计数原理-课后练习

课后导练
基本达标
1.将三封信投到4个邮筒,最多的投法有________种.()
A.4
B.3
C.43
D.34
解析:分三步:
(1)第一封信可投入4个中任一个,4种情况;
(2)第二封信可投入4个中任一个,4种情况;
(3)第三封信可投入4个中任一个,4种情况;
根据分步计数原理,知
N=4×4×4=43(种).
答案: C
2.已知集合A={1,2,3},集合B ={4,5,6},映射f:A→B,且满足1的象是4,则这样的映射有()
A.2个
B.4个
C.8个
D.9个
解析:因为1→4,则由映射定义知2和3各有3种对应方式.由分步乘法计数原理得N=3×3=9(种).
答案:D
3. 某商业大厦有东、南、西三个大门,楼内东西两侧各有两个楼梯,由楼外到二楼上的走法种数是()
A.5
B.7
C.10
D.12
解析:分三步:
第一步:进大门有三种情况;
第二步:上一楼有两种情况;
第三步:上二楼有两种情况.
∴N=3×2×2=12(种).
答案:D
4.已知集合A={0,2,5,7,9},从集合A中取两个元素相乘组成集合B,则集合B的子集个数为()
A.7
B.16
C.127
D.128
解析:分两类:(1)取0时,有1种;
(2)不取0时,有6种.
∴B中含有7个元素,子集为27=128个.
答案:D
5.从1、2、3、4、7、9六个数中,任取两个数作对数的底数和真数,则所有不同的对数的值的个数是_________个.
解析:分两类:
(1)当取1时,1只能为真数,此时y=0.
(2)不取1时,分两步.
①取底数有5种;
②取真数有4种.
其中, log23=log49,log32=log94,
log24=log39, log42=log93,
∴N=1+5×4-4=17(个).
答案:17
6.将(a1+b1+c1+d1)(a2+b2+c2+d2)展开后不同的项有_______项.
解析:
展开后每一项均由两个元素组成,分别来自两个括号,由分步乘法计数原理得N=4×4=16(项). 答案:16
7.从1、3、5、7四个数中任取两数相乘,可得到________个不同的积,从中任取两数相除可得到_______个不同的商.
解析:乘积共6种,分别为1×3、1×5、1×7、3×5、3×7、5×7.
商数分两步:第一步:确定被除数,有四种;
第二步:确定除数,有3种.
根据乘法原理知N=3×4=12(种).
答案:612
8.已知a、b∈N+,但a+b≤6,则复数a+b i有多少个?
解:(1)a=1时,b有5种方法;
(2)a=2时,b有4种方法;
(3)a=3时,b有3种方法;
(4)a=4时,b有2种方法;
(5)a=5时,b有1种方法.
共有复数5+4+3+2+1=15个.
9.2 160的正约数有多少个?其中偶数有多少个?
解析:由已知,得2 160的正约数为2m·3n·5 p,其中m∈{0,1,2,3,4},n∈{0,1,2,3},p∈{0,1}.
由分步计数原理知2 160的正约数有5×4×2=40个.
其中偶数有4×4×2=32个.
10.f是集合M ={a,b,c,d}到集合N ={0,1,2}的映射,有f(a)+f(b)+f(c)+f(d)=4,则不同的映射有多少个?
解析:由f(a)+f(b)+f(c)+f(d)=4知4=0+0+2+2,4=1+1+2+0,4=1+1+1+1,共3类,
由加法原理,共有6+6×2+1=19个映射.
综合运用
11.甲、乙、丙、丁四个人各写1张贺卡,放在一起,再各取1张不是自己所写的贺卡,共有多少种不同取法?
解析:排出所有的分配方案.
(1)甲取得乙卡,分配方案如右图,此时乙有甲、丙、丁3种取法,若乙取甲,则丙取丁、丁取丙;若乙取丙,则丙取丁、丁取甲;若乙取丁,则丙取甲、丁取丙,故有3种分配方案;
(2)甲取得丙卡,分配方案按甲、乙、丙、丁4人依序可取得贺卡如下:丙甲丁乙,丙丁甲乙,丙丁乙甲;
(3)甲取得丁卡,分配方案按甲、乙、丙、丁4人依序可取得贺卡如下:丁甲乙丙,丁丙甲乙,丁丙乙甲.
由加法原理,共有3+3+3=9种.
12.从{-3,-2,-1,0,1,2,3}中任取3个不同的数作为抛物线方程y =ax2+bx+c(a≠0)的系数,如果抛物线过原点且顶点在第一象限,则这样的抛物线共有多少条?
解析:依据题意得
0=a ·02+b ·0+c-⎪⎩⎪⎨⎧<>=⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>->-+•+•=,0,0,00440200022a b c a
b a
c a b c b a 故a 可取-1,-2,-3;b 可取1,2,3.
所以共有N =3×3=9(条)抛物线.
拓展探究
13.从甲地到乙地,如果翻过一座山,上山有2条路,下山有3条路.如果不走山路,由山北绕道有2条路,由山南绕道有3条路.问:
(1)如果翻山而过,有多少种不同走法?
(2)如果绕道而行,有多少种不同走法?
(3)从甲地到乙地共有多少种不同走法?
解析:(1)翻山分两步:①上山有2种;②下山有3种.
∴N =2×3=6(种).
(2)绕道分两类:①山南绕道有3种;②山北绕道有2种.
∴N =2+3=5(种).
(3)从甲到乙共两类:①不走山路有5种;②走山路有6种.
∴N =5+6=11(种).。