【分析】（1）计算判别式的中得到△＝24，然后根据判别式的意义得到结论；
（2）把x＝2代入方程k2+4k＝2，再把2k2+8k+2018表示为2（k2+4k）+2018，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】（1）证明：△＝（2k）2﹣4（k2﹣6）
＝24＞0，
所以方程有两个不相等的实数根；
（2）把x＝2代入方程得4+4k+k2﹣6＝0，
所以k2+4k＝2，
所以2k2+8k+2018＝2（k2+4k）+2018＝2×2+2018＝2022．
23．某店销售台灯，成本为每个30元，销售大数据分析表明：当每个台灯售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个．
（1）未降价之前，该店每月台灯总盈利为6000 元；
（2）降价后，设该店每个台灯应降价x元，则每个台灯盈利（40﹣x）元，平均每月可售出[（40﹣x）×200+600] 个；（用含x的代数式进行表示）
（3）为迎接“双十一”，该店决定降价促销，在库存为1210个台灯的情况下，若预计月获利恰好为8400元，求每个台灯的售价．
【分析】（1）根据总盈利＝单件获利乘以销量列出代数式；
（2）根据“当每个台灯售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其
月销售量就增加200个”列出代数式
（3）设每个台灯的售价为x元．根据每个台灯的利润×销售数量＝总利润列出方程并解答；
【解答】解：（1）依题意得：未降价之前，该店每月台灯总盈利为600×（40﹣30）＝6000元．
故答案是：6000．
（2）降价后，设该店每个台灯应降价x元，则每个台灯盈利（x﹣30）元，平均每月可售出[（40﹣x）×200+600]个
故答案为：（x﹣30），[（40﹣x）×200+600]．
（2）设每个台灯的售价为x元．
根据题意，得（x﹣30）[（40﹣x）×200+600]＝8400，
解得x1＝36（舍），x2＝37．
当x＝36时，（40﹣36）×200+600＝1400＞1210；
当x＝37时，（40﹣37）×200+600＝1200＜1210；
答：每个台灯的售价为37元．
24．在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以每秒1cm的速度移动，同时，点Q从点B出发沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，回答下列问题：
（1）当运动开始后1秒时，求△DPQ的面积；
（2）当运动开始后秒时，试判断△DPQ的形状；
（3）在运动过程中，存在这样的时刻，使△DPQ以PD为底的等腰三角形，求出运动时间．
【分析】（1）根据运动时间求出PA，BQ，利用分割法求△DPQ的面积即可．
（2）分别求出表示出DP2，PQ2，DQ2，进而得到PQ2+DQ2＝DP2，得出答案；
（3）假设运动开始后第x秒时，满足条件，则有QP＝QD，表示出QP2，QD2，列出等式，构建方程方程，求出方程的解，根据时间大于0秒小于6秒，即可解答．
【解答】解：（1）经过1秒时，AP＝1，BQ＝2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝CD＝6cm，BC＝AD＝12cm，
∴PB＝6﹣1＝5（cm），CQ＝BC﹣BQ＝12﹣2＝10（cm），
∴S△DPQ＝S矩形ABCD﹣S△ADP﹣S△PBQ﹣S△DCQ＝72﹣×1×12﹣×6×2﹣×6×10＝30（cm2）．
（2）当t＝秒时，
AP＝，BP＝6﹣＝，BQ＝×2＝3，CQ＝12﹣3＝9，
∴在Rt△DAP中，DP2＝DA2+AP2＝122+（）2＝，
在Rt△DCQ中，DQ2＝DC2+CQ2＝62+92＝117，
在Rt△QBP中，QP2＝QB2+BP2＝32+（）2＝，
∴DQ2+QP2＝117+＝，
∴DQ2+QP2＝DP2，
∴△DPQ为直角三角形；
（3）假设运动开始后第x秒时，满足条件，则：QP＝QD，
∵OP2＝PB2+BQ2＝（6﹣x）2+（2x）2，
QD2＝QC2+CD2＝（12﹣2x）2+62，
∴（12﹣2x）2+62＝（6﹣x）2+（2x）2，
整理，得：x2+36x﹣144＝0，
解得：x＝﹣18±6，
∵0＜6﹣18＜6，
∴运动开始后第6﹣18秒时，△DPQ是以PD为底的等腰三角形．
25．如图，抛物线y＝与x轴交于A、B两点，△ABC为等边三角形，∠COD＝60°，且OD＝OC．
（1）A点坐标为（2，0），B点坐标为（5，0）；
（2）求证：点D在抛物线上；
（3）点M在抛物线的对称轴上，点N在抛物线上，若以M、N、O、D为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点M的坐标．
【分析】（1）y＝，令y＝0，解得：x＝2或5，即可求解；
（2）证明△OAC≌△DBC（SAS），则BD＝OA＝2，∠OBD＝60°，即可求解；
（3）分OD是平行四边形的边、OD是平行四边形的对角线两种情况，分别求解．
【解答】解：（1）y＝，令y＝0，解得：x＝2或5，
故答案为：（2，0）、（5，0）；
（2）连接CD、BD，
