高中数学 1.2 第1课时条件概率与独立事件课件 北师大版选修12
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第九页，共40页。
3．条件(tiáojiàn)概率计算公式 当P(B)>0时，P(A|B)＝__P__A_∩__B___； 当P(A)>0时，P(B|A)＝___P__B_____.
PA∩B PA
第十页，共40页。
独立(dúlì)事件
新知导学 4 ． 对 于 两 个 (liǎnɡ ɡè) 事 件 A ， B P，(A如)·P果(B)P(AB) ＝ __________，则称A、B相互独立． 可以证明：如果事件 A 与 B 相互独立，那么 A 与 B 、 A 与 B、 A 与 B 也都相互独立．
中目标的概率是14，现在三人同时射击目标，求目标被击中的概 率．
[答案]
3 4
第三十页，共40页。
[解析] 设甲击中目标为事件 A，乙击中目标为事件 B，丙 击中目标为事件 C，目标未被击中为事件 A B C ，
则 目 标 被 击 中 的 概 率 P ＝ 1 － P( A B C ) ＝ 1 － P( A )P( B )P( C )＝1－[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝1－(1－12) 1－13)(1－14)＝34.
第二十三页，共40页。
[解析] 设 A＝“甲地为雨天”，B＝“乙地为雨天”，则 (1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是 P(A|B)＝PPA∩BB＝00..1128＝0.67. (2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是 P(B|A)＝PPA∩AB＝00..1220＝0.60.
第二十四页，共40页。
[方法规律总结] 1.条件概率的判断 题目中出现已知“在……前提下(条件下)”等字眼时，一 般为求条件概率．题目中没有出现上述明显字眼，但事件 B 的 发生受事件 A 发生的影响时，也是条件概率． 2．求条件概率的方法： (1)用公式 P(B|A)＝PPAAB； (2)用 P(B|A)＝nnAAB.
第二十一页，共40页。
典例探究学案
第二十二页，共40页。
条件(tiáojiàn)概率
甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气 象记录，知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为 20%和 18%，两地同时下雨的比例为 12%，问：
(1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少？ (2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少？ [分析(fēnxī)] 设A＝“甲地为雨天”，B＝“乙地为雨 天”，则根据题意有P(A)＝0.20，P(B)＝0.18，P(A∩B)＝0.12. 问题(1)为求P(A|B)，(2)为求P(B|A)．
甲、乙同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概 率为 0.6，乙击中敌机的概率为 0.5，求：
(1)甲、乙都未击中的概率； (2)敌机被击中的概率． [分析] (1)直接利用相互独立事件同时发生的概率(gàilǜ)公 式计算即可；(2)从正面分析较麻烦，可考虑求其对立事件的概 率(gàilǜ)．
第二十八页，共40页。
(1)两件都是废品的概率； (2)其中没有废品的概率； (3)其中恰有1件废品的概率； (4)其中至少有1件废品的概率； (5)其中至多有1件废品的概率．
第三十五页，共40页。
[分析] 利用相互独立(dúlì)事件的概率公式及对立事件的 关系求解．
[答案] (1)0.002 (1)0.912 (3)0.086 (4)0.088 (5)0.998
第三十六页，共40页。
[解析] 设“从甲机床生产的产品中抽得 1 件是废品”为 事件 A，“从乙机床生产的产品中抽得 1 件废品”为事件 B.则
P(A)＝0.04，P(B)＝0.05. (1)P(AB)＝P(A)P(B)＝0.04×0.05＝0.002. (2)P( A B )＝P( A )P( B )＝0.96×0.95＝0.912. (3)P( A B ＋ A B ) ＝ P( A )P(B) ＋ Pቤተ መጻሕፍቲ ባይዱA)P( B ) ＝ 0.96×0.05 ＋ 0.04×0.95＝0.086.
∴目标被击中的概率为34.
