2008年普通高等学校校招生全国统一考试数学北京卷(理科)

2008年普通高等学校校招生全国统一考试数学北京卷（理科）
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、本题共8小题。

每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项。

（1）已知全集∪＝R ，集合A =|x |-2≤x ≤3|，B =|x |x 〈-1或x 〉4|，那么集合A ∩（εv B ）等于
(A)|x |-2≤x 〈4| （B ）|x |x ≤3或≥4| (C)|x |-2≤x <-1 (D)|x | -1≤x ≤3| (2)若a =2a ,b =log,3,c =log,sin
5
2π
,则 (A ）a >b >c (B)b >a >c (C)c>a>b (D)b >c>a
(3)“函数f (x )(x ∈R)存在反函数”是“函数f (x )在R 上为增函数”的 (A)充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 (C)充分必要条件 （D ）即不充分也不必要条件
（4）若点P 到直线x =－1的距离比它到点（2，0）的烛1，则点P 的轨迹为 （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线
x -y +1≥0,
（5）若实数x ,y 满足 x +y ≥0, 则z =3x +y 的最小值是
x ≤0, (A)0
(B)1
(C)3
(D)9
(6)已知数列｜a n ｜对任意的p,q ∈N m 满足a p+q =a p +a q ,且a P =-6,那么a p +q 等于 （A ）-165 (B)-33 (C)-30 (D)－21
（7）过直线y =x 上的一点作圆（x -5）2=2的两条切线l 1，l 2，当直线l 1，l 2关于y =x 对称时，综们之间的夹角为 （A ）30° （B ）45° (C)60° (D)90°
(8)如图，动点P 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上。

过点P 作垂直平面BB 1D 1D 的
直线，与正方体面相关于M 、N ，设BP =x ,MN =y ,则函数y =f (x )的图象大致是
第Ⅱ卷
二填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

把答案填在题中横线上。

（9）已知(a -i)2=2i,其中I 是虚数单位，那么实数a = 。

（10）已知向量a 与b 的夹角为120°，且｜a ｜=|b |=4,那么b ·（2a +b ）的值为 。

（11）若n
x
x )1(22
+
展开式的各项数之和为32，则n = ,其展开式中的常数项为 。

（用数字作答）
（12）如图，函数f (x )的图象是折线段ABC ,其中A ,B ,C 的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，
4），则f (f (0))= ; =x
I f x I ∇-∇+)
()(lim。

（用数字作答）
（13）已知函数f (x )=x 2=cos x ,对于［－
2
2π
π，］上的任意x 1,x 2,有如下条件：
① x 1>x 2; ②x 21>x 22; ③|x 1|>x 2.
其中能使f (x 1)> f (x 2)恒成立的条件序是 .
(14)某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k 棵树种植在点P 1(x 1,y 1)处，其中x 1=1,y 1=1,当k ≥2时，
x 1=x x -1+1-5［T （
51-k ）-T （52
-K ）］ yk =y k+1+T （51-k ）-T （5
2
-K ）
T （a ）表示非负实数a 的整数部分，例如T (2,6)=2,T (0,2)=0.
按此方案，第6棵树种植点的坐标应为 ；第2008棵树种植点的坐标应为 。

