高考数学试题解析 分项专题11 排列组合二项式定理 文 试题

2021最新命题题库大全2021-2021年高考试题解析数学〔文科〕分
项专题11 排列组合、二项式定理
2021年高考试题 一、选择题:
1．(2021年高考卷文科7)正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数一共有〔 〕
A ．20
B ．15
C ．12
D ．10
【答案】A
【解析】先从5个侧面中任意选一个侧面有1
5C 种选法，再从这个侧面的4个顶点中任意选一个顶点有1
4C 种选法，由于不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，所以除去这个侧面上、相邻侧面和同一底面上的一共8个点，还剩下2个点，把这个点和剩下的两个点连线有1
2C 种方法，但是在这样处理的过程中刚好每一条对角线重复了一次，所以最后还要乘以,21所以这个正五棱柱对角线的条数一共有202
1121415=•••C C C ,所以选择A.
2.〔2021年高考全国卷文科9)4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，那么恰有2人选修课程甲的不同选法一共有
〔A 〕12种 〔B 〕24种 〔C 〕30种 〔D 〕36种
二、填空题:
3.〔2021年高考卷文科16)给定*
k N ∈，设函数**
:f N N →满足：对于任意大于k 的正整数n ，()f n n k =-
〔1〕设1k =，那么其中一个函数f 在1n =处的函数值为 ；
〔2〕设4k =，且当4n ≤时，2()3f n ≤≤，那么不同的函数f 的个数为 。

答案：〔1〕()a a 为正整数，〔2〕16[
解析：〔1〕由题可知*
()f n N ∈，而1k =时，1n >那么*
()1f n n N =-∈，故只须*
(1)f N ∈，故(1)()f a a =为正整数。

〔2〕由题可知4k =，4n >那么*
()4f n n N =-∈，而4n ≤时，2()3f n ≤≤即
(){2,3}f n ∈，即{1,2,3,4}n ∈，(){2,3}f n ∈，由乘法原理可知，不同的函数f 的个数为4216=。

4. 〔2021年高考卷文科13)()8
1x +的展开式中3
x 的系数是 〔用
数字答题〕 答案：84
解析：()8
1x +的展开式中3
x 的系数是538884C C ==.
5.〔2021年高考全国卷文科13)x 20的二项展开式中，x 的系数与x 9
的系数之差
为: .
7．〔2021年高考卷文科11)6(12)x +的展开式中4
x 的系数是 【答案】240 三、解答题:
8．(2021年高考卷23)〔本小题满分是10分〕
设整数4n ≥，(,)P a b 是平面直角坐标系xOy 中的点，其中,{1,2,3,,},a b n a b ∈>
〔1〕记n A 为满足3a b -=的点P 的个数，求n A ； 〔2〕记n B 为满足1
()3
a b -是整数的点P 的个数，求n B
解析：考察计数原理、等差数列求和、分类讨论、归纳推理才能，较难题。

