王明红-电动力学讲稿(第6章)

确的，而且在地球上真空光还始终是c=2.99792×108米/秒。
§6.2 相对论的基本原理 洛伦兹变换
1、狭义相对论的基本原理
根据实验事实， Albert Einstein提出了如下两条基本假设： a) 一切物理规律，无论是力学的，还是电磁学的，对于 所有惯性系都具有相同的数学形式，这就是相对性原理。
这就是间隔不变式。 如果两事件彼此无限地接近，那么间隔为：
dS2 c 2dt2 dx2 dy2 dz2
也可得到
dS 2 dS 2
因此，我们得到一个很重要的结论：两个事件的间隔在所
有惯性系里都是一样的，即当由一个惯性系变换到任何另 一惯性系时，它是不变的。这也是光速不变的数学表示。
t t1 t 2
l v 2 ( ) c c
把仪器绕竖直轴旋转π/2，则MM2变成沿地球运动方向，
MM1垂直于地球运动方向。这样沿MM2和MM1进行的光往 返各需的时间为：
2l v2 (1 2 ) t1 c 2c 2 2l v (1 t2 2) c c
两束光回到M点的时间差为：
A2 1 ,
即A 1
为了从两个值±1中选择一个，由变换的连续性应该取+1 。 因此有
2 2 2 2 2 x y z c t x y z c t 2 2 2 2 2
。 假如x1，y1，z1，t1及x2，y2，z2，t2是∑系任何两个事件 的坐标，则
可看到干涉条纹；再使整个仪器转过π/2，就应该发现条纹的移动，由 条纹移动的总数，就可算出地球运动的速度v.
M2
v
l
S M
l
M1
T
实验装置：
假设“以太”媒质背景，其特点：
M2
（1）相对太阳静止(绝对参照系)；
（2）光在其传播速度为C; （3）从“ 以太”系观察光线经 过 路程及时间。
v
l
S
2. 洛伦兹变换
间隔不变 S '2 S 2 （光速不变数学式）
x2 y2 z2 c 2t 2 x 2 y 2 z 2 c 2t 2
线 性 变 换
x
x'vt 1 (v / c ) 2
x 11 x 12 y 13 z 14t y ' 21 x 22 y 23 z 24t z ' 31 x 32 y 33 z 34t t ' 41 x 42 y 43 z 44t
M
l
M1
T
说明：由光源S发出的光线在半反射镜M上分为两束，一束通过M，被M1反 射回到M，再被M反射而达到目镜T；另一束被M反射到M2，再反射回M而 直达目镜T。 调整两臂长度使有效光程为MM1=MM2=l. 设地球相对于以太的绝对运 动速度 v 沿MM1方向，则由于光线MM1M与MM2M的传播时间不同，因而有 光程差，在目镜T中将观察到干涉效应。 当地球相对于以太的速度为v运动时，可看出光线MM1和M1M间犹为如 顺水和逆水行舟，它相对于仪器的速度应各自为(c-v)和(c+v)，如果MM1的长 度为l 时，那么光通过距离MM1+M1M所需的时间为
第六章 狭义相对论
Special Theory of Relativity
前几章中，我们讨论了经典电动力学的基本理论和 有关规律，没有谈及坐标系问题，物理规律都是相对于 一定参考系表述出来。 本章将着解决电动力学中的几个问题：第一,麦克 斯韦方程组究竟对于哪一个参考系是正确的？第二，从 一个参考系变换到另一个参考系时，基本规律的形式如
S 2 c 2 (t2 t1 )2 ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 ( z2 z1 )2
称为这两个事件的间隔。
同理，在∑’系中任何两个事件的间隔为：
2 t1 )2 ( x2 x1 )2 ( y2 y1 ) 2 ( z S 2 c 2 (t2 z ) 2 1
1、经典力学(牛顿力学)的相对性原理
经典力学中的一个基本原理也就是伽利略相对性原理 , 它 表示：力学运动定律从一个惯性系变换到另一个惯性系时，运 动定律的形式保持不变。也就是说，一切作机械运动的惯性系 是等价的。
不能在一个参照系内部做实验来确 定该参照系相对另一系的速度。 y ∑ y’ ∑’
v
速度 c 1
0 0
（ｃ相对于哪个参考系？）
2、麦克斯韦方程不满足伽利略变换
v t t v t t
B E t
B E v B t
本节将从Albert Einstein的两个基本假设出发，建立狭
义相对论的理论框架。 1、间隔不变性 ( interval invariance ) 若有两个惯性参考系∑和∑’，∑’相对于∑沿x轴正向 以匀速 v 运动，把两个坐标完全重合的时刻选作两个坐标
系时间 t 和 t’ 的起算点。
y ∑ y’ ∑’
实验的基本思想是：地球以30千米/秒的速度通过“以太”运动，地
面上的观察者将会感到“以太风”，地球的运动在实验持续的时间内
可以看做是匀速直线运动，因而地球可看作是一个惯性系统。实验时 先使干涉仪的一臂与地球的运动方向平行，另一臂与地球的运动方向
垂直，按照经典的理论，在运动的系统中，光速应该各向不同，因而
v
0’
0 z
x, x’
z’
当∑’和∑的坐标原点0’，0重合时（t=t’=0)发出一光脉 冲，根据光速不变原理，在∑系观察者看来，任何时间 t 光 的波前皆为一球面，即
也就是：
r 2 c 2t 2
x 2 y 2 z 2 c 2t 2 x 2 y 2 z 2 c 2t 2 0
后来用星光，以及用高速运动的粒子作为光源实验，
也证实了光速与光源相对于观察者的运动无关。
迄今为止的所有实验都指出光速与观察者所处的参考 系无关，也与光源的运动速度无关，人们认识到光速不变 是电磁现象的一条基本规律，真空中光速c是最基本的物理 常数之一。也就是说Maxwell’s equations在地球上始终是正