第三十一页，共40页。
综合(zōnghé)应用
10 张奖券中有 3 张有奖，甲、乙两人从中各抽 1 张，甲先抽、乙后抽，求：
(1)甲中奖的概率； (2)乙中奖的概率； (3)在甲未中奖的情况下，乙中奖的概率．
第三十二页，共40页。
[解析] 设甲中奖为事件 A，乙中奖为事件 B. (1)由题意得 P(A)＝130. (2)P(B)＝P(AB＋ A B)＝P(AB)＋P( A B)， ∵P(AB)＝130×29＝115，P( A B)＝170×39＝370， ∴P(B)＝115＋370＝390＝130.
第三十三页，共40页。
(3)P( A )＝170，P( A B)＝370， 7
∴P(B| A )＝PpAAB＝370＝13. 10
∴(1)甲中奖的概率为130；(2)乙中奖的概率为130； (3)在甲未中奖的条件下，乙中奖的概率为13.
第三十四页，共40页。
制造(zhìzào)一机器零件，甲机床生产的废品率是0.04，乙 机床生产的废品率是0.05，从它们生产的产品中各任取1件， 求：
第四页，共40页。
自主预习学案
第五页，共40页。
1．了解条件概率的概念，会用条件概率公式求解(qiú jiě) 简单的实际问题．
2．理解相互独立事件的意义，理解相互独立事件同时发生 的概率乘法公式．
第六页，共40页。
重点：会用条件概率公式求解(qiújiě)简单的实际问题． 难点：理解相互独立事件同时发生的概率乘法公式．
P(A|B)＝PPAAB＝P(B)． 这表明事件 B 的发生与否对事件 A 的发生_没__有__(_m_é影i y响ǒu．)
第十三页，共40页。
7．常见事件及其表示： 已知两个事件 A、B，它们的概率分别为 P(A)、P(B)，那么： A、B 中至少有一个发生的事件为 A＋B； A、B 都发生的事件为 AB； A、B 都不发生的事件为 A B ； A、B 恰有一个发生的事件为 A B ＋ A B； A、B 中至多有一个发生的事件为 A B ＋ A B＋ A B .
P(A B ＋ A B＋ A B )
1
1－P(A)P(B)
第十五页，共40页。
牛刀小试
1．若事件 E 与 F 相互独立，且 P(E)＝P(F)＝14，则 P(E∩F) 的值等于( )
A．0
B．116
C．14
D．12
[答案(dáàn)] B
第十六页，共40页。
[解析] 本题考查相互独立事件同时发生的概率公式． ∵事件 E 与 F 相互独立， 且 P(E)＝P(F)＝14， ∴P(E∩F)＝P(E)·P(F)＝14×14＝116.
第十二页，共40页。
5．“互斥”与“相互独立”的区别(qūbié)与联系
相同点
都是描绘 两个事件 间的关系
不同点
①“互斥”强调不可能同时发生，“相 互独立”强调一个事件的发生与否对另 一事件发生的概率没有影响． ②“互斥”的两个事件可以“独立”， “独立”的也可互斥.
6.由条件概率与相互独立事件的概率的定义可知
第七页，共40页。
条件(tiáojiàn)概率
新知导学 1．事件的交： 把由事件A和B同时发生(fāshēng)所构成的事件D，称为事 件A与B的交(或积)，记做D＝A∩B(或D＝AB)．
第八页，共40页。
2．条件概率的概念(gàiniàn) 在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，称B为发_生__(f_ā_sh_ē_n_g)时 A发__生__的_条__件__(_ti_á_o_ji_àn_)_概_，率记为___P_(_A_|B_)___． 类似地，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，称为 ___A_发__生__时__B_发__生_的__条__件__概_率____，记为__P_(_B_|A__) ___．
第二十五页，共40页。
甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有10个不同的题目，其 中选择题6个，判断题4个，甲、乙两人不放回地依次各抽1题， 在甲抽到选择题的前提下，乙抽到判断题的概率是多少？
[分析] 本题(běntí)为条件概率，事件A为甲抽到选择题， 事件B为乙抽到判断题．本题(běntí)所求为在事件A发生的条件 下事件B发生的概率．
[解析] 记 A＝“甲击中”，B＝“乙击中”，C＝“甲、 乙都没有击中”，D＝“敌机被击中”．由题意，甲击中与否 并不影响乙击中与否，由此可认为 A 与 B 是相互独立的，则 A ， B 也是相互独立的．则
(1)P(C)＝P( A B )＝P( A )·P( B )＝(1－0.6)×(1－0.5)＝ 0.2.