〔1〕因为满足3a b -=,{1,2,3,
,},a b n a b ∈>的每一组解构成一个点P,所以
3n A n =-。

〔2〕设*
1()3
a b k N -=∈，那么1
3,031,0,3
n a b k k n k --=<≤-∴<≤ 对每一个k 对应的解数为：n-3k,构成以3为公差的等差数列；
当n-1被3整除时，解数一一共有：13n 1(1)(2)
143236
n n n n +----+++-=
=
当n-1被3除余1时，解数一一共有：232(2)(1)
253236n n n n n +----+++-==
当n-1被3除余2时，解数一一共有：333(3)363236
n n n n
n +---++
+-==
*(1)(2)
,31326
()(3),33
6n n n n k orn k B k N n n n k --⎧=+=+⎪⎪∴=∈⎨-⎪=+⎪⎩
2021年高考试题
2021年高考数学试题分类汇编——排列组合与二项式定理
〔2021全国卷2文数〕〔9〕将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，假设每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，那么不同的方法一共有
〔A 〕 12种 (B) 18种 (C) 36种 (D) 54种 【解析】B ：此题考察了排列组合的知识
∵先从3个信封中选一个放1，2有3种不同的选法，再从剩下的4个数中选两个放一个信封有246
C =，余下放入最后一个信封，∴一共有
2
4318
C =
〔2021文数〕〔10〕某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日〔端午节假期〕值班，每天安排2人，每人值班1天 . 假设6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，那么不同的安排方法一共有〔A 〕30种 〔B 〕36种 〔C 〕42种 〔D 〕48种
解析：法一：所有排法减去甲值14日或者乙值16日，再加上甲值14日且乙值16日的排法
即221211
6454432C C C C C C -⨯+=42
法二：分两类
甲、乙同组，那么只能排在15日，有2
4C =6种排法
甲、乙不同组，有112
432(1)C C A +=36种排法，故一共有42种方法
〔2021文数〕〔1〕4
(1)x +的展开式中2
x 的系数为 〔A 〕4 〔B 〕6
〔C 〕10 〔D 〕20
解析：由通项公式得22
34T C 6x x ==
〔2021文数〕
〔2021全国卷1文数〕(5)4
3(1)(1)x x --
的展开式 2x 的系数是
(A)-6 (B)-3 (C)0 (D)3
5.A. 【命题意图】本小题主要考察了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的灵敏应用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考察了考生的一些根本运算才能.
【解析】()13
4
3
2
3
4
22
(1)(1)1464133x x x x x x x x x ⎛⎫-=-+---+- ⎪⎝⎭
2x 的系数是 -12+6=-6
〔2021文数〕〔9〕由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是
〔A 〕36 〔B 〕32 〔C 〕28 〔D 〕24
解析：假如5在两端，那么1、2有三个位置可选，排法为2×2
2
32A A ＝24种 假如5不在两端，那么1、2只有两个位置可选，3×2
2
22A A ＝12种 一共计12＋24＝36种
答案：A w_w w. k#s5_u.c o*m
〔2021文数〕6．现有名同学支听同时进展的个课外知识讲座，名每同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是 A ．4
5
B. 5
6
C.
565432
2
⨯⨯⨯⨯⨯
D.6543⨯⨯⨯⨯2
〔2021文数〕11. 2021年世博会园区每天9:00开园，20:00停顿入园。

在右边的框图中，
S 表示世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，
a 表示整点报道前1个小时内入园人数，那么空白的执行框内应填入 S ←S +a 。

解析：考察算法
〔2021文数〕n 行m 列矩阵12321
234113*********n n n n n n n n n n ⋅⋅⋅--⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅- ⎪
⎪⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅---⎝⎭
中，
记位于第i 行第j 列的数为(,1,2,)ij a i j n =⋅⋅⋅。

当9n =时，11223399a a a a +++⋅⋅⋅+=
45 。

解析：11223399a a a a +++⋅⋅⋅+=1+3+5+7+9+2+4+6+8=45
〔2021文数〕A 、B 、C 三层，其个体数之比为5:3:2。

假设用分层抽样方法抽取容量为100的样本，那么应从C 中抽取 20 个个体。

解析：考察分层抽样应从C 中抽取2010
2
100=⨯
〔2021全国卷2文数〕(14)(x+1/x)9
的展开式中，x 3
的系数是_________
【解析】84：此题考察了二项展开式定理的根底知识
∵ 9191
()r r r r T C x x -+=，∴ 923,3r r -==，∴ 3
984C =
〔2021全国卷1文数〕(15)某开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中一共选
3门，假设要求两类课程中各至少选一门，那么不同的选法一共有 种.(用数字答题)
15. A 【命题意图】本小题主要考察分类计数原理、组合知识,以及分类讨论的数学思想. 【解析1】:可分以下2种情况:(1)A 类选修课选1门,B 类选修课选2门,有1
2
34C C 种不同的
选法;(2)A 类选修课选2门,B 类选修课选1门,有2134C C 1234C C +21
34181230C C =+=种. 【解析2】: 333
73430C C C --=
〔2021文数〕(13)(x －
2x
)4
的展开式中的常数项为______________(用数字答题) 解析：展开式的通项公式为T r ＋1＝442()r r
r C x x
--
取r ＝2得常数项为C 42
(－2)2
＝24w_w w. k#s5_u.c o*m 答案：24
〔2021文数〕210
(1)x -的展开中， 4
x 的系数为______。

