2020版高考数学新增分大一轮新高考专用讲义：第五章 5.1 平面向量的概念及线性运算含解析

§5.1　平面向量的概念及线性运算
最新考纲　1.通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示.2.通过实例，掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.3.通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义.4.了解向量线性运算的性质及其几何意义．
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
交换律：a ＋b ＝b ＋a ；
结合律：
(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )
减法
求a 与b 的相反向量－b 的和的运算
a －
b ＝a ＋(－b )
数乘
求实数λ与向量a 的
积的运算
|λ a |＝|λ||a |，当λ>0时，λa
与a 的方向相同；当λ<0时，λa 与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0
λ(μ a )＝(λμ)a ；(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；λ(a ＋b )＝λa ＋λb
3.向量共线定理
向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa .概念方法微思考
1．若b 与a 共线，则存在实数λ使得b ＝λa ，对吗？提示　不对，因为当a ＝0，b ≠0时，不存在λ满足b ＝λa .2．如何理解数乘向量？
提示　λa 的大小为|λa |＝|λ||a |，方向要分类讨论：当λ>0时，λa 与a 同方向；当λ<0时，λa 与a 反方向；当λ＝0或a 为零向量时，λa 为零向量，方向不确定．3．如何理解共线向量定理？
提示　如果a ＝λb ，则a ∥b ；反之，如果a ∥b ，且b ≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使得a ＝λb .
题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．(　√　)(2)|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关．(　√　)(3)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .(　×　)
(4)若向量与向量是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．(　×　)
AB → CD →
(5)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．(　√　)(6)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．(　×　)题组二　教材改编
2．已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且＝a ，＝b ，则＝________，＝
OA → OB → DC → BC →
________.(用a ，b 表示)答案　b －a －a －b
解析　如图，＝＝－＝b －a ，
DC → AB → OB → OA →
＝－＝－－＝－a －b .BC → OC → OB → OA → OB →
3．在平行四边形ABCD 中，若|＋|＝|－|，则四边形ABCD 的形状为________．
AB → AD → AB → AD →
答案　矩形
解析　如图，因为＋＝，
AB → AD → AC →
－＝，AB → AD → DB → 所以||＝||.
AC → DB →
由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD 是矩形．题组三　易错自纠
4．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( )A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，所以a ∥b .
若a ∥b ，则a ＋b ＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．5．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝____________.答案　
12
解析　∵向量a ，b 不平行，∴a ＋2b ≠0，又向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ，使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )成立，即λa ＋b ＝μa ＋2μb ，则Error!解得λ＝μ＝.
1
2
6．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝AB ，BE ＝BC .若＝λ1＋λ2(λ1，λ2
1223DE → AB → AC →
为实数)，则λ1＋λ2的值为________．答案　
1
2
解析　＝＋＝＋DE → DB → BE → 12AB → 23BC
→
＝＋(＋)＝－＋，
12AB → 23BA → AC → 16AB → 23AC → ∴λ1＝－，λ2＝，即λ1＋λ2＝.
16231
2
题型一　平面向量的概念1．给出下列命题：
①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线；
③若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，且＝，则ABCD 为平行四边形；
AB → DC →
④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；
⑤已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线．其中真命题的序号是________．答案　③
解析　①错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；
②错误，若b ＝0，则a 与c 不一定共线；
③正确，因为＝，所以||＝||且∥；又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，所以
AB → DC → AB → DC → AB → DC →
四边形ABCD 为平行四边形；
④错误，当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，所以|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件；
⑤错误，当λ＝μ＝0时，a 与b 可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 与b 不一定共线．故填③.
2．判断下列四个命题：
①若a∥b，则a＝b；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若|a|＝|b|，则a∥b；④若a＝b，则|a|＝|b|.其中正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　A
解析　只有④正确．
思维升华向量有关概念的关键点
(1)向量定义的关键是方向和长度．
(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．
(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．
(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．
(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任何向量共线．
题型二　平面向量的线性运算
命题点1　向量加、减法的几何意义
例1 (2017·全国Ⅱ)设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则( )
A．a⊥b B．|a|＝|b|
C．a∥b D．|a|>|b|
答案　A
解析　方法一　∵|a＋b|＝|a－b|，
∴|a＋b|2＝|a－b|2.
∴a 2＋b 2＋2a·b ＝a 2＋b 2－2a·b .∴a·b ＝0.∴a ⊥b .故选A.
方法二　利用向量加法的平行四边形法则．在▱ABCD 中，设＝a ，＝b ，
AB → AD →
由|a ＋b |＝|a －b |知，||＝||，
AC → DB →
从而四边形ABCD 为矩形，即AB ⊥AD ，故a ⊥b .故选A.