第十七页，共40页。
2．甲、乙二人分别对一目标进行一次射击，记“甲击中目
标为事件 A，乙击中目标为事件 B，则 A 与 B，A 与 B，A 与 B ，
A 与 B ”中，满足相互独立的有( )
A．1 对
B．2 对
C．3 对 [答案(dáàn)] D
D．4 对
[解析] 由于 A 与 B 是两个相互独立事件，所以根据相互
独立事件的性质可知，A 与 B ，A 与 B，A 与 B 也是相互独立事
件，故有 4 对相互独立事件．
第十八页，共40页。
3．盒中装有 10 只乒乓球，其中 6 只新球，4 只旧球，不
放回地依次取出 2 个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第
二次也取到新球的概率为( )
A．35
B．110
C．59
D．25
[答案]
4 9
第二十六页，共40页。
[解析] 设甲抽到选择题为事件 A，乙抽到判断题为事件 B，
则 P(A)＝160＝35， P(AB)＝160××49＝145.
4 ∴P(B|A)＝PPAAB＝135＝49，即在甲抽到选择题的条件下，
5 乙抽到判断题的概率是49.
第二十七页，共40页。
相互独立事件(shìjiàn)的概率
第十四页，共40页。
它们之间的概率关系如下表所示.
概率
A、B 互斥
A、B 相互独立
P(A＋B)
P(A)＋P(B)
1－P( A )P( B )
P(AB) P( A B )
0 1－[P(A)＋P(B)]
P(A)P(B) P( A )P( B )
P(A B ＋ A B)
P(A)＋P(B) P(A)P( B )＋P( A )P(B)
成才之路 ·数学 (shùxué)
北师大版 ·选修(xuǎnxiū)1-2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第一页，共40页。
统计(tǒngjì)案例
第一章
第二页，共40页。
§2 独立性检验(jiǎnyàn)
第1课时(kèshí) 条件概率与独立事 件
第一章
第三页，共40页。
1 自主预习学案 2 典例探究学案 3 巩固提高学案
第十一页，共40页。
如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时 发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1·A2·…·An) ＝P(A1)·P(A2)·P(A3)·…·P(An)．
运用公式P(AB)＝P(A)·P(B)时一定要注意(zhù yì)成立的条 件，只有当相事互件(xAiā、ngBhù_)_独__立______时，公式才成立．此公式说 明：两个相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概 率的积．
(2)P(D)＝1－P( A B )＝1－0.2＝0.8. [方法(fāngfǎ)规律总结] 如果事件A发生与否不影响事件B 的发生，事件B发生与否也不影响事件A的发生，则A与B相互 独立，且P(AB)＝P(A)P(B)．
第二十九页，共40页。
甲射击命中目标的概率是12，乙命中目标的概率是13，丙命
第二十页，共40页。
4．甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率 (gàilǜ) 分 别 是 0.8 、 0.6 、 0.5 ， 则 三 人 都 达 标 的 概 率 (gàilǜ) 是 ________，三人中至少有一人达标的概率(gàilǜ)是________．
[答案] 0.24 0.96 [解析] 三人均达标的概率(gàilǜ)为0.8×0.6×0.5＝0.24， 三 人 中 至 少 有 一 人 达 标 的 概 率 (gàilǜ) 为 1 － (1 － 0.8)×(1 － 0.6)×(1－0.5)＝0.96.
[答案(dáàn)] C
第十九页，共40页。
[解析] 解法 1：设 A＝{第一次取到新球}，B＝{第二次取 到新球}，则 n(A)＝6×9＝54，n(AB)＝6×5＝30，
∴P(B|A)＝nnAAB＝3504＝59. 解法 2：在第一次取到新球的条件下，盒中装有 9 只乒乓 球，其中 5 只新球，则第二次也取到新球的概率为 P＝59.