【答案】45
【解析】210(1)x -展开式即是10个〔1-x 2
〕相乘，要得到x 4
，那么取2个1-x 2
中的〔-x 2
〕
相乘，其余选1，那么系数为2
22410
()45C x x ⨯-=，故系数为45.
2021年高考试题
2021年高考数学试题分类汇编——排列组合与二项式定理一、选择题
3.〔2021卷文〕假设4
(1,
a a b
+=+为有理数〕，那么a b
+=〔〕w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
A．33 B． 29 C．23 D．19
【答案】B
.w【解析】此题主要考察二项式定理及其展开式. 属于根底知识、根本运算的考察.
∵(401234
01234
44444
1C C C C C
+=++++
112417
=++=+，
由，得17a
+=+171229
a b
+=+=.应选B.
4.〔2021卷文〕用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为〔〕
A．8 B．24 C．48 D．120
【答案】C
.w【解析】此题主要考察排列组合知识以及分步计数原理知识. 属于根底知识、根本运算的考察.
2和4排在末位时，一共有1
2
2
A=种排法，
其余三位数从余下的四个数中任取三个有3
4
43224
A=⨯⨯=种排法，于是由分步计数原理，符合题意的偶数一共有22448
⨯=〔个〕.应选C.
7.〔2021全国卷Ⅱ文〕甲、乙两人从4门课程中各选修2门，那么甲、乙所选的课程中恰
有1门一样的选法有
〔A 〕6种 〔B 〕12种 〔C 〕24种 〔D 〕30种 答案：C
解析：此题考察分类与分步原理及组合公式的运用，可先求出所有两人各选修2门的种数2
42
4C C =36，再求出两人所选两门都一样和都不同的种数均为2
4C =6，故只恰好有1门一样的选法有24种 。

12.〔2021卷文〕2位男生和3位女生一共5位同学站成一排，假设男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，那么不同排法的种数是
A. 60
B. 48
C. 42
D. 36 【答案】B
【解析】解法一、从3名女生中任取2人“捆〞在一起记作A ，〔A 一共有62
22
3=A C 种不同排法〕，剩下一名女生记作B ，两名男生分别记作甲、乙；那么男生甲必须在A 、B 之间〔假设甲在A 、B 两端。

那么为使A 、B 不相邻，只有把男生乙排在A 、B 之间，此时就不能满足男生甲不在两端的要求〕此时一共有6×2＝12种排法〔A 左B 右和A 右B 左〕最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，所以，一共有12×4＝48种不同排法。

解法二；同解法一，从3名女生中任取2人“捆〞在一起记作A ，〔A 一共有62
22
3=A C 种不同排法〕，剩下一名女生记作B ，两名男生分别记作甲、乙；为使男生甲不在两端可分三类情况：
第一类：女生A 、B 在两端，男生甲、乙在中间，一共有2
22
26A A =24种排法； 第二类：“捆绑〞A 和男生乙在两端，那么中间女生B 和男生甲只有一种排法，此时
一共有2
26A ＝12种排法
第三类：女生B 和男生乙在两端，同样中间“捆绑〞A 和男生甲也只有一种排法。

此时一共有2
26A ＝12种排法
三类之和为24＋12＋12＝48种。

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
15.〔2021卷文〕从5名志愿者中选派4人在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有一人参加，星期六有两人参加，星期日有一人参加，那么不同的选派方法一共有
【答案】C
【解析】5人中选4人那么有4
5C 种，周五一人有1
4C 种，周六两人那么有2
3C ，周日那么有1
1C 种，故一共有4
5C ×1
4C ×2
3C =60种,应选C
16.〔2021卷文〕某地政府召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，那么这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为【 B 】
A ．14
B ．16
C ．20
D ．48 解:由间接法得3
2
1
62420416C C C -⋅=-=，应选B.
17.〔2021全国卷Ⅰ文〕甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学，假设从甲、乙两组中各选出2名同学，那么选出的4人中恰有1名女同学的不同选法一共有
〔A 〕150种 〔B 〕180种 〔C 〕300种 〔D 〕345种 【解析】本小题考察分类计算原理、分步计数原理、组合等问题，根底题。

解：由题一共有3452
61
31
51
21
62
5=+C C C C C C ，应选择D 。

18.〔2021卷文〕2位男生和3位女生一共5位同学站成一排，假设男生甲不站两端，3位
女生中有且只有两位女生相邻，那么不同排法的种数是
A. 60
B. 48
C. 42
D. 36 【答案】B
【解析】解法一、从3名女生中任取2人“捆〞在一起记作A ，〔A 一共有62
223=A C 种不同排法〕，剩下一名女生记作B ，两名男生分别记作甲、乙；那么男生甲必须在A 、B 之间〔假设甲在A 、B 两端。

那么为使A 、B 不相邻，只有把男生乙排在A 、B 之间，此时就不能满足男生甲不在两端的要求〕此时一共有6×2＝12种排法〔A 左B 右和A 右B 左〕最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，所以，一共有12×4＝48种不同排法。

解法二；同解法一，从3名女生中任取2人“捆〞在一起记作A ，〔A 一共有6
2
223=A C 种不同排法〕，剩下一名女生记作B ，两名男生分别记作甲、乙；为使男生甲不在两端可分三类情况：
第一类：女生A 、B 在两端，男生甲、乙在中间，一共有2
2226A A =24种排法； 第二类：“捆绑〞A 和男生乙在两端，那么中间女生B 和男生甲只有一种排法，此时
一共有2
26A ＝12种排法
第三类：女生B 和男生乙在两端，同样中间“捆绑〞A 和男生甲也只有一种排法。