命题点2　向量的线性运算
例2 (1)在平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，BE 与AC 的交点为F ，设＝a ，＝b ，
AB → AD →
则向量等于( )
BF →
A.a ＋b B ．－a －b
1323132
3C ．－a ＋b
D.a －b 13231323
答案　C
解析　＝＝(＋)
BF → 23BE → 23BC → CE →
＝＝－a ＋b ，23(
b －12a )
132
3故选C.
(2)(2018·全国Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则等于( )
EB →
A.－
B.－34AB → 14AC → 14AB → 34AC →
C.＋
D.＋34AB → 14AC → 14AB → 34AC →
答案　A
解析　作出示意图如图所示．
＝＋＝＋EB → ED → DB → 12AD → 12CB → ＝×(＋)＋(－)
1212AB → AC → 12AB → AC → ＝－.34AB → 14AC →
故选A.
命题点3　根据向量线性运算求参数
例3　在锐角△ABC 中，＝3，＝x ＋y ，则＝________.
CM → MB → AM → AB → AC →
x y 答案　3
解析　由题意得＋＝3(－)，
CA → AM → AB → AM →
即4＝3＋，
AM → AB → AC →
亦即＝＋，
AM → 34AB → 14AC → 则x ＝，y ＝.
3414故＝3.x y
思维升华 平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略
(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．
(2)求已知向量的和．共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．
(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．
跟踪训练1 (1)在△ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且＝2，＝3，若＝a ，
BD → DC → CE → EA → AB →
＝b ，则等于( )AC → DE →
A.a ＋b
B.a －b 135121313
12C ．－a －b
D ．－a ＋b
135********
答案　C
解析　＝＋＝＋DE → DC → CE → 13BC → 34CA
→
＝(－)－13AC → AB → 34AC
→
＝－－＝－a －b ，故选C.
13AB → 512AC → 135
12
(2)(2018·威海模拟)在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边BC ，CD 的中点，若＝x ＋y
AB → AE → (x ，y ∈R )，则x －y ＝________.AF →
答案　2
解析　由题意得＝＋＝＋，
AE → AB → BE → AB → 12AD →
＝＋＝＋，AF → AD → DF → AD → 12AB → 因为＝x ＋y ，
AB → AE → AF →
所以＝＋，
AB → (x ＋y 2)AB → (x 2＋y )
AD → 所以Error!解得Error!所以x －y ＝2.
题型三　共线定理的应用
例4 设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若＝a ＋b ，＝2a ＋8b ，＝3(a －b )，
AB → BC → CD →
求证：A ，B ，D 三点共线；
(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．
(1)证明　∵＝a ＋b ，＝2a ＋8b ，＝3(a －b )，
AB → BC → CD →
∴＝＋＝2a ＋8b ＋3(a －b )BD → BC → CD →
＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5，
AB → ∴，共线．AB → BD →
又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．(2)解　假设k a ＋b 与a ＋k b 共线，则存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即(k －λ)a ＝(λk －1)b .
又a ，b 是两个不共线的非零向量，∴k －λ＝λk －1＝0.
消去λ，得k 2－1＝0，∴k ＝±1.
引申探究　
1．若将本例(1)中“＝2a ＋8b ”改为“＝a ＋m b ”，则m 为何值时，A ，B ，D 三点共线？BC → BC →
解　＋＝(a ＋m b )＋3(a －b )＝4a ＋(m －3)b ，BC → CD →
即＝4a ＋(m －3)b .BD →
若A ，B ，D 三点共线，则存在实数λ，使＝λ.BD → AB →
即4a ＋(m －3)b ＝λ(a ＋b )．
所以Error!解得m ＝7.
故当m ＝7时，A ，B ，D 三点共线．
2．若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则k 为何值？
解　因为k a ＋b 与a ＋k b 反向共线，
所以存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )(λ<0)．
所以Error!所以k ＝±1.
又λ<0，k ＝λ，所以k ＝－1.
故当k ＝－1时两向量反向共线．
思维升华 (1)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．
(2)向量a ，b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立；若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a ，b 不共线．
跟踪训练2 已知O ，A ，B 是不共线的三点，且＝m ＋n (m ，n ∈R )．OP → OA → OB →
(1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线；
(2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1.
证明　(1)若m ＋n ＝1，
则＝m ＋(1－m )＝＋m (－)，OP → OA → OB → OB → OA → OB →
∴－＝m (－)，OP → OB → OA → OB →
即＝m ，∴与共线．BP → BA → BP → BA →
又∵与有公共点B ，则A ，P ，B 三点共线．BP → BA →
(2)若A ，P ，B 三点共线，则存在实数λ，使＝λ，BP → BA →
∴－＝λ(－)．OP → OB → OA → OB →
又＝m ＋n .OP → OA → OB →
故有m ＋(n －1)＝λ－λ，OA → OB → OA → OB →
即(m －λ)＋(n ＋λ－1)＝0.OA → OB →
∵O ，A ，B 不共线，∴，不共线，OA → OB →
∴Error!∴m ＋n ＝1.