3．条件(tiáojiàn)概率计算公式 当P(B)>0时，P(A|B)＝__P__A_∩__B___； 当P(A)>0时，P(B|A)＝___P__B_____.
PA∩B PA
第十页，共40页。
独立(dúlì)事件
新知导学 4 ． 对 于 两 个 (liǎnɡ ɡè) 事 件 A ， B P，(A如)·P果(B)P(AB) ＝ __________，则称A、B相互独立． 可以证明：如果事件 A 与 B 相互独立，那么 A 与 B 、 A 与 B、 A 与 B 也都相互独立．
中目标的概率是14，现在三人同时射击目标，求目标被击中的概 率．
[答案]
3 4
第三十页，共40页。
[解析] 设甲击中目标为事件 A，乙击中目标为事件 B，丙 击中目标为事件 C，目标未被击中为事件 A B C ，
则 目 标 被 击 中 的 概 率 P ＝ 1 － P( A B C ) ＝ 1 － P( A )P( B )P( C )＝1－[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝1－(1－12) 1－13)(1－14)＝34.
第二十三页，共40页。
[解析] 设 A＝“甲地为雨天”，B＝“乙地为雨天”，则 (1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是 P(A|B)＝PPA∩BB＝00..1128＝0.67. (2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是 P(B|A)＝PPA∩AB＝00..1220＝0.60.
第二十四页，共40页。
[方法规律总结] 1.条件概率的判断 题目中出现已知“在……前提下(条件下)”等字眼时，一 般为求条件概率．题目中没有出现上述明显字眼，但事件 B 的 发生受事件 A 发生的影响时，也是条件概率． 2．求条件概率的方法： (1)用公式 P(B|A)＝PPAAB； (2)用 P(B|A)＝nnAAB.
第二十一页，共40页。
典例探究学案
第二十二页，共40页。
条件(tiáojiàn)概率
甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气 象记录，知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为 20%和 18%，两地同时下雨的比例为 12%，问：
(1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少？ (2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少？ [分析(fēnxī)] 设A＝“甲地为雨天”，B＝“乙地为雨 天”，则根据题意有P(A)＝0.20，P(B)＝0.18，P(A∩B)＝0.12. 问题(1)为求P(A|B)，(2)为求P(B|A)．
甲、乙同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概 率为 0.6，乙击中敌机的概率为 0.5，求：
(1)甲、乙都未击中的概率； (2)敌机被击中的概率． [分析] (1)直接利用相互独立事件同时发生的概率(gàilǜ)公 式计算即可；(2)从正面分析较麻烦，可考虑求其对立事件的概 率(gàilǜ)．
第二十八页，共40页。
(1)两件都是废品的概率； (2)其中没有废品的概率； (3)其中恰有1件废品的概率； (4)其中至少有1件废品的概率； (5)其中至多有1件废品的概率．
第三十五页，共40页。
[分析] 利用相互独立(dúlì)事件的概率公式及对立事件的 关系求解．
[答案] (1)0.002 (1)0.912 (3)0.086 (4)0.088 (5)0.998
第三十六页，共40页。
[解析] 设“从甲机床生产的产品中抽得 1 件是废品”为 事件 A，“从乙机床生产的产品中抽得 1 件废品”为事件 B.则
P(A)＝0.04，P(B)＝0.05. (1)P(AB)＝P(A)P(B)＝0.04×0.05＝0.002. (2)P( A B )＝P( A )P( B )＝0.96×0.95＝0.912. (3)P( A B ＋ A B ) ＝ P( A )P(B) ＋ Pቤተ መጻሕፍቲ ባይዱA)P( B ) ＝ 0.96×0.05 ＋ 0.04×0.95＝0.086.
∴目标被击中的概率为34.