此时一共有2
26A ＝12种排法
三类之和为24＋12＋12＝48种。

19.〔2021
卷文〕假设2009
2009012009(12)
()x a a x a x x R -=++
+∈,那么
2009
12
22009
22
2
a a a +++
的值是 〔A 〕2
〔B 〕0
〔C 〕1-
(D) 2-
答案:C. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解
析
:
由
题
意
容
易
发
现
112008
200820081200920082009(2)22009 , (2)(2)2009a C a C =-=-⨯=-=-⨯,那么
20082008
11200820082009,2009,+=02222
a a a a =-=即, 同理可以得出
2007
222007+=022a a ,320063
2006+=022a a ……… 亦即前2021项和为0, 那么原式=2009122
200922
2
a a a +++=2009
200920092009
20092009
(2)122a C -==- 应选C. 20.〔2021卷文〕从1，2，3，4，5，6，7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为
(A)432 (B)288 (C) 216 (D)108网 答案:C.
解析:首先个位数字必须为奇数，从1，3，5，7四个中选择一个有1
4C 种，再丛剩余3个奇数中选择一个，从2，4，6三个偶数中选择两个，进展十位，百位，千位三个位置的全排。

那么一共有1123
4333216C C C A =个应选C. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
23.〔2021卷文〕6(2)x +的展开式中3
x 的系数是〔 〕w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
A ．20
B ．40
C ．80
D ．160
【答案】D
解法1设含3x 的为第1r +，那么1Tr +62r r
r n C x -=⋅，令63r -=，得3r =，故展
开式中3x 的系数为33
62160C ⋅=。

解法2根据二项展开式的通过公式的特点：二项展开式每一项中所含的x 与2分得的次数和为6，那么根据条件满足条件3
x 的项按3与3分配即可，那么展开式中3
x 的系数为3
3
62160C ⋅=。

24.〔2021卷文〕12个篮球队中有3个强队，将这12个队任意分成3个组〔每组4个队〕，那么3个强队恰好被分在同一组的概率为〔 〕
A ．
155
B ．
355
C ．
14
D ．
13
【答案】B
解析因为将12个组分成4个组的分法有4441284
33C C C A 种，而3个强队恰好被分在同一组分
法有3144
3984
2
2
C C C C A ，故个强队恰好被分在同一组的概率为31442444399842128433
C C C C A C C C A =
55。

二、填空题w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
2.〔2021卷文〕〔1+ax 〕3,
=1+10x+bx 3
+…+a 3
x3,那么b= . 【答案】40
【解析】因为15()r
r
r T C ax +=⋅∴1
1
510C a =⋅ 2
23
C b a ⋅=.解得2,40a b ==
3.〔2021卷文〕
在4(1+
的展开式中，x 的系数为 6 (用数字答题).
解
: 2
14
4
()r r
r
r r T C C x +⇒==，故2r =得x 的系数为2
4 6.C =
4.〔2021全国卷Ⅰ文〕10
()x y -的展开式中，7
3
x y 的系数与3
7
x y 的系数之和等于_____________.
【解析】本小题考察二项展开式通项、根底题。

〔同理13〕 解: 因r r
r r r y x C T -+-=10101)1(所以有373
101010()2240C C C -+-=-=-
5.〔2021卷文〕6
1(2)2x x
-的展开式的常数项是 〔用数字答题〕w.w.w.k.s.5.u.c.o. m 【答案】－20
【解析】r r r r r
r
r
r
r x C x
x C T 262666612)1()21(
)
2()1(---+-=-=，令026=-r ，得3=r 故展开式的常数项为20)1(3
63
-=-C
11.〔2021卷文〕有20张卡片，每张卡片上分别标有两个连续的自然数,1k k +，其中
0,1,2,,19k =．
从这20张卡片中任取一张，记事件“该卡片上两个数的各位数字之和〔例如：假设取到
标有9,10的卡片，那么卡片上两个数的各位数字之和为91010++=〕不小于14〞为
A ，
那么()P A = ．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
1
4
【命题意图】此题是一个排列组合问题，既考察了分析问题，解决问题的才能，更侧重于考察学生便举问题解决实际困难的才能和程度
【解析】对于大于14的点数的情况通过列举可得有5种情况，即
7,8;8,9;16,17;17,18;18,19，而根本领件有20种，因此()P A =
14
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
12.〔2021全国卷Ⅱ文〕4)(x y y x -的展开式中3
3y x 的系数为 × 答案：6
解析：此题考察二项展开式，直接用公式展开，注意根式的化简。