6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题共13分）
已知函数f (x )=sin 2ωx ωx sin(ωx +2
π
)(ω＞0)的最小正周期为π. （Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函数f(x)在区间[0， 23
π
]上的取值范围.
（16）（本小题共14分）
如图，在三棱锥P -ABC 中，AC =BC =2，∠ACB =90°，AP =BP =AB ，PC ⊥AC .
（Ⅰ）求证：PC ⊥AC ；
（Ⅱ）求二面角B-AP-C 的大小； （Ⅲ）求点C 到平面APB 的距离.
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（17）（本小题共13分）
甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A ，B ，C ，D 四个不同的岁位服务，每上岗位至少有一名志愿者.
（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率； （Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；
（Ⅲ）设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A 岗位服务的人数，求ξ的分布列.
分） 已知函数f (x )=2
2(1)
x b x --,求导函数f 1
(x ),并确定f (x )的单调区间.
分）
已知菱形ABCD 的顶点A ，C 在椭圆x 2+3y 2=4上，对角线BD 所在直线的斜率为l. （Ⅰ）当直线BD 过点（0，1）时，求直线AC 的方程； （Ⅱ）当∠ABC =60°，求菱形ABCD 面积的最大值.
（20）（本小题共13分）
对于每项均是正整数的数列A:a 1,a 2,…,a n ,定义变换T 1，T 1将数列A 变换成数列T 1（A ）：n ,a 1-1,a 2-1,…,a n -1.
对于每项均是非负整数的数列B ：b 1,b 2, …,b m ,定义变换T 2，T 2将数列B 各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列T 2（B ）：又定义 S （B ）=2（b 1+2b 2+…+mb m ）+b 21+b 22+…+b 2m .
设A 0是每项均为正整数的有穷数列，令A k+1=T 2(T 1(A k ))(k =0,1,2, …) （Ⅰ）如果数列A 0为5，3，2，写出数列A 2,A 2；
（Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列A ，证明S （T 1（A ））=S （A ）；
（Ⅲ）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列A 0，存在正整数K ，当k ≥K 时，S (A k+1)=S (A k ).
2008年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理工农医类）（北京卷）参考答案
一、选择题（本大题8小题，每小题5分，共40分）
（1）D （2）A （3）B （4）D （5）B （6）C （7）C （8）B
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） （9）-1 （10）0
（11）5 10 （12）2 -2 （13）② （14）（1，2） （3，402） 三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共13分） 解：（Ⅰ）
1cos 2()22112cos 222
1
sin(2).
62x f x x x x x ωωωωπω-=
=-+=-+ 因为函数f (x )的最小正周期为π,且ω＞0, 所以
22π
πω
= 解得ω=1.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f (x )=sin(2x -6π)+12
. 因为0≤x ≤23
π 所以-
6π≤2x-6
π≤7.6π
所以-12≤sin （2x-6
π
）≤1.
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因此0≤sin(2x -
6π)+12≤32
,即f (x )的取值范围为[0，32].
（16）（共14分） 解法一： （I ） 取AB 中点D ，连结PD ，CD. ∵AP =BP ， ∴PD ⊥AB. ∵AC =BC, ∴CD ⊥AB . ∵PD ∩CD =D, ∴AB ⊥平面PCD. ∵PC ∩平面PCD. ∴PC ⊥AB.
（Ⅱ）∵AC =BC ，AP ＝BP ， ∴△APC ≌△BPC. 又PC ⊥BC. ∴PC ⊥BC.
又∠ACB =90°,即AC ⊥BC . 且AC ∩PC ＝C , ∴BC ⊥平面P AC.
取AP 中点E ，连结BE ，CE . ∵AB ＝BP ， ∴BE ⊥AP .
∵EC 是BE 在平面P AC 内的射影. ∴CE ⊥AP .
∴∠BEC 是二面角B -AP-C 的平面角. 在△BCE 中，∠BCE ＝90°，BC ＝2，BE ＝
2
3
AB ＝6， ∴sin ∠BEC =
.3
6
=BE BC ∴二面角B -AP-C 的大小为 aresin
.3
6
(Ⅲ)由（Ⅰ）知AB ⊥平面PCD ， ∴平面APB ⊥平面PCD . 过C 作CH ⊥PD ，垂足为H . ∵平面APB ∩平面PCD ＝PD ， ∴CH ⊥平面APB .
∴CH 的长即为点C 到平面APB 的距离， 由（Ⅰ）知PC ⊥AB ，又PC ⊥AC ， 且AB ∩AC ＝A. ∴PC ⊥平面
ABC.
CD ⊂平面ABC . ∴PC ⊥CD.
在Rt △PCD 中，CD ＝
,62
3,221===PB PD AB ∴PC ＝.222=-CD PD ∴CH =
.3
32=⋅PD CD PC
∴点C 到平面APB 的距离为
.3
3
2 解法二：
（Ⅰ）∵AC ＝BC ，AP ＝BP ， ∴△APC ≌△BPC. 又PC ⊥AC . ∴PC ⊥BC.
∵AC ∩BC ＝C ， ∴PC ⊥平面ABC . ∵AB ⊂平面ABC ， ∴PC ⊥AB .
（Ⅱ）如图，以C 为原点建立空间直角坐标系C-xyz. 则C （0，0，0），A （0，2，0），B （2，0，0）. 设P （0，0，1）.
∵｜PB ｜＝｜AB ｜＝22，