第三十一页，共40页。
综合(zōnghé)应用
10 张奖券中有 3 张有奖，甲、乙两人从中各抽 1 张，甲先抽、乙后抽，求：
(1)甲中奖的概率； (2)乙中奖的概率； (3)在甲未中奖的情况下，乙中奖的概率．
第三十二页，共40页。
[解析] 设甲中奖为事件 A，乙中奖为事件 B. (1)由题意得 P(A)＝130. (2)P(B)＝P(AB＋ A B)＝P(AB)＋P( A B)， ∵P(AB)＝130×29＝115，P( A B)＝170×39＝370， ∴P(B)＝115＋370＝390＝130.
第三十三页，共40页。
(3)P( A )＝170，P( A B)＝370， 7
∴P(B| A )＝PpAAB＝370＝13. 10
∴(1)甲中奖的概率为130；(2)乙中奖的概率为130； (3)在甲未中奖的条件下，乙中奖的概率为13.
第三十四页，共40页。
制造(zhìzào)一机器零件，甲机床生产的废品率是0.04，乙 机床生产的废品率是0.05，从它们生产的产品中各任取1件， 求：
第四页，共40页。
自主预习学案
第五页，共40页。
1．了解条件概率的概念，会用条件概率公式求解(qiú jiě) 简单的实际问题．
2．理解相互独立事件的意义，理解相互独立事件同时发生 的概率乘法公式．
第六页，共40页。
重点：会用条件概率公式求解(qiújiě)简单的实际问题． 难点：理解相互独立事件同时发生的概率乘法公式．
P(A|B)＝PPAAB＝P(B)． 这表明事件 B 的发生与否对事件 A 的发生_没__有__(_m_é影i y响ǒu．)
第十三页，共40页。
7．常见事件及其表示： 已知两个事件 A、B，它们的概率分别为 P(A)、P(B)，那么： A、B 中至少有一个发生的事件为 A＋B； A、B 都发生的事件为 AB； A、B 都不发生的事件为 A B ； A、B 恰有一个发生的事件为 A B ＋ A B； A、B 中至多有一个发生的事件为 A B ＋ A B＋ A B .
P(A B ＋ A B＋ A B )
1
1－P(A)P(B)
第十五页，共40页。
牛刀小试
1．若事件 E 与 F 相互独立，且 P(E)＝P(F)＝14，则 P(E∩F) 的值等于( )
A．0
B．116
C．14
D．12
[答案(dáàn)] B
第十六页，共40页。
[解析] 本题考查相互独立事件同时发生的概率公式． ∵事件 E 与 F 相互独立， 且 P(E)＝P(F)＝14， ∴P(E∩F)＝P(E)·P(F)＝14×14＝116.
第十二页，共40页。
5．“互斥”与“相互独立”的区别(qūbié)与联系
相同点
都是描绘 两个事件 间的关系
不同点
①“互斥”强调不可能同时发生，“相 互独立”强调一个事件的发生与否对另 一事件发生的概率没有影响． ②“互斥”的两个事件可以“独立”， “独立”的也可互斥.
6.由条件概率与相互独立事件的概率的定义可知
第七页，共40页。
条件(tiáojiàn)概率
新知导学 1．事件的交： 把由事件A和B同时发生(fāshēng)所构成的事件D，称为事 件A与B的交(或积)，记做D＝A∩B(或D＝AB)．
第八页，共40页。
2．条件概率的概念(gàiniàn) 在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，称B为发_生__(f_ā_sh_ē_n_g)时 A发__生__的_条__件__(_ti_á_o_ji_àn_)_概_，率记为___P_(_A_|B_)___． 类似地，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，称为 ___A_发__生__时__B_发__生_的__条__件__概_率____，记为__P_(_B_|A__) ___．
第二十五页，共40页。
甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有10个不同的题目，其 中选择题6个，判断题4个，甲、乙两人不放回地依次各抽1题， 在甲抽到选择题的前提下，乙抽到判断题的概率是多少？
[分析] 本题(běntí)为条件概率，事件A为甲抽到选择题， 事件B为乙抽到判断题．本题(běntí)所求为在事件A发生的条件 下事件B发生的概率．
[解析] 记 A＝“甲击中”，B＝“乙击中”，C＝“甲、 乙都没有击中”，D＝“敌机被击中”．由题意，甲击中与否 并不影响乙击中与否，由此可认为 A 与 B 是相互独立的，则 A ， B 也是相互独立的．则
(1)P(C)＝P( A B )＝P( A )·P( B )＝(1－0.6)×(1－0.5)＝ 0.2.