14.〔2021卷文〕6
1(2)2x x
-的展开式的常数项是 〔用数字答题〕w.w.w.k.s.5.u.c.o. m 【答案】－20
【解析】r r r r r
r
r
r
r x C x
x C T 262666612)1()21(
)
2()1(---+-=-=，令026=-r ，得3=r 故展开式的常数项为20)1(3
63
-=-C w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
2021年高考试题
2021 排列组合二项式定理
一、选择题
1．〔20217〕．设8
8018(1),x a a x a x +=++
+那么0,18,
,a a a 中奇数的个数为〔 A 〕
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
2．〔202112〕12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调
整到前排，假设其别人的相对顺序不变，那么不同调整方法的总数是 ( C ) A ． 2
6
86C A
B ． 22
83C A
C ．22
86C A
D ．22
85C A
3．(20219) 某班级要从4名男士、2名女生中选派4人参加某次社区效劳，假如要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为〔 A 〕 A.14 B.24 C
4．〔20218〕某拟从4个重点工程和6个一般工程中各选2个工程作为本年度启动的工程，
那么重点工程A 和一般工程B 至少有一个被选中的不同选法种数是 ( C ) A ．15 B ．45 C ．60 D ．75 5．〔20218〕10
10
1
(1)(1)x x
++展开式中的常数项为〔 D 〕
A ．1
B ．1
2
10()C C ．1
20C D ．10
20C 6．〔202110〕一消费过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，那么不同的安排方案一共有〔 B 〕 A ．24种
B ．36种
C ．48种
D ．72种
7．〔2021全国Ⅰ3〕5
12x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
的展开式中2
x 的系数为〔 C 〕
A ．10
B ．5
C ．
52
D ．1
8．〔2021全国Ⅰ12〕将1，2，3填入33⨯的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，那么不同的填写上方法一共有〔 B 〕 A ．6种
B ．12种
C ．24种
D ．48种
9．〔2021全国Ⅱ〕44)1()1(x x +-的展开式中x 的系数是〔 A 〕
A ．4-
B ．3-
C ．3
D ．4
10．〔20216〕在)5)(4)(3)(2)(1(-----x x x x x 的展开式中，含4
x 的项的系数是 ( A )
〔A 〕-15 〔B 〕85 〔C 〕-120 〔D 〕274 11．(202110)假设(x +12x
)n 的展开式中前三项的系数成等差数，那么展开式中x 4
项的系数为( B )
(A)6
(B)7 (C)8 (D)9
12．(20212.) 3
21
(2)2x x
-
的展开式中常数项是 ( B ) A.210 B.1052 C.1
4
13．(20219).从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体工程的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为 ( B )
A.100
B.110 C
14．(202112) 为进步信息在传输中的抗干扰才能，通常在原信息中按一定规那么参加相关
数据组成传输信息．设定原信息为012i a a a a ，{01}∈，〔012i =，，〕
，传输信息为00121h a a a h ，
其中001102h a a h h a =⊕=⊕，，⊕运算规那么为：000⊕=，011⊕=，101⊕=，
110⊕=，例如原信息为111，那么传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可
能导致接收信息出错，那么以下接收信息一定有误的是〔 C 〕 A ．11010
B ．01100
C ．10111
D ．00011
二、填空题
1．〔202112〕5
231x x ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中常数项为______10；各项系数之和为_______．32〔用
数字答题〕
2．〔202113〕〔x +
1x
〕9展开式中x 2
的系数是 .84〔用数字答题〕 3．〔202113〕记n
x
x )12(+的展开式中第m 项的系数为m b ，假设432b b =，那么n
4．〔202115〕设[]x 表示不超x 的最大整数，〔如[]14
5,22=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=〕。

对于给定的+∈N n ,
定义[][][),,1,)
1()1()
1()2)(1(+∞∈+--+---=
x x x x x x n n n n C x n
那么3
28C =________; 当[)3,2∈x 时，函数x
C 8的值域是_________________________。

16,3 28
(,28]3
3
28
816,332
C =
=当2x =时，288728,21C ⨯==⨯当3x →时，[]2,x = 所以88728,323x
C ⨯=
=⨯故函数x C 8的值域是28
(,28]3
. 5．〔2021〕6
321(1)x x x ⎛
⎫++ ⎪⎝
⎭展开式中的常数项为 ．35
6．〔2021全国Ⅱ14〕从10名男同学，6名女同学中选3名参加体能测试，那么选到的3名同学中既有男同学又有女同学的不同选法一共有 种〔用数字答题〕420 7．〔202113〕()()3
4
121x x +-展开式中x 的系数为______2_________。