由（1）知：OA＝2，AB＝3，等边三角形ABC的边长为3，∵△ABC为等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝60°＝∠CAB，∴∠CAO＝120°，
∵∠COD＝60°，且OD＝OC，则△OCD为等边三角形，
∴OD＝CD＝CO，则∠OCD＝60°＝∠OCA+∠ACD，
而∠ACB＝60°＝∠ACD+∠DCB，
∴∠OCA＝∠DCB，
而CO＝CD，CA＝CB，
∴△OAC≌△DBC（SAS），
∴BD＝OA＝2，∠CBD＝∠CAO＝120°，而∠CBO＝60°，
∴∠OBD＝60°，则y D＝﹣BD sin∠OBD＝﹣2×＝﹣，故点D的坐标为（4，﹣），
当x＝4时，y＝＝﹣，
故点D在抛物线上；
（3）抛物线的对称轴为：x＝，
设点M（，s），点N（m，n），
n＝m2﹣m+5，
①当OD是平行四边形的边时，
当点N在对称轴右侧时，
点O向右平移4个单位，向下平移个单位得到D，
同样点M向右平移4个单位，向下平移个单位得到N，
即：+4＝m，s﹣＝n，而n＝m2﹣m+5，
解得：s＝
则点M（，）；
当点N在对称轴左侧时，
同理可得：点M（，）；
②当OD是平行四边形的对角线时，
则4＝+m，﹣＝n+s，而n＝m2﹣m+5，
解得：s＝，
故点M的坐标为：（，）或（，）或（，）．
新九年级上学期期中考试数学试题(含答案)
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．下列说法错误的是（）
A．直径是弦
B．最长的弦是直径
C．垂直弦的直径平分弦
D．经过三点可以确定一个圆
2．已知⊙O的半径为1，且圆心O到直线l的距离是2，则直线l与圆的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定
3．抛物线y＝（x+2）2﹣3可以由抛物线y＝x2平移得到，则下列平移过程正确的是（）A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位
B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位
C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位
D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位
4．如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，连接AB．∠APB＝60°，AB＝7，则PA的长是（）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．如图，已知⊙O的半径为13，弦AB的长为24，则圆心O到AB的距离为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．如图，⊙O中，OC⊥AB，∠BOC＝50°，则∠ADC的度数是（）
A．24°B．25°C．29°D．30°
7．在△ABC中，已知AB＝AC＝5cm，BC＝8cm，D是BC的中点，以D为圆心作一个半径为3cm的圆，则下列说法正确的是（）
A．点A在⊙D外B．点A在⊙D上C．点A在⊙D内D．无法确定8．点O是△ABC的外心，若∠BOC＝80°，则∠BAC的度数为（）A．40°B．100°C．40°或140°D．40°或100°9．根据下列表格的对应值：
判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解为x的取值范围是（）A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24
C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26
10．阅读理解：如图1，在平面内选一定点O，引一条有方向的射线Ox，再选定一个单位长度，那么平面上任一点M的位置可由∠MOx的度数θ与OM的长度m确定，有序数对（θ，m）称为M点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”．
应用：在图2的极坐标系下，如果正六边形的边长为2，有一边OA在射线Ox上，则正六边形的顶点C的极坐标应记为（）
A．（60°，4）B．（45°，4）C．（60°，2）D．（50°，2）
11．如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝4cm，∠ABC＝30°，把△ABC以点B为中心按逆时针方向旋转，使点C旋转到AB边的延长线上的点C′处，那么AC边扫过的图形图中阴影部分）的面积是（）
A．20πcm2B．（20π+8）cm2C．16πcm2D．（16π+8）cm2 12．如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为（﹣1，0），半径为1，点P为直线y
＝﹣x+3上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是（）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
