湘教版八年级下册数学课件 勾股定理的实际应用
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B 10米.
∴这棵树在折断之前的 高度是10+6=16（米）.
归纳总结 利用勾股定理解决实际问题的一般步骤： （1）读懂题意，分析已知、未知间的关系； （2）构造直角三角形； （3）利用勾股定理等列方程； （4）解决实际问题.
实际问题 决解
勾股定理
转化 数学问题 建构
利用 直角三角形
练一练 1.湖的两端有A、B两点，从与BA方向成直角的BC方向 上的点C测得CA=130米,CB=120米,则AB为 ( A )
AB32= 62 +（10+8）2 =360， B2 ∴AB1＜AB2＜AB3.
8
∴小蚂蚁吃到火腿肠的最短 路程为AB1，长为 2 74 cm.
A
10
6
例6 如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而 他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的 马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事
A
B
AC+CB >AB（两点之间线段最短） 思考 在立体图形中，怎么寻找最短线路呢？
问题：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西
B
时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的
蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B
处，蚂蚁怎么走最近？
A
蚂蚁A→B的路线
A' d B A'
B
OB
B
A
A
A
A
想一想：蚂蚁走哪一条路线最近？
B C
A
解：设水池的水深AC为x尺， 则这根芦苇长AD=AB=（x+1）尺， 在直角三角形ABC中，BC=5尺 由勾股定理得，BC2+AC2=AB2
即 52+ x2= (x+1)2 25+ x2= x2+2x+1，
2 x=24， ∴ x=12， x+1=13. 答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺.
是也外移0.5m，而是外移约0.77m.
例3：我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道 有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面 是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新 生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉 向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水 池的深度和这根芦苇的长度各是多少？ D
第1章 直角三角形 1.2 直角三角形的性质和判定（Ⅱ）
第2课时
学习目标
1. 会运用勾股定理求线段长及解决简单的实际问题. （重点） 2.能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型， 利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联 系，并进一步求出未知边长.（难点）
一 勾股定理的简单实际应用
问题 观看下面同一根长竹竿以三种不同的方式进门 的情况，对于长竹竿进门之类的问题你有什么启发？
A
B
AC2=AB2+BC2=12+22=5
1m
AC 5 2.24 .
因为AC大于木板的宽2.2m,所以木板能从门框内通过.
例2 如图，一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙 AO上，这时AO为2.4m. 如果梯子的顶端A沿墙下滑 0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m吗?
解：在Rt△ABO中，根据勾股定理得
例4 在一次台风的袭击中，小明家房前的一棵大树在 离地面6米处断裂，树的顶部落在离树根底部8米处. 你能告诉小明这棵树折断之前有多高吗？
6 米
8米
A
6 米
C
8米
解：根据题意可以构建一
直角三角形模型，如图. 在Rt△ABC中， AC=6米，BC=8米， 由勾股定理得
AB AC2 BC2 62 82
练一练
如图，是一个边长为1的正方体硬纸盒，现在A处有
一只蚂蚁，想沿着正方体的外表面到达B处吃食物，
求蚂蚁爬行的最短距离是多少.
B
B
1
A
A
2
解：由题意得AC =2，BC=1,
C
在Rt△ABC中，由勾股定理得
AB²= AC²+ BC²=2²+1²=5
∴AB= 5 ，即最短路程为 5 .
1.从电线杆上离地面5m的C处向地面拉一条长为7m的
A
别踩我,我怕疼! C 根据勾股定理得
AB 32 42 5米，
∴这条“径路”的长为5米. （2）他们仅仅少走了
(3+4-5)×2=4(步). B
二 利用勾股定理求最短距离
问题 在A点的小狗，为了尽快吃到B点的香肠，它选 择A B 路线，而不选择A C B路线，难道小狗也 懂数学？
C
数学思想： 立体图形
转化 展开
平面图形
【变式题】看到小蚂蚁终于喝到饮料的兴奋劲儿， 小明灵光乍现，拿出了牛奶盒，把小蚂蚁放在点 A处，并在点B处放了点儿火腿肠粒，你能帮小 蚂蚁找出吃到火腿肠粒的最短路程么？
B
牛奶盒
A 10cm
8cm 6cm
B3
B1 B
解：由题意知有三种展开 方法，如图.由勾股定理得 AB12 =102 +（6+8）2 =296， AB22= 82 +（10+6）2 =320，
钢缆，则地面钢缆A到电线杆底部B的距离是（ D ）
A.24m B.12m
C. 74 m
D.2 6 m
2.如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部
底面直径是9cm，内壁高12cm，则这只铅笔的长度
可能是（ D ）
A.9cm B.12cm C.15cm
D.18cm
3.如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两棵对 相距8米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵的树梢，问 小鸟至少飞行多少？
这个跟我们学的 勾股定理有关， 将实际问题转化 为数学问题
典例精析 例1 一个门框的尺寸如图所示，一块长3m,宽2.2m的
长方形薄木板能否从门框内通过?为什么?