8．〔202115〕从甲、乙等10名同学中挑选4名参加某校公益活动，要求甲、乙中至少有1
人参加，那么不同的挑选方法一共有_______140_________种。

9．(202112) 5
2x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
的二项展开式中3
x 的系数为 〔用数字答题〕．10
10．(202116) 有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．假如取出的4张卡片所标的数字之和等于10，那么不同的排法一共有 种〔用数字答题〕．432
11．〔202117〕用1，2，3，4，5，6组成六位数〔没有重复数字〕，要求任何相邻两个数字
的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是 〔用数字答题)。

40 12．〔202116〕某人有3种颜色的灯泡〔每种颜色的灯泡足够多〕，要在如题〔16〕图所示的
6个点A 、B 、C 、A 1、B 1、C 1上各安装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，那么不同的安装方法一共有 种〔用数字答题〕.12
13．(202114) 7
2(1)x
-的展开式中
2
1
x 的系数为 84 ．(用数字答题) 14．(202116) 某地奥运火炬接力传递道路一共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．假如第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，那么不同的传递方案一共有 96 种．〔用数字答题〕．
2021年高考试题
2021文科排列、组合、二项式定理
2．〔全国Ⅰ卷文科第5题〕甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，那么不同的选修方案一共有〔 C 〕
A ．36种
B ．48种
C ．96种
D ．192种
4．〔全国Ⅱ卷文科第10题〕5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，那么不同的报名方法一共有〔 D 〕 A ．10种
B ．20种
C ．25种
D ．32种
6．〔文科第5题〕某城的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不一样的牌照号码一共有〔 A 〕 Ａ．()
2
1
4
26
10
C A 个 Ｂ．242610A A 个 Ｃ．()2
1
4
26
10
C 个 Ｄ．24
2610A 个
8．〔文科第4题〕()2
21x -展开式中2
x 的系数为〔 B 〕
〔A 〕15
〔B 〕60
〔C 〕120
〔D 〕240
10．〔文科第9题〕用数字1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数一共有〔 B 〕
12．〔文科第3题〕假如2323n
x x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中含有非零常数项，那么正整数n 的最小值为
〔 C 〕 Ａ．10
Ｂ．6
Ｃ．5
Ｄ．3
13．(文科第6题)9
1
)x
展开式中的常数项是〔 C 〕
(A) －36 (B)36 (C) －84 (D) 84
15．〔文科第5题〕设292
1101211(1)(21)(2)(2)(2)x x a a x a x a x ++=+++++
++，
那么01211a a a a ++++的值是〔 A 〕
Ａ．2-
Ｂ．1-
Ｃ．1
Ｄ．2
16．〔文科第12题〕某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“0000⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯〞到“9999⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯〞一共10000个号码．公司规定：凡卡号的后四
位带有数字“4〞或者“7〞的一律作为“优惠卡〞，那么这组号码中“优惠卡〞的个数为〔 C 〕 Ａ．2000
Ｂ．4096
Ｃ．5904
Ｄ．8320
18．〔文科地第12题〕将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第i 个数为i (i 126)a =，
，，，假设11a ≠，33a ≠，55a ≠，135a a a <<，那么不同的排列方法种数为〔 B 〕 A ．18
B ．30
C ．36
D ．48
3．〔全国Ⅱ卷文科第16题〕8
2
1(12)1x x ⎛⎫
++ ⎪⎝⎭
的展开式中常数项为 57 ．
〔用数字答题〕
5．〔文科第12题〕9
21x x ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的二项展开式中常数项是 84 〔用数字答题〕．
7．〔文科第15题〕要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3
9．〔文科第13题〕5)21(x +的展开式中2
x 项的系数．．是 40 .〔用数字答题〕 10．〔文科第15题〕安排3名支教老师去4所任教，每校至多2人，那么不同的分配方案一共有 60 种.〔用数字答题〕
11．(文科第16题)某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种．小张用10元钱买杂志(每种至多买一本，10元钱刚好用完)，那么不同买法的种数是______266____(用数字答题)．
13．(文科第12题)5
5433221024)1(x a x a x a x a x a a x +-+++=-,
那么())(531420a a a a a a ++++ 的值等于 256- .
17．〔文科第14
x
展开式中含x 的整数次幂的项的系数之和为 72 〔用数字答题〕．
2021年高考试题
2021年排列、组合与二项式定理
1．〔2021年卷〕2
51
()x x
-展开式中4
x 的系数是＿10＿〔用数字答题〕。