13．150°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，则此弧所在圆的半径是cm．
14．如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为．
15．点A（2，y1）、B（3，y2）是二次函数y＝x2﹣2x+1的图象上两点，则y1与y2的大小关系为y1y2（填“＞”、“＜”、“＝”）．
16．一个直角三角形的两边长分别为3，4，则此三角形的外接圆半径是．17．已知二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m ＝0的解为．
18．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB＝8，CD＝2，则EC的长为．
19．⊙O的半径为5cm，AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝8cm，CD＝6cm．那么求得AB和CD之间的距离为．
20．如图，MN是⊙O的直径，MN＝2，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为．
三、解答题（本大题共6小题，21--22每小题6分、23--26每小题6分，共40分）21．（6分）如图是破残的圆形轮片，求作此残片所在的圆．（不写作法，保留作图痕迹）
22．（6分）已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A（1，0）、B（5，0），抛物线的最小值为﹣4．
求：（1）二次函数的解析式．
（2）直接回答：当x取什么值时，y的值小于0．
23．（7分）如图，已知CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点M，点P是上一点，且∠BPC＝60°．试判断△ABC的形状，并说明你的理由．
24．（7分）如图所示，AB是⊙O的直径，C为的中点，CD⊥AB于点D，交AE于点F，连接AC，求证：AF＝CF．
25．（7分）如图，O是∠MAN的边AN上一点，以OA为半径作⊙O，交∠MAN的平分线于点D，DE⊥AM于E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）连接OE，若∠EDA＝30°，AE＝1，求OE的长．
26．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx+m﹣1（m＞0）与x轴的交点为A，B．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．
①当m＝1时，求线段AB上整点的个数；
②若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，
结合函数的图象，求m的取值范围．
参考答案
一、选择题
1．下列说法错误的是（）
A．直径是弦
B．最长的弦是直径
C．垂直弦的直径平分弦
D．经过三点可以确定一个圆
【分析】根据弦的定义，以及经过不在同一直线上的三点可以作一个圆可判断和垂径定理分别得出即可．
【解答】解：A．直径是弦，根据弦的定义是连接圆上两点的线段，∴故此选项正确，但不符合题意，
B．最长的弦是直径，根据直径是圆中最长的弦，∴故此选项正确，但不符合题意，C．垂直弦的直径平分弦，利用垂径定理即可得出，故此选项正确，但不符合题意，D．经过三点可以确定一个圆，利用经过不在同一直线上的三点可以作一个圆，故此选项错误，符合题意，
故选：D．
【点评】此题考查了弦的定义、确定圆的条件、垂径定理等知识点的应用，关键是能根据这些定理进行说理和判断．
2．已知⊙O的半径为1，且圆心O到直线l的距离是2，则直线l与圆的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定
【分析】判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d＝r③直线l和⊙O相离⇔d＞r．
【解答】解：∵⊙O的半径为1，圆心O到直线L的距离为2，
∴r＝1，d＝2，
∴d＞r，
∴直线与圆相离，
故选：C．
【点评】本题考查直线由圆位置关系，记住．①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相
切⇔d＝r③直线l和⊙O相离⇔d＞r是解题的关键．
3．抛物线y＝（x+2）2﹣3可以由抛物线y＝x2平移得到，则下列平移过程正确的是（）A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位
B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位
C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位
D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位
【分析】根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：抛物线y＝x2向左平移2个单位可得到抛物线y＝（x+2）2，