分析：可以看出木板横着，竖着都
不能通过，只能斜着.门框AC的长 D
C
度是斜着能通过的最大长度，只要
AC的长大于木板的宽就能通过.
2m
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，
A.50米 B.120米 C.100米 D.130米
A 130
?
C
120 B
2.如图，学校教学楼前有一块长方形草坪,草坪长为4米， 宽为3米，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草 坪内走出了一条“径路”，却踩伤了花草. （1）求这条“径路”的长； （2）他们仅仅少走了几步(假设2步为1米)？
解：(1)在Rt△ ABC中，
物.这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线
路的长是多少？
A
A
B
解：台阶的展开图如图，连接AB.
在Rt△ABC中，根据勾股定理得 C
B
AB2=BC2＋AC2＝552＋482＝5329, ∴AB=73cm.
能力提升： 5. 为筹备迎新晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩， 底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图.已知圆筒的 高为108cm，其横截面周长为36cm，如果在表面均匀 缠绕油纸4圈，应裁剪多长的油纸？
解：如右下图，在Rt△ABC中， 因为AC＝36cm，BC＝108÷4＝27(cm)． 由勾股定理，得 AB2＝AC2＋BC2＝362＋272＝2025＝452， 所以AB＝45cm， 所以整个油纸的长为45×4＝180(cm)．
用勾股定理解 决实际问题
勾股定理 的应用
用勾股定理解决点的 距离及路径最短问题
B
C
A
解：如图，过点A作AC⊥BC于点C. 由题意得AC=8米，BC=8-2=6(米)，
AB AC2 BC2 10米.
答：小鸟至少飞行10米.
4.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分
别等于55cm，10cm和6cm，A和B是这个台阶的两个相
对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食
OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1，∴OB=1. A 在Rt△COD中，根据勾股定理得 OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15, C
OD 3.15 1.77,
BD OD OB 1.77 1 0.77 .
O
BD
所以梯子的顶端沿墙下滑0.5m时，梯子底端并不
短确定最短路线.
例5 有一个圆柱形油罐，要以A点环绕油罐建梯子，正 好建在A点的正上方点B处，问梯子最短需多少米(已知 油罐的底面半径是2 米，高AB是5 米，π取3）?
B
B
B'
A
A
A'
解：油罐的展开图如右图，则AB'为梯子的最短距离.
∵AA'=2×3×2=12, A'B'=5,
∴AB'=13. 即梯子最短需13米.
根据两点之间线段最短易知第四个路线最近.
若已知圆柱体高为12 cm，底面半径为3 cm，π取3.
A' 3 O
B
A' 3π B
12
侧面展ห้องสมุดไป่ตู้图 12
A
A
解：在Rt△ABA′中，由勾股定理得
AB AA′2 BA′2 122 3 32 15.
归纳 立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体图 形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最
情所走的最短路程是多少？
北
解：如图，作出点A关于河岸的对称
东
点A′，连接A′B,则A′B就是最短路程.
由题意得A′C=4+4+7=15(km)，
A′
BC=8km.
在Rt△A′CB中，由勾股定理得 牧童A
A′B 152 82 17.
C
小屋B
归纳 求直线同侧的两点到直线上一点所连线段的和 的最短路程的方法：先找到其中一点关于这条直线的 对称点，连接对称点与另一点的线段就是最短路径长， 以连接对称点与另一个点的线段为斜边，构造出直角 三角形，再运用勾股定理求最短路程.