2．〔2021年卷〕在11
2⎪⎭⎫ ⎝
⎛-x x 的展开式中，5
x 的系数为
3．85112)2()2(11
21111111111111=⇒=-⇒-=-=-----+r r x C x
x C T r r r r
r
r r
所以5
x 的系数为1320)2()2(3113111111-=-=---C C r r
4．〔〕12
(3x
展开式中1x -的常数项为＿594＿〔用数字答题〕。

5．某校从8名老师中选派4名老师同时去4个遥远地区支教〔每地1人〕，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或者同不去，那么不同的选派方案一共有＿＿600＿种〔用数字答题〕。

6．( 2021年卷)假设(
x 3
)
x
1n
的展开式中各项系数之和为64，那么展开式的常数项
为 ( A)
(A)-540 (B) (c)162 (D)540
7．( 2021年卷)将5名实习老师分配到高一年级的３个班实习，每班至少１名，最多２名，那么不同的分配方案有 ( B )
〔A 〕３０种 〔B 〕９０种 〔C 〕１８０种 〔D 〕２７０种
8. 〔2021年春卷〕电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，那么一共有 48 种不同的播放方式〔结果用
数值表示〕.
9．〔2021年全国卷II 〕在(x 4
＋1x
)10的展开式中常数项是 45 〔用数字答题〕
10．〔2021年卷〕将4个颜色互不一样的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，那么不同的放球方法有〔 A 〕
A ．10种
B ．20种
C ．36种
D ．52种 11．〔2021年卷〕7)12(x
x +
的二项展开式中x 的系数是____280 〔用数学答题〕．
12. 〔2021年卷〕在24
3
1⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+x x 的展开式中，x 的幂的指数是整数的项一共有 〔C 〕
12．解选 C 。

()
725246
124
2431r
r
r
r
r r T C x C x
x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭
，∴6|(725)r -，即6|r 。

而[0,24]r ∈。

∴0,6,12,18,24r =。

13. 〔2021年卷〕某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进展，工程丙必须在工程乙完成后进展，又工程丁必须在丙完成后立即进展，那么安排这6项工程的不同的排法种数是__20________.〔用数字答题〕
13．解填20.考察有条件限制的排列问题，其中要求局部元素间的相对顺序确定；据题意由于丁必需在丙完成后立即进展，故可把两个视为一个大元素，先不管其它限制条件使其与其他四人进展排列一共有5
5A 种排法，在所在的这些排法中，甲、乙、丙相对顺序一共有3
3
A 种，故满足条件的排法种数一共有5
5
33
20A A =。

14. 〔2021年卷〕将杨辉三角中的每一个数r
n C 都换成分数
()r
n C n 11
+，
就得到一个如右图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形. 从莱布尼茨三角形可以看出
()()r
n x n r n nC C n C n 1
1
1111-=+++，其中x =__ r ＋1__. 令()22111160130112131n
n n C n nC a +++⋅⋅⋅++++=-，
那么n n a ∞
→lim
=__1/2__.
14．解填r ＋1, 1/2.此题考察考生的类比归纳及推理才能，第一问比照杨辉三角的性质通过观察、类比、归纳可知莱布尼茨三角形中每一行中的任一数都等于其“脚下〞两数的和，故此时1x r =+，第二问本质上是求莱布尼茨三角形中从第三行起每一行的倒数第三项的和，即()012
32
234
1111
11
3451n n n n n
a C C C nC n C ---=
++++
++根据第一问所推出的结论只需在原式根底上增加一项
()1
1
1n n
n C -+，那么由每一行中的任一数都等于其“脚下〞两数的和，结合给出的数表可逐次向上求和为
1
2
，故()1
1121n n n a n C -=-+，从而()111
1lim lim 212
n n x x n a n C -→∞→∞⎡⎤=-=⎢⎥+⎣⎦。

15．〔2021年全国卷I 〕设集合{}1,2,3,4,5I =。

选择I 的两个非空子集A 和B ，要使B 中最小的数大于A 中最大的数，那么不同的选择方法一共有
A ．50种
B ．49种
C ．48种
D ．47种 15．显然A
B =∅，设A B
C =，那么C 是I 的非空子集，且C 中元素不少于2个
〔当然，也不多于5个〕。

另一方面，对I 的任何一个k 〔25k ≤≤〕元子集C ，我们可以将C 中元素从小到大排列。

排好后，相邻数据间一共有k -1个空档。

在任意一个空挡间插入一个隔板，隔板前的元素组成集合A ，隔板后元素组成集合B 。

这样的A 、B 一定符合条件，且集合对{A ，B }无重复。

综合以上分析，所求为：
213141515152535449C C C C C C C C +++=。

选B 。

16．〔2021年全国卷I 〕安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法一共有___2400______种。