∴t ＝2，P （0，0，2）.
取AP 中点E ，连结BE ，CE .
∵｜AC ｜＝｜PC ｜，｜AB ｜＝｜BP ｜, ∴CE ⊥AP ，BE ⊥AP .
∴∠BEC 是二面角B-AP-C 的平面角.
∵E （0，1，1），),1,1,2(),1,1,0(--=--=EB EC ∴cos ∠BEC
.3
3
6
22=
⋅=
∴二面角B -AP -C 的大小为arecos
.3
3 （Ⅲ）∵AC =BC =PC ，
∴C 在平面APB 内的射影为正△APB 的中心H ，且CH 的长为点C 到平面APB 的距离. 如（Ⅱ）建立空间直角坐标第C-xyZ. ∵,2=
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∴点H 的坐标为（
3
2,32,32）.
.3
3
2=
∴点C 到平面APB 的距离为
.3
3
2 （17）（共13分） 解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件E A ，那么
P （E A ）=.401
44
233
3-A C A
即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是
.40
1
（Ⅱ）记甲、乙两个同时参加同一岗位服务为事件E ，那么
P （E ）＝.10
1
442344=A C A
所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是 P （E ）=1-P (E )=
.10
9 (Ⅲ)随机变量ξ可能取的值为1，2.事件“ξ=2”是指有两人同时参加A 岗位服务，则
P （ξ＝2）＝.4
1
44233
323=A C A C
所以p （ξ-1）＝1-P （ξ＝2）＝
3
.ξ的分布列是
（18）（共13分）
解：f ′（x ）=4
2)
1()
1(2)2()1(2--⋅---x x b x x =
3
)1(2
22--+-x b x =
.)1()]
1([23
---x b x
令f ′（x ）＝0，得x ＝b -1.
当b-1＞1，即b ＞2时，f ′（x ）的变化情况如下表：
所以，当b ＜2时，函数f (x )在（-∞，b -1）上单调递减，在（b -1，1）上单调递增， 在（1，+∞）上单调递减.
当b ＞2时，函数f （x ）在（-∞，1）上音调递减，在（1,b -1）上单调递增，在（b -1，+∞）上单调递减.
当b -1＝1，即b ＝2时，f (x )=
1
2
-x ，所以函数f (x )在（-∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递减. （19）（共14分）
解： （Ⅰ）由题意得直线BD 的方程为y =x +1. 因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD .
于是可设直线AC 的方程为y =-x +n .
由2234,x y y x n
⎧+=⎨=-+⎩得2246340.x nx n -+-= 因为A ，C 在椭圆上，
所以△＝-12n 2+64＞0，解得n 设A ，C 两点坐标分别为（x 1,y 1）,(x 2,y 2),
则212121122334
,,,.24
n n x x x x y x n y x n -+===-+=-+ 所以12.2
n y y +=
所以AC 的中点坐标为3.44n n ⎛⎫
⎪⎝⎭
由四边形ABCD 为菱形可知，点344n n ⎛⎫
⎪⎝⎭
在直线y =x +1上， 所以
3144
n n
=+，解得n =-2. 所以直线AC 的方程为2y x =--，即x +y +2=0.
（Ⅱ）因为四边形ABCD 为菱形，且60ABC ∠=︒,
所以.AB BC CA ==
所以菱形ABCD 的面积2
.S =
由（Ⅰ）可得22
2
2
1212316
()().2
n AC x x y y -+=-+-=
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所以2(316)(433
S n n =
-+-＜ 所以当n =0时，菱形ABCD
的面积取得最大值（20）（共13分）
（Ⅰ）解：A 0：5,3,2, T 1(A 0):3,4,2,1 A 1=T 2(T 1(A 0)):4,3,2,1; T 2(A 1):4,3,2,1,0 A 2=T 2(T 1(A 1)):4,3,3,1.
（Ⅱ）证明：设每项均是正整数的有穷数列A 为a 1,a 2, …,a n ，
则1()T A 为n ,a 1-1,a 2-1,…,a n -1,
从而[]112(())22(1)3(1)(1)(1)n S T A n a a n a =+-+-+⋅⋅⋅++-
222212(1)(1)(1).n n a a a ++-+-+⋅⋅⋅+-
又222
1212()2(2),n n S A a a na a a a =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+
所以1(())()S T A S A -
[]12223(1)2()n n n a a a =---⋅⋅⋅-++++⋅⋅⋅+ 2122()n n a a a n +-++⋅⋅⋅++
＝2
(1)0,n n n n -+++=
故1(())().S T A S A =
（Ⅲ）证明：设A 是每项均为非负整数的数列a 1,a 2, …，a n .
当存在1i j n ≤≤＜，使得a i ≤a j 时，交换数列A 的第i 项与第j 项得到数列B .则
()()2()i i i i S B S A ia ja ia ja -=+--
＝()()0.j i i j a a --≤
当存在1≤m ＜n ,使得120n n n a a a ++==⋅⋅⋅==时，若记数列12,,,n a a a ⋅⋅⋅为C ，则S (C )=S (A ).
所以2(())().S T A S A ≤
从而对于任意给定的数列A 0，由121(())(0,1,2,)k k A T T A k -==⋅⋅⋅可知
14()(()).k k S A S T A -≤
又由（Ⅱ）可知4(())()k k S T A S A =，所以1()()k k S A S A +≤. 即对于k ∈N ,要么有S (A k +1)=S (A k )，要么有1()()k k S A S A +≤-1. 因为S (A k )是大于2的整数，所以经过有限步后，必有
12()()().k k k S A S A S A ++===⋅⋅⋅
即存在正整数K ，当k ≥K 时，1()().k k S A S A +=。