1．对于非零向量a ，b ，“a ＋2b ＝0”是“a ∥b ”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　若a ＋2b ＝0，则a ＝－2b ，所以a ∥b .
若a ∥b ，则a ＋2b ＝0不一定成立，
故前者是后者的充分不必要条件．
2．已知向量＝a ＋3b ，＝5a ＋3b ，＝－3a ＋3b ，则( )AB → BC → CD →
A ．A ，
B ，
C 三点共线
B ．A ，B ，D 三点共线
C ．A ，C ，
D 三点共线
D ．B ，C ，D 三点共线答案　B
解析　∵＝＋＝2a ＋6b ＝2，BD → BC → CD → AB →
∴与共线，由于与有公共点B ，BD → AB → BD → AB →
因此A ，B ，D 三点共线，故选B.
3.如图，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 上的一个靠近点B 的三等分点，
那么等于( )EF →
A.－
B.＋12AB → 13AD →
14AB → 12AD → C.＋ D.－13AB → 12DA →
12AB → 23AD →
答案　D
解析　在△CEF 中，有＝＋.EF → EC → CF → 因为点E 为DC 的中点，所以＝.EC → 12DC →
因为点F 为BC 上的一个靠近点B 的三等分点，
所以＝.CF → 23CB →
所以＝＋＝＋EF → 12DC → 23CB → 12AB → 23DA →
＝－，故选D.12AB → 23AD →
4．(2018·唐山模拟)在△ABC 中，点G 满足＋＋＝0.若存在点O ，使得＝，GA → GB → GC → OG → 16BC →
且＝m ＋n ，则m －n 等于( )OA → OB → OC →
A ．2
B ．－2
C ．1
D ．－1
答案　D
解析　∵ ＋＋＝0，GA → GB → GC →
∴－＋－＋－＝0，OA → OG → OB → OG → OC → OG →
∴＝＝＝，OG → 13(OA → ＋OB → ＋OC → )16BC → 16(OC → －OB → )
可得＝－－，OA → 12OC → 32OB →
∴m ＝－，n ＝－，m －n ＝－1，故选D.3212
5.如图，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，＝a ，＝b ，则AB → AC → AD →
等于( )
A ．a －b B.a －b 12
12C ．a ＋b D.a ＋b 12
12
答案　D 解析　连接OC ，OD ，CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，可得∠AOC ＝∠COD ＝∠BOD ＝60°，且△OAC 和△OCD 均为边长等于圆O 半径的等边三角形，所以四边形OACD 为菱形，
所以＝＋＝＋＝a ＋b ，故选D.AD → AO → AC → 12AB → AC → 12
6.如图，在△ABC 中，＝，P 是BN 上的一点，若＝m ＋，则实数m 的值为( )AN → 13AC → AP → AB → 211AC →
A. B.911511
C. D.311
211答案　B
解析　注意到N ，P ，B 三点共线，
因此＝m ＋＝m ＋，AP → AB → 211AC → AB → 611AN →
从而m ＋＝1，所以m ＝.611511
7．若||＝||＝|－|＝2，则|＋|＝________.AB → AC → AB → AC → AB → AC →
答案　23
解析　因为||＝||＝|－|＝2，AB → AC → AB → AC →
所以△ABC 是边长为2的正三角形，
所以|＋|为△ABC 的边BC 上的高的2倍，AB → AC →
所以|＋|＝2.AB → AC →
38．若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC 的形OB → OC → OB → OC → OA →
状为________．
答案　直角三角形
解析　因为＋－2＝－＋－OB → OC → OA → OB → OA → OC → OA →
＝＋，－＝＝－，AB → AC → OB → OC → CB → AB → AC →
所以|＋|＝|－|，AB → AC → AB → AC →
即·＝0，AB → AC →
故⊥，△ABC 为直角三角形．AB → AC →
9．若M 是△ABC 的边BC 上的一点，且＝3，设＝λ＋μ，则λ的值为________．CM → MB → AM → AB → AC →
答案　3
4
解析　由题设知＝3，过M 作MN ∥AC 交AB 于N ，CM MB
则＝＝＝，MN AC BN BA BM BC 14
从而
＝，AN AB 34又＝λ＋μ＝＋＝＋，AM → AB → AC → AN → NM → 34AB → 14AC →
所以λ＝.34
10．(2019·钦州质检)已知e 1，e 2为平面内两个不共线的向量，＝2e 1－3e 2，＝λe 1＋6e 2，MN → NP →
若M ，N ，P 三点共线，则λ＝________.