〔用数字答题〕
16．这个题有点文字游戏的味道。

“都不〞是全部否认，即：甲不在，乙也不在。

假如换成“不都〞，那就成局部否认了，即：只要有一人不在。

“都不〞：用乘法原理，把3、4、5、6、7五天“拿出来〞，先让甲选值班日期，有5种选法；接下来让乙选值班日期，有4种选法。

再接下来5名工作人员任意排，有5!种排法。

综合以上分析，不同的安排方法一共有545!2400⨯⨯=种。

“不都〞：从集合的观点来看，“都〞的补集就是“不都〞〔而不是“都不〞〕，因此从反面去想来的最简单 —— 从全部中剔除“都〞即可。

7人任意安排在7天内值班，有7!种安排方法，其中甲、乙都在1、2号中某天值班的安排方法有
2!5!⨯种。

计算7!2!5!4800-⨯=。

从结果上来看，“都不〞的结果要比“不都〞的结果小。

这是当然的！图2反映了全集中“都〞、“不都〞、“都不〞之间的关系。

17．〔2021年卷〕今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有 ▲ 种不同的方法〔用数字答题〕。

解：由题意，9
9
234234
1260A A A A =
点评：此题主要考察不全相异元素的全排列 18．〔2021年卷〕10
)31(x
x -
的展开式中含x 的正整数指数幂的项数是 〔A 〕0 〔B 〕2 〔C 〕4 〔D 〕6
图 2
解：展开式通项为103102110
101133r
r
r
r
r r r T C C x x --+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，假设展开式中含x 的正整数指数幂，即*3
5,10,2
r N r r N -
∈≤≤∈且0所以0,2r =，选〔B 〕 点评：此题主要考察二项式定理的相关知识
19．〔2021年卷〕在〔x 〕2021
的二项展开式中，含x 的奇次幂的项之和为S ，当x 时，S 等于〔B 〕
3008
B.-2
3008
C.2
30093009
解：设〔x 〕
2021
＝a 0x
2021
＋a 1x
2021
＋…＋a 2021x ＋a 2021
那么当x 时，有a 02021
＋a 1〕2021
＋…＋a 2021〕＋a 2021＝0 〔1〕
当x 时，有a 0〕2021
－a 1〕
2021
＋…－a 2021〕＋a 2021＝2
3009
〔2〕
〔1〕－〔2〕有a 1〕2021
＋…＋a 2021〕＝－2
3009
÷2＝－2
3008
应选B
20．〔2021年卷〕5名乒乓球队员中,有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛,那么入选的3名队员中至少有一名老队员,且1、2号中至少有1名新队员的排法有_______种.(以数答题)
【解析】两老一新时, 有112
322C 12C A ⨯=种排法;
两新一老时, 有123
233C C 36A ⨯=种排法,即一共有48种排法.
【点评】此题考察了有限制条件的排列组合问题以及分类讨论思想.
21．〔2021年卷〕在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的一共有(B)
〔A 〕36个 〔B 〕24个 〔C 〕18个
〔D 〕6个
22．〔2021年卷〕在72
)x
的展开式中，2
x 的系数中_______-14___________〔用数字答题〕.
23．〔2021年卷〕假如一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对〞．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对〞的个数是 36 ．
24．〔 2021年卷〕假设多项式21121110110(1)(1)(1),x x a a x n x n x +=+++
++-+
n =则 ( D )
(A)9 (B)10 (C)-9 (D)-10
25．〔 2021年卷〕函数f:|1,2,3|→|1,2,3|满足f(f(x))= f(x)，那么这样的函数个数一共有 ( D )
(A)1个 (B)4个 (C)8个 (D)10个
26. ( 2021年卷〕过平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1任意两条棱的中点作直线,其中与平面DBB 1D 1平行的直线一共有 ( D )
27. ( 2021年卷〕某外商方案在四个候选城HY3个不同的工程,且在同一个城HY 的工程不超过2个,那么该外商不同的HY 方案有 ( D )
28. ( 2021年卷〕假设5
(1)ax -的展开式中3
x 的系数是-80,那么实数a 的值是 -2 . 29．(2021年卷〕集合A =｛5｝,B =｛1,2｝,C =｛1,3,4｝，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，那么确定的不同点的个数为 (A) (A)33 (B) 34 (C) 35 (D)36
30．(2021年卷〕2n
x
⎛ ⎝
的展开式中第三项与第五项的系数之比为－143,其中2
i =－1，。