若沿x方向运动，即 y' 简化为两维线性变换
v
l
“以太风”
简易装置：
S
c v c v
t0
M
不考虑“以太”运 动 考虑“以太”运 动
2l c 2lc l l t0 2 2 t1 cv cv c v 1 (v / c ) 2
测出时间 t 0 即可求出速度v。实际上述实验不易做。
迈克尔逊—莫雷（Michelson-Morley)实验
r
P
r
(x, y, z, t, x’, y’,z’,t’) 0’ x, x’
0 z
z’
伽利略变换关系
x x vt
'
u ux v
' x
' ax ax
y y
'
u 'y u y
u uz
' z
a'y ay
' az az
z' z
F ' ma' ma F
次式，从两个惯性系观察都等于零，因此必然相等。即
x 2 y 2 z 2 c 2t 2 x2 y2 z2 c 2t 2
对于不以光信号联系的其他事件，从两惯性系观察，它们
虽然不等于零，但由于时空坐标变换是线性的。这两个二 次式至多只能相差一个系数A。
即 x2 y2 z2 c 2t 2 A( x 2 y 2 z 2 c 2t 2 ) 其中系数A仅与两个惯性系的相对速度的绝对值有关，系 数A不可能与坐标或时间有关。否则空间的不同点及时间 的不同时刻就不等价了，这与时间，空间的均匀性相矛盾。
何改变？第三，基本物理量如何变换？
本 章 内 容
狭义相对论的实验基础 狭义相对论的基本原理 闵可夫斯基空间和洛仑兹变换 相对论的时空性质 相对论力学 电磁规律的相对性理论 （**）
§6.1
狭义相对论的实验基础
Experiment Foundations of the Special Theory of Relativity
而在∑’系观察者看来，因为光脉冲也是在∑’系的原点0’
发出，根据光速不变原理，任何时刻 t’ 光的波前同样是球
面，即
2 2 2 r c t
或者
x 2 y 2 z 2 c 2 t 2 x 2 y 2 z 2 c 2 t 2 0
因为时间和空间是均匀的，而且空间是各向同性的， 这就意味着∑系和∑’系之间的时空变换必须是线性的。通 过线性变换可知：对于以光信号联系的两事件上的两个二
“协变性”
t t
'
t t
'
a a
'
相对量：坐标、速度是相对性的。 绝对量：时间（同时性）、长度、质量、运动形式是绝对的。 结论：在一切惯性系中，经典力学中的时空是绝对的-- 绝对 时空观。
时间是绝对的
t' t
; 空间是绝对的
x' x
经典时空理论的局限性
2 1 E １．电磁波的波动方程 2 E 2 2 0 c t
l l 2cl 2l v 2 1 t1 2 2 (1 2 ) cv cv c v c c
M’2
ct 2 2
M2
v
l M”
M’
vt 2 2
M
光往返于MM2和M2M间犹为横渡流水，在以太系看来光所走路经为 M’M2M”，当MM2的长度为l时，光通过距离M’M2+M2M”所需的时间是t2， 即
b) 在所有惯性系中，真空中的光速在任何方向上都恒为
c，并与光源的运动无关，这就是光速不变原理。 这两条基本假设构成了Albert Einstein的狭义相对论，是 因为这个原理限于相互作匀速直线运动的惯性系。如果取消 这限制就是广义相对论（包括万有引力作用），这不在本书 的讨论范围之内。
ห้องสมุดไป่ตู้仑兹变换
l v 2 t2 ( ) t t1 c c
有了光程差，在目镜处应该观察到干涉条纹的移动个数。
当时间差的改变量是光波的一个周期τ时，就引起一条干
涉条纹的移动，所以条纹移动的总数为：
N
t t

2l v 2 2l v 2 ( ) ( ) c c c
式中是光波的波长，当l=11米， =5.9×10-7米，v=3 ×10-4米 /秒，c=3 ×108米/ 秒，得到
22 (3 104 ) N 0.4 7 8 2 5.9 10 (3 10 )
而实验观察到只有小到移动条条纹的1/100，但从来也没有看到 过0.4个条纹的移动。
ct 2 2 2 vt 2 2 ( ) l ( ) 2 2
则
2l v 2 1 2 t2 (1 2 ) c c c2 v2 2l
1
2 v 因为
c
2
，故作二项式展开，得
2 2l v t1 (1 2) c c 2l v2 t 2 (1 2 ) c 2c
两束光的光程差（回到M点的时间差）
另外，系数A也不可能与惯性系的相对速度的方向有关。因 为这与空间的各向同性的性质相矛盾。由此可见
A A(v)
由于∑’系相对∑系的运动速度显然与∑系相对∑’系的运 动速度相同，因此
x 2 y 2 z 2 c 2t 2 A( x2 y2 z2 c 2t 2 )
从以上两个式子可看出：
3、麦克斯韦的“以太”（ether）概念及绝对参照系
(1) 光借助“以太”媒质传播，光相对静止的“以太”的传播速度各向同性， 均为C. “以太”就是电磁场规律成立的绝对参考系。 （2） “以太”充满宇宙，透明而密度很小; 假定“以太”相对太阳静止. 实 验测出地球 相对“以太”速度，即找到绝对参考系。
由上述比例关系式得到 S 2 S 2
对比经典理论的空间间隔与时间间隔
（相对论理论时空间隔）
( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 ( z2 z1 )2 ( x'2 x'1 )2 ( y'2 y'1 )2 ( z'2 z'1 )2
t2 t1 t '2 t '1