答案　－4
解析　因为M ，N ，P 三点共线，
所以存在实数k 使得＝k ，MN → NP →
所以2e 1－3e 2＝k (λe 1＋6e 2)，
又e 1，e 2为平面内两个不共线的向量，
可得Error!解得λ＝－4.
11．如图所示，设O 是△ABC 内部一点，且＋＝－2，求△ABC 与△AOC 的面积之OA → OC → OB → 比．
解　取AC 的中点D ，连接OD ，
则＋＝2，OA → OC → OD →
∴＝－，OB → OD →
∴O 是AC 边上的中线BD 的中点，
∴S △ABC ＝2S △OAC ，
∴△ABC 与△AOC 面积之比为2∶1.
12.如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是AB ，AC 的中点，BF 与CD 交于点O ，设＝a ，AB →
＝b ，试用a ，b 表示向量.AC → AO →
解　方法一　由D ，O ，C 三点共线，
可设＝k 1＝k 1(－)＝k 1DO → DC → AC → AD → (b －12a )
＝－k 1a ＋k 1b (k 1为实数)，12
同理，可设＝k 2＝k 2(－)BO → BF → AF → AB →
＝k 2＝－k 2a ＋k 2b (k 2为实数)， ①
(12b －a )12又＝＋＝－a ＋BO → BD → DO → 12(－12k 1a ＋k 1b )
＝－(1＋k 1)a ＋k 1b ， ②12
所以由①②，得－k 2a ＋k 2b ＝－(1＋k 1)a ＋k 1b ，1212
即(1＋k 1－2k 2)a ＋b ＝0.12(12k 2－k 1)
又a ，b 不共线，
所以Error!　解得Error!
所以＝－a ＋b .BO → 2313
所以＝＋AO → AB → BO →
＝a ＋＝(a ＋b )．(－23a ＋13b )
13方法二　延长AO 交BC 于点E ，O 为△ABC 的重心，则E 为BC 的中点，
所以＝＝×(＋)＝(a ＋b )．AO → 23AE → 2312AB → AC → 13
13．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若＝λ＋μ(λ，μDE → AB → AD →
为实数)，则λ2＋μ2等于( )
A. B. C ．1 D.5814516
答案　A
解析　＝＋＝＋DE → 12DA → 12DO → 12DA → 14DB →
＝＋(＋)＝－，12DA → 14DA → AB → 14AB → 34AD →
所以λ＝，μ＝－，故λ2＋μ2＝，故选A.143458
14．A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D (点O 与点D 不重合)，若＝λ＋μ(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是( )OC → OA → OB →
A ．(0,1)
B ．(1，＋∞)
C ．(1，]
D ．(－1,0)
2答案　B
解析　设＝m ，则m >1，OC → OD →
因为＝λ＋μ，OC → OA → OB →
所以m ＝λ＋μ，OD → OA → OB →
即＝＋，OD → λm OA → μm OB →
又知A ，B ，D 三点共线，
所以＋＝1，即λ＋μ＝m ，λm μm
所以λ＋μ>1，故选B.
15．已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足＝OP → 13
，则点P 一定为△ABC 的( )(2OA → ＋12OB → ＋12OC → )
A ．BC 边中线的中点
B ．B
C 边中线的三等分点(非重心)
C ．重心
D ．BC 边的中点
答案　B
解析　设BC 的中点为M ，
则＋＝，12OC → 12OB →
OM → ∴＝(＋2)＝＋，OP → 13OM → OA → 13OM → 23OA →
即3＝＋2，也就是＝2，OP → OM → OA → MP → PA →
∴P ，M ，A 三点共线，
且P 是AM 上靠近A 点的一个三等分点．
16．设W 是由一平面内的n (n ≥3)个向量组成的集合．若a ∈W ，且a 的模不小于W 中除a 外的所有向量和的模．则称a 是W 的极大向量．有下列命题：
①若W 中每个向量的方向都相同，则W 中必存在一个极大向量；
②给定平面内两个不共线向量a ，b ，在该平面内总存在唯一的平面向量c ＝－a －b ，使得W ＝{a ，b ，c }中的每个元素都是极大向量；
③若W 1＝{a 1，a 2，a 3}，W 2＝{b 1，b 2，b 3}中的每个元素都是极大向量，且W 1，W 2中无公共元素，则W 1∪W 2中的每一个元素也都是极大向量．
其中真命题的序号是________．
答案　②③
解析　①若有几个方向相同，模相等的向量，则无极大向量，故不正确；②由题意得a ，b ，c 围成闭合三角形，则任意向量的模等于除它本身外所有向量和的模，故正确；③3个向量都是极大向量，等价于3个向量之和为0，故W 1＝{a 1，a 2，a 3}，W 2＝{b 1，b 2，b 3}中的每个元素都是极大向量时，W 1∪W 2中的每一个元素也都是极大向量，故正确．。