抛物线y＝（x+2）2，再向下平移3个单位即可得到抛物线y＝（x+2）2﹣3．
故平移过程为：先向左平移2个单位，再向下平移3个单位．
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
4．如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，连接AB．∠APB＝60°，AB＝7，则PA的长是（）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】根据切线长定理得到PA＝PB，则判断△PAB为等边三角形，从而得到PA＝AB＝7．
【解答】解：∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，
∴PA＝PB，
∵∠APB＝60°，
∴△PAB为等边三角形，
∴PA＝AB＝7．
故选：C．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等边三角形的
判定与性质．
5．如图，已知⊙O 的半径为13，弦AB 的长为24，则圆心O 到AB 的距离为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
【分析】过O 作OC ⊥AB 于C ，连接OA ，根据垂径定理求出AC ，根据勾股定理求出OC 即可．
【解答】解：过O 作OC ⊥AB 于C ，连接AC ，
∴AC ＝BC ＝AB ＝12，
在Rt △AOC 中，由勾股定理得：OC ＝＝＝5．
故选：C ．
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
6．如图，⊙O 中，OC ⊥AB ，∠BOC ＝50°，则∠ADC 的度数是（ ）
A ．24°
B ．25°
C ．29°
D ．30°
【分析】由OC ⊥AB ，推出＝，可得∠ADC ＝∠COB ＝25°．
【解答】解：∵OC ⊥AB ，
∴＝，
∴∠ADC ＝∠COB ＝25°，
故选：B ．
【点评】本题考查垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7．在△ABC中，已知AB＝AC＝5cm，BC＝8cm，D是BC的中点，以D为圆心作一个半径为3cm的圆，则下列说法正确的是（）
A．点A在⊙D外B．点A在⊙D上C．点A在⊙D内D．无法确定
【分析】连结AD，根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，在Rt△ABD中，AB＝5cm，BD
＝BC＝4cm，根据勾股定理可计算出AD＝3cm，然后根据点与圆的位置关系的判定方法可判断点A在⊙D上．
【解答】解：连结AD，如图，
∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，BD＝BC＝4cm
在Rt△ABD中，AB＝5cm，BD＝4cm，
∴AD＝＝3cm，
∵⊙D的半径为3cm，
∴点A在⊙D上．
故选：B．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．也考查了等腰三角形的性质和勾股定理．
8．点O是△ABC的外心，若∠BOC＝80°，则∠BAC的度数为（）A．40°B．100°C．40°或140°D．40°或100°【分析】利用圆周角定理以及圆内接四边形的性质得出∠BAC的度数．
【解答】解：如图所示：∵O是△ABC的外心，∠BOC＝80°，
∴∠A＝40°，∠A′＝140°，
故∠BAC的度数为：40°或140°．
故选：C．
【点评】此题主要考查了圆周角定理以及圆内接四边形的性质，利用分类讨论得出是解题关键．
9．根据下列表格的对应值：
判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解为x的取值范围是（）A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24
C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26
【分析】根据函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c＝0的根，再根据函数的增减性即可判断方程ax2+bx+c＝0一个解的范围．
【解答】解：函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是方程ax2+bx+c＝0的根，函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点的纵坐标为0；
由表中数据可知：y＝0在y＝﹣0.03与y＝0.09之间，
对应的x的值在3.25与3.26之间，即3.25＜x＜3.26．
故选：D．
【点评】本题考查了用函数图象法求一元二次方程的近似根，是中考的热点问题之一．掌握函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点与方程ax2+bx+c＝0的根的关系是解决此题的关。