∴这棵树在折断之前的 高度是10+6=16（米）.
归纳总结 利用勾股定理解决实际问题的一般步骤： （1）读懂题意，分析已知、未知间的关系； （2）构造直角三角形； （3）利用勾股定理等列方程； （4）解决实际问题.
实际问题 决解
勾股定理
转化 数学问题 建构
利用 直角三角形
练一练 1.湖的两端有A、B两点，从与BA方向成直角的BC方向 上的点C测得CA=130米,CB=120米,则AB为 ( A )
AB32= 62 +（10+8）2 =360， B2 ∴AB1＜AB2＜AB3.
8
∴小蚂蚁吃到火腿肠的最短 路程为AB1，长为 2 74 cm.
A
10
6
例6 如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而 他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的 马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事
A
B
AC+CB >AB（两点之间线段最短） 思考 在立体图形中，怎么寻找最短线路呢？
问题：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西
B
时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的
蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B
处，蚂蚁怎么走最近？
A
蚂蚁A→B的路线
A' d B A'
B
OB
B
A
A
A
A
想一想：蚂蚁走哪一条路线最近？
B C
A
解：设水池的水深AC为x尺， 则这根芦苇长AD=AB=（x+1）尺， 在直角三角形ABC中，BC=5尺 由勾股定理得，BC2+AC2=AB2
即 52+ x2= (x+1)2 25+ x2= x2+2x+1，
2 x=24， ∴ x=12， x+1=13. 答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺.
是也外移0.5m，而是外移约0.77m.
例3：我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道 有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面 是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新 生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉 向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水 池的深度和这根芦苇的长度各是多少？ D
第1章 直角三角形 1.2 直角三角形的性质和判定（Ⅱ）
第2课时
学习目标
1. 会运用勾股定理求线段长及解决简单的实际问题. （重点） 2.能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型， 利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联 系，并进一步求出未知边长.（难点）
一 勾股定理的简单实际应用
问题 观看下面同一根长竹竿以三种不同的方式进门 的情况，对于长竹竿进门之类的问题你有什么启发？
A
B
AC2=AB2+BC2=12+22=5
1m
AC 5 2.24 .
因为AC大于木板的宽2.2m,所以木板能从门框内通过.
例2 如图，一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙 AO上，这时AO为2.4m. 如果梯子的顶端A沿墙下滑 0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m吗?
解：在Rt△ABO中，根据勾股定理得
例4 在一次台风的袭击中，小明家房前的一棵大树在 离地面6米处断裂，树的顶部落在离树根底部8米处. 你能告诉小明这棵树折断之前有多高吗？
6 米
8米
A
6 米
C
8米
解：根据题意可以构建一
直角三角形模型，如图. 在Rt△ABC中， AC=6米，BC=8米， 由勾股定理得
AB AC2 BC2 62 82
练一练
如图，是一个边长为1的正方体硬纸盒，现在A处有
一只蚂蚁，想沿着正方体的外表面到达B处吃食物，
求蚂蚁爬行的最短距离是多少.
B
B
1
A
A
2
解：由题意得AC =2，BC=1,
C
在Rt△ABC中，由勾股定理得
AB²= AC²+ BC²=2²+1²=5
∴AB= 5 ，即最短路程为 5 .
1.从电线杆上离地面5m的C处向地面拉一条长为7m的
A
别踩我,我怕疼! C 根据勾股定理得
AB 32 42 5米，
∴这条“径路”的长为5米. （2）他们仅仅少走了
(3+4-5)×2=4(步). B
二 利用勾股定理求最短距离
问题 在A点的小狗，为了尽快吃到B点的香肠，它选 择A B 路线，而不选择A C B路线，难道小狗也 懂数学？
C
数学思想： 立体图形
转化 展开
平面图形
【变式题】看到小蚂蚁终于喝到饮料的兴奋劲儿， 小明灵光乍现，拿出了牛奶盒，把小蚂蚁放在点 A处，并在点B处放了点儿火腿肠粒，你能帮小 蚂蚁找出吃到火腿肠粒的最短路程么？
B
牛奶盒
A 10cm
8cm 6cm
B3
B1 B
解：由题意知有三种展开 方法，如图.由勾股定理得 AB12 =102 +（6+8）2 =296， AB22= 82 +（10+6）2 =320，
钢缆，则地面钢缆A到电线杆底部B的距离是（ D ）
A.24m B.12m
C. 74 m
D.2 6 m
2.如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部
底面直径是9cm，内壁高12cm，则这只铅笔的长度
可能是（ D ）
A.9cm B.12cm C.15cm
D.18cm
3.如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两棵对 相距8米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵的树梢，问 小鸟至少飞行多少？
这个跟我们学的 勾股定理有关， 将实际问题转化 为数学问题
典例精析 例1 一个门框的尺寸如图所示，一块长3m,宽2.2m的
长方形薄木板能否从门框内通过?为什么?