第十七页，共40页。
2．甲、乙二人分别对一目标进行一次射击，记“甲击中目
标为事件 A，乙击中目标为事件 B，则 A 与 B，A 与 B，A 与 B ，
A 与 B ”中，满足相互独立的有( )
A．1 对
B．2 对
C．3 对 [答案(dáàn)] D
D．4 对
[解析] 由于 A 与 B 是两个相互独立事件，所以根据相互
独立事件的性质可知，A 与 B ，A 与 B，A 与 B 也是相互独立事
件，故有 4 对相互独立事件．
第十八页，共40页。
3．盒中装有 10 只乒乓球，其中 6 只新球，4 只旧球，不
放回地依次取出 2 个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第
二次也取到新球的概率为( )
A．35
B．110
C．59
D．25
[答案]
4 9
第二十六页，共40页。
[解析] 设甲抽到选择题为事件 A，乙抽到判断题为事件 B，
则 P(A)＝160＝35， P(AB)＝160××49＝145.
4 ∴P(B|A)＝PPAAB＝135＝49，即在甲抽到选择题的条件下，
5 乙抽到判断题的概率是49.
第二十七页，共40页。
相互独立事件(shìjiàn)的概率
第十四页，共40页。
它们之间的概率关系如下表所示.
概率
A、B 互斥
A、B 相互独立
P(A＋B)
P(A)＋P(B)
1－P( A )P( B )
P(AB) P( A B )
0 1－[P(A)＋P(B)]
P(A)P(B) P( A )P( B )
P(A B ＋ A B)
P(A)＋P(B) P(A)P( B )＋P( A )P(B)
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北师大版 ·选修(xuǎnxiū)1-2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第一页，共40页。
统计(tǒngjì)案例
第一章
第二页，共40页。
§2 独立性检验(jiǎnyàn)
第1课时(kèshí) 条件概率与独立事 件
第一章
第三页，共40页。
1 自主预习学案 2 典例探究学案 3 巩固提高学案
第十一页，共40页。
如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时 发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1·A2·…·An) ＝P(A1)·P(A2)·P(A3)·…·P(An)．
运用公式P(AB)＝P(A)·P(B)时一定要注意(zhù yì)成立的条 件，只有当相事互件(xAiā、ngBhù_)_独__立______时，公式才成立．此公式说 明：两个相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概 率的积．
(2)P(D)＝1－P( A B )＝1－0.2＝0.8. [方法(fāngfǎ)规律总结] 如果事件A发生与否不影响事件B 的发生，事件B发生与否也不影响事件A的发生，则A与B相互 独立，且P(AB)＝P(A)P(B)．
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甲射击命中目标的概率是12，乙命中目标的概率是13，丙命
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4．甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率 (gàilǜ) 分 别 是 0.8 、 0.6 、 0.5 ， 则 三 人 都 达 标 的 概 率 (gàilǜ) 是 ________，三人中至少有一人达标的概率(gàilǜ)是________．
[答案] 0.24 0.96 [解析] 三人均达标的概率(gàilǜ)为0.8×0.6×0.5＝0.24， 三 人 中 至 少 有 一 人 达 标 的 概 率 (gàilǜ) 为 1 － (1 － 0.8)×(1 － 0.6)×(1－0.5)＝0.96.
[答案(dáàn)] C
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[解析] 解法 1：设 A＝{第一次取到新球}，B＝{第二次取 到新球}，则 n(A)＝6×9＝54，n(AB)＝6×5＝30，
∴P(B|A)＝nnAAB＝3504＝59. 解法 2：在第一次取到新球的条件下，盒中装有 9 只乒乓 球，其中 5 只新球，则第二次也取到新球的概率为 P＝59.