分析：可以看出木板横着，竖着都
不能通过，只能斜着.门框AC的长 D
C
度是斜着能通过的最大长度，只要
AC的长大于木板的宽就能通过.
2m
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，
A.50米 B.120米 C.100米 D.130米
A 130
?
C
120 B
2.如图，学校教学楼前有一块长方形草坪,草坪长为4米， 宽为3米，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草 坪内走出了一条“径路”，却踩伤了花草. （1）求这条“径路”的长； （2）他们仅仅少走了几步(假设2步为1米)？
解：(1)在Rt△ ABC中，
物.这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线
路的长是多少？
A
A
B
解：台阶的展开图如图，连接AB.
在Rt△ABC中，根据勾股定理得 C
B
AB2=BC2＋AC2＝552＋482＝5329, ∴AB=73cm.
能力提升： 5. 为筹备迎新晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩， 底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图.已知圆筒的 高为108cm，其横截面周长为36cm，如果在表面均匀 缠绕油纸4圈，应裁剪多长的油纸？
解：如右下图，在Rt△ABC中， 因为AC＝36cm，BC＝108÷4＝27(cm)． 由勾股定理，得 AB2＝AC2＋BC2＝362＋272＝2025＝452， 所以AB＝45cm， 所以整个油纸的长为45×4＝180(cm)．
用勾股定理解 决实际问题
勾股定理 的应用
用勾股定理解决点的 距离及路径最短问题
B
C
A
解：如图，过点A作AC⊥BC于点C. 由题意得AC=8米，BC=8-2=6(米)，
AB AC2 BC2 10米.
答：小鸟至少飞行10米.
4.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分
别等于55cm，10cm和6cm，A和B是这个台阶的两个相
对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食
OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1，∴OB=1. A 在Rt△COD中，根据勾股定理得 OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15, C
OD 3.15 1.77,
BD OD OB 1.77 1 0.77 .
O
BD
所以梯子的顶端沿墙下滑0.5m时，梯子底端并不
短确定最短路线.
例5 有一个圆柱形油罐，要以A点环绕油罐建梯子，正 好建在A点的正上方点B处，问梯子最短需多少米(已知 油罐的底面半径是2 米，高AB是5 米，π取3）?
B
B
B'
A
A
A'
解：油罐的展开图如右图，则AB'为梯子的最短距离.
∵AA'=2×3×2=12, A'B'=5,
∴AB'=13. 即梯子最短需13米.
根据两点之间线段最短易知第四个路线最近.
若已知圆柱体高为12 cm，底面半径为3 cm，π取3.
A' 3 O
B
A' 3π B
12
侧面展ห้องสมุดไป่ตู้图 12
A
A
解：在Rt△ABA′中，由勾股定理得
AB AA′2 BA′2 122 3 32 15.
归纳 立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体图 形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最
情所走的最短路程是多少？
北
解：如图，作出点A关于河岸的对称
东
点A′，连接A′B,则A′B就是最短路程.
由题意得A′C=4+4+7=15(km)，
A′
BC=8km.
在Rt△A′CB中，由勾股定理得 牧童A
A′B 152 82 17.
C
小屋B
归纳 求直线同侧的两点到直线上一点所连线段的和 的最短路程的方法：先找到其中一点关于这条直线的 对称点，连接对称点与另一点的线段就是最短路径长， 以连接对称点与另一个点的线段为斜边，构造出直角 三角形，再运用勾股定理